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文档简介
第五章平抛运动
§5-1曲线运动&运动的合成与分解
、曲线运动
1.定义:物体运动轨迹是曲线的运动。2.条件:
运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同
一直线上。
3.特点:①方向:某点瞬时速度方向就是通过这
一点的曲线的切线方向。②运动类型:变速运动(速
度方向不断变化)。③FW0,一定有加速度a。
合④F方向一定指向曲线凹侧。合
⑤F可以分解成水平和竖直的两个力。合
4.运动描述一一蜡块运动
涉及的公式:
Wy22
VVVyx
VvyxPtan
V蜡块的位置x
0
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动的关系:等时性、独立性、等
效性、矢量性。
2.互成角度的两个分运动的合运动的判断:①两个
匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。②速
度方向不在同一直线上的两个分运动,一个是匀速
直线运动,一个是匀变速直线运动,其合运动是匀
变速曲线运动,a为分运动的加速度。合
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍
然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动
可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动
的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速
度在同一直线上时,合运动是匀变速直线运动,否
则即为曲线运动。
三、有关“曲线运动”的两大题型(一)
小船过河问题最短:t模型一:过河时间模型二:
直接位移X最短:模型三:间接位移X最短:
V
vvv船船dvdd船
090A水ov
水vv水,vdv当>v时,水L船水xddmmtminv,
minxcossinv船船,dvvt,船d船vtancossint船v
sinvv水船水vcos水v(vcos)-vsL船船水minsinv船
[触类旁通]1.(2011年上海卷)如图5—4
所示,人沿平直的河岸以速度v行走,且通过不可
伸长的绳拖船,船沿绳的方向行进.此过程中绳
始终与水面平行,当绳与河岸的夹角为a时,船的
速率为(C)o
VVB.D.C.VCOSA.Vsin
sincos
解析:依题意,船沿着绳子的方向前进,即船的
速度总是沿着绳子的,根据绳子两端连接的物体在
绳子方向上的投影速度相同,可知人的速度v在
绳子方向上的分量等于船速,故V=VCOSa,
C正确.船
2.(2011年江苏卷)如图5—5所示,甲、乙
两同学从河中O点出发,分别沿直线游到A点
和B
点后,立即沿原路线返回到O点,OA、OB分别
与水流方向平行和垂直,且OA=OB.若水流速度
不变,两人在静水中游速相等,则他们
(C)乙的大小关系为甲、t所用时间t
t=t.t<tB.A乙甲甲乙.无法确定Dt>t
C.乙甲II=t=,水速为v,OAOB=I,则
解析:设游速为v;+o甲
v+vv—V00
方向,所示,合速度必须沿OBOB运动,乙的
速度矢量图如图4乙沿l2t,联立解得则・=
c>tt正确.乙,甲乙VV—220
)连带运动问题(二)绳杆问题(、实质:合运
动的识别与合运动的分解。1
、关键:①物体的实际运动是合速度,分速度的方
向要按实际运动效果确定;2②沿绳(或杆)方向
的分速度大小相等。
模型四:如图甲,绳子一头连着物体B,一头拉小
船A,这时船的运动方向不沿绳子。
OBOviVA0AvA
V2
乙甲
处理方法:如图乙,把小船的速度V沿绳方向和
垂直于绳的方向分解为V就是拉绳的速度,VV,和
VAA112就是小船的实际速度。
[触类旁通]如图,在水平地面上做匀速直线运动
的汽车,通过定滑轮用绳子吊起一个物体,若汽车
和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2,
则下列说法正确的是(C)A.物体做匀速运动,
且v=vB.物体做加速运动,且v>v1122C.物
体做加速运动,且vvvD.物体做减速运动,且
V<V1122解析:汽车向左运动,这是汽车的实际运
动,故为汽车的合运动.汽车的运动导致两个
效果:一是滑轮到汽车之间的绳变长了;二是滑
轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了.显然汽
车的运动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳
与竖直方向的夹角的运动合
由0.=vvsin成的,故应分解车的速度,如图,
沿绳方向上有速度J逐渐增大,故被吊物体做加速
V逐渐增大,所以于V是恒量,而。21正确.,V
<运动,且VC12
§5-2平抛运动&类平抛运动
、抛体运动
9
小
1.定义:以一定的速度将物体抛出,在空气阻力可
以忽略的情况下,物体只受重力的作用,它的运动
即为抛体运动。2.条件:①物体具有初速度;
②运动过程中只受Go
二、平抛运动
1.定义:如果物体运动的初速度是沿水平方向的,
这个运动就叫做平抛运动。2.条件:①物体具
有水平方向的加速度;②运动过程中只受。G
3.处理方法:平抛运动可以看作两个分运动的合
运动:一个是水平方向的匀速直线运动,一个是竖
直方向的自由落体运动。
4.规律:1gt12222x.(,tan1)位移:(gt)t)vt,ygt,s
(voo2v22o
22vvv(gt)vtanvgtgt,(2)速度:,,ayxoo
vo
(3)推论:①从抛出点开始,任意时刻速度偏向角。的正切值
等于位移偏向角@的1gt2gtgt2tan正切值的两倍。
证明如下:.tan6o=tan=2tantan。,9
vt2vvooo②从抛出点开始,任意时刻速度的反向延长线对
应的水平位移的交点为此水平位移2y.tan如果物体落在
斜面上,则位移偏向角与斜面倾斜角相等。的中点,即
X
[牛刀小试]如图为一物体做平抛运动的x-y
图象,物体从O点抛出,X、
y分别表示其水平位移和竖直位移.在物体运动过
程中的某一点P(a,b),
x轴的A点(A点未画出),则OA的长度为
(B)其速度的反向延长线交于
无法确定A.aB.0.5aC.0.3aD.
解析:作出图本(如图5—9所小),设v与竖
直方向的夹角为a,根据几何
Vo关系得tana=①,由平抛运动得水平方向有a
=vt②,竖直方向有vyoSAEPAa=,b==b
中,,在a1③,由①②③式得=aytanRttanv
tbAE
222a
所以OA=.2
5.应用结论一一影响做平抛运动的物体的飞行时
间、射程及落地速度的因素
2h、飞行时间:at无关。v有关,与初速度h3
与物体下落高度。g2h,h共同决
定。b、水平射程:vtxv和voooig
式可求用:匕.12缶nr软使埔氏不触网也不博界.慰场却速度匕盅悯足,XE/MVV.YJW乐s
31瓷击球点高度为A时.球蛤好必网又国■,加图所示:
-'*u
省设山t排球飞出的初速度为、•,时触网点&-3«・力一,-1>11・%—2代木。>卜
中埴度公式可M,v-a^iva|、、、
MAR界嘉O-12皿R-gnACl)中球度公式可将,▼=12再<»9G-M
<!>、S冏式熊立可得△-*IM即有击弹i«度小于&13aN・无论球破水平击出的连及苗大.球不是做得.
■是出界.
222共同决定。vv和,v由c、落地速度:vv2gh
VVOyOyo
三、平抛运动及类平抛运动常见问题
模型一:斜面问题:处理方法:1.沿水平方向的匀速运
动和竖直方向的自由落体运动;2.沿斜
面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。
l2gtxvt,y根据A运动到B的时间:2vtanto考点
一:物体从o
g2
考点二:B点的速度V及其与V:a的夹角OB2221
4tanvv(gt)v,arctan(2tan)oo
22Vtanxos之间的距离s:考点三:A、Bg
COSCOS
[触类旁通](2010年全国卷I)一水平抛出的
小球落到一倾角为9的斜面上时,其速度方向与斜
面垂直,运动轨迹如图5—10中虚线所示.小
球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距
离之比为(D)
11A.tanB.2tanc.D.
tan2tan
5所示,平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面
倾角0解析:如图,有
12vgty1gt20,D正确.0===,则下落高度与水平射
程之比为tan0=vgttxvoo.
模型二:临界问题:
思路分析:排球的运动可看作平抛运动,把它分解为水平的匀
速直线运动和竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环
境”限制下的平抛运动,
应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。
例:如图1所示,排球场总长为18m,设球网高度为2m,
运动员站在离网3m
(不计空气阻力)的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水
平击出。
(1)设击球点在3m线正上方高度为2.5m处,试问击球的
速度在什么范围内才能使球即不触网也不越界?
(2)若击球点在3m线正上方的高度小余某个值,那么无论
击球的速度多大,球不是触网就是越界,试求这个高度?
模型三:类平抛运动:I2,mgsinatsvtb2bma
根据考点一:沿初速度方向的水平位移:svgsin.2,
0
02gsin,v,avta'ta'1gsin,bmg
sin考点二:入射的初速度:oo
2b2m
22b.,'taatmgsinlgsin,b的运动时间:考点三:P
到Q
gsinm2
[综合应用](2011年海南卷)如图所示,水平地
面上有一个坑,其
竖直截面为半圆,ab为沿水平方向的直径.若在
点以初速度va0
沿ab方向抛出一小球,小球会击中坑壁上的c
点.已知c点与水平地面的距离为坑半径的一半,
求坑的半径。解:设坑的半径为r,由于小球
做平抛运动,则
x=vt@012y=0.5r=gt2②
过c点作cd±ab于d点,则有RtAacd^Rt
△cbd
2=adcd〃db可得
2X)—=x(2r即为()③r
2
2=r47—43xr,联立①②③式解得又因为v0.>g
§5-3圆周运动&向心力&生活
中常见圆周运动
一、匀速圆周运动
1.定义:物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运
动,物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀
速圆周运动。
2.特点:①轨迹是圆;②线速度、加速度均大小
不变,方向不断改变,故属于加速度改变的变
速曲线运动,匀速圆周运动的角速度恒定;③匀速
圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方
向始终与速度方向垂直的合外力;④匀速圆周运动
的运动状态周而复始地出现,匀速圆周运动
具有周期性。
3.描述圆周运动的物理量:
(1)线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理
量,是矢量;其方向沿轨迹切线,国际单位制
m/s,匀速圆周运动中,v的大小不变,方向却一直
在变;中单位符号是
(2)角速度3是描述质点绕圆心转动快慢的物理量,
是矢量;国际单位符号是rad/s;
T是质点沿圆周运动一周所用时间,在国际单位制中
单位符号是s;)周期3(
fHz;)频率(4在国际单位制中单位符号是是质
点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数,
8
-=8*8k----)0Z
(5)转速n是质点在单位时间内转过的圈数,单
位符号为r/s,以及r/min.
4.各运动参量之间的转换关系:2R2
nRv22n,TvR2R.变形
vTTR
5.三种常见的转动装珞及其特点:
模型二:皮带传动共轴传动模型一:模型三:齿
轮传动
AArAirOB
Or
B
0RrRB2
vRrTBJ„Trvv,
FIRTBA1AA1BB,v
TnvvRTrrrBB2A2BAAAABBA
[触类旁通]1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线
垂直于水平面,圆锥筒固定,
有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平
面内做匀速圆周运动,如图所
示,A的运动半径较大,则(AC)
A.A球的角速度必小于B球的角速度
B.A球的线速度必小于B球的线速度
球的运动周期BA球的运动周期必大于.
C
球对筒壁的压力球对筒壁的压力必大于B.DA
的运动状态即运动条件均相同,属于三种模型中的
皮带传、B小球A解析:
送。则可以知道,两个小球的线速度v相同,B错;因为R>R,
则3<3,T<T,A.C正确;又因
BABABAD错。所以A、C正确。为两小球各
方面条件均相同,所以,两小球对筒壁的压力相同,
两点的半径之比、两个大轮半径相等的皮带轮的结
构如图所示,AB2四点的角速度之比2:
1,则ABCD为2:1,CD两点的半径之比
也为
,这四点的线速度之比为为o:22:1:41:1:
2:2
二、向心加速度
1.定义:任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指
向圆心,这个加速度叫向心加速度。
注:并不是任何情况下,向心加速度的方向都是指
向圆心。当物体做变速圆周运动时,向心加速度的
一个分加速度指向圆心。2.方向:在匀速圆周
运动中,始终指向圆心,始终与线速度的方向垂直。
向心加速度只改变线速度的方向而非大小。3.意
义:描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。
22V222(2r.n)rvra公式:4.nrT
两个函数图像:5.
aann
□
解析:(1)尸*・-峭/
J.假据牛^第三定铮可知,小球运动5JB点对瓢道的压力为3磔.
X-s24R(H_Rj
8
[触类旁通]1、如图所示的吊臂上有一个可以沿
水平方向运动的小车,AA以相同的水平速度沿B
的吊钩。在小车A与物体小车下装有吊着物体B
之间的距离以BB向上吊起。A、吊臂方向匀速运
动的同时,吊钩将物体
2规律为吊臂离地面的高度)d=H—2t(SI)(SI表
示国际单位制,式中H(AC)变化。对于地面的
人来说,则物体做BA.速度大小不变的曲线运
动B.速度大小增加的曲线运动C.加速度大
小方向均不变的曲线运动D.加速度大小方向均
变化的曲线运动沿竖直方向,上端A距、如图所
示,位于竖直平面上的圆弧轨道光滑,半径为20B,
R速度为,最后落在地面点时的Bm的小球从
A点由静止释放,到达地面高度为H,质量为
点处,不计空气阻力,求:上C
B点时的加速度为多大,对轨道的压力多大;
(1)小球刚运动到点水平距离为多少。(2)小球
落地点C与B
三、向心力
1.定义:做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向
圆心的合力,叫做向心力。2.方向:总是指向圆
心。
222V),2(2公式:3.Frmrmvmn2n
rT
4.几个注意点:①向心力的方向总是指向圆心,
它的方向时刻在变化,虽然它的大小不变,但是向
心力也是变力。②在受力分析时,只分析性质力,
而不分析效果力,因此在受力分析是,不要加上向
心力。③描述做匀速圆周运动的物体时,不能说该
物体受向心力,而是说该物体受到什么力,这几个
力的合力充当或提供向心力。
四、变速圆周运动的处理方法
1.特点:线速度、向心力、向心加速度的大小和方
向均变化。mv2合外力沿法线方向的分力提供向
心力:2.动力学方程:。合外力沿切线方向的分Frm
2nrFa=moo力产生切线加速度:门
离心运动:3.2r时,物体做圆周运动;当=m)
当物体实际受到的沿半径方向的合力满足(1F
=F3FvF需供需供
2ra时,物体做离心运动。=m
*/—
(2)离心运动并不是受“离心力”的作用产生的
运动,而是惯性的表现,是FvF的结果;离心需
供运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动。
五、圆周运动的典型类型
类型受力特点图示最高点的运动情况
用细绳拴2mv
一小球在绳对球只有①若F=0,则mg=,v=
gRR
拉力竖直平面v>,则FW0②若gR内转
动
2mv
①若F=0,贝ijmg=,v=gRR小球固定
2杆对球可以在轻杆的v
v>m,向下,贝Img+F=②若FR是拉力也可一端
在竖gR
2以是支持力直平面内mv
③若F向上,购mg—F=或mg—F=0,R
转动
则OWvvgR
管对球的弹2可以向力F小球在竖mvNO
OON,直细管内v<v;若F=0判断,若v=v,依据mg=R
上也可以向转动NNO向下,向上;若v>vFF下
A,则v=①如果刚好能通过球壳的最高点A0,
F=mg在最高点时N球壳外的的方F弹力②
如果到达某点后离开球壳面,该点处小球N小球
受到壳面的弹力F=0,之后改做斜抛运动,向
向上N若在最高点离开则为平抛运动
六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大
题型分析
(一)解题步骤:①明确研究对象;②定圆心找
半径;③对研究对象进行受力分析;④对外力进
行正交分解;⑤列方程:将与和物体在同一圆周
运动平面上的力或其分力代数运算后,另得数等于
向心力;⑥解方程并对结果进行必要的讨论。
(二)典型模型:
I、圆周运动中的动力学问题
谈一谈:圆周运动问题属于一般的动力学问题,无
非是由物体的受力情况确定物体的运动情况,或者
由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路
就是,以加速度为纽带,运用那个牛顿第二定律和
运动学公式列方程,求解并讨论。火车转弯问题:
模型一:h①a、涉及公式:mgsinmgmgtanFF
合NL
2RghovmF②,由①②得:v。合o.
RL
v22模型二:汽车过拱桥问题:ammg
F、涉及公式:vlTI,,所以当mgmgFNNRR
v越大越明显,因此汽车过拱桥时不此时汽车处于
失重状态,而且
宜告诉行驶。
V2gRmgmF、分析:当b:VN
R
vgR,汽车对桥面的压力为(1)0,汽车出于完
全失重状态;
gR0vFOmg,汽车对桥面的压力为(2)。
N
gRv,汽车将脱离桥面,出现飞车现象。(3)
2Vmgm同样,当汽车过凹形桥底端时满足c、
注意:,汽车对FNR
桥面的压力将大于汽车重力,汽车处于超重状态,
若车速过大,容易出现爆胎现象,即也不宜高速行
驶。
[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是
不同的,已知内外轨道平面与水平面的倾角为0,
如图所示,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m
的火车转弯时速度小于,则(A)
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于解析:当内外
轨对轮缘没有挤压时,物体受重力和支持力的合力
提供向心力,此时速度为
gRtan。。
2、如图所示,质量为m的物体从半径为R的半
球形碗边向碗底滑动,滑倒最低点时的速度为Vo
若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f,则物体与
碗的动摩擦因数以为B)o(fR、C、A
B、、DffRfR
222mvmgRmvmgmvmgR
V22vmgmam
mgm,解得,则F,由设在最低点时,碗对物
体的支持力为解析:FFRR
fRf,化简得解得Ff=口B正确。,所以2V
mgRmv21Tlgm
R
II、圆周运动的临界问题
A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题
谈一谈:竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆
周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的
问题,中学物理只研究问题通过最高点和最低点的
情况,并且经常出现有关最高点的临界问题。模
型三:轻绳约束、单轨约束条件下,小球过圆周
最IWJ点:
(注意:绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.)
(1)临界条件:小球到达最高点时,绳子的拉力
或单轨的弹力刚好等于0,小球的重力提供向心力。
即:
V脸2V界VgRmgm。临界vR绳
gR时,gR.当vv绳)小球能过最高点的条件:2
(o
Rv对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压
力。
gRv(实际上球还(3)小球不能过最高点的条件:
°没到最高点时就脱离了轨道)
模型四:轻杆约束、双轨约束条件下,小球过圆
周最高点:
(1)临界条件:由于轻杆和双轨的支撑作用,小
球恰能到达最
IWJ点的临街速度O.vv临界V
杆(2)如图甲所示的小球过最高点时,轻杆对
小球的弹力情况:
①当v=0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力F,
其大小等于小N球的重力,即F=mg;N
②当时,轻杆对小球的支持力的方向0
vgR
竖直向上,大小
甲乙
随小球速度的增大而减小,其取值范围是;FOmgN
V③当gR;F=0时,N
vgR④当时,轻杆对小球有指向圆心的拉力,其大
小随速度的增大而增大。
(3)如图乙所示的小球过最高点时,光滑双轨对
小球的弹力情况:
①当v=0时,轨道的内壁下侧对小球有竖直向上
的支持力F,其大小等于小球的重力,即F=mg;NN
②当时,轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支
持力F,大小随小球速度的增gROvN
大而减小,其取值范围是;mg0FN
③当时,F=0;vgRN
④当时,轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心
的弹力,其大小随速度的增大而vgR
增大。
+
+
<
模型五:小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运
动:两种情况:
(1)若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑,物体
在最高点的速度V
的限制条件是vgR.
(2)若,物体将从最高电起,脱离圆轨道做平
抛运动。gRv[触类旁通]1、如图所示,质
量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水,用绳子系
住小杯在竖直平面内做“水流星”表演,转动半径
为1m,小杯通过最高点的速度为4m/s,g
取10m/s2,求:⑴在最高点时,绳的拉力?
在最高点时水对小杯底的压力?(2)?在最高
点时最小速率是多少为使小杯经过最高点时水不
流出,(3)b
、(3)m/s=3.16m/s2答案:(1)9N,方向竖
直向下;(2)6N,方向竖直向上;点的水平轴
自由转动,现如图所示,细杆的一端与一小球相连,
可绕过O。分别表示小球轨道的最低点和ba、
给小球一初速度,使其做圆周运动,图中(AB
最高点,则杆对球的作用力可能是)处为推力
b.a处为拉力,A.a处为拉力,b处为拉力
Ba处为推力bbC.a处为推力,处为拉
力D.a处为推力,Q
径是一半5m,MPQ水平,长为3、如图所示,
LMPQ是光滑轨道,LM的m=1kgR=1.6m的半
圆,QOM在同一竖直面上,在恒力F作用下,质
量。时立即停止用力,欲使L点由静止开始运动,
当达到M从物体AAP
2)F大小为多少?(取g=10m/s好能通过Q
点,则力刚A
解析:物体A经过Q时,其受力情况如图所示:
FL2Mvm由牛顿第二定律得:mgF
NQRFN
mgP,4m/s=0物体A刚好过A时有F;解得
vgRNo全过程,由动能定理得:Q对物体从L
到
2oF=8Nmv,解得FLM2mgR1M
2
物体在水平面内做圆周运动的临界问题B.
谈一谈:在水平面内做圆周运动的物体,当角速
度⑴变化时,物体有远离或向着圆心运动(半径
变化)的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物
体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向
如何(特别是一些接触力,如静摩擦力、绳的拉力
等)0模型六:转盘问题处理方法:先对A进行受力
分析,如图所示,注意在分析时不能忽略摩擦力,当N然,如果
说明盘面为光滑平面,摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后,可以发
现支持力N与mg相互抵销,则只有f充当该
物体的向心力,则有A2V02f222Rm(Fm
)mg,接着可以求的所需的圆周RfmRm(2n)
TRmg
运动参数等。
等效处理:0可以看作一只手或一个固定转动点,B绕着0
经长为R的轻绳或轻等效为
B进行受力分析,发现,上图的f在此图中可杆的牵引做着圆
周运动。还是先对
FF即可,根据题意求出带入公式f改为等效为绳或杆对小
球的拉力,则将拉,拉。22222V
FmRm()RFm(2n),即可求的所需参量。
RmR拉
TRB
【综合应用】
1、如图所示,按顺时针方向在竖直平面内做匀速
转动的轮子其边缘上有
一点A,当A通过与圆心等高的a处时,有一
质点B从圆心0处开始做自由落体运动.已知
轮子的半径为R,求:(1)轮子的角速度3满足
什么条件时,点A才能与质点B相遇?
(2)轮子的角速度3,满足什么条件时,点A与质
点B的速度才有可能在某时刻相同?解析:(1)
点A只能与质点B在d处相遇,即轮子的最
低处,则点A从a处转到d处所转
3
过的角度应为9=2nn+冗,其中n为自然
数.2
R12,则轮子的角速度应满足条件=处所用的时
间为t从0点落到d知,质点Bgt由h=
g2
3g。
兀)=(2n+为自然数.n,其中3=Rt
22
必然运A的速度相同时,点A的速度方向必
然向下,因此速度相同时,点(2)点A与质点B
n,其中兀+冗运动到c处时所转过的角度应
为。'=2rle动到了处,则点A为自然数.
H
1)'(2n转过的时间为f
RA的速度为v=3,此时质点B的速度
为v=gt',又因为轮子做匀速转动,所以点
AB(2n1)g,其中n为自然数.v由v=得,
轮子的角速度应满足条件’BAR
2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决
定举行遥控赛车比赛.比赛路径如下图所示,赛
车从起点A出发,沿水平直线轨道运动L后,由
B点进入半径为R
的光滑竖直圆轨道,离开竖直圆轨道后继续在光
滑平直轨道上运动
到C点,并能越过壕沟.已知赛车质量m=0.1kg,
通电后以额定
功率P=1.5W工作,进入竖直轨道前受到的阻力
恒为0.3N,随后在运动中受到的阻力均可不
记.图中L=10.00m,R=0.32m,h
=1.25m,x=1.50m.问:要使赛车完成比赛,
电动机至少工2作多长时间?(取g=10m/s)
解析:设赛车越过壕沟需要的最小速度为v,
由平抛运动的规律।
1R23m/s=gt,解得:v=xx=vt,h=”22h
v,最低点的速度为v,由牛顿第二设赛车恰好越
过圆轨道,对应圆轨道最高点的速度为32定律及机
械能守恒定律得
21Vl222Rmg+mg=mmvmv=23,)(22R2
Vgh解得3=54m/s=
通过分析比较,赛车要完成比赛,在进入圆轨道前
的速度最小应该是
v=4m/smint,根据功能关系设电动机工作时
间至少为
12Pt-Ft=2.53s.,由此可得mvL=fmin2
位貉时线被拉断.设摆B、如下图所示,让摆
球从图中A位貉由静止开始下摆,正好到最低点3
,,悬点与地面的竖直高度为10N0.5kg,摆球的
质量为=线长为L1.6m,摆线的最大拉力为
H=4m
R
20求:10m/sg取不计空气阻力,
(1)摆球着地时的速度大小.(2)D到C的
距离。
解析:(1)小球刚摆到B点时,由牛顿第二定律
可知:
v2mgmF①,由①并带入数据可解的:,
4m/SVBmBl
小球离开B后,做平抛运动.1
gt2I竖直方向:H③②,落地时
竖直方向的速度:gtvy
2
22落地时的速度大小:④,由①②③④得:VVV
8m/s.vyB的距离(2)落地点D到C83.tvsm
B5
第六章万有引力与航天
§6-1开普勒定律
一、两种对立学说(了解)
1.地心说:(1)代表人物:托勒密;(2)主要
观点:地球是静止不动的,地球是宇宙的中心。
2.日心说:(1)代表人物:哥白尼;(2)主要
观点:太阳静止不动,地球和其他行星都绕太阳运
动。
二、开普勒定律
1.开普勒第一定律(轨道定律):所有行星围绕
太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一
个焦点上。
2.开普勒第二定律(面积定律):对任意一个行
星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的
面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体
的运动。3.开普勒第三定律(周期定律):所
有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的
二次方的比a3k,k值都相同,即值是由中心天
体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道
近似T2
为圆,则半长轴a即为圆的半径。我们也常用开
普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速
率的大小。(AB)、关于“地心说”和“日心说”的下列说
法中正确的是]1[牛刀小试。
.地心说的参考系是地球A.日心说的参考系是太阳B
C.地心说与日心说只是参考系不同,两者具有等同的价值D.日
心说是由开普勒提出来的
2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动
规律,后人称之为开普勒行星运动定律。关于开
(B)普勒行星运动定律,下列说法正确的是
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆,太阳处在圆心上
B.对任何一颗行星来说,离太阳越近,运行速率就越大
C.在牛顿发现万有引力定律后,开普勒才发现了行星的运行规
律
D.开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发
现行星运动规律等全部工作
§6-2万有引力定律
、万有引力定律
■+
1.月一地检验:①检验人:牛顿;②结果:地面
物体所受地球的引力,与月球所受地球的引力都
是同一种力。
2.内容:自然界的任何物体都相互吸引,引力方向
在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量
m和m乘积成正比,跟它们之间的距离的平方成
反比。21
22gkNmmm表达式:3.引力常量G)./F6.6710,
2111Gr2适用于相距很远,可以看做质点
的两物体间的相互作用,质量分布均匀的球体使
用条件:4.也可用此公式计算,其中r指球心间
的距离。5.四大性质:①普遍性:任何客观存
在的有质量的物体之间都存在万有引力。②相互
性:两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用
力,满足牛顿第三定律。③宏观性:一般万有引
力很小,只有在质量巨大的星球间或天体与天体附
近的物体间,其存在才有意义。④特殊性:两物
体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者
间的距离,而与它们所处环境以及周围是否有其
他物体无关。
22/kgNm是引力常量,由卡文迪许通过扭秤装貉
测出,单位是G6.对G的理解:①。
②G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距
1m时的相互吸引力大小。
③G的测定证实了万有引力的存在,从而使万有
引力能够进行定量计算,同时标志着力学实验精
密程度的提高,开创了测量弱相互作用力的新时代。
[牛刀小试]1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有
(B)
.不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力A
mmF=G.可看作质点的两物体间的引力可用B计算21
2r
mm21F=G.由c2r减小时,它们之间的引力增大,紧靠在一起
时,万有引力非常大知,两物体间距离r
22/kgm10-.引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的,
且等于11N〃X6.67D
(ACD)2、下列说法中正确的是
.总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒A
.总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略B
.总结出万有引力定律的物理学家是牛顿C
.第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许D
7.万有引力与重力的关系:“黄金代换”公式推
导:⑴GMmogR当时,就会有GFGMmg
2R2
(2)注意:①重力是由于地球的吸引而使物体受到
的力,但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下,但并不一定指向地心,物
体在赤道上重力最小,在两极时重力最大。④随着
纬度的增加,物体的重力减小,物体在赤道上重力
最小,在两极时重力最大。⑤物体随地球自转所需
的向心力一般很小,物体的重力随纬度的变化很小,
因此在一般粗略的计算中,可以认为物体所受的重
力等于物体所受地球的吸引力,即可得到“黄金
代换”公式。.
[牛刀小试]设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4
R(R为地球半径)处,由于地球的作用而产生的重力加
°速度为g,贝!Jg:g为(D)。
A.16:1B.4:1C.1:4D.1:16
8.万有引力定律与天体运动:
(1)运动性质:通常把天体的运动近似看成是匀速
圆周运动。(2)从力和运动的关系角度分析天体
运动:天体做匀速圆周运动运动,其速度方向时
刻改变,其所需的向
心力由万有引力提供,即F=Fo如图所示,由
牛顿第二定律得:万需
Fma,F,从运动的角度分析向心加速度:GMm
万需2L
2
22L.L(2f)av2L2
n
TL
222V).(2GMm2)重要关系式:(3LLLf
22mmmmLTL
[牛刀小试]1、两颗球形行星A和B各有一颗卫星a和b,
卫星的圆形轨道接近各自行星的表面,如果两颗行
qo=q,则两颗卫星的周期之比等于星的质量之比,半径之比
q
P
2、地球绕太阳公转的角速度为3,轨道半径为R,月球绕地球
公转的角速度为3,轨道半径为R,那么太2班阳的质量是地
球质量的多少倍?
解析:地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力,月球与
地球的万有引力提供月球运动的向心力,最后
32R110算得结果为
R22MlMM之比与地球质量pRR之比;火星的
半径=3、假设火星和地球都是球体,火星的质量与地球的半径21
21M2gRr之比=,那么火星表面的引力加速度等
于与地球表面处的重力加速度(A)g2
1
gR22Pp.A.C2PqpqD.B.
2qq
9.计算大考点:“填补法”计算均匀球体间的万有
引力:
谈一谈:万有引力定律适用于两质点间的引力作
用,对于形状不规则的物体应给予填补,变成一个
形状规则、便于确定质点位置的物体,再用万有引
力定律进行求解。
模型:如右图所示,在一个半径为R,质量为M
的均匀球体中,紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2
的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上、
与球心相距d的质点m的引力是多大?
思路分析:把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩
余部分对质点的引力之和,即可求解。
F可视作F=F+F:根据“思路分析”所述,引力
21133
,MM'R/2的小球质量为,因半径为已知
FM44RRGMm
2d823234R33
228dR2R7d
MmM'mMmGMm,GGFF,FGMmGF
所以21222222d2d8dRdR8dRR8d
2222
228dR2R7d
则挖去小球后的剩余部分对球外质点。GMmm
的引力为228dRd
2
[能力提升]某小报登载:X年X月X日,X国发
射了一颗质量为
100kg,周期为的1h的人造环月球卫星。一位同
学记不住引力常量G
1
,月4数值且手边没有可查找的材料,但他记
得月球半径约为地球的1,经过推理,
他认定该报道是则假新球表
面重力加速度约为地球的6
3闻,试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4X
10km)
23兀RMm,证明:因为G==以TmR,所2RTGM
1
R月34地GMMmRR兀=n=T=,故mgG
=得g22
min又1冗=202GMR2R月
g6地XRX6他6.431033兀2=°F.72hs
=6,2X10s又2=g”2X9.82
1.72h,故该报道是则假新闻。环月卫星最小周期
约为
§6-3由“万有引力定律”引出的四大考
点
一、解题思路一一“金三角”关系:
(1)万有引力与向心力的联系:万有引力提供天
体做匀速圆周运动的向心力,即
22V2GMm22rma是本章解题的主线索。
rm(2n)mrmm2r
rT
GMm物体所受的重力近似等于它受到的万有引
力,)万有引力与重力的联系:(mg,g即
为r22
对应轨道处的重力加速度,这是本章解题的副线索。
-*0»f——•).g
---------■—■"J'X
V2222mgmrm
m(3)重力与向心力的联系:r,g为对应轨
道处的重力加速度,适
rT
的特殊情况。用于已知g
二、天体质量的估算
模型一:环绕型:谈一谈:对于有卫星的天体,
可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动,中心天体
对卫星的万有
引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力,利用引力
常量G和环形卫星的V、,、T、r中任意两个
量进行估算(只能估计中心天体的质量,不能估算
环绕卫星的质量)。Mm232T:G
①已知r和r4.M2rm
22GTr
T
Mm22Vm「rv.M②已知v:G和Grr22
2Mm322Tm
VV.mr
和v:G
TrM③已知
r2GT
模型二:表面型:
谈一谈:对于没有卫星的天体(或有卫星,但不
知道卫星运行的相关物理量),可忽略天体自转
的影响,根据万有引力等于重力进行粗略估算。
2MmGgR.Mmg
2RG
变形:如果物体不在天体表面,但知道物体所在
处的g,也可以利用上面的方法求出天体的质量:
处理:不考虑天体自转的影响,天体附近物体的重
力等于物体受的万有引力,
2h)
GBP:.mg'Mg'(RMm
2h)G(R
[触类旁通]1、(2013〃福建理综,13)设太阳
质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可
视
G,则描述该行星运动的上述物理量满足作半径为
r的圆。已知万有引力常量为(A)
23223rrnr冗冗422=GM.GM=
2=GM.=.GMA.BCDTTTI
2GMm4n本题考查了万有引力在天体
中的应用。是知识的简单应用。由解析:22mr
=可得Tr
32JT42T,=A正确。GM
2、(2013〃全国大纲卷,18)“嫦娥一号”是
我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为
『2200km的圆形轨道上运行,运行周期为127
分钟。已知引力常量G=6.67X10N〃m/kg,月
球
3o利用以上数据估算月球的质量约为半径约为
1.74X10km)(D
22101319kg8.1A.XXkg105.4.10X7.4kgB
10.kgCX.D7.410
-a■―GJB1..IatN
解析:本题考查万有引力定律在天体中的应用O
解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心
223Mm冗44n
2=mr得M=,又r=R+h,代入数值得
月GTrrG力是由月球对卫星的万有引力提供。
由22月22正确。,选项107.4X球质量M=
kgD
5km10,公转周期个卫星中最内侧的一个卫星,
其轨道为圆形,轨道半径为1.59X3、土星的9
26kg10o,则土星的质量为5.21X为18h46
min
4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处,沿水平
方向抛出一个小球。经过时间t,小球落到星
Lo若抛出时的初速度增大到2倍,则抛出点与落
地球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为
点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上,
该星球的半径为R,万有引力常数为Go3L
求该星球的质量Mo
解析:在该星球表面平抛物体的运动规律与地球
表面相同,根据已知条件可以求出该星球表面
的加速度;需要注意的是抛出点与落地点之间的距
离为小球所做平抛运动的位移的大小,而非
223LRO水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力,求出
该星球的质量23Gt
5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的
加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的
周期T,就能根据万有引力定律“称量”月球的
质量了。已知引力常数G,用M表示月球的质
量。
关于月球质量,下列说法正确的是(A)
223223GRgRRTRn4M=.M=DB.M=C.A.M=224
五GGTGg解析:月球绕地球运转的周期T与月
球的质量无关。
三、天体密度的计算
g求天体密度:模型一:利用天体表面的
4Mm3g.RGmg,M32R4GR3变形
物体不在天体表面:
32h)R.3g'(RGMmmg',M4
324GR(Rh)3
模型二:利用天体的卫星求天体的密度:
r4323223r4rGTM4Mm3.Gm,
M43R4GTrTR322233RR
33
四、求星球表面的重力加速度:
在忽略星球自转的情况下,物体在星球表面的重力
大小等于物体与星球间的万有引力大小,即:
MmGM星星g.Gmg星星22RR星星[牛刀
小试](2012新课标全国卷,21)假设地球是
一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井
深度为do已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的
引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大
小之比为(A)
22ddRRd
A.1—B.1+C.D.RRRdR
解析:设地球的质量为M,地球的密度为P,
根据万有引力定律可知,
GM43地球表面的重力加速度g=,地球的质量
可表本为pJi=2
RM3R
因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,所
以矿井下以(R—d)为半径的地球的质量为
R-dGM,433)g'=,所以矿井(M'
=兀(R-d)P,解得M,=dR3R
一,则矿井底部处的重力加速度M2
g'd
=1一,选项A正确,选项B、C、DR底部处
的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比g
错误。
五、双星问题:
特点:“四个相等”:两星球向心力相等、角速度相
等、周期相等、距离等于轨道半径之和。
17111.L,r,vr符号表示:L,rmFrmvmi2122
mmmmmm2211
处理方法:双星间的万有引力提供了它们做圆周
运动的向心力,即:
mm2i22,由止匕得出:23=m3=212iGLmrr
,即某恒星的运动半径与其质量成反比。mrmr=
(1)2121234nL2n
(2)由于3=,r+r=L,所以两恒星的质量之
和Tm+m=oGT21212
[牛刀小试]1、(2010年全国卷I)如图所示,
质量分别为m和M的两个星球A和B在引
力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和
B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心
和O三点始终共线,A和B分别在O的两
侧.引力常量为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期;(2)在地月系
统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地
球看成上述星球A和B,月球绕其T.但在
近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周
运动的,这12422
T两者的平方之比.(结果保留两位小数)1
解析:(1)A和B绕O做匀速圆周运动,它们
之间的万有引力提供向心力,则A和B的向心
力相等,且A和B与O始终共线,说明A
和B有相同的角速度和周期.因此有mM
r=M«R,r+R=L联立解得R=L,r=22LM+mMm
+
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得:
32L2GMmM,化简得T2.L
2Mm
LG(Mm)mT
3L(2)将地月看成双星,由(1)得T2
m)G(M
22m
将月球看做绕地心做圆周运动,根据牛顿第二定律
和万有引力定律得LGMm
2LT3L
T化简得2
GM
所以两种周期的平方比值为
2422Tl07.3510X+M+5.98Xm22==
1.01,105.98MXT=241
2、(2013〃山东理综,20)双星系统由两颗恒
星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其
连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究
发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、
距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两
星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,
k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆
周运动的周期为(B)两星总质量变为原来的
332nnnnTA.B.D.C.TTT2
kkkk
(周期)相等,要注意双星的距离不解析:本题考查
双星问题,解题的关键是要掌握双星的角速度
GMmGMm22
=mrw=Mr3;;是轨道半径,该题考查了理解
能力和综合分析问题的能力。由212rr2
322m+GkMGM+mnn4n42
nr得:+r=正确。=,21=2同理有3=r,解得2T2T12
k
rr=BnrrrTT1
§6-4宇宙速度&卫星
一、涉及航空航天的“三大速度”:
(一)宇宙速度:
1.第一宇宙速度:人造地球卫星在地面附近环
绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一
宇
宙速度,也叫地面附近的环绕速度,v=7.9km/so
它是近地卫星的运行速度,也是人造卫星最小发।
射速度。(待在地球旁边的速度)
2.第二宇宙速度:使物体挣脱地球引力的束缚,
成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去
的最小速度,v=11.2km/so(离弃地球,投入太
阳怀抱的速度)23.第三宇宙速度:使物体挣脱
太阳引力的束缚,飞到太阳以外的宇宙空间去的
最小速度,
v=16.7km/so(离弃太阳,投入更大宇宙空间怀
抱的速度)2(二)发射速度:
1.定义:卫星在地面附近离开发射装貉的初速度。
2.取值范围及运行状态:
①vv7.9km/s,人造卫星只能“贴着”地面近地运
行。1发.
vv②7.9km/s,可以使卫星在距地面较高的轨道上
运行。1发vv11.2m/s,7.9km/vv即,③一般
情况下人造地球卫星发射速度。21
s发发
(三)运行速度:
1.定义:卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动
的线速度。mvGMmGlVL该速度指的
是
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