高中物理必修二知识点总结(人教版)

第五章平抛运动

§5-1曲线运动&运动的合成与分解

、曲线运动

1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。2.条件:

运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同

一直线上。

3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这

一点的曲线的切线方向。②运动类型：变速运动（速

度方向不断变化）。③FW0,一定有加速度a。

合④F方向一定指向曲线凹侧。合

⑤F可以分解成水平和竖直的两个力。合

4.运动描述一一蜡块运动

涉及的公式：

Wy22

VVVyx

VvyxPtan

V蜡块的位置x

0

二、运动的合成与分解

1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等

效性、矢量性。

2.互成角度的两个分运动的合运动的判断:①两个

匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。②速

度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速

直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀

变速曲线运动，a为分运动的加速度。合

③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍

然是匀加速直线运动。

④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动

可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动

的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速

度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否

则即为曲线运动。

三、有关“曲线运动”的两大题型（一）

小船过河问题最短：t模型一：过河时间模型二:

直接位移X最短：模型三：间接位移X最短：

V

vvv船船dvdd船

090A水ov

水vv水，vdv当＞v时，水L船水xddmmtminv,

minxcossinv船船,dvvt,船d船vtancossint船v

sinvv水船水vcos水v（vcos）-vsL船船水minsinv船

［触类旁通］1.（2011年上海卷）如图5—4

所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可

伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进.此过程中绳

始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为a时，船的

速率为（C）o

VVB.D.C.VCOSA.Vsin

sincos

解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的

速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在

绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度v在

绳子方向上的分量等于船速，故V=VCOSa,

C正确.船

2.（2011年江苏卷）如图5—5所示，甲、乙

两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点

和B

点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别

与水流方向平行和垂直，且OA=OB.若水流速度

不变，两人在静水中游速相等，则他们

（C）乙的大小关系为甲、t所用时间t

t=t.t<tB.A乙甲甲乙.无法确定Dt>t

C.乙甲II=t=,水速为v,OAOB=I,则

解析：设游速为v；+o甲

v+vv—V00

方向，所示，合速度必须沿OBOB运动，乙的

速度矢量图如图4乙沿l2t,联立解得则・=

c>tt正确.乙，甲乙VV—220

）连带运动问题（二）绳杆问题（、实质：合运

动的识别与合运动的分解。1

、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方

向要按实际运动效果确定；2②沿绳（或杆）方向

的分速度大小相等。

模型四：如图甲，绳子一头连着物体B,一头拉小

船A,这时船的运动方向不沿绳子。

OBOviVA0AvA

V2

乙甲

处理方法：如图乙，把小船的速度V沿绳方向和

垂直于绳的方向分解为V就是拉绳的速度，VV,和

VAA112就是小船的实际速度。

［触类旁通］如图，在水平地面上做匀速直线运动

的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车

和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2,

则下列说法正确的是（C）A.物体做匀速运动，

且v=vB.物体做加速运动，且v>v1122C.物

体做加速运动，且vvvD.物体做减速运动，且

V<V1122解析：汽车向左运动，这是汽车的实际运

动，故为汽车的合运动.汽车的运动导致两个

效果：一是滑轮到汽车之间的绳变长了；二是滑

轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了.显然汽

车的运动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳

与竖直方向的夹角的运动合

由0.=vvsin成的，故应分解车的速度，如图，

沿绳方向上有速度J逐渐增大，故被吊物体做加速

V逐渐增大，所以于V是恒量，而。21正确.，V

＜运动，且VC12

§5-2平抛运动&类平抛运动

、抛体运动

9

小

1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可

以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动

即为抛体运动。2.条件：①物体具有初速度；

②运动过程中只受Go

二、平抛运动

1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的,

这个运动就叫做平抛运动。2.条件：①物体具

有水平方向的加速度；②运动过程中只受。G

3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合

运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖

直方向的自由落体运动。

4.规律:1gt12222x.(,tan1)位移：(gt)t)vt,ygt,s

(voo2v22o

22vvv(gt)vtanvgtgt,(2)速度：，，ayxoo

vo

(3)推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角。的正切值

等于位移偏向角@的1gt2gtgt2tan正切值的两倍。

证明如下：.tan6o=tan=2tantan。,9

vt2vvooo②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对

应的水平位移的交点为此水平位移2y.tan如果物体落在

斜面上，则位移偏向角与斜面倾斜角相等。的中点，即

X

［牛刀小试］如图为一物体做平抛运动的x-y

图象，物体从O点抛出，X、

y分别表示其水平位移和竖直位移.在物体运动过

程中的某一点P(a,b),

x轴的A点(A点未画出)，则OA的长度为

(B)其速度的反向延长线交于

无法确定A.aB.0.5aC.0.3aD.

解析：作出图本（如图5—9所小），设v与竖

直方向的夹角为a,根据几何

Vo关系得tana=①，由平抛运动得水平方向有a

=vt②，竖直方向有vyoSAEPAa=,b==b

中，，在a1③，由①②③式得=aytanRttanv

tbAE

222a

所以OA=.2

5.应用结论一一影响做平抛运动的物体的飞行时

间、射程及落地速度的因素

2h、飞行时间：at无关。v有关，与初速度h3

与物体下落高度。g2h,h共同决

定。b、水平射程：vtxv和voooig

式可求用：匕.12缶nr软使埔氏不触网也不博界.慰场却速度匕盅悯足，XE/MVV.YJW乐s

31瓷击球点高度为A时.球蛤好必网又国■,加图所示:

-'*u

省设山t排球飞出的初速度为、•,时触网点&-3«・力一，-1>11・％—2代木。>卜

中埴度公式可M,v-a^iva|、、、

MAR界嘉O-12皿R-gnACl）中球度公式可将，▼=12再<»9G-M

<!>、S冏式熊立可得△-*IM即有击弹i«度小于&13aN・无论球破水平击出的连及苗大.球不是做得.

■是出界.

222共同决定。vv和，v由c、落地速度：vv2gh

VVOyOyo

三、平抛运动及类平抛运动常见问题

模型一：斜面问题：处理方法：1.沿水平方向的匀速运

动和竖直方向的自由落体运动；2.沿斜

面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。

l2gtxvt,y根据A运动到B的时间：2vtanto考点

一：物体从o

g2

考点二：B点的速度V及其与V：a的夹角OB2221

4tanvv(gt)v,arctan(2tan)oo

22Vtanxos之间的距离s：考点三：A、Bg

COSCOS

［触类旁通］(2010年全国卷I)一水平抛出的

小球落到一倾角为9的斜面上时，其速度方向与斜

面垂直，运动轨迹如图5—10中虚线所示.小

球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距

离之比为(D)

11A.tanB.2tanc.D.

tan2tan

5所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面

倾角0解析：如图，有

12vgty1gt20,D正确.0===，则下落高度与水平射

程之比为tan0=vgttxvoo.

模型二：临界问题:

思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀

速直线运动和竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环

境”限制下的平抛运动，

应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。

例：如图1所示，排球场总长为18m,设球网高度为2m,

运动员站在离网3m

(不计空气阻力)的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水

平击出。

(1)设击球点在3m线正上方高度为2.5m处，试问击球的

速度在什么范围内才能使球即不触网也不越界？

(2)若击球点在3m线正上方的高度小余某个值，那么无论

击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？

模型三：类平抛运动：I2,mgsinatsvtb2bma

根据考点一：沿初速度方向的水平位移：svgsin.2,

0

02gsin,v,avta'ta'1gsin,bmg

sin考点二：入射的初速度：oo

2b2m

22b.,'taatmgsinlgsin,b的运动时间：考点三：P

到Q

gsinm2

［综合应用］（2011年海南卷）如图所示，水平地

面上有一个坑，其

竖直截面为半圆，ab为沿水平方向的直径.若在

点以初速度va0

沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c

点.已知c点与水平地面的距离为坑半径的一半,

求坑的半径。解：设坑的半径为r,由于小球

做平抛运动，则

x=vt@012y=0.5r=gt2②

过c点作cd±ab于d点，则有RtAacd^Rt

△cbd

2=adcd〃db可得

2X)—=x(2r即为()③r

2

2=r47—43xr,联立①②③式解得又因为v0.>g

§5-3圆周运动&向心力&生活

中常见圆周运动

一、匀速圆周运动

1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运

动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀

速圆周运动。

2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小

不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变

速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速

圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方

向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动

的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动

具有周期性。

3.描述圆周运动的物理量：

（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理

量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制

m/s,匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直

在变；中单位符号是

（2）角速度3是描述质点绕圆心转动快慢的物理量,

是矢量；国际单位符号是rad/s；

T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中

单位符号是s；）周期3（

fHz；)频率(4在国际单位制中单位符号是是质

点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数,

8

-=8*8k----)0Z

(5)转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单

位符号为r/s，以及r/min.

4.各运动参量之间的转换关系：2R2

nRv22n,TvR2R.变形

vTTR

5.三种常见的转动装珞及其特点：

模型二：皮带传动共轴传动模型一：模型三：齿

轮传动

AArAirOB

Or

B

0RrRB2

vRrTBJ„Trvv,

FIRTBA1AA1BB,v

TnvvRTrrrBB2A2BAAAABBA

［触类旁通］1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线

垂直于水平面，圆锥筒固定，

有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平

面内做匀速圆周运动，如图所

示,A的运动半径较大，则（AC）

A.A球的角速度必小于B球的角速度

B.A球的线速度必小于B球的线速度

球的运动周期BA球的运动周期必大于.

C

球对筒壁的压力球对筒壁的压力必大于B.DA

的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的

皮带传、B小球A解析：

送。则可以知道，两个小球的线速度v相同，B错；因为R>R,

则3<3,T<T,A.C正确；又因

BABABAD错。所以A、C正确。为两小球各

方面条件均相同，所以，两小球对筒壁的压力相同,

两点的半径之比、两个大轮半径相等的皮带轮的结

构如图所示，AB2四点的角速度之比2:

1,则ABCD为2:1,CD两点的半径之比

也为

，这四点的线速度之比为为o：22：1：41：1：

2：2

二、向心加速度

1.定义:任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指

向圆心，这个加速度叫向心加速度。

注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指

向圆心。当物体做变速圆周运动时，向心加速度的

一个分加速度指向圆心。2.方向：在匀速圆周

运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。

向心加速度只改变线速度的方向而非大小。3.意

义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。

22V222(2r.n)rvra公式：4.nrT

两个函数图像：5.

aann

□

解析：(1)尸*・-峭/

J.假据牛^第三定铮可知，小球运动5JB点对瓢道的压力为3磔.

X-s24R(H_Rj

8

［触类旁通］1、如图所示的吊臂上有一个可以沿

水平方向运动的小车，AA以相同的水平速度沿B

的吊钩。在小车A与物体小车下装有吊着物体B

之间的距离以BB向上吊起。A、吊臂方向匀速运

动的同时，吊钩将物体

2规律为吊臂离地面的高度)d=H—2t(SI)(SI表

示国际单位制，式中H(AC)变化。对于地面的

人来说，则物体做BA.速度大小不变的曲线运

动B.速度大小增加的曲线运动C.加速度大

小方向均不变的曲线运动D.加速度大小方向均

变化的曲线运动沿竖直方向，上端A距、如图所

示，位于竖直平面上的圆弧轨道光滑，半径为20B,

R速度为，最后落在地面点时的Bm的小球从

A点由静止释放，到达地面高度为H,质量为

点处，不计空气阻力，求：上C

B点时的加速度为多大，对轨道的压力多大；

(1)小球刚运动到点水平距离为多少。(2)小球

落地点C与B

三、向心力

1.定义:做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向

圆心的合力，叫做向心力。2.方向：总是指向圆

心。

222V),2(2公式：3.Frmrmvmn2n

rT

4.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，

它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但是向

心力也是变力。②在受力分析时，只分析性质力,

而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向

心力。③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该

物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个

力的合力充当或提供向心力。

四、变速圆周运动的处理方法

1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方

向均变化。mv2合外力沿法线方向的分力提供向

心力：2.动力学方程:。合外力沿切线方向的分Frm

2nrFa=moo力产生切线加速度：门

离心运动：3.2r时，物体做圆周运动；当=m)

当物体实际受到的沿半径方向的合力满足(1F

=F3FvF需供需供

2ra时，物体做离心运动。=m

*/—

(2)离心运动并不是受“离心力”的作用产生的

运动，而是惯性的表现，是FvF的结果；离心需

供运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动。

五、圆周运动的典型类型

类型受力特点图示最高点的运动情况

用细绳拴2mv

一小球在绳对球只有①若F=0,则mg=,v=

gRR

拉力竖直平面v>,则FW0②若gR内转

动

2mv

①若F=0,贝ijmg=,v=gRR小球固定

2杆对球可以在轻杆的v

v>m,向下，贝Img+F=②若FR是拉力也可一端

在竖gR

2以是支持力直平面内mv

③若F向上,购mg—F=或mg—F=0,R

转动

则OWvvgR

管对球的弹2可以向力F小球在竖mvNO

OON,直细管内v<v；若F=0判断，若v=v,依据mg=R

上也可以向转动NNO向下，向上；若v>vFF下

A,则v=①如果刚好能通过球壳的最高点A0,

F=mg在最高点时N球壳外的的方F弹力②

如果到达某点后离开球壳面，该点处小球N小球

受到壳面的弹力F=0,之后改做斜抛运动，向

向上N若在最高点离开则为平抛运动

六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大

题型分析

（一）解题步骤：①明确研究对象；②定圆心找

半径；③对研究对象进行受力分析；④对外力进

行正交分解；⑤列方程：将与和物体在同一圆周

运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于

向心力；⑥解方程并对结果进行必要的讨论。

（二）典型模型：

I、圆周运动中的动力学问题

谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无

非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者

由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路

就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和

运动学公式列方程，求解并讨论。火车转弯问题：

模型一：h①a、涉及公式：mgsinmgmgtanFF

合NL

2RghovmF②，由①②得：v。合o.

RL

v22模型二：汽车过拱桥问题：ammg

F、涉及公式：vlTI,,所以当mgmgFNNRR

v越大越明显，因此汽车过拱桥时不此时汽车处于

失重状态，而且

宜告诉行驶。

V2gRmgmF、分析：当b：VN

R

vgR,汽车对桥面的压力为（1）0,汽车出于完

全失重状态；

gR0vFOmg，汽车对桥面的压力为（2）。

N

gRv,汽车将脱离桥面，出现飞车现象。（3）

2Vmgm同样，当汽车过凹形桥底端时满足c、

注意：,汽车对FNR

桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态,

若车速过大，容易出现爆胎现象，即也不宜高速行

驶。

［触类旁通］1、铁路在弯道处的内外轨道高度是

不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为0,

如图所示，弯道处的圆弧半径为R,若质量为m

的火车转弯时速度小于，则(A)

A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C.这时铁轨对火车的支持力等于

D.这时铁轨对火车的支持力大于解析：当内外

轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力

提供向心力，此时速度为

gRtan。。

2、如图所示，质量为m的物体从半径为R的半

球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为Vo

若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f，则物体与

碗的动摩擦因数以为B)o(fR、C、A

B、、DffRfR

222mvmgRmvmgmvmgR

V22vmgmam

mgm,解得，则F,由设在最低点时，碗对物

体的支持力为解析：FFRR

fRf,化简得解得Ff=口B正确。，所以2V

mgRmv21Tlgm

R

II、圆周运动的临界问题

A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题

谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆

周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的

问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的

情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。模

型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周

最IWJ点：

(注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.)

(1)临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力

或单轨的弹力刚好等于0,小球的重力提供向心力。

即：

V脸2V界VgRmgm。临界vR绳

gR时，gR.当vv绳)小球能过最高点的条件：2

(o

Rv对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压

力。

gRv(实际上球还(3)小球不能过最高点的条件：

°没到最高点时就脱离了轨道)

模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆

周最高点：

(1)临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小

球恰能到达最

IWJ点的临街速度O.vv临界V

杆(2)如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对

小球的弹力情况：

①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F,

其大小等于小N球的重力，即F=mg；N

②当时，轻杆对小球的支持力的方向0

vgR

竖直向上，大小

甲乙

随小球速度的增大而减小，其取值范围是;FOmgN

V③当gR；F=0时，N

vgR④当时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大

小随速度的增大而增大。

（3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对

小球的弹力情况：

①当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上

的支持力F,其大小等于小球的重力，即F=mg；NN

②当时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支

持力F,大小随小球速度的增gROvN

大而减小，其取值范围是；mg0FN

③当时，F=0；vgRN

④当时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心

的弹力，其大小随速度的增大而vgR

增大。

+

+

<

模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运

动：两种情况：

(1)若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体

在最高点的速度V

的限制条件是vgR.

(2)若，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平

抛运动。gRv［触类旁通］1、如图所示，质

量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系

住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径

为1m,小杯通过最高点的速度为4m/s,g

取10m/s2,求：⑴在最高点时，绳的拉力？

在最高点时水对小杯底的压力？(2)?在最高

点时最小速率是多少为使小杯经过最高点时水不

流出，(3)b

、(3)m/s=3.16m/s2答案：(1)9N,方向竖

直向下；(2)6N,方向竖直向上；点的水平轴

自由转动，现如图所示，细杆的一端与一小球相连,

可绕过O。分别表示小球轨道的最低点和ba、

给小球一初速度，使其做圆周运动，图中(AB

最高点，则杆对球的作用力可能是)处为推力

b.a处为拉力，A.a处为拉力，b处为拉力

Ba处为推力bbC.a处为推力，处为拉

力D.a处为推力，Q

径是一半5m,MPQ水平，长为3、如图所示，

LMPQ是光滑轨道，LM的m=1kgR=1.6m的半

圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质

量。时立即停止用力，欲使L点由静止开始运动,

当达到M从物体AAP

2）F大小为多少？（取g=10m/s好能通过Q

点，则力刚A

解析：物体A经过Q时，其受力情况如图所示：

FL2Mvm由牛顿第二定律得：mgF

NQRFN

mgP,4m/s=0物体A刚好过A时有F；解得

vgRNo全过程，由动能定理得：Q对物体从L

到

2oF=8Nmv,解得FLM2mgR1M

2

物体在水平面内做圆周运动的临界问题B.

谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速

度⑴变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径

变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物

体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向

如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力

等)0模型六：转盘问题处理方法：先对A进行受力

分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当N然，如果

说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以发

现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该

物体的向心力，则有A2V02f222Rm(Fm

)mg,接着可以求的所需的圆周RfmRm(2n)

TRmg

运动参数等。

等效处理：0可以看作一只手或一个固定转动点，B绕着0

经长为R的轻绳或轻等效为

B进行受力分析，发现，上图的f在此图中可杆的牵引做着圆

周运动。还是先对

FF即可，根据题意求出带入公式f改为等效为绳或杆对小

球的拉力，则将拉，拉。22222V

FmRm()RFm(2n),即可求的所需参量。

RmR拉

TRB

【综合应用】

1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速

转动的轮子其边缘上有

一点A,当A通过与圆心等高的a处时，有一

质点B从圆心0处开始做自由落体运动.已知

轮子的半径为R,求：(1)轮子的角速度3满足

什么条件时，点A才能与质点B相遇？

(2)轮子的角速度3,满足什么条件时，点A与质

点B的速度才有可能在某时刻相同？解析：(1)

点A只能与质点B在d处相遇，即轮子的最

低处，则点A从a处转到d处所转

3

过的角度应为9=2nn+冗，其中n为自然

数.2

R12,则轮子的角速度应满足条件=处所用的时

间为t从0点落到d知，质点Bgt由h=

g2

3g。

兀)=(2n+为自然数.n,其中3=Rt

22

必然运A的速度相同时，点A的速度方向必

然向下，因此速度相同时，点(2)点A与质点B

n,其中兀+冗运动到c处时所转过的角度应

为。'=2rle动到了处，则点A为自然数.

H

1)'(2n转过的时间为f

RA的速度为v=3,此时质点B的速度

为v=gt',又因为轮子做匀速转动，所以点

AB（2n1）g,其中n为自然数.v由v=得，

轮子的角速度应满足条件’BAR

2、（2009年高考浙江理综）某校物理兴趣小组决

定举行遥控赛车比赛.比赛路径如下图所示，赛

车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由

B点进入半径为R

的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光

滑平直轨道上运动

到C点，并能越过壕沟.已知赛车质量m=0.1kg,

通电后以额定

功率P=1.5W工作，进入竖直轨道前受到的阻力

恒为0.3N,随后在运动中受到的阻力均可不

记.图中L=10.00m,R=0.32m,h

=1.25m,x=1.50m.问：要使赛车完成比赛，

电动机至少工2作多长时间？（取g=10m/s）

解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v,

由平抛运动的规律।

1R23m/s=gt,解得：v=xx=vt,h=”22h

v,最低点的速度为v,由牛顿第二设赛车恰好越

过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为32定律及机

械能守恒定律得

21Vl222Rmg+mg=mmvmv=23,)(22R2

Vgh解得3=54m/s=

通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前

的速度最小应该是

v=4m/smint,根据功能关系设电动机工作时

间至少为

12Pt-Ft=2.53s.,由此可得mvL=fmin2

位貉时线被拉断.设摆B、如下图所示，让摆

球从图中A位貉由静止开始下摆，正好到最低点3

，，悬点与地面的竖直高度为10N0.5kg,摆球的

质量为=线长为L1.6m,摆线的最大拉力为

H=4m

R

20求：10m/sg取不计空气阻力，

（1）摆球着地时的速度大小.（2）D到C的

距离。

解析：（1）小球刚摆到B点时，由牛顿第二定律

可知：

v2mgmF①，由①并带入数据可解的：，

4m/SVBmBl

小球离开B后，做平抛运动.1

gt2I竖直方向：H③②，落地时

竖直方向的速度：gtvy

2

22落地时的速度大小：④,由①②③④得：VVV

8m/s.vyB的距离（2）落地点D到C83.tvsm

B5

第六章万有引力与航天

§6-1开普勒定律

一、两种对立学说（了解）

1.地心说：（1）代表人物：托勒密；（2）主要

观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。

2.日心说：（1）代表人物：哥白尼；（2）主要

观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运

动。

二、开普勒定律

1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕

太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一

个焦点上。

2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行

星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的

面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体

的运动。3.开普勒第三定律（周期定律）：所

有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的

二次方的比a3k,k值都相同，即值是由中心天

体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道

近似T2

为圆，则半长轴a即为圆的半径。我们也常用开

普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速

率的大小。（AB）、关于“地心说”和“日心说”的下列说

法中正确的是］1［牛刀小试。

.地心说的参考系是地球A.日心说的参考系是太阳B

C.地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值D.日

心说是由开普勒提出来的

2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动

规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开

（B）普勒行星运动定律，下列说法正确的是

A.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上

B.对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大

C.在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规

律

D.开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发

现行星运动规律等全部工作

§6-2万有引力定律

、万有引力定律

■+

1.月一地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面

物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都

是同一种力。

2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向

在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量

m和m乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成

反比。21

22gkNmmm表达式：3.引力常量G)./F6.6710,

2111Gr2适用于相距很远，可以看做质点

的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体使

用条件：4.也可用此公式计算，其中r指球心间

的距离。5.四大性质：①普遍性：任何客观存

在的有质量的物体之间都存在万有引力。②相互

性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用

力，满足牛顿第三定律。③宏观性：一般万有引

力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附

近的物体间，其存在才有意义。④特殊性：两物

体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者

间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其

他物体无关。

22/kgNm是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装貉

测出，单位是G6.对G的理解：①。

②G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距

1m时的相互吸引力大小。

③G的测定证实了万有引力的存在，从而使万有

引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精

密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。

［牛刀小试］1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有

(B)

.不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力A

mmF=G.可看作质点的两物体间的引力可用B计算21

2r

mm21F=G.由c2r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起

时，万有引力非常大知，两物体间距离r

22/kgm10-.引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，

且等于11N〃X6.67D

(ACD)2、下列说法中正确的是

.总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒A

.总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略B

.总结出万有引力定律的物理学家是牛顿C

.第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许D

7.万有引力与重力的关系：“黄金代换”公式推

导：⑴GMmogR当时，就会有GFGMmg

2R2

（2）注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到

的力，但重力不是万有引力。

②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。

③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物

体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。④随着

纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力

最小，在两极时重力最大。⑤物体随地球自转所需

的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小,

因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重

力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金

代换”公式。.

［牛刀小试］设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4

R（R为地球半径）处，由于地球的作用而产生的重力加

°速度为g,贝！Jg：g为（D）。

A.16：1B.4：1C.1：4D.1:16

8.万有引力定律与天体运动：

（1）运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速

圆周运动。（2）从力和运动的关系角度分析天体

运动：天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时

刻改变，其所需的向

心力由万有引力提供，即F=Fo如图所示，由

牛顿第二定律得：万需

Fma,F,从运动的角度分析向心加速度：GMm

万需2L

2

22L.L(2f)av2L2

n

TL

222V).(2GMm2)重要关系式：(3LLLf

22mmmmLTL

［牛刀小试］1、两颗球形行星A和B各有一颗卫星a和b,

卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行

qo=q,则两颗卫星的周期之比等于星的质量之比，半径之比

q

P

2、地球绕太阳公转的角速度为3,轨道半径为R,月球绕地球

公转的角速度为3,轨道半径为R,那么太2班阳的质量是地

球质量的多少倍？

解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与

地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后

32R110算得结果为

R22MlMM之比与地球质量pRR之比；火星的

半径=3、假设火星和地球都是球体，火星的质量与地球的半径21

21M2gRr之比=,那么火星表面的引力加速度等

于与地球表面处的重力加速度(A)g2

1

gR22Pp.A.C2PqpqD.B.

2qq

9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有

引力：

谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作

用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个

形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引

力定律进行求解。

模型：如右图所示，在一个半径为R,质量为M

的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2

的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、

与球心相距d的质点m的引力是多大？

思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩

余部分对质点的引力之和，即可求解。

F可视作F=F+F：根据“思路分析”所述，引力

21133

,MM'R/2的小球质量为，因半径为已知

FM44RRGMm

2d823234R33

228dR2R7d

MmM'mMmGMm,GGFF,FGMmGF

所以21222222d2d8dRdR8dRR8d

2222

228dR2R7d

则挖去小球后的剩余部分对球外质点。GMmm

的引力为228dRd

2

［能力提升］某小报登载：X年X月X日，X国发

射了一颗质量为

100kg,周期为的1h的人造环月球卫星。一位同

学记不住引力常量G

1

,月4数值且手边没有可查找的材料，但他记

得月球半径约为地球的1，经过推理,

他认定该报道是则假新球表

面重力加速度约为地球的6

3闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4X

10km)

23兀RMm,证明：因为G==以TmR,所2RTGM

1

R月34地GMMmRR兀=n=T=，故mgG

=得g22

min又1冗=202GMR2R月

g6地XRX6他6.431033兀2=°F.72hs

=6,2X10s又2=g”2X9.82

1.72h,故该报道是则假新闻。环月卫星最小周期

约为

§6-3由“万有引力定律”引出的四大考

点

一、解题思路一一“金三角”关系：

(1)万有引力与向心力的联系：万有引力提供天

体做匀速圆周运动的向心力，即

22V2GMm22rma是本章解题的主线索。

rm(2n)mrmm2r

rT

GMm物体所受的重力近似等于它受到的万有引

力，)万有引力与重力的联系：(mg,g即

为r22

对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。

-*0»f——•).g

---------■—■"J'X

V2222mgmrm

m(3)重力与向心力的联系：r,g为对应轨

道处的重力加速度，适

rT

的特殊情况。用于已知g

二、天体质量的估算

模型一：环绕型：谈一谈：对于有卫星的天体,

可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体

对卫星的万有

引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力

常量G和环形卫星的V、,、T、r中任意两个

量进行估算(只能估计中心天体的质量，不能估算

环绕卫星的质量)。Mm232T:G

①已知r和r4.M2rm

22GTr

T

Mm22Vm「rv.M②已知v：G和Grr22

2Mm322Tm

VV.mr

和v:G

TrM③已知

r2GT

模型二：表面型：

谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不

知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转

的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。

2MmGgR.Mmg

2RG

变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在

处的g,也可以利用上面的方法求出天体的质量:

处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重

力等于物体受的万有引力，

2h）

GBP：.mg'Mg'（RMm

2h）G（R

［触类旁通］1、（2013〃福建理综，13）设太阳

质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可

视

G,则描述该行星运动的上述物理量满足作半径为

r的圆。已知万有引力常量为（A）

23223rrnr冗冗422=GM.GM=

2=GM.=.GMA.BCDTTTI

2GMm4n本题考查了万有引力在天体

中的应用。是知识的简单应用。由解析：22mr

=可得Tr

32JT42T,=A正确。GM

2、(2013〃全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是

我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为

『2200km的圆形轨道上运行，运行周期为127

分钟。已知引力常量G=6.67X10N〃m/kg,月

球

3o利用以上数据估算月球的质量约为半径约为

1.74X10km)(D

22101319kg8.1A.XXkg105.4.10X7.4kgB

10.kgCX.D7.410

-a■―GJB1..IatN

解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用O

解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心

223Mm冗44n

2=mr得M=,又r=R+h,代入数值得

月GTrrG力是由月球对卫星的万有引力提供。

由22月22正确。，选项107.4X球质量M=

kgD

5km10,公转周期个卫星中最内侧的一个卫星，

其轨道为圆形，轨道半径为1.59X3、土星的9

26kg10o,则土星的质量为5.21X为18h46

min

4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平

方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星

Lo若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落

地球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为

点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上,

该星球的半径为R,万有引力常数为Go3L

求该星球的质量Mo

解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球

表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面

的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距

离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非

223LRO水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出

该星球的质量23Gt

5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的

加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的

周期T,就能根据万有引力定律“称量”月球的

质量了。已知引力常数G,用M表示月球的质

量。

关于月球质量，下列说法正确的是(A)

223223GRgRRTRn4M=.M=DB.M=C.A.M=224

五GGTGg解析：月球绕地球运转的周期T与月

球的质量无关。

三、天体密度的计算

g求天体密度：模型一：利用天体表面的

4Mm3g.RGmg,M32R4GR3变形

物体不在天体表面：

32h)R.3g'(RGMmmg',M4

324GR(Rh)3

模型二：利用天体的卫星求天体的密度：

r4323223r4rGTM4Mm3.Gm,

M43R4GTrTR322233RR

33

四、求星球表面的重力加速度：

在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力

大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：

MmGM星星g.Gmg星星22RR星星［牛刀

小试］（2012新课标全国卷，21）假设地球是

一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井

深度为do已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的

引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大

小之比为（A）

22ddRRd

A.1—B.1+C.D.RRRdR

解析：设地球的质量为M,地球的密度为P,

根据万有引力定律可知，

GM43地球表面的重力加速度g=,地球的质量

可表本为pJi=2

RM3R

因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所

以矿井下以(R—d)为半径的地球的质量为

R-dGM，433)g'=,所以矿井(M'

=兀(R-d)P,解得M，=dR3R

一,则矿井底部处的重力加速度M2

g'd

=1一,选项A正确，选项B、C、DR底部处

的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比g

错误。

五、双星问题：

特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相

等、周期相等、距离等于轨道半径之和。

17111.L,r,vr符号表示：L,rmFrmvmi2122

mmmmmm2211

处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周

运动的向心力,即：

mm2i22,由止匕得出：23=m3=212iGLmrr

，即某恒星的运动半径与其质量成反比。mrmr=

（1）2121234nL2n

（2）由于3=,r+r=L,所以两恒星的质量之

和Tm+m=oGT21212

［牛刀小试］1、（2010年全国卷I）如图所示,

质量分别为m和M的两个星球A和B在引

力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和

B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心

和O三点始终共线，A和B分别在O的两

侧.引力常量为G.

（1）求两星球做圆周运动的周期；（2）在地月系

统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地

球看成上述星球A和B,月球绕其T.但在

近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周

运动的，这12422

T两者的平方之比.（结果保留两位小数）1

解析：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们

之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心

力相等，且A和B与O始终共线，说明A

和B有相同的角速度和周期.因此有mM

r=M«R,r+R=L联立解得R=L,r=22LM+mMm

+

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

32L2GMmM,化简得T2.L

2Mm

LG(Mm)mT

3L(2)将地月看成双星，由(1)得T2

m)G(M

22m

将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律

和万有引力定律得LGMm

2LT3L

T化简得2

GM

所以两种周期的平方比值为

2422Tl07.3510X+M+5.98Xm22==

1.01,105.98MXT=241

2、(2013〃山东理综，20)双星系统由两颗恒

星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其

连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究

发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、

距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两

星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后，

k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆

周运动的周期为（B）两星总质量变为原来的

332nnnnTA.B.D.C.TTT2

kkkk

（周期）相等，要注意双星的距离不解析：本题考查

双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度

GMmGMm22

=mrw=Mr3；；是轨道半径，该题考查了理解

能力和综合分析问题的能力。由212rr2

322m+GkMGM+mnn4n42

nr得：+r=正确。=,21=2同理有3=r，解得2T2T12

k

rr=BnrrrTT1

§6-4宇宙速度&卫星

一、涉及航空航天的“三大速度”：

（一）宇宙速度：

1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环

绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一

宇

宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v=7.9km/so

它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发।

射速度。（待在地球旁边的速度）

2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，

成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去

的最小速度，v=11.2km/so（离弃地球，投入太

阳怀抱的速度）23.第三宇宙速度：使物体挣脱

太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的

最小速度，

v=16.7km/so（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀

抱的速度）2（二）发射速度：

1.定义：卫星在地面附近离开发射装貉的初速度。

2.取值范围及运行状态：

①vv7.9km/s,人造卫星只能“贴着”地面近地运

行。1发.

vv②7.9km/s,可以使卫星在距地面较高的轨道上

运行。1发vv11.2m/s,7.9km/vv即，③一般

情况下人造地球卫星发射速度。21

s发发

（三）运行速度：

1.定义:卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动

的线速度。mvGMmGlVL该速度指的

是