高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 16 其他竞赛综合 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题.强基计划真题考前适应性训练】

专题16其他竞赛综合真题专项训练

（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2018•全国•高三竞赛）已知函数/（x）的定义域为（a⑼（"3，函数

网x）=〃2x_l）_/（l_2r）的定义域为则。、6应满足

A.0<a<hB.a<O<h

C.a<h<0D.a<—<b

2

2.（2020・北京•高三校考强基计划）已知实数a,b满足/+/+次曲=［,设。+方的所有

可能取值构成的集合为M,则（）

A.M为单元素集B.M为有限集，但不是单元素集

C.M为无限集，且有下界D.M为无限集，且无下界

3.（2019•全国•高三竞赛）在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、

1个体的中心点，这27个点中，共球面的8点组的个数是.

A.4462B.4584C.4590D.4602

4.（2018•全国•高三竞赛）已知区域1+^41与［才+［才=1的面积分别为5、52（其

中，［x］表示不大于x的最大整数），则

A.$>S2B.S,=S2

C.S,<S2D.不能比较E与邑的大小

5.（2019•全国•高三竞赛）已知x为锐角.则sin\+cos3x=也是x=f的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

6.（2019•全国•高三竞赛）计算:可总出卜——•

7.（2018・湖南•高三竞赛）已知n为正整数，若〃：+3〃-10是一个既约分数,那么这个

n+6〃-16

分数的值等于.

8.（2018•湖南•高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，

第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小

三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设A,是第n次挖去的小三角形面积之和(如4是第1次挖去的中间小三角形面积，A

是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值

为____________________.

9.(2019•全国•高三竞赛)把函数f(x)=篝^的系数按其自然位置排成两行两列，记

'ab、

为二阶矩阵A=,.其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记

cl

/,、、af(x\+b(a2+bc]x+(ab+bd]

-----------—《的系数所组成的二阶矩阵

cf[x}+d(ac-vcd^x+\bc+d2^

cr+abab+bdy|+hcab-\-bd\…山.、，

,,为A的平方，即A?=AXA=.观察二阶矩阵乘法

yac+cabc+ap~Jyac+cdbc+aJ

的规律，写出A3=A2XA=『"%]中的元素%=_______.

[％a22)

10.(2018•全国•高三竞赛)设/(x)定义在N,上，其值域8=且对任意〃wN.,都

有/5+1)>/(〃)，及/(/(a))=3〃.则/(10)+/(11)=.

11.(2019•全国•高三竞赛)如图，设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,其中，AB=\8,

CD=6.若圆台的高为8,PQ是下底面与A8夹角为60。的直径，则异面直线PC、DQ

所成角的余弦值为.

12.(2019•全国•高三竞赛)设火为常数.若对一切x、ye(O,l),有

X*+丁-3/44+4-工，则实数k的取值范围是—.

xyxy

13.（2021•全国•高三竞赛）若f（x）=1-2J2019炉-Y*+/-2J2020。+2x--2019,

则/（V2019+V2020）的值为.

14.（2021•全国•高三竞赛）若一个分数，（«,人均为正整数）化为小数后，小数部分

b

2

出现了连续的“2020”，例如⑭=0.020202L,就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小

的可能值为.

15.（2021•江苏•高三强基计划）使得等式炉后7=孤成立的实数。的值为

16.（2018•全国•高三竞赛）设a,AyxR.且满足

sinacos/?+|cosasin/J|=sina|cosa|+|sin^|cos/?.则（tany-sinaf+（cot/-cosy0）2的最小

值是.

17.（2019•全国•高三竞赛）已知函数y=x2+6ax-a与x轴有两个不同的交点

（冷。卜⑸。），并且（］+J（］+x丁…2）=8”3,则〃的值是—.

18.（2019•全国•高三竞赛）已知。、b、c是一个直角三角形三边之长，且对大于2的

自然数"，成立"+6"+。"丫=2卜产+/"+c2"）.则〃=.

19.（2019•全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2丁+2/-5盯+*+丫+%=0在平面直

角坐标系xOy中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上，且

陷=|叫=1,则卓/3=.

三、双空题

20.（2018•全国•高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误.题目：平

面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最

短边又是另一个三角形的最长边.证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得

出15条边，记为4,七,…，《5.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三

角形”，因此，15条边互不相等不妨设q＜生＜＜q5.第三步，由于“任何三点都是三

边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则％、%、的组成

的三角形的最长边的，也是与、4、牝组成的三角形的最短边，命题得证.这三步中，第

步有错误，理由是.

四、解答题

21.（2019•全国•高三竞赛）设异面直线〃、万成60。角，它们的公垂线段为EF，且但目=2,

线段A8的长为4,两端点A、B分别在。、匕上移动.求线段A8中点P的轨迹方程.

22.（2018•全国•高三竞赛）已知自然数N有20个正整数因子（包括1和本身），它们

从小到大依次记作4，d2,d3,d20,且序号为4的因数为

（4+4+4X4+4+03）.求自然数N.

23.（2018•湖南•高三竞赛）（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有

PA2+PC2=PB2+尸。2.试证明该命题.

（2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明.

（3）将矩形ABCD进一步推广到长方体ABC。-ABC。，并利用（2）得到的命题建

立并证明一个新命题.

2

24.（2023•全国•高三专题练习）证明不等式：1+'-工<疝^。>。）.

28

25.（2019•全国•高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C,其起始位置分别为

4（4,6）、4（-石-2,-行-3）,以6+6,9+3,首先,A以B为中心跳到其对称点

上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，….

依此类推.设A、B、C第n次跳到的位置分别为A,,、B“、C„,”刘乃功《2。”的三边长

分别为a、b、c,面积为S.证明：“2+〃+c2>300x172017s

26.（2018•全国•高三竞赛）设/（x）=d-3/+2d+3x+6,记A=立然三.

求心的值.

27.（2018•全国高三竞赛）给定正整数”，求上，其中，国表示不超过实数x的最

大整数.

v-2小

28.（2023•全国•高三专题练习）证明：ln（l+x）4x-二+土（T<x<l）

23

29.（2018•全国•高三竞赛）已知石,科“，当为实数，且|%性1，对工={1，2,,”}的子集

A={ii,i2,,。，定义5（4）=七+4++福.其中，规定S（0）=O,问：从n个这样的和

中至多可以选出多少个，使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?

30.（2023•全国•高三专题练习）证明不等式e

【高中数学竞赛真题.强基计划真题考前适应性训练】

专题16其他竞赛综合真题专项训练

（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2018•全国•高三竞赛）已知函数“X）的定义域为（“/）（。。），函数

网力=〃2%-1）-/（1一2力的定义域为440,则。、b应满足

A.0<a<bB.a<0<b

C.a<b<0D.a<—<h

2

【答案】B

4=0,则应有,或］Jv1：",即匕MO或aNO,但Aw0,则b>0且a<0.

2.（2020•北京•高三校考强基计划）已知实数a,6满足/+川+3灿=1,设a+6的所有

可能取值构成的集合为M，则（）

A.M为单元素集B.M为有限集，但不是单元素集

C.M为无限集，且有下界D.M为无限集，且无下界

【答案】B

【分析】利用因式分解可求可求。+6=1或a=6=T,故可得正确的选项.

【详解】题中条件即。3+川+（_1）3一3”.岳（-1）=0,

也即:（a+6+c）［（a-b）2+（b-c）2+（c-qf］=0,

其中c=-l.从而a+b=l或a=6=-l.

因此a+力的取值集合为{-2,1},选项B正确.

故选：B.

3.（2019•全国•高三竞赛）在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、

1个体的中心点，这27个点中，共球面的8点组的个数是.

A.4462B.4584C.4590D.4602

【答案】B

【详解】将立方体放入空间直角坐标系中，以体中心为原点,8个顶点分别为

(2,2,2)、(-2,-2,-2)、(2,2-2),(2,-2,-2卜其中,(诉)表示(a,瓦c)及其置换.由

z=0、z=±2这三个平面将27个点分成三层，对每个共球面的八点组，其在任一层上至多

有4个点(因每层上的9个点中无5点共圆)，至少在某一层上至少有3个点.此3点的外接

圆圆心(x,y)只可能在

(o,o)；(i,i),(-i-i),(i7i)；(o^)(o^2)；(oj),(o71)；［ol,o,-g；

网,百,(珂,(口

故八点共球面的球心只可能在

⑴(().(),())；

⑵(1,1,-1),(1,1,-1),(1,-L-1)；

(3)(0^2),(0,0,-2)；

(4)(0^1),(0,0,-1)；

(5)(OJJ)(O,1,-1),(0,-1,-1)；

(6)^0,0,-^0,0,--J;

(7)(U3),(ij73),(l,-l,3).(i7U),(-l-l,3),(-l,-l,-3);

in(~\~np~i~n

记以点X为球心、厂为半径的球面为S(x,r).该球面上包含27个点中的点的个数为

S(X,r).

(l)A(().(),0).

|S(A2)|=6,|S(A,272)|=12.

s|s(A,2©|=8

⑵以1,1,1).

|s(B,V3)|=8,|5(fi,Vn)|=12

(3)C(0,0,2)

|S（C,2）|=5,|5（C,2^）|=8

|S（C,2^）|=|5（C,275）|

=|S（C,2>/6）|=4

（4）£>（0,0,1）.

|5（D,1）|=2,|S（D,75）|=8

|S（23）|=9

|5（0,713）|=|5（0,717）|=4

（5）E（l,l,0）

|5（E,V2）|=|s（£,5/i0）|=4

S（E,^）=|S（£,V14）|=8

⑹尸（0,0,£j

“母卜层卜

⑺G（l,l,3）

,（G,@|=4,|s（G,"f）|=8

|S（G,V19）|=|S（G,3V3）|=5

⑻”

=1,卜他网=3

综上,共球面的八点组共有

（W+1）+8（1+3）+6+6（1+C）+12（1+1）+6+24

=4584（个）

故答案为B

4.（2018•全国•高三竞赛）已知区域/+与［才+［），『=1的面积分别为$、S2（其

中，国表示不大于x的最大整数），则

A.St>S2B.S,=S2

c.S,<s2D.不能比较与邑的大小

【答案】C

【详解】由题意知工…心万，因为国、［y］eZ,用+［才=］,所以，，；［二；或

［xl=±1,［0<x<1,（"-14x<0或14x<2,

「1n解得^r或“,画出其图形，可知星二4,

［习=0.［-14y<0或lVy<20<y<l.

故Si<S?.

5.（2019•全国•高三竞赛）已知x为锐角.则sin'x+cos、=正是x=f的（）.

24

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】解法1：必要性.

取x=&,有:心［+能可=2口Tf=g

4I4；V4)2)2

充分性.

由三维平均值不等式，有

\/2sin3x+V2sin3x+—>3sin2x,(1)

2

夜cos%+V2COS3JC+—>3COS2X(2)

2

（1）、（2）两式左右两边分另lj相力口左边=2及卜in%+cos3,+l=2拒xm+l=3,

右边=3(sin2x+cos2x)=3.

这说明，（1）、（2）两式同时取等号，有

V2sin3x=—,sinx=——,

j得,2

V2cos3x=—,0

COSX=—.

22

但X为锐角，故x=£.

4

解法2：解方程求出唯一解x便可确定为充要条件.由sin3x+cos3x=XZ,有

42

(sinx+cosx)(l-sinxcosx)=.

设，=sinx+cosx,则IWfW正，且/

・•・r3-3/+V2=O-

解得％=>/2，/=<1舍去.

*2

故只有sinx+cosx=0，得sin(x+i)=l,故x+?=/,X~~^,

所以，条件是充分必要的.

故答案为C

二、填空题

6.（2019•全国•高三竞赛）计算专［三（；）=

【答案】

〃+1\2）

【详解】注意到，£cy=（i+x）”.

太=0

两边积分得

n11

Z2C^xkdx=2（1+x）ndx

公°00

故答案为一彳0-1

7.（2018•湖南•高三竞赛）已知n为正整数，若〃：+3〃-10是一个既约分数,那么这个

nr+6n-16

分数的值等于.

Q

【答案】A

〃2+3〃-10+-2)/、/.

【详解】因为，A~呆，当2=土1时，若〃+8,〃+5=〃+5,3=1,

M-6/1-16(n+8)(n-2)、'、'

则”：+31°是一个既约分数，故当〃=3时，该分数是既约分数.

-6/1-16

Q

所以这个分数为。.

故答案为

8.(2018•湖南•高三竞赛)如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，

第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小

三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.

设A.是第n次挖去的小三角形面积之和(如A是第1次挖去的中间小三角形面积，4

是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值

为____________________.

【详解】原正三角形的面积为手，而第k次一共挖去k个小三角形,

因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为

故答案为坏-gj

9.(2。必全国•高三竞赛)把函数〃加黑的系数按其自然位置排成两行两列，记

(ah]

为二阶矩阵A=,.其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记

af{x}+b(a2+bc^x+(ab+bd)

/(/W)的系数所组成的二阶矩阵

cf[x}+d(ac+cd)x+(/?c+d，)

2/2i

^a+abab+bd、a~+bcab+bdy

为A的平方，即A?=AxA=.观察二阶矩阵乘法

<ac+cdhc+d2；<ac+cdbc+cl2)

的规律，写出A3=A2XA=1”％中的元素的=.

\a2la227

【答案】a2c+acd4-be24-cd2

【详解】根据二阶矩阵乘法的规律，知川="""2中的询应是］中第i行的元素分

1电1a21)

别乘以A中第j列对应元素的代数和，则

2222

a21=^ac+cd^a-\-[bc-\-d^c=ac+acd+bc+cd.

故答案为a%+acd+bc2+cd2

10.(2018•全国•高三竞赛)设/(x)定义在N+上，其值域3qN,,且对任意〃£N.,都

有〃〃+1)>“〃),及〃/(〃))=%.则〃10)+〃11)=.

【答案】39

【详解】由/(,“1))=3,知/(/(/⑴))=/(3).

若/(1)=1,则3=/(/(1))=/。)=1,矛盾.

因此，2</(1)</(2)</(/(1))=3.

则"2)=3,"1)=2,/(3)=/(/(2))=6,/(6)=/(/(3))=9.

又6=7•⑶</(4)</(5)</⑹=9,故"4)=7,〃5)=8,/(7)=/(/(4))=12,

/(12)=/(/(7))=21.

因为〃9)=/(〃6))=18,18=〃9)</(10)<〃11)</(⑵=21,所以，/(10)=19,

"11)=20.

因此,/(10)+/(11)=39.

11.(2019•全国•高三竞赛)如图，设圆台的轴截面为等腰梯形A8cD,其中，48=18,

8=6.若圆台的高为8,P。是下底面与A8夹角为60。的直径，则异面直线PC、DQ

所成角的余弦值为.

【详解】如图，设异面直线PC、。。所成角为a,向量尸C、CQ的夹角为。，以下底

面中心。为原点、AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系.

则C（3,0,8）、£＞（-3,0,8）、P：，竽，°）、Q一|，一竽，°

39百

于是PC=T"9~'QD=

2222

因此PCQD=\.

而0牛炳，如=炳,

故cos(9=!.

127

从而，cosa=cos(9=---

127

故答案为击

12.（2019•全国♦高三竞赛）设左为常数.若对一切羽ye（O,l）,有

»+/-xkyk——Jr，则实数上的取值范围是____.

xyxy

【答案】（FO}

【详解】注意到f+yJ/yZ=+1-工o

x>xkyk（I戈一”

<^>xkyk>1<=>A:<0.

故答案为(7,0]

13.(2021•全国•高三竞赛)若f(x)=1-2J2019---+-2J2020。+2x-J2019,

则/(V2019+V2020)的值为.

【答案】72020

【详解】研究：:次方程f-212019x-1=0和Y-2j2020x+1=0,

即(x-V2019+^2020)(JC-V20I9-72020)=0

>f^(A--^/2020+^/2019)(x-^/2020-^/2019)=0.

因此%=0丽+J丽两方程的公共根.

/(x)=x4(x2-25/2019x-1)+x(x2-2^2000%+1)+(x-V2019-72020)+V2020,

il&/(^^0i9+^/2020)=^/2()20.

故答案为：J2020.

14.(2021•全国•高三竞赛)若一个分数，(«,。均为正整数)化为小数后，小数部分

b

2

出现了连续的“2020”，例如的=0.020202L,就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小

的可能值为.

【答案】193

【详解】我们总可以将一个“好数”适当乘一个10的方暴并减去其整数部分后使之成为

一个小数点后前四位是“2020”的真分数，于是0.20204f<0.2021,

b

、“,111口n1,5a-b1

进而---W-----<---，即----W-----<---.

500b54765005b476

若5a—。=1,则476<5Z?45(XkIlbm4(mod5),所以6=99.

若5〃-。=2,则952<56«1000且6三3(010(15),所以6=193,198.

若5a—623,贝ij58>1428,62286.

39

另一方面，而弓°2°207是“好数”，因此人的第二小的可能值为193.

故答案为：193.

15.(2021•江苏•高三强基计划)使得等式4+后^=孤成立的实数a的值为

【答案】8

【分析】采用换元法(须注意新元的取值范围)，将所给等式转化为整式方程并求解.

【详解】解：由题意可得，>o,所以Ji+ViKNi,故夜21.

设妫=1,贝!|。=/(f±l).

Jl+Jl+a，=孤oJ1+J1+J=t

=i+7177=r2=ViT?=r2-i

=1+/=(产-1)201+/=/-2/+1

of*一户一2f2=o

«>r(r-r-2)=0o/(r-2)(r+l)=0

解得f=2,或t=0(舍)，或，=一1(舍)

所以y/ci=t=2

所以a=8

故答案为：8

16.(2018•全国•高三竞赛)设a,/3,ywR.且满足

5皿£«；0$万+|85。5沿刈=5冶1|85.+忖11/?年0$/.则(匕11/-$111£)2+(COI/-C0s£1的最小

值是.

【答案】3-20

【详解】已知等式因式分解得kina-卜皿附(cosp-|cosa|)=0.

令x=sina,y=cos0,则(x-J]_y?)(y_J]-x2)=0.

从而，x=y2或y=>/l-x2.

又点(tan-coty)为双曲线xy=l上的点，故所求即为两图像间最小距离的平方.

(B7

如图所示，显然，|AB|2=1-与x2=3-2立即为所求.

故答案为3-2及

17.(2019•全国•高三竞赛)已知函数>=/+6以-〃与x轴有两个不同的交点

。°卜优，°)，并且(1+/(1+工(-)；1-6〃-切=8”3,则。的值是—.

【答案】g

【详解】由/^力+船〉。，得4〉0或

根据题意知

2

y=x+6rzx-tz=(x-^)(x-x2)

则(l_%J(l+/)=〃T)=l_7a,

(l-667-x])(l-6t7-x2)==1-7〃

于是，簪=8"3

\—la

解得a=g或。=0(舍去).

18.(2019•全国•高三竞赛)已知。、b、c是一个直角三角形三边之长，且对大于2的

自然数〃，成立(a"+/+<?"7=21产+从"+02").则〃=.

【答案】4

【详解】设x—/，y=/，有

人一C<Jf4-C

0=2(/+82〃+b“+c：)2=2(x4+y4+z4)-(x2+j2+z2)2

=x4+yA+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2

=-(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y).(*)

不妨设C为斜边，则z>x,z>y.可知x+y+z>o,y+z-x>0,z+x-y>0.

・•・(*)式等价于2=%+月即1-

另一方面,a2+b2成立,

因为0<^<1,y=+（：）为单调减函数，仅在一个X点处取y=l,

因此，]=2,n=4.

故答案为4

19.（2019•全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2丁+2丫2-5孙，+犬+丫+%=0在平面直

角坐标系xOy中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上，且

|「山=|依|=1,则融.尸3=.

【答案】±41

【详解】由题设知，关于X、y的二次多项式2f+2y2-5肛+x+y+Z=0可以分解为两

个一次因式的乘积.

因2x2+2y2-5xy=（-2x+y）（-x+2y）,

所以，2x2+2y2-5xy+x+y+k=[-2x+y+a）[-x+2y+b）,

其中，a、。为待定的常数.

将上式展开后比较对应项的系数得

ah=k,—a-2b=i,b+2a=l.

解得〃=1,人=-1,攵=7.

再由CI二得两直线斜率为占=2,交点尸（1,1）.

[―x+2y—i=u,2

设两直线的夹角为6（。为锐角）.则

ckj—k,34

tan6/=-----=—,cos”n=—

1+k2kl45,

i^PAPB=|叫|PB|cos。

或仍川疗81cos（180。一。）=±|以卜俨81cos8=±±

4

故答案为

三、双空题

20.（2018•全国•高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误.题目：平

面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最

短边又是另一个三角形的最长边.证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得

出15条边，记为4,《5.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三

角形”，因此，15条边互不相等不妨设4<4<<4>第三步，由于“任何三点都是三

边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则可、/、应组成

的三角形的最长边的,也是%、小、”5组成的三角形的最短边，命题得证.这三步中，第

步有错误，理由是.

【答案】二或三第三步有错误，理由是：不能推出“任取三条边都可以组成三角

形”或第二步有错误，理由是：不能推出《<见<<al5.

【详解】不能推出“任取三条边都可以组成三角形”，

比如，从六个点4、&、A,、A4、A、、&中，记A,、4的连线为卬，记&、4的连

线为与，记4、A的连线为4（i、八%互不相等），

则《、町、久未必能组成三角形，即使组成三用形也不是本题所说的“三点两两连线”

所成的三角形.

第二步也有错误，理由是三点组成的“单个三角形”内部边长互不相等，

不能推出“多个三角形”之间边长互不相等，因而，工<。2V<%”中的“〈”也可能有

“〈〃

说明：虽然证明有错误，但结论是成立的，可把六个点“两两连线”的每个三角形最长边

染成红色，剩下的边染成蓝色，然后证明必有同色三角形，

又因为每个三角形都有红边，所以，同色三角形必有三边同红色的三角形，这个三角形

的最短边便又是另一个三角形的最长边.

四、解答题

21.（2019•全国•高三竞赛）设异面直线“、方成60。角，它们的公垂线段为EF,EL\EF\=2,

线段A3的长为4,两端点A、8分别在4、b上移动.求线段A3中点尸的轨迹方程.

【答案】y+/=l

【详解】易知点尸在过防的中点。，且与。、6平行的平面a内.

如图所示，设。、人在。内的射影分别为"、"，点A、8在a内的射影分别为A、B',

则NA'OB'=60。，且AU的中点即为AB的中点尸.

又|阴=4,\EF\=2,则|4旬=26.

于是，问题转化为求定线段A2的两个端点分别在"、，上移动时;其中点P的轨迹.

如图所示，以NA'QB'的平分线为“轴，。为原点，建立直角坐标系.不失一般性，令

\OBr\=n,=".在AA'08'中，m2+n2-mn=\2.①

G2

-2

+JX-万+

=2/

设A'B’的中点尸的坐标为(x,y),贝।卜22X

1(-机2

Y2

y1-百

2--/-

代入式①，化简整理得目+丁=1.②

这里得到的是椭圆②夹在乙4'。笈内的弧.在另外3种情形中，同样可得到椭圆②的另3

段弧.综合得点P的轨迹是椭圆片+>2=1.

9-

22.(2018•全国•高三竞赛)已知自然数N有20个正整数因子(包括1和本身)，它们

从小到大依次记作4，4，d3,d20,且序号为4的因数为

(4+4+4)(4+4+43)•求自然数N.

【答案】2000

【详解】因为(4+&+4乂4+4+43)是N的因数,

所以，4+4+4与4+48+43是N的因数.

「是，4+“4+4,24，4+4+4.324a♦

・♦“48=(4+&+46)(d4+4+”13)24'314=N

54N,

,4,8=N.

.'.4=20.此时，4+4+痣=4,J4++dl3=di4.

由4=20知，N含有1,2,4,5,10,20这六个正整数因子，

所以N至少含有2和5这两个质因子.

又N有20个正因子，20=2x2x5=2x10=4x5,

故N可设为2，x5xp(。为不等于2和5的质数)、29x5、23x5,或2，x53.

(1)当N=2'x5xp时，

①当2=3时，4，d2，…,痣依次为1，2,3,4,5,6,8,10.此时，4=10,与

4=20相矛盾.

②当P=7时，4，d2,为依次为1,2,4,5,7,8,10,14.此时，4=14,

与4=20相矛盾.

③当7Vp<23时，p>\\,4,d2,4依次为1,2,4,5,8,10,P,16或为

1,2,4,5,8,10,16,P,与4=20相矛盾.

④当2223时，N的正因数为1,2,4,5,8,10,16,20,40,80,P,2p,4p,

5p,8p,....

/.rf4=5,4=20,d|3=4p,d”=5p.

/.5+20+4〃=5〃.

于是，〃=25,不为质数，

故Nw24x5p.

(2)当N=2'x5时，4=5,4=2。，《3=128,J14=160.不满足4+4+43=《4.

(3)当N=23x5,时，4=25,与4=20相矛盾.

(4)当N=2'x5’时，4=1,4=5,4=10，“7=16,4=20,dl3=100,dl4—125.显

然满足4+4+4=47,4+4+43=d”.

...N=2000.

故所求的自然数N为2000.

23.(2018•湖南•高三竞赛)(1)已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有

PA2+PC2=PB2+PD1.试证明该命题.

(2)将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明.

(3)将矩形ABCD进一步推广到长方体4BCO-A4GR,并利用(2)得到的命题建

立并证明一个新命题.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析

【详解】(1)如图①，设在直角坐标平面中，矩形ABCD的顶点坐标分别为

A(-a,询,B(4询,C(a，3，E>(-a力),点P(x,y)是直角坐标平面上的任意一点，则

PA2+PC2=(x+a)2+(y+/?)'+(x-a)~+(y-/?)2

=2(J?+y2+"+〃)，

PB2+PD2=+(y+4+(x+4+(y-/>)2

=2^x2+y2+a2+h2y

故PA2+PC2=PB2+PD2.

(2)推广命题：若棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，则有PT+尸0=.

证明：如图②，设棱锥P-ABCO的底面ABCD在空间直角坐标系的平面上，矩形

ABCD的顶点坐标为A(—a,-6,0),B(a,』,0),C(a,40),0(-a,b,0),设P点坐标为

P(x,y,z),则

/>A2+/,C2=(x+a)2+(y+b)2+(z-0)2+(x-<a)2+(y-fe)2+(z-0)2=2(x2+/+«2+/>2+z2

PB24-PD2=(X-Q)2+(y+6)-+(Z-0)2+(X+Q)2+(y-〃y(z-0)2=2(x2+y2+a2+b2+22)

9

故尸复+尸炉二尸序+尸。2.

(3)再推广命题：设ABC。-AgGR是长方体，P是空间上任意一点，则

PA2+PC2+PB-+PD；=PH2+PD-++pc；.

证明：如图③，由(2)中定理可得

PA2+PC2=PB-+PD2,

P6+PC；=PB'+PD-,

所以PA；+PC；=PB'+PD；=PB2+PD2+PA,2+PC；.

2

24.(2023•全国•高三专题练习)证明不等式：1+f-二<g7(x>0).

28

【答案】证明见解析

【分析】设/u)=VTT7,求出/(0),/'(幻,/'(0)"«),/"(0),/"(力,再代入与=。的二阶

泰勒公式，即得解.

【详解】设/(x)=J=,则/(o)=i,

1111_21o_5

2

f'(x)=-(l+x),f(O)=-rf\x)=--(\+x)2,f(O)=--,/"(X)=|(l+X)2,

2244o

xx2x3

代入x0=0的二阶泰勒公式，有粗工7=1+万一Q+-------

16(1+)

x3xx2I—

X>0,-------T->0,1H------<>/l-Kx(x>0)

16(1+4)328

所以原题得证.

25.(2019•全国•高三竞赛)在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C,其起始位置分别为

4(4,6)、B(1(-V5-2,->/5-3),Cfl(6+V5.9+V5),首先，A以B为中心跳到其对称点

上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，......

依此类推•设A、B、C第n次跳到的位置分别为4、B,、Cn,“ougouGou的三边长

分别为a、b、c,面积为S.证明：/+〃+/>300x172°17s

【答案】见解析

【详解】设&4“纥。的三边长分别为风也,%.则由题意知

4+|+4=2纥

,纥-Q逾)

C+i+ca=24+1

由式①得

纥=g(4+i+A)④

将式④代入式②得

6=；(4+2+241+4)⑤

将式⑤代人式③并整理得

A+3+34+2+54“+i+4=0・

其特征方程为

23+3A2-52+1=0.

即(4-1乂；12+4/1_1)=0.

解得儿="=-2+64=-2-右.

则4=£>+《看+?石⑥

O+E+尸=(4,6)

在式④⑤@|」令n=0,得,。+铝•£+铝・尸=卜石-2,-后-3)24

£)+与生£+—!•/?=(6+百9+句

解得0=(0,0),E=(l,2),尸=(3,4).故

a：+£+c：

=|4「cn『+|G「A『+|A-8,「

22

1、]1

+2-3

=W(4+2-4)~(A)+2AI+I4)+/(4+i-A)

22

T4+j+g(4i+Aj+；(A+I-A„)

=|A+/+；(|A+『+|4「)

又每只青蛙跳后，三只青蛙所组成的三角形面积不变，HP5=5AWo=>/5.

而|Aj=|EE"+/石'「>25后"+22（-1/',故

〃+序+c2=||4oj+g也

>2504+6石）（君+2r+22

>5君（14+6君）（4+2『”S

=（70布+150）（9+4不）”"S

>300X172（,,IS

26.（2018•全国•高三竞赛）设=f-3丁+2x2+3x+6,记4=口空.

人=1（44一1）/（44-1）

求名的值.

"季］___!___

''、1000001

（详解】注意到，xf^—x^x5-3x3+2Y2+3X+6）=X（X+2）（X2+X+1）（X2-3X+3）

=（x3+3x2+3x+2）（x3-3x2+3x）=（（^+l）3+lj（（x-lf+l）

=行（（4左-2）3+1）（（4%-4），+1）_（）3+i_］

="*=i（（4）l）3+l）（（4jt-2）3+l）（4n）3+l64/+1

=A?-，=KJOOOO1•

”「”11

27.（2018•全国•高三竞赛）给定正整数”，求