2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】

第八章平面解析几何第1节直线的方程ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是______________________.1.直线的倾斜角向上0°{α|0°≤α<180°}(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______________.(2)计算公式2.直线的斜率正切值tanα3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率______________与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率_______________两点式过两点————————与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距————————不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线y＝kx＋by－y0＝k(x－x0)1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：2.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.×解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(

) (2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(

) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(

) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)××√C解析设直线倾斜角为α，∵y＝－xtan60°＋2，2.(易错题)直线xtan60°＋y－2＝0的倾斜角为(

) A.30°

B.60° C.120° D.150°∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.ABD3.(多选)下列说法正确的是(

)解析由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，4.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(

) A.ab＞0，bc＜0

B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0

D.ab＜0，bc＜0A即x－4y＝0.当直线不过原点时，5.(易错题)经过点(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为______________________________.x－4y＝0或x＋y－5＝0故直线方程是x＋y－5＝0.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).解析因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.(2)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(

)A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2D解析直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，训练1(1)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(

)D又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，D则其倾斜角为30°，(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_____________________________.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________________.∴直线过点(1，1).∵直线的方向向量v＝(－3，2)，2x＋3y－5＝0即2x＋3y－5＝0.解析设C(x0，y0)，训练2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________.5x－2y－5＝0解得x0＝－5.解得y0＝－3.即5x－2y－5＝0.此时直线的方程为x－y－1＝0.综上可得，所求直线的方程为3x－2y＝0或x－y－1＝0.(2)过点(－2，－3)，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是______________________________.3x－2y＝0或x－y－1＝0∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，(3)若一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为_______________________________.x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0①k＞0时，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，无解.②k＜0时，(2k＋2)2＝－2k，则所求直线为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.证明

直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，例3

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点；∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1).在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.解

由题意可知k≠0，再由l的方程，

∵l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，训练3

已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.

解

法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即x＋2y－4＝0.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3利用斜截式直接写出方程，1.倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(

)B2.若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(

) A.(－2，1) B.(－1，2) C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)A解析∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，∴直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.3.若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(

) A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0 C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0A解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，B由所求直线过点(0，1)，5.过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是(

) A.x＋2y－1＝0

B.x＋2y－2＝0 C.2x－y－1＝0

D.2x－y－2＝0B解析∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴斜率k＝tanα≥－1，BA所求直线为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.8.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(

) A.x－y＋1＝0

B.x＋y－3＝0 C.2x－y＝0

D.x－y－1＝0ABC解析已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，即x＋13y＋5＝0.10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为______________.x＋13y＋5＝0解析因为直线l的斜率存在，11.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.51由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.解析依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，12.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.解析由题意知，y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜