2025高考数学一轮复习-7.3空间直线、平面的平行【课件】

第七章立体几何与空间向量第3节空间直线、平面的平行ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.1.直线与平面平行(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的__________平行，那么该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b一条直线交线(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理2.平面与平面平行

文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β相交直线性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线______于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_____，那么两条______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b平行相交交线1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化×解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(

) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(

) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)××√D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(

) A.直线a上有无数个点不在平面α内 B.直线a与平面α内的所有直线平行 C.直线a与平面α内无数条直线不相交 D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交B解析根据m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；反之，α∥β，m⊂α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析A.若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m、n异面，或m，n相交，A错误；B.若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；C.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；D.若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误.4.(多选)已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(

) A.若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C.若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D.若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥βBC解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(

) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1AC∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______________.平行四边形KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2证明

法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.例1

如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.角度1直线与平面平行的判定∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.则PM∥平面BCE，∵PM∥BE，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.证明

如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，例2

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.角度2直线与平面平行的性质∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.训练1

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点. (1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.解

l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.证明

由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.例3

如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.证明

由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.证明

∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，训练2

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点. (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.证明

∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.所以BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)求证：GH∥平面PAD.证明

连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.证明如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.训练3

如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)平面BDE∥平面MNG.证明因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；1.(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线.给出下列命题，其中正确的命题是(

) A.若l上两点到α的距离相等，则l∥α B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β C.若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥nBC对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误.解析把这三条线段放在正方体内可得如图，2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(

) A.平行

B.相交 C.AC在此平面内

D.平行或相交A显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.3.下列命题中正确的是(

) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(

) A.0条

B.1条 C.2条

D.1条或2条C∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.解析如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，B因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值6.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(

)AD解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确.解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.7.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________(填序号).①或③8.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.①④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.9.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________________时，有平面D1BQ∥平面PAO.Q为CC1的中点连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四边形ABQG是平行四边形，所以BQ∥AG，又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ∥平面PAD.10.已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点. (1)求证：BQ∥平面PAD；证明取PD的中点G，连接AG，GQ，解

因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上，设点S到平面ABCD的距离为h，又PD⊥平面ABCD，PD＝3，所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.11.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. (1)证明：MN∥平面C1DE；证明

如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，由题设知A1B1綉DC，可得B1C綉A1