高中数学-平面向量的坐标运算及共线的坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量的坐标运算教学设计

一.教材依据：

普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社（A版）数学必修

1.教材分析：

本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以

及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也

是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向

量运算以及向量的共线判断与应用完全代数化，将数与形紧密结合

起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运

算.

2.学情分析：

高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，

且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽

象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些

问题.

3.设计理念:

设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经

历和获得新知识的体验.教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐

标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,

激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力，培养学生的自主

学习的能力.

4.教学指导思想：

结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自

主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，

让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在

获得新知识的同时又提高了能力.

三.教学目标：

1.知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

2.过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实

现了形向数的转化.

3.情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，

培养学生的学习兴趣及探索精神.

四.教学准备：

根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，

便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学.

五.教学设计：

（一）.复习回顾：

1.向量的加法、减法：

师:已知向量a、b,如何求向量a+b、a-b?

学生回答，教师指正.\

2.向量的数奥运算•>\

师:已知向量a、b，如何求向量3a,2b?如何求向量3a+

2b?

学生回答，教师指正.

3.向量的坐标表示：

师:向量的坐标表示的定义是什么？

学生回答，教师指正，并强调：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a,由平面向

量基本定理可知，有且只有一对实数X、丫,使2=*1+丫>这

样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数

对（x,y）叫做向量a的坐标.

记作：a=（x,y）

（二）.自主探究：

师：已知a=（x],yJ,b=（x2,y2）,你能得出a+b,a—b,

入a的坐标吗？请同学们自己探究一下.

(学生自主探究，得出结论，然后讨论交流)

生:a+b=(x!i+y1j)+(x2i+y2j),

由向量线性运算的结合律和分配律，可得

(xii+y1j)+(x2i+y2j)=(xi+x2)i+(yi+y2)j

即a+b=(%]+%2，M+为)

问理a—b=—巧，M—乃)

师：通过以上计算:你修彳富#向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量

的积的运算法则吗？

生：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与

差.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐

标.

(三).尝试练习：

1.如图，已知A(XI,y,),B(X2,y2),求布的坐标.

学生练习，教师指名回答.

生：NB=OB-Q4=(X2,y2)~(xi,y1)=(x2-x1,y2-y)

师:你能用语言描述一下吗？

生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去

始点的坐标.

师：你能在图中标出坐标为(X2-X1,y2-yi)的点P吗?

生：把丽平移到以原点。为起点，则终点即为所求的点P.

师:你能发现向量瓶的坐标与向量丽的坐标之间的关系吗？

生：向量而的坐标与向量丽的坐标是相等的.

师:这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，而

点的坐标与有序实数对是一一对应的，所以向量的坐标与有序

实数对也是一一对应的.

2.已知a=(2,1),b=(—3,4)，求a+b,a—b,3a+4

b的坐标.

学生练习，教师指名回答.

3.如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分

别是

(—2,1),(-1,3),(3,4),试求顶点D的坐标。

A

vc

师:用哪些向量的运算可以求得点D的坐标?本题的解法比较多,

请同学们根据所学的知识自己设计解题方法.(学生思考)

师:你能说说自己的解题思路吗？

选择不同思路的学生回答,通过交流,加深对问题的认识,不同思

路之间得到相互启发.然后选择不同思路的学生板书解题过程，

其他学生各自解题,完成后与课本上的解答进行比较.

师:你能说说各种解法的特点吗?不同解法中体现了哪些数学思

想？

请学生点评,教师总结.

变式训练：

1.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,—2)、B(3,

—1）、

C(5,6),求顶点D的坐标.

学生练习，指名回答.

2.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(—2,1)、B(一

1,3)、

C(3,4),试求第四个顶点D的坐标.

师:思考一下本题与尝试练习3有何区别？本题有几种情况.

学生思考后，指名回答，最后教师总结.

(四).巩固练习：

1.已知向量a,b的坐标，求a+b,a-b的坐标：

⑴a=(-2,4),b=(5,2).

(2)a=(4,3),b=(-3,8).

⑶a=(2,3),b=(-2,-3).

(4)a=(3,2),b=(0,4).

2.已知a=(3,2),b=(0,-1),求-2a+4b,4a+3b的坐标.

3.已知A、B两点的坐标,求标的坐标：

(1)A(3,5),B(6,9).

(2)A(-3,4),B(6,3).

(3)A(0,3),B(0,5).

(4)A(3,0),B(8,0).

(五).课堂小结：

师:这节课我们都学习了哪些问题？

学生自己归纳、总结，培养学生的归纳概括能力和语言表达能力,

最后教师点评.

1.已知a=(xjyJ,b=(x2,y2),

贝lja+b=(%i+%2，%+%)

a-b=(x1一％2，%-y2)

2a=(Ax1,Ayj)

2.已知4巧,%),5(%2，乃)

贝!|AB=(X2—和力一力)

3.学习了应用平面向量以及方程的思想和数形结合的思想解决

平面几何问题的方法.

课本P101、习题2.3、1、2、3.

六.教学反思：

本节课的设计，通过复习回顾、自主探究、尝试练习、巩固练

习等几个环节，注重提出问题，引导学生独立思考，自主探究,寻找

解决问题的途径，体验解决问题的过程,从而提高解决问题的能力.

学生在课堂上除了积极思考之外,还要动手演算，动口讨论,采取

多样的学习方式,积极主动的参与到课堂活动中来,充分发挥了学

生的主体地位，调动了学生学习的积极性和主动性，培养了学生

自主学习的能力.

平面向量的坐标运算

教学目标：

1.知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

2.过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实

现了形向数的转化.

3.情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关

系，培养学生的学习兴趣及探索精神

教学过程：

（一）.复习回顾：

1.向量的加法、减法：

师:已知向量a、b,如何求向量a+b、a-b?

学生回答，教师指正.\

2.向量的数为运算•a\

师:已知向量a、b,如何求向量3a,2b?如何求向量3a+

2b?

学生回答，教师指正.

3.向量的坐标表示：

师:向量的坐标表示的定义是什么？

学生回答，教师指正，并强调：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a,由平面向

量基本定理可知，有且只有一对实数x、y^a=xi+yj.这

样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数

对（x,y）叫做向量a的坐标.

记作：a=(x,y)

(二).自主探究:

师：已知a=(x।,yJ,b=(x2,丫2),你能得出a+b,a—b,

入a的坐标吗？请同学们自己探究一下.

(学生自主探究，得出结论，然后讨论交流)

生:a+b=(xii+y1j)+(x2i+y2j),

由向量线性运算的结合律和分配律，可得

(x1i+ylj)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(yi+y2)j

即a+b=(%]+%2，M+乃)

同理a-b=区一巧，M—乃)

2a=(/Lr.,

师：通过以上计算〉你修彳由#向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量

的积的运算法则吗？

生：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与

差.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐

标.

(三).尝试练习：

1.如图,已知A(Xjy_),B(X2,y2),求Q的坐标.

学生练习，教师指名回答.

生：=a-O4=(X2,y2)-(xi,yi)=(x2-xi,y2-yj

师:你能用语言描述一下吗？

生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去

始点的坐标.

师:你能在图中标出坐标为(x2-xi,y2-yi)的点P吗？

生：把而平移到以原点。为起点，则终点即为所求的点P.

师:你能发现向量丽的坐标与向量方的坐标之间的关系吗？

生：向量诟的坐标与向量丽的坐标是相等的.

师:这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，而

点的坐标与有序实数对是一一对应的,所以向量的坐标与有序

实数对也是-对应的.

2.已知a=(2,1),b=(—3,4)，求a+b,a—b,3a+4

b的坐标.

学生练习，教师指名回答.

3.如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分

别是

请同学们根据所学的知识自己设计解题方法.（学生思考）

师:你能说说自己的解题思路吗？

选择不同思路的学生回答,通过交流,加深对问题的认识,不同思

路之间得到相互启发.然后选择不同思路的学生板书解题过程，

其他学生各自解题,完成后与课本上的解答进行比较.

师:你能说说各种解法的特点吗?不同解法中体现了哪些数学思

想？

请学生点评,教师总结.

变式训练：

1.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,—2)、B(3,

—1)>

C(5,6),求顶点D的坐标.

学生练习，指名回答.

2.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(—2,1)、B(一

1,3)、

C(3,4),试求第四个顶点D的坐标.

师:思考一下本题与尝试练习3有何区别？本题有几种情况.

学生思考后，指名回答，最后教师总结.

(四).巩固练习：

1.已知向量a,b的坐标，求a+b,a-b的坐标：

(1)a=(-2,4),b=(5.2).

(2)a=(4,3),b=(-3,8).

(3)a=(2,3),b=(-23).

(4)a=(3,2),b=(0,4).

2.已知a=(3,2),b=(0,-1),求-2a+4b,4a+3b的坐标.

3.已知A、B两点的坐标,求薪的坐标：

(1)A(3,5),B(6,9).

(2)A(-3,4),B(6,3).

(3)A(0,3),B(0,5).

(4)A(3,0),B(8,0).

(五).课堂小结：

师:这节课我们都学习了哪些问题？

学生自己归纳、总结，培养学生的归纳概括能力和语言表达能力,

最后教师点评.

1.已知a=(x］，yJ,b=(x2,y2),

贝！Ja+b=(%］+x2,y}+y2)

a-b=(x1-x2,yl-y2)

2a=(疝］,)

2.已知4%1，%),5(%2，乃)

则AB=(X2-修，为一乃)

3.学习了应用平面向量以及方程的思想和数形结合的思想解决

平面几何问题的方法.

课本P101、习题2.3、1、2、3.

效果分析

在前一节课中已经对平面向量的定义进行了学习，这节课主要

是学习平面向量的坐标运算及共线表示。

通过本节课的教学发现了如下特点：

首先对于平面向量基本概念，坐标运算，共线证明及应用的方法

上达到了预期效果,做到了很好的掌握.

其次，坐标法用来证明与计算,确实降低了学生思维的难度，但对

计算能力的要求提高了，学生的计算能力有待加强.对于坐标法证明与

计算方面

另外，通过评，也感觉到及时鼓励表扬学生对调动学生积极性

作用很大。教学的好坏，取决于学生对知识的理解和掌握，教学中通

过学生回答问题，归纳总结等方面反馈学生对数学知识的理解程度,

对数学技能的掌握程度和发现问题和解决问题的能力。教师根据反馈

信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观

点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树

立他们学习数学的自信心。

平面向量的坐标运算及共线表示评测练习

一、选择题

13

1.已知平面向量Q=力=(1,一1),则向量呼一手＞等于()

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

2.已知。一/=(1,2),。+)=(4,—10),则〃等于()

A.(-2,-2)B.(2,2)

C.(—2,2)D.(2,12)

3.已知向量。=(1,2),ft=(2,3),c=(3,4),且C=3+独，则4,3的值分别为()

A.—2,1B.1,—2

C.2,—1D.—1,2

4.已知M(3,-2),M-5，-1)且访=沙防V,则点P的坐标为()

-|)D.(8,-1)

5.在平行四边形A8C。中，AC为一条对角线.若矗=(2,4),启=(1,3),则防等于()

A.(一2，-4)B.(—3，—5)

C.(3,5)D.(2,4)

6.已知四边形A5CQ为平行四边形，其中A(5,-1),B(-l,7),C(l,2),则顶点。的坐

标为()

A.(-7,0)B.(7,6)

C.(6,7)D,(7,-6)

题号123456

答案

二、填空题

一1—1-

7.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则的坐标是.

8.已知A(-l,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),KAC=2BD,贝ijx+y=.

9.若向量a=(x+3,『一3x—4)与通相等，其中A(l,2),B(3,2),则x=.

10.函数y=*+2x+2按向量a平移所得图象的解析式为产/,则向量。的坐标是

三、解答题

11.己知0=(—2,3),力=(3,1),c=(10,—4),试用a,b表示c.

12.已知平面上三个点坐标为A(3,7),8(4,6),C(l,-2),求点。的坐标，使得这四个点为

构成平行四边形的四个顶点.

【能力提升】

13.己知尸={a|a=(l,0)+机(0,1),，〃GR},。={6忸=(1,1)+〃(一1,1),"GR}是两个向量集

合，则PCQ等于()

A.{(1,1)}B.{(-1,1)}

C.{(1,0)}D.{(0,1)}

14.函数尸cos(2x+/—2的图象/按向量a平移到尸，

F'的函数解析式为y=/(x),当

y=/U)为奇函数时，向量a可以等于()

A.V-2)B.(f,2)

C(6--2)D.g,2)

评测练习答案：

作业设计

1.D2.D

[21+222=3,[Ai=-1,

3-D[由解得：1

十342—4.[儿2—2.

4.C[设P(x,y),由。-3,y+2)=1x(-8,l),

5.B['：AC=AB+AD,

：.AD=AC-AB=(-1,-1).

：.BD=AD-AB=(-3,-5).]

6.D[设£>(x,y),由病=正,

/.(%—5,y+l)=(2,—5).

.'.x—7,y=­6.]

7.(-3,6)

解析VAC=(-2,0)-(-1,-2)=(—1,2),

BD=(x,y)—(2,3)=(x—2,y—3),

又2砺=/，即(2x-4,2y-6)=(-l,2)

.j2x-4=-l,

解得

"[2y-6=2,ly=4,

.,H

・・x十尸了.

9.-1

解析VA(1,2),3(3,2),：,AB=(2fi).

又・・・。=嘉，它们的坐标一定相等.

(x+3,x2—3x—4)=(2,0).

.x+3=2,

[x2—3x—4=0,

.'.x=-1.

10.(1,-1)

解析函数丫=—+21+2=。+1)2+1的顶点坐标为(一1』)，函数的顶点坐标为(0,0),

则。=(0,0)一(一11)=(1,-1).

11.解设c=w+)优

则(10,一4)=%(—2,3)+.y(3,l)=(—2r+3y3x+y),

[10=-2x+3y,

•[―4=3x+y,

解得x=-2,y=2,c——2a+2b.

12.解(1)当平行四边形为ABC。时，AB=DC,

设点。的坐标为(x,>1)•

.,.(4,6)—(3,7)=(1,—2)—(x,y),

\1~x=1,(x=0,

c,/•,二。(0,-1);

[-2—y=-l,[尸一1.

(2)当平行四边形为A8OC时，仿(1)可得0(2,-3)；

(3)当平行四边形为AOBC时，仿⑴可得£>(6,15).

综上可知点。可能为(0,-1),(2,—3)或(6,15).

13.A[设Q=(X,y),则

卜=11

P=J(x,y)lf.

y=mJ

二集合尸是直线X=1上的点的集合.

同理集合Q是直线x+y=2上的点的集合，

即尸={(x,y)|x=l},Q={(x,y)\x+y-2=0}.

，PCQ={(1,1)}.故选A.]

14.B[函数y=cos(2x+。一2按向量a=(m,")平移后得到y'=cos(2x—2,〃+季)+〃-2.

若平移后的函数为奇函数，则”=2,专-2m=ht+E(ZeZ),故/《=一之时适合.]

平面向量坐标运算及共线表示反思

平面向量是中学数学的主要部分属于基础性,方法性的内容，是研究几何图形和几何变

换的工具，在解析几何中具有重要的作用.而平面向量的坐标运算，又是平面向量内容里面的

重要部分，它是对平面向量基本定理的进一步深化.因此，我在上完这节课后，有很多反思的地

方，现与大家分享！

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种

工具,有着极其丰富的实际背景。向量的坐标表示，实际是向量的代数表示。引入向量的坐标

表示可以使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化

为学生熟知的数量运算.而平面向量的坐标运算是常考的知识点，运用向量方法解决解析几何

和立体几何中的有关知识,有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算，我们可以培养学

生的归纳、猜想、演绎能力，通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题

的能力。

本节的教学重点是:平面向量的坐标运算

本节的教学难点是:对平面向量共线的坐标表示的理解

二、课程内容设计

1、平面向量得坐标运算

本部分内容比较简单，直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可,然后进行小结，然后

再让学生做4道练习；

2、平面向量共线的坐标表示

有向量共线的判定定理：，将两向量用坐标表示，消元，得到共线的坐标表示，然后比较两式的

优缺点，并告诉学生消元的时候不能直接两式相除的理由,最后再通过练习强化.最后通过边

讲边练，让学生充分动手，动脑，动眼达到掌握本节内容的目的。

但是，在课程内容设计上，我把平面向量的坐标运算和平面向量共线的坐标运算放一起讲

解了。课后反思，内容过于大了,一方面学生在接受上有一定的困难，另一方面在细节问题上就

很难把握的好，一节课45分钟，在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识，难度很大,同时,

一味地赶进度，带来的直接后果就是学生学而不精,对深层的问题，没有实质性的认识，只会死

记公式，做原题，对于变形题目,学生仍然无从下手。

三、学生水平分析

本班学生，通过前面几次考核，大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的,20%的

学生是很聪明的,通过自己看书，能够基本掌握本节内容,30%的学生在课堂上能够跟上我的

思路，通过讲解,也能很快掌握,30%的学生勉强能跟上我的思路，但需要时间消化，剩下20%的

学生，如果不预习课本,基本上上课很难听懂，即使提前预习了，也不一定能跟的上.事实证明:我

对本班学生的分析还是很不到位的，学生在接受新知识方面，大部分学生还是有一定困难的.

1、课程引入

上课之前，我已经让学生提前预习，因此，我个人认为本节内容，大部分学生都能懂，对平面

向量的运算法则，学生再比较数的运算,能很好的理解.因此，在课堂引入过程中，直接预练，找

出问题，充分展示，达到很好效果.如此教学,学生能很快掌握住平面向量坐标的运算法则,，

学生虽然能很快记住这种运算，但却不明白是如何得来了，这是教学的一个失误.

2、例题处理

在处理例题练习上,我高估了学生的水平，对学生的认知能力没有一个清楚