初中数学教案设计

数学:代数部分

I」基础定义

正数与负数：

有理数：

数轴：（三要素）

相反数：

几何定义

绝对值

代数定义

倒数：

带分数：

假分数：

真分数：

质数；

合数：

自然数：

科学计数法:

近似数：

按整/分：

1.2有■理数分类

按正数、0、负数关系分类:

1.3有理数比较大小

.加法交换律

运算规律•加法结合律

通常

1.有理数1.4加

两数同号时:

两数异号时:

与0相加时:

法则：

1.5减「实质：

方法：

‘交换律

运算律结合律

分配律

1.6乘

法则

.步骤

・法则

1.7除・乘除混合运算

步骤

|定义

符号法则

1.8乘方

运算性质

|有理数混合运算顺序

1.有理数:整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0；负整数，分数包括正分数和负分数.

非负数指正数和0,非正数指负数和0,

有理数的分类

剖析：有理数的两种分类方法，不同的分类标准,分类的结果不同.

⑴按正数、负数与0的关系分类：

⑵按整数、分数的关系分类：

注意:⑴有限小数可化为分母是10,100,…的分数，如0.9=,5.47=5，所以在有理数的分类中,

这样的小数包括在分数中.

⑵无限循环小数也可化成分数，如0.333-=，所以无限循环小数也属于有理数.

⑶整数也可看成分母是1的分数，因此一切有理数都可表示为最简分数（qWO）的形式，这里的

分数是指不包括整数的分数.

2.数轴：

⑴概念:.画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度为单位长度,

规定直线向右的方向为正方向，就得到•个数轴。

⑵规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。

⑶所有的有理数可以用数轴上的点表示.

数轴的画法剖析：

⑴画一条直线，一般画成水平的直线；

⑵在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下边标上"0"）；

⑶确定正方向（•般规定向右为正），用箭头表示出来；

⑷选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3,-;

从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1,-2,-3,….

画数轴时要注意：

⑴原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取.

⑵确定单位长度时，根据实际情况,有时也可以每隔二个（或更多的）单位长度取一点，从原点向

右，依次表示为2,4,6,…，从原点向左，依次表示为-2,-4,-6,….

画数轴常见的几种错误:①没有方向;②没有原点;③单位长度不统一;④负数的排列错误.

3.相反数：

⑴几何定义:在数轴上原点的两侧，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数.

⑵代数定义:如果两个数只有符号不同，那么我们称其中的一个数为另一个数的相反数。

⑶因此，要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是0,再由绝对值的意义确定去

掉绝对值符号后的结果.

4.绝对值：

⑴一个正数的绝对值是正数;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

⑵一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|,-3的绝对值等于3,

记作1-31=3.

⑶有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起

到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

⑷科学记数法

把•个数写做±axl°"的形式，其中。＜1。，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

5.有理数大小比较：

⑴正数都大于0,负数都小于0,一切正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小.

⑵数轴上的点，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.

6.有理数加、减、乘、除、幕及其混合运算的运算法则

⑴有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

③一个数同0相加，仍得这个数。

⑵有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

⑶有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，

都得0。

②儿个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数的个数为奇数时，积

为负，当负因数的个数为偶数，积为正。

③儿个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

⑷有理数除法法则：

①除以一个数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数。

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相处。0除以任何一个非0的数，都得0

⑸幕的运算法则：正数的任何次幕都是整数；负数的奇数次幕是负数，负数的偶数次塞

是正数

0的任何正整数次幕都是都是0.

⑹有理数混合运算法则：

先算乘方，再算加减，最后算乘除。

如果有括号，就先算括号里的，再算括号外。

同级运算从左到右进行计算。

7.运算律

(1)加法交换律:a+b=b+a。(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

(3)乘法交换律:ab=ba。(4)乘法结合律：(ab)c=a(bc)。

(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac(>

8.有理数的大小比较

(1)差值比较法

(2)商值比较法

(3)绝对值比较法

(4)两数平方法

单项式

多项式

多项式的次数

2.1基础定义

整式'

2.整式的加减同类项

合并同类项法则

|添括号法则

2.2加减［去括号法则

|运算法则

【考点分析】

从近几年全国各地的中考试卷来看，整式加减主要考查列式表示实际问题中的数量关系、单

项式、多项式、同类项的概念、运用整式的加减进行化简求值等，多以选择题和填空题的形

式出现，对这部分内容的考查在大多数中考试卷中出现的题目难度不大，只要细心运算，较

容易得分。

【学习过程】

（1）自主学习

1.代数式：由数和字母用运算符号连接所成的式子称为代数式。单独的一个数或一个字母也

是代数式。（凡是式子中含有等号、不等号式子的都不是代数式）

2.代数式的书写规则：

⑴数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用来代替。

（2）当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100・a,

na或n・a。

⑶后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（5s+1）元。

（4）除法运算写成分数形式

⑸带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。

3.列代数式时要注意：

⑴语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”“倍”“几分之几”等词

语与代数式中的运算符号之间的关系。

⑵要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”

“平方差”“差的平方”等等。

⑶在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示.

4.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式值（当数值是负

数或者分数时，一般要打上括号）

5.单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。（凡是含有+、

分母含字母的均不是单项式）

6.单项式系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式数字系数，筒称单项式的系数；

7.单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数.8、多项式：几个单项式

的和叫做多项式。

9.多项式的项与项数：多项式中每个单项式叫多项式的项;不含字母的项叫做常数项。多项

式里所含单项式的个数就是多项式的项数。（多项式的项要包含前面的+、-号）

10.多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数：常数项的次数为0

注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.

11.多项式的升幕排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按

这个字母的升褰排列。多项式的降幕排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到

小排列起来，叫做按这个字母的降幕排列。（注意：多项式计算的最后结果一般应该进行

升骞（或降骞）排列.）

12.整式：单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运

算但除式中不含字母的代数式叫整式.

13.整式分类：多项式单项式整式.（注意：分母上含有字母的不是整式。）

14.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.15、合并同类项

法：各同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变。

16.去括号的法则：

（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；

（2）括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

17.添括号的法则：

⑴若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；

⑵若括号前边是号，括号里的各项都要变号.

18.整式的加减：进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号，再合并同类

项；整式的加减，实际上是在去括号的基础匕把多项式的同类项合并.整式加减的步骤：

（1）列出代数式；（2）去括号；（3）添括号;（4）合并同类项。

整式的加减：-找：（划线）；二聚（把同类项写在一起）；三合：（合并）

配套问题

工程问题

实际问题与方程

比赛中积分问题

打折销售问题

;概念

:解方程与方程的解

・3.一元一次方程，等式

:等式的性质

；解方程思想：

去分母

去括号

:解方程步骤移项

合并同类项

系数化1

1.含有未知数的等式是方程。

2.只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

3.分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一

种方法。

4.列方程解决实际问题的步骤：①设未知数；②找等量关系列方程。

5.求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

6.求方程的解的过程，叫做解方程。

7.用等号“="表示相等关系的式子叫做等式。

8.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b,那么a土c=b±c.

9.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b,那么ac=bc;

a_b

如果a=b且c#0,那么cc

10.运用等式的性质时要注意三点：

①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算；

②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同•个式子；

③等式两边不能都除以0,即0不能作除数或分母。

判断一元一次方程的条件

（1）首先是一元一次方程。

（2）其次是必须只含有••个未知数

（3）未知数的指数是1

（4）分母中不含有未知数

11.解一元一次方程——合并同类项与移项

（1）＞合并同类项的依据：乘法分配律。合并同类项的作用：是一种恒等变形，起到“化

简”的作用，它使方程变得简单•，更接近x=a（a是常数）的形式。

（2）、把等式-一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（3）.移项依据：等式的性质1.移项的作用：通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于

方程左右两边，使方程更接近于x=a（a是常数）的形式。

12.解一元一次方程—去括号与去分母

（1）、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分

母。

（2）、顺流速度=静水速度+水流速度：逆流速度=静水速度-水流速度。

（3）、工作总量=工作效率X工作时间。

（4）、工作量=人均效率X人数X时间。

13.实际问题与一元一次方程

（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。

（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。

（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。

（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。

（5）、盈亏问题：利润=售价一成本；售价=进价+利润；售价=进价+进价X利润率；

（6）、产油量=油菜籽亩产量X含油率X种植面积。

（7）、应用：行程问题：路程=时间X速度；工程问题：工作总量=工作效率又时间；

储蓄利润问题：利息=本金X利率X时间；本息和=本金+利息。

I算术平方根

开平方

平方根

平方根的性质

概念

立方根性质

概念偶次方与几次方根

无理数

有理数

实数

整数部分

小数部分

4•实数；|按定义分类

"关【按正负分类

;实数运算法则

数轴比较法

代数比较法

差值比较法

;实数比较大小商值比较法

倒数比较法

平方比较法

|开方比较法

；实数运算顺序

1.平方根

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“士。

2.算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“五”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a(a>0)&>0

存=时=;注意右的双重非负性：

-a(iz<0)a>0

3.立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有•个负的立方根；零的立方根是零。

注意：亚二=一夜，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

4.实数的分类

「正有理数］

厂有理数［零4有限小数和无限循环小数

实数，匚负有理数」

「正无理数［

匚无理数卜无限不循环小数

L负无理数」

数包括正整数、零、负整数。

1正整数又叫自然数。

.整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

5.无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：

(1)开方开不尽的数，如J7,正等；

JI

(2)有特定意义的数，如圆周率口，或化筒后含有X的数，如一+8等；

3

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函数，如sin60°等(这类在初三会出现)

6.相反数

实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有

a+b=0,a=-b,反之亦成立。

7.绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，Ia|20。零的绝对值是它本身，若|a|=a,

则aNO：若|a|=-a,则aWO。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，

绝对值大的反而小。

8.倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点五、实数大小的比较

9.数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一

不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

10.实数大小比较的几种常用方法

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-b>O=a>b,

a-b-Qa-b,

a-b<0a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，—>1a>b\—=1<^>«=£>;—<\<^>a<b',

bbb

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|《〉网＜0。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。2＞匕2=。＜6。

11.实数的运算

⑴加法交换律a+h=h+a

⑴加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

⑴乘法交换律ab=ba

⑴乘法结合律(ab)c=a(be)

⑴乘法对加法的分配律a[,b+c）=ab+ac

12.实数混合运算时、对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。

同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加

减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

13.有理数除法运算法则就什么？

有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数

的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零

的数，商都是零。

14.什么叫有理数的乘方？幕？底数？指数？

相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫暴，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底

数。记作:an

15.有理数乘方运算的法则是什么？

负数的奇次塞是负数，负数的偶次嘉是正数。正数的任何次塞都是正数。零的任何正整数幕

都是零。

16.加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式

子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式

子相应各项的符号相反。

一般形式

方程概念

定义方程的解

方程组概念

方程组的解

代入法

解方程组加减消元法

巧记口诀

审题设两个未知

找出两个相等关系

5.二元一次方程组实际问题与方程组步骤

解方程组

检验合理性

行程问题

工程问题

分配问题

实际问题举例

等质、体积问题

数字问题

经济问题

代入法

解三元一次方程组

加减消元法

1.二元一次方程的概念

含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程

注意：(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.

(2)含有未知数的项的次数都是1.

(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式.(三个条件完全满足的就是二元一次方

程)

(4)含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。即若ax"+by"=c是二元一次

方程，则aWO,bWO且m=l,n=l

2.二元一次方程组的概念

由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组

注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组

中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解定义

一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次

方程组的解。

4.代入消元法

用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数

的式子表示出来.

(2)把(1)中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.

(3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

(4)把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确

定方程组的解.

5.加减消元法

定义：两个二元•次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相

加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减

法。

6.一次函数与二元一次方程(组)

从数的角度看

求二元一次方程组的解卜为何值时，两个函数的值相等

从形的角度看：

求二元一次方程组的解|。一是确定两条直线交点的坐标

7.实际问题与二元一次方程组

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、歹I」、解、答”五步，即：

(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表

示其中的两个未知数；

(2)找：找出能够表示题意两个相等关系；

(3)歹I」：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

(5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础匕写出答案.

8.列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的…种，它的特点是同向而行。这类问题比

较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的

整理E在皿而速度.需时间-黑

路程；踣程度加间.ftiw.建食

（2）相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也

比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和

=总路程。

（3）航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；

②船在静水中的速度一水速=船的逆水速度；

③顺水速度一逆水速度=2X水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航

行问题类似。

2.工程问题：工作效率X工作时间=工作量.

3.商品销售利润问题：

■—•.—xiuim

（1）利润=售价一成本（进价）；（2）幽1fL；（3）利润=成本（进价）

X利润率；

标价=成本（进价）X（1+利润率）；⑸实际售价=标价X打折率；

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即

五分之四或者百分之八十）

4.储蓄问题：

①利息=本金X利率X期数

②本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X（1+利率X期数）

③利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率。

④税后利息=利息X（1—利息税率）。

5.配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6.增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量X（1+增长率）=增长后的量；

原量x（1—减少率）=减少后的量.

7.和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量.

8.数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当

n为整数时，奇数可表示为2n+l（或2n-l）,偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关

系式为：两位数=十位数字"10+个位数字

9.优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、

到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

［定义

:概念不等式的解

I一元一次不等式

I1,

:不等式的性质2.

k

♦不等式的解集

{6.不等式与不等式组！实际问题与不等式

不等式组

;解不等式组

去分母去括号

移项

•解不等式

；合并同类项

系数化1

I

L不等式：用＞或＜号表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

3.解集：使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。

4.一元一次不等式：含有•个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

5.不等式的性质：

⑴不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

⑵不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑶不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改

6.一元一次不等式组：把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。

7.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。

记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。

同底数累的乘法

;整式的乘法幕的乘方

积的乘方

单项式相乘

I乘法法则单项式与多项式相乘、

多与多项式相乘

平方差公式

{7.整式的乘法与因式分解乘法公式完全平方公式

添去括号法则

;因式分解

:确定系数

提公因式法确定字母

；因式分解方法j确定指数

八一平方差公式

公啊J完全平方公式

1.幕的运算性质：

am-an=am+n（m,n为正整数），同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

（an'）n=amn（m、n为正整数），器的乘方，底数不变，指数相乘.

（ab）n=anbn（n为正整数），积的乘方等于各因式乘方的积.

mn

a-a=a^-n（a#0,m、n都是正整数，且m>n）

同底数基相除，底数不变，指数相减.

5.零指数基的概念：

a°=l（aWO）,任何一个不等于零的数的零指数募都等于I.

6.负指数塞的概念：

1

a-P=ar（aWO,p是正整数）

任何一个不等于零的数的一P（p是正整数）指数幕，等于这个数的p指数幕的倒数.

（邛⑴

也可表示为：I"1'I11'（m#0,nWO,p为正整数）

7.单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数塞分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字

母，则连同它的指数作为积的一个因式.

8.单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

9.多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的

积相加.

10.单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式.

多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

2.乘法公式：

①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a—b）2=a2—2ab+b2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数

的积的2倍.

13.因式分解（难点）

因式分解的定义

把一个多项式化成儿个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素

缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为

和差的形式.

二、熟练掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项

系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需

注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验

是否漏项.

（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的

第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2

a2—2ab+b2=(a—b)2

概念

分式有意义

分式无意义

分式值为零

与分式有关的条件分式值大于零

分式值小于零

分式值为一

分式值为负一

分式的基本性质

约分

分式约分与通分

通分

分式的乘除法则

8.分式分式的乘方

网分母分式加减

分式运算分式的加减i异分母分式加减

1整式与分式加减

1分式混合运算

整数指数累

定义

分式方程

增根

去分母

解分式方程解整式方程

检验

实际问题与分式方程黑黑

1.分式的定义

A

一般地，如果A,B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式，A为分子,

B

B为分母。整式和分式统称有理式

2.与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0(BWO)

②分式无意义：分母为0(B=0)

A=0

③分式值为0：分子为0且分母不为0(\)

Bw0

">°或<A<Q

④分式值为正或大于0：分子分母同号(!)

5>0B<0

A>0IA<0

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（八或C）

B<0>0

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为T：分子分母值互为相反数（A+B=0）

3.分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：金=分二，2=士£,其中A、B、C是整式，CH0。

BB・CBB+C

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的

值不变，即

A-A_-A___A

B~-B~B~-B

注意：在应用分式的基本性质时，要注意CW0这个限制条件和隐含条件BW0。

4.分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然

后约去分子分母相同因式的最低次事。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

5.分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的

同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次帚的积作公分母，这样的公分母叫做最

简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

I取各分母系数的最小公倍数；

II单独出现的字母（或含有字母的式子）的幕的因式连同它的指数作为一个因式；

III相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最大的。

IV保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的塞的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

6.分式的四则运算与分式的乘方

①分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

ac_aec

bdb,d

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

・

—a：—c=—a•—d—-a---d

bdbcc

②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

③分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

a、ba+b

CCC

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

a+c_ad±be

bdhd

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分

母为1的分式，再通分。

④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也

要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便

跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

7.正整数指数基运算性质也可以推广到整数指数'幕.（m,n是整数）

①引入负整数、零指数幕后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数界的法

则对对负整数指数塞一样适用。即

（1）同底数的幕的乘法：a"'-an=am+n；

（m\n_mn

（2）嘉的乘方：9）二a；

（3）积的乘方：（ab）"=a"b"；

（4）同底数的事的除法：a"aWO）；

（5）商的乘方：（bWO）

★a=—（a=0）

a11

★a0=1（awO）（任何不等于零的数的零次基都等于1）

其中m,n均为整数。

8.科学记数法

若一个数x是0<x<l的数，则可以表示为axl（T（l<|a|<10,即a的整数部分只有一位,

n为整数）的形式，n的确定出从左边第•个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数

的相反数。加0.000000125=1.25x10-7

7个0

若一个数x是x>10的数则可以表示为ax10"（l<|a|<10,即a的整数部分只有一位，n

为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。120000000=1.2X108

9个数字

9.分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0,则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不

为0，则是原方程的解。

10.产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零，那么这个根就是原方程的增根。

11.增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些

使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整

式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式

方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解

分式方程容易发生增根。

12.例如：设方程A(x)=0是由方程B(x)=0变形得来的，如果这两个方程的根完全相同(包括

重数)，那么称这两个方程等价.如果x=a是方程A(x)=0的根但不是B(x)=0的根，称x=a是

方程的增根;如果x=b是方程B(x)=0的根但不是A(x)=0的根，称x=b是方程B(x)=0的失根.

最简二次根式

定义同类二次根式

I代数式

二次根式有意义的条件

二次根式的乘法法则

{9.二次根式二次根式的除法法则

二次根式加减法则

二次根式混合运算

1.

二次根式的性质2.

3.

I.二次根式：式子(。20)叫做二次根式。

2.最筒二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：「a(a>0)

(1)(y[a)2=a(a20);(2)7a^"=|a|=-<0(a=0)；

、一a(a<0)

5.二次根式的运算：

(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算

术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积

的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.

(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)

仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

-Jab=4a,yjb(a>0>b>0)•=里(b>0,a>0).

ayja

(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项

式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

I常量

I变量

基本概念

函数

;函数值

定义

函数图像

描绘

定义

{10.一次函数正比例函数

图像与性质

定义

图像与性质

一次函数图像化法

待定系数法

一次函数的应用

一次函数与不等式方程

一次函数与不等式方和

一次函数与不等式方组

一次函数知识点总结及经典试题

（-）函数

1.变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的

值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是

x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3.定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4.确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要

和实际情况相符合，使之有意义。

5.函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6.函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,

那么坐标平面内山这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

7.描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出•些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描

出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

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