全国高中数学联赛模拟试题（八）（后附答案解析）

全国高中数学联赛模拟试题(A)

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知集合M=t'，；，l，4｝,集合M的所有非空子集依次记为：M”M2,..“M”,设

mi,m?，…，m”分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元

素，乘积即为该元素本身，则mi+m2+...+mi5=

2.己知函数/(x)是定义在实数集R上的奇函数，当xZO时，

/U)=l(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若/(x-2)-f(x)W0恒成立，则实数a的取值范围

是.

3.设任意实数a>b>c>0,要使地£2018+41(^201隆力log£2018恒成立，则的

bca

最小值为.

4.已知4=(1+加++丫1+关+

则|z：2O17-Z20M的值是---

5.设八贝厅(1°)+〃2。)++/(60。)=

6.如果：(1)。、b、c、6都属于{1,2,3,4}；(2)a'b,b*c,c手d,d手a；(3)

“是“、b-，、d中的最小值.

那么，可以组成的不同的四位数两的个数是.

7.如图，棱长为1的正四面体S-ABC的底面在平面a上，现将正四面体绕棱BC逆时

针旋转，当直线以与平面a第一次成30。角时，点A到平面a的距离为.

8.在1,2,3,4,…，1000中，能写成a?-〃+l(aeN)的形式，且不能被3整除的

数有个.

二、解答题

9.已知正整数数列｛4｝满足：4=〃，%="凡+2="型手("21),求。+%的取值范围.

10.已知点4285。2足。),仅28$小5抽万),。(2857,5汨7),其中£[0,2])，且坐

标原点。恰好为ABC的重心，判断SABC是否为定值，若是，求出该定值；若不是,

请说明理由.

II.已知平面上的动点P与点MO，1)连线的斜率为勺，线段PN的中点与原点连线的斜

率为22，kk=----(/>1),动点尸的轨迹为C.

[2m"

(1)求曲线C的方程；

(2)恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：

①以曲线C的弦AB为直径；

②过点N；

③直径归呦=与獭.求m的取值范围.

12.如图，在锐角ABC中，AB>AC,。、E分别是AB、AC的中点，VAOE的外接

圆与BCE的外接圆交于点尸(异于E),VADE的外接圆与△BCD的外接圆交于点。

(异于。)，证明：AP=AQ.

13.设a,eR”i=l,2,,n,记：4=尸二J一—，其中求和是对1，2,

、十C%十十C%

〃的所有C：个％元组合32，，乙进行的，求证：222,志=1,2,•

14.证明：存在无穷多个奇数〃，使得〃!+1是合数.

15.求最大的〃〃)(”22),使对于给定〃，任意一个实数列(小生，，6)(改>〃)，总存

在一个子列T=(4⑴此⑵，，4⑸)满足:

(a)aitai+l,,。皿(14+1)中有1项或2项属于T；

(b)Wa)+%2)++%)|±4(">(同+同++EI).

试卷第2页，共2页

参考答案:

13

1.T

【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数/(x)=(x-g)(x+T(x+l)(x+4),当x=l

时，函数的值就是所有子集的乘积.

【详解】集合”的所有非空子集的乘积之和为函数/3=1-：]卜+9(》+1)(工+4)展开

式中所有项数之和7-1

令x=l,

（.2、＜5、/一\八八19…15

T二［一才&+1*（+4）=3X1X2X5=1

15.13

-----1——

22

故答案为5

【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解,

注意转化思想的应用，属于难题.

2.(7,；

【详解】/(x-2)-f(x)V0等价为f(x)<f{x+2)恒成立.

当x20时，/(x)=^(|x-a|+|x-2a|-3|a|).

若aVO,则当x2O时，f(x)=^(x-a+x-2a+3a)=x.

因为/(x)是奇函数，所以若x<0,则-x>0,则/(-x)=-x=-,f(x),则f(x)=x,x<0,

综上f(x)=x,此时函数为增函数，则f(x)4f(x+2)恒成立.

若〃>0,若OWXWQ时，f(X)=—[—X+a—(x-2a)—3ci]——x；

当avx42cl时，f(x)=—[x—ci—(^x—2。)-3〃]=—ci；

当x>时，/(x)=~(x~cix—2a3a)-x—3a.

即当XNO时，函数的最小值为一。，由于函数是定义在R上的奇函数，当XV。时，fM

的最大值为。，作出函数的图象如图：

答案第1页，共10页

故函数/*)的图象不能在函数/(X+2)的图象的上方，结合图可得为-24-3〃，即“K，

求得0<*,综上它.

故答案为：,8,g.

3.-9

【分析】先利用换底公式进行化简，然后令s=/ga-/gb,t=lgb-/gc,将题目转化成不等式

恒成立问题，最后利用均值不等式求出最值即可得到结果.

［详解】要使2018+410gz.20182”log：2018恒成立

bca

即使要1+幽丝〉m•典

恒成立

/ga-/gbIgb-lgcIgc-lga

☆s=/ga-/gb,t=lgb—/gc,而a>b>c>0

/.s>0,t>0,

141

即使得_+W(S>0,t>0)恒成立

st-(s+。

14

BP-m<(-+—)(s+t)的最小值

st

•：(-+-)(s+t)=5+-+—>5+2>/4=9

stst

-m<9,即m>-9

；.m的最小值是9

故答案为-9

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及均值不等式的应用，同时考查了转化的思想,

属于中档题.

4.1

答案第2页，共10页

）卜点）’根据复

【分析】先由题意得到Z刈7-Z刈8=（

V2017

因此|z…刈4|1+仲+却1+#』+高/扁|

故答案为1

【点睛】本题主要考查复数模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.

179百

）.-----

6

cosX

【详解】因为小）=3（3。。-X），所以：

cosxcos（60°-x）

/（幻+〃60。一同=

cos（30°-x）cos（x-30°）

cosx+cos（60°-x）_2cos30°cos（x-30°）

=G.

cos（x-30°）cos（x-30°）

令：5=〃1。）+〃2。）++〃59。），①

$=〃59。）+〃58。）++〃2。）+〃1。），（2）

①+②得:：

2S=［/（1。）+/（59。）］+口（2。）+"58。）］++［/（59。）+〃1。）］=596,

所以s=,G,BP/（1）+/（2）++/（59）=邛.

答案第3页，共10页

1

cos60°_2_6

COS（30°-60O）-^-_T,

T

则〃1。）+/（2。）++〃59。）+〃60。）=竽+4=今叵.

故答案为：毁叵.

6

6.28

【详解】砺中恰有2个不同数字时，能组成废=6个不同数字.

时中恰有3个不同数字时，能组成。；。；以+。：。；=12+4=16个不同的数字.

血中恰有4个不同数字时，能组成片=6个不同的数字.

所以，符合要求的数字共有6+16+6=28个.

7一T

,4

【详解】取BC的中点O,折叠后A在平面a内的射影为E,则

ZADE=ZSAD-30°,

sinZADE=sin（ZSAD-30°）

=sinZS/4Dcos300-cosZSADsin30°=——

6

所以AE=AOxsin/A£>E=@x"二

264

8.501.

【详解】设S={1,2,3,4,,1000},若〃=/一从+1,则〃工3（mod4）.又42=（2攵）2-（2左一1）2+1,

4女+1=（左+1）2—（%—1『+1,4%+2=（2左+1）2—（2%）2+1,因止匕，〃=/一。2+1当且仅当

〃*3（1110（144）.令A={aeS|〃三3（mod44）},B={b&S\b=0（mod3）},则

AcB={ceS|g3（modl2）},因为图=250,忸|=333,|Ac@=84,从而符合条件的数

答案第4页，共10页

的个数为1000-250-333+84=501.

故答案为501

9.{1011,2019}

20]9673x3

【详解】先考虑一种简单的情况：6=。=1,。3=--=—则4=2,672,2018,

a2+1a2+1

相应的％=673,3,1,日=673,3时内不为正整数,舍去.

所以％=。=1，4=6=2018,此时a+匕=2019.

由题意可知an+2an+l+a.=。“+2018,则an+3a„+2+«„+3=«„+1+2018,

相减可得（4+3-%+|）（%+2-1）=。“+2一。"，下面分类讨论：

①若%+3-%+山1，则贝！1/41,所以4“=1,代入检验矛盾.

②若%+3-4+1=0,则。.+2-“,=°，易得”2018,2=1（同上）

或者a=1009,6=2,止匕时6=4=2,可得％=6=1009,4=2,%=1009,

得到4+6=1011.

③若限一%4-1,则4-4+2”“+2-1，即422a若对任意的：都有4W1（否则

同②），4.24”<4,与数列是正整数数列矛盾.

综上可知。+力的取值范围是{1011,2019}.

10.三角形A8C面积为定值逋.

2

【详解】先证明一个引理：若4（不必）,3（々,%）,。（0,0）,则打所二/士力一々）'/

因为。4=（3,乂）,。3=（无2，%），

「CACBx.x+y.y

所以8久=许=4E0T9

所以sinC=Vl-cos2C=1丝一沙,

所以：SAfiC=l-|c/l||CB|-sinC

2"：+齐々考+¥2

答案第5页，共10页

回到原题，连结OA、OB、0C,则:

SABC=S0AB+SOBC+SOAC

=-|2cosasin/?-2sintzcos"+g12cosy5sin/-2sin/?cosy\

21

+-|2,cosasin/-2sinacos/|

21

=|sin(a-4)|+|sin(77-/)|+|sin(a-7)|.

sina+sin£+siny=0,sina+sin0=-siny,

由三角形的重心为原点得即

2cosa+2cos/7+2cos/=0.cosa+cos(3=-cos/.

所以两式平方相加可得cos("-£)=—g,所以卜in(a-夕)|=*，

同理卜in(夕-/)|=|sin(a-/)|=与,

所以SAnC=|sin(a-/?)|+|sin(/?-y)|+|sin(a-y)|=3x-^-=,

故三角形ABC面积为定值主叵.

2

2

11.(1)二+丁=1(XH0)

m

(2)\<m<>/3

【详解】试题分析：第一问根据中点坐标公式求出点P的坐标，再根据两点斜率坐标公式,

将两直线的斜率都求出来，结合着题中的条件，两斜率成绩等于常数几，从而写出x，y所满

足的等量关系式，整理得出所求的结果，对于第二问根据直线与曲线相交，联立可得交点的

坐标的关系，再根据对应的弦是圆的直径，根据圆的直径的条件，可知对应的垂直的关系,

注意弦长公式的应用，即可得结果.

试题解析：（1）设尸a,y）,记PN的中点为“，所以用仁,号）.

2±1

由题意勺=^"^(x*0),k2=—^~(XHO),

XX

由我，T可得:xw0),

化简整理可得：工+丁=1（户0）,

答案第6页，共10页

曲线C的方程为j+y2=i(XHO).6分

m'

(2)由题意N(O,I),

若存在以曲线C的弦A8为直径的圆过点N,则有N4，N8,

所以直线N4、N8的斜率都存在且不为0,

设直线24的斜率为&(不妨设&>0),

所以直线24的方程为y=H+l,直线NB的方程为)，=-?》+1,

k

y=kx+\

将直线N4和曲线C的方程联立，得｛/

—+r=1

消y整理可得(1+m2k2)x2+2m2kx=0,

解得一景，所以陷=内・摆

又因为|：越卜应陶，|，即有|M4|=^\ABf-\NBf=|叫,

所以标.热.恶

所以左③+而k=1+所以，

即(％-1)[%2+([-相2)&+1]=(),

(i)当“1=6时，("1)[公+(1-/快+1]=小-1)3=0,解得&=]；

(ii)当Ivmv6时，方程公+(1—加2袂+1=0有△=(1一〃，)2-4<0,

所以方程(k—l)仅2+(1-布快+1]=0有唯一解&=1；

(iii)当石时，方程%?+(1-机2*+1=0有△=(1-机：!，-4>0,

且『+(1一/卜1+1父0,所以方程小-1)k2+(1->*+1]=。有三个不等的根.

综上，当1<机4石时，恰有一个圆符合题意.

考点：曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，数形

答案第7页，共10页

结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力.

12.证明见解析

【详解】连结BP、DE、QC、PE、DQ、PD,由于£>、E分别是边AB、AC的中点可

知DEHBC,则

ZAPD=1800-ZAED=ZDAE+ZADE=ZDAE+ZDBC

=180°-ZDQE+180°-ZDQC=NEQC,ZBPD=ZBPE-NDPE=1800-ZACB-ZDAE

=ZABC=ZADE=NAPE=ZAQE,

ZAPB=ZAPD+ZBPD=ZEQC+ZEQA=ZAQC,且：

PB-PD-sinZBPD"

c4尸1_sinZBPD

AP_AP^SPBD_1

一sinNAP。

BPBP.SPAD3P.iPAPD-sinZAPD\

./AnPCQ­(^AQAE-sinZAQE]

=sinNAQE=(2)=CQ，S晚=CQ

Sc£

smZCQEAQ.^LCQ.QE-sinZCQE^'«

所以一APBs.CQA,所以：

ZAQP=ZADP=NPBD+ZBPD=ZQAE+ZAQE=ZQEC=ZAPQ,

所以AP=AQ.

13.证明见解析

【详解】任取%效，，*由柯西不等式，有:

号1之("I-

>'4+纵++%*,_%-(/+0(4+气++)一(4+%++

(&+1>1

----------------------------------

a+i1(^+1)-y]

所以++令

k4+4++4

其中求和对1,2,〃的所有C：”个％+1元组合进行.

上式左边实际上是一些k元组合的求和，因对任意左元组合力，限，，%,选这人个数的氏+1

元组合有〃必个（余下的，个数中任意一个数都与其构成一个k+1元组合），

答案第8页，共10页

人士111

故XX------------------------------=(n-k)\-----------------------.

六1%+《2++"+】_%4+唳++气•

这样便有(〃-k)Z+I=2咛8Z*二+，

(1+%++&K气+%++%

pr-rlV______!______>(氏+1『、_______!_______

C：%+%++%(n-k)C^殁+4工++”「

再注意到(〃-%)C=6+1)C：+1,即得:

JLy1>illy]

c：%+%+,+&C；'%+4++%“•

这就证明了ANAM，其中％=1,2,

即有2*21亚2…z。,.

14.证明见解析

【详解】证明当奇数〃("23)时，加+1与(〃!-〃)!+1不均为质数即可：

用反证法，若〃!+1为质数，设”!+l=p,则结合威尔逊定理可得：

(〃!-〃)!=(p_]_〃)!三(/2-1)!(-1)-|(-2)_|(-/?)-'(modp)

=-(—1)”•加=