江西省萍乡市2022届高三高考二模数学（文）试题（含答案解析）

江西省萍乡市2022届高三高考二模数学（文）试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知4={xwN+1-1W7},8={x|x=3〃+L〃wN},则Ap|8=（）

A.{1,4}B.{4,7}C.{1,4,7}D.{-U,4,7}

2.已知复数z满足z=Q5y（i为虚数单位），则同=（）

51

A.y/2B.—C.1D.:

22

3.北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需

求得到释放.下图是2012-2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增

长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（）

2012-2019年中国已投入运营的室内清雪场（单位：家）

A.2012-2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势

B.2013-2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快

C.2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底

D.2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长

4.已知sin(a+?)=g,贝Ijcos(2a+T

（）

A.|B.3

C.—D.

222

5.若函数/(x)=x-〃lnx的图象在犬=1处的切线斜率为3,则。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.在AABC中，AO为8c边上的中线，E在线段AO上，AE=2ED,则丽=

()

3-.1—.

A.-AB--ACB.-AB--AC

4433

2__?__3—1—■

C.-AB——ACD.-AB+-AC

3344

7.如图，在正方体ABCO-AgCQ,中，E,尸分别为8C,CC,的中点，过点A,E,F

作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下部分几何体的正视图为（）

B.

y1

+jy=l(6f>/?>0),[3]A7:x2+y2-6bx+3ay=0,若△”用工的重心

在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（)

A④

B-CD

2-T-I

9.已知圆C:（x-2）?+y2=i,直线/为绕原点转动的任一直线，则事件“直线/与圆C

有公共点”发生的概率为（）

£n

-

Ac.3B.6

D.

11

3-6-

10.已知函数f（x）=（：一〉”：°,则y=/（x）-《的所有零点之和为（）

|x+l|,x<02

A.B.C.2D.0

22

11.已知四棱锥P-ABC。的底面四边形A8C£>是正方形，侧棱PAL平面ABCO,

以=3,且直线PC与平面F4B所成的角的正切值为亚，则四棱锥尸-ABCD的体积

3

为（）

A.3B.9C.18D.27

12.设函数f（x）=sin[2x+：）在区间a,a+^上的最大值为"，最小值为机，则

M-机的最小值为（)

A近

2

c.1-也

D

2.亨

二、填空题

13.已知函数〃x)是R上的奇函数,且f(x)=d+3x,若非零正实数〃?，〃满足

,t\m-2〃加)+/(〃)=0,则,'的小值是.

mn

x+l>0

14.若实数工、》满足约束条件卜-y<0,则目标函数z=3x+y的最小值为

2x+3y-l>0

15.AABC中，角AB,C的对边分别为a,。,c,若一千心一=—J,a=百,c=2,则

b=・

16.已知圆。:/+9=2,对直线x+3y-4=0上一点P(r,A),在圆。上总存在点A,

使得NOP4=30。，则实数上的取值范围为.

三、解答题

17.第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知

识，面向全市征召。名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成

[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知

(1)求m和a的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数(中位数精确到

0.1)；

(2)若用分层抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某

社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者去该社区的一所高中组织一

次冬奥知识宣讲，求这2名志愿者中至少有1人年龄在[35,40)内的概率.

18.如图，一半圆的圆心为0,A8是它的一条直径，AB=2,延长AB至C,使得

BC=OB,设该半圆所在平面为a,平面a外有一点尸，满足平面POCL平面a,且

OP=CP=4s,该半圆上点。满足PQ=".

(2)若线段C。与半圆交于R,求三棱锥。-PQ?的体积.

19.己知数列｛4"｝中，％=l,a“a"+|=2",令2=%,,.

(1)计算久也也的值，并求数列｛〃｝的通项公式；

(2)若c“=(3〃+1也，求数列｛%｝的前〃项和7；.

a—]

20.已知/(不)=111_¥+1+；—工2+以.

(1)若。=一1,求/(幻的极值；

(2)若不等式f(x)<Z-ln2恒成立，求实数”的取值范围.

4

21.已知抛物线C:d=2py(p>0),焦点为F,过F作动直线/交抛物线C于

&孙弘),8(々,％)两点(必2”)，过3作抛物线C的切线”?，过A作直线口的平行直线

“交》轴于。，设线段AO的垂直平分线为〃，直线/的倾斜角为a.已知当

4

cosa=——时，y=4.

⑴求抛物线C的方程；

⑵证明：直线。过y轴上一定点，并求该定点的坐标.

C1

2x=t+-

22.在直角坐标系xQy中,曲线C的参数方程为C：:a为参数),以直角坐

y=t--

t

标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线c的极坐标方程；

(2)若A、8是曲线C上的两点，且厉.丽=0，求|词的最小值.

23.已知函数f(x)=|x+l|-2|x|.

⑴解不等式/(x)苦-1；

(2)若不等式/(x)4a|x-l|恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根据集合元素的形式可得关于〃的不等式，从而可求AAB.

【详解】

2

令-143〃+147,则-而nwN,

故〃=0,1,2,故4口8={1，4,7},

故选：C.

2.D

【解析】

【分析】

先化简复数z,再利用复数的模公式求解.

【详解】

•3•1

解：因为z=-----==—,

用十(1+i)22i2

所以同=；，

故选：D

3.B

【解析】

【分析】

根据图表中的柱状图的高低变化和同比增长率的曲线图可得错误的说法.

【详解】

图表中的室内滑雪场的数量的柱状图逐年升高，故总体呈增长态势，故A正确.

2013-2017年，我国室内滑雪场的增速逐年降低，

2018年，我国室内滑雪场的增速有所提高，而2019年的增速有小幅回落.

故B错误，CD正确.

故选：B.

4.A

【解析】

答案第1页，共17页

【分析】

利用二倍角的余弦公式求解.

【详解】

因为sin(a+kj=],

所以cos(2a+g)=cos2(tz+^

5.A

【解析】

【分析】

求7U)导数，由题可知广⑴=3即可求〃的取值.

【详解】

Vf{x}=x-a\nx,/.=—,

x

若函数/(x)=x-alnx的图象在》=1处的切线斜率为3,

则/⑴=1]=3=。=-2.

故选：A.

6.B

【解析】

【分析】

由向量的线性运算法则计算.

【详解】

山题意次=A*-A£=A与一一AD=AB--x-(AB+AC)=-AB--AC,

33233

故选：B.

7.A

【解析】

答案第2页，共17页

【分析】

由E尸〃AR,可得截面为AEFR,得到几何体，进而得正视图.

【详解】

如图由于EF〃AR,,由题意得此截面为AEFQ,由图可知正视图应为A选项,

故选：A.

叭______#

8.A

【解析】

【分析】

先表示出瑞的重心，代入椭圆可得出〃=»2,即可求出离心率.

【详解】

由题可得月(一G。),工(c,O),M,则△石加工的重心为一1

将\b,-^\代入椭圆可得4+£=1,即4/_4/户+/=o,

V2)a-4b-

故选：A.

9.C

【解析】

【分析】

根据题意，设出直线/：»=履，利用圆心到直线位置关系，作图，即可计算出所求概率

【详解】

答案第3页，共17页

y

设圆心到直线的距离为d,

24

所以，d=-^J==,若/与圆C相交或相切,则d<l,化简得，饮2«1+后2,得

一旦心且,

33

所以，ZAOB=60。，可以用原点。为圆心,r=3(半径长度可随意取)，作圆,

如图，当直线/在阴影处运动时，直线/与圆没C有公共点，当直线/在非阴影处运动时,

直线/与圆C有公共点,

故事件“直线/与圆C有公共点”发生的概率「=1黑200=：1

故答案选：C

10.D

【解析】

【分析】

根据零点定义求出零点后可得.

【详解】

xNO时，由(1)2-！=0得x=l土变，

22

113

x<o时，由,+1|-5=0得工=一e或X=一3,

所以四个零点和为i+立+1-42-1-9=0.

2222

故选：D.

11.C

【解析】

【分析】

答案第4页，共17页

利用直线PC与平面必记所成的角的正切值，求出A8CO的边长，进一步利用体积公式求

出答案.

【详解】

设ABC£＞的边长为。

,:24,平面ABCO

/.PALBC

又•••8CJ.A8,PAryAB^A

：.BC1■平面力协

/•直线PC与平面P4B所成的角即为角NCPB

•BC_瓜

,・诟

.a=瓜

y/a2+93

解得”=3夜

四棱锥尸-ABCD的体积为V=g/x3=18.

故选：C.

12.B

【解析】

【分析】

求出2x+f的范围，把它作为整体，结合正弦函数性质得最大值M与最小值"?并分析它们

4

的差最小时结论.

【详解】

答案第5页，共17页

xe［a,a-i—］时，2x4—G2〃4—,2QH--1----,令2XH—=t,2QH—=h,

34|_443」44

则问题转化为g«)=sinf在［//+?27r］上的最大值是M,最小值是，",

由正弦函数性质，g(r)=sinr的周期是2万，要使得最小，则g⑺的最大值或最小值

点是区间［力,/?+的中点，

由周期性，不妨取力+力+2=%或力+力+2^=3万，/?=~,=—,

3366

，4-J."1一1

h=—ti^,A/=1,w=sm—=—,M-m=—,

6622

.77r..7TC11

h=—时、/n=-l,M=sin—=—,M—m=—,

6622

故选：B.

13.2

【解析】

【分析】

由函数/(X)为奇函数，得到/(加一2,加)=/(-〃)，结合函数的单调性，得到

m-2mn=-n,得至I」,+工=L(L+1)(〃?+〃)=L(2+2+')，利用基本不等式，即可求

mn2mn2mn

解.

【详解】

因为函数/(X)为奇函数，可得"-x)=-f(x)，

由f^m-2mn)+/(n)=0,可得/'(加—2〃?〃)=—〃")=f(-〃),

又因为〃x)=V+3x,可得/(力=3/+3>0,所以函数/(x)为单调递增函数,

所以m一2m九=一九，B|Jm+n=2mn,即•■!■+』=2,

mn

1111I、，、1小n1—「m、-

则—i—=—•(z—i—)(〃?+〃)=—*(2H---1—)>—•(2+2J----)=2,

mn2ntn2mn2\/nn

n17?

当且仅当二=巴，即机=〃=1时，等号成立，

mn

所以'+4的小值是2.

mn

故答案为：2

14.-2

【解析】

答案第6页，共17页

【分析】

作出可行域，平移直线z=3x+y,找出使得目标函数z=3x+y在y轴上截距最小时对应的

最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】

x+l>0

作出不等式组y-yvo所表示的可行域如下图所示:

2x+3y-l>0

平移直线z=3x+y,当该直线经过可行域的顶点A时,直线z=3x+y在y轴上的截距最

小,

此时z取最小值,g|Jznij„=3x(-l)+l=-2.

故答案为：-2.

15石+"

,2

【解析】

【分析】

7T

由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形,结合正弦函数性质求得c=§,再

用余弦定理列方程解得人

【详解】

a+bsinA+sinB_sinC

因为由正弦定理得

cosA+cosBcosCcosA+cosBcosC

sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCeosB,

答案第7页，共17页

sinAcosC-sinCcosA=sinCcosB-sinBcosC,

sin(A-C)=sin(C-B),

A,是三角形内角，A—C+C—B=A—Be：{—7i,,

所以A—C=C—B,

所以A+8=2C,所以C=?,

由余弦定理d=片+从-2abeosC得4=3+^-2屉cos(=3+/-向,，

解得b=3上立2=立二也舍去)，

22

故答案为：叵电.

2

16.|,2

【解析】

【分析】

A在圆。上，当小是圆。切线时，/OPA取得最大值，由题意这个最大值不小于30。即满

足题意，利用圆心到P点的距离与半径的2倍比较可得.

【详解】

由题意当R4是圆。切线时，NOPA取得最大值，而当/。上4=30。时，|OP|=2H=2/，

所以由在圆。上总存在点A,使得NOPA=30。，得〃+公J上,

2

即(4-3&)2+&248,解得？kW2.

故答案为：|，2.

17.(1)利=0.07,々=100,31.7

⑵I

【解析】

【分析】

(1)先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出用的值，然后再根据［25,30)段的人数

和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；

(2)先计算出年龄在［30,35),［35,40),［40,45］内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机

抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在［35,40)内的事件数，代入古典

答案第8页，共17页

概型概率计算公式，可得答案

（1）

由频率分布直方图知：（0.01+m+0.06+0.04+0.02）x5=l,解得机=0.07...

因为年龄在［25,30）内的人数为35,所以a=35+（0.07x5）=100

设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为x,则xe［30,35）内，且满足

2

0.01x5+0.07x5+（x-30）x0.06=0.5,解得x=31-s31.7

3

⑵

由频率分布直方图知：小组成员年龄在［30,35）,［35,40）,［40,45］的人数之比为3:2:1,故抽

取的6名志愿者中，在区间［30,35）,［35,40）,［40,45］中分别抽取了3人，2人，1人

记［30,35）中的3名志愿者为A，演A，［35,40）中的2名志愿者为综修，［40,45］中的1名志

愿者为C,则从6人中再随机抽取2人的所有可能有（A，&），（4,4），（4由），（小名）,（4,0,

（54）,（4，用）,（&也）,（4,0,（4，用）,（4也）,（4,0鸟,82）,（40,（%0；

a3

共15种，至少有1人年龄在［35,40）内的情形有9种，故所求概率为尸=尚=（

18.（1）证明见解析

⑵2

15

【解析】

【分析】

（1）连接PB,结合面面垂直得平面a,进而得再结合勾股定理得

POA.OQ,进而证明OQJ•平面POC即可证明结论；

（2）过点。作ODJ.QR于。，则。为QR的中点，进而根据几何关系，结合体积公式求解

即可.

（1）

证明：连接尸8,：OP=CP,OB=CB,PB±OC

又•.・平面POC_L平面a,平面POCCI平面a=OC,

.•.必，平面。，./8，。。

OP=y/5,OQ=l,PQ=y/6,

OP2+OQ2=PQ2,:.PO1OQ,

■：opr\PB=p,

答案第9页，共17页

.•.OQ1.平面POC,又=平面POC,

OQLAB,

由平面POC_L平面。，且平面POC_L平面a=A8,

.•.OQ,平面POC,

又OQu平面尸OQ,

平面尸OQ_L平面POC.

(2)

解：过点。作ODLQR于O,则。为QR的中点，

故在R〃COQ中：•.•；OCxOQ=gcQx。。，即：OD

RQ=2y/OQ2-OD2=竽

c_1℃12后2石2

■■^SORQ=~RQXOD=~X—^-X—^---

XPB=slop1-OB-=2，

1]24

xx

••^O-PQR=Vp-OQR=~SXOQRxPB=--2=—

19.(1)4=2,仇=4力3=8；bn=2"

(2)7；,=(3n-2)-2,,+l+4

【解析】

【分析】

答案第10页，共17页

(1)根据递推关系求出生,4，4即可得出4,为，4,再证明｛〃｝为等比数列即可求出通项公

式；

(2)利用错位相减法可求出.

(D

T°

由=2"得。+]=­，又〃1=1，，出=2,%=2,包=4,见=4,4=8，

..b、=612=2,Z?2=。4=4,=a。=8,

由的必=2"得a“+4+2=2向，两式相除可得—=2,

则如=%11=2,

'b“a2n

..•｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故"=2"；

(2)

由⑴知c„=(3n+l)2n,

23,,-1n

则7；1=4x2+7x2+10x2+---+(3n-2)2+(3«+l)2,

27；,=4x22+7x23+10x24+---+(3n-2)2,,+(3n+l)2n+l,

两式相减得-7；=8+3X(2?+2,+…+2”)-(3〃+1)2"”=8+3x上二彳一-(3n+1)2向

=(2-3n)-2n+l-4,

故<=(3〃-2)-2向+4.

20.(1)极大值为-ln2+!；无极小值.

4

(2)ae(-oo,-l)

【解析】

【分析】

(1)根据题意，利用导数研究函数的单调性，进而得极值；

(2)由题知尸(x)=J"]处，进而分a-120和。-1<0两种情况讨论求解即可.

(1)

解：当4=一1时，f(x)=lnx+l-x2-X,

答案第II页，共17页

广(力」一21=一回*'二1),

XX

.•.当xe(O,f时，r(x)>OJ(x)递增；当xeg,y)时，/'(x)<OJ(x)递减，

二/(x)的极大值为/gtTn2+1；无极小值；

⑵

0刀“\1/x(。一1W+4X+1-1)工+1](工+1)

解：/(x)=-+(^-l)x+«=^——』--------——-————二

XXX

当4一120即421时，/(x)>O,/(x)递增；/(l)=^il>0>--ln2,不合题意，

24

(注：取其它使得/(x)2」-ln2的x也可).

4

当。一1<0,即时，xw(0,^J,/'(x)>0,/(x)递增；(冗)<O,f(x)

递减，

f(x)的最大值/(---)=-ln(l-67)+—<--ln2恒成立，

\-a2(1-a)4

1〃、112(1-a)+l

令g(〃)=-ln(l-。)+——-,伍<1),g⑷=--+—----=—------>。,(。<1)

2(1-^)i~a2(j)2(j)

所以，g(4)在(YO,1)递增，且g(-l)=；-ln2,

,即4€(-8,-1)

21.(l)x2=4>-

⑵证明见解析，(0,1)

【解析】

【分析】

(1)法一：根据题意，易得直线/的方程为：y=—；x+5,与抛物线方程联立，求得

A(-2p,4),代入/=2py求解；法二：设抛物线C的准线为6,过A作于A，过

F作小，A4于4,根据cosa=-1,结合抛物线的定义，得至iJIAARAFIsinNAEA,,

再由|A%|=|A4J-丛阕求解；

(2)设/的方程为丫=依+1,与抛物线方程联立，用导数法得到切线加斜率心=5,由

m//n,得到直线〃的斜率，进而得到直线”的方程，令x=0,得到D的坐标，进而得到

答案第12页，共17页

线段AO的垂直平分线a的方程求解.

(1)

43

解：法一：当cosa=-二时，直线/的斜率为

54

又/过焦点尸，故直线/的方程为：y=-3+勺

代入x?=2py得：2x?+3px-2p2=0,

•••乂士必。为钝角，

x,<(),x2>0,xt=-2p,x2=—,

，A(-2p,4),代入f=2py,解得p=2,

，抛物线C的方程为f=4y

法二：如图：设抛物线C的准线为b,过A作的，6于A，过尸作于4,

•.•乂之必。为钝角，二&在线段441上

A4,|=|AF\sinAAFA,=(4+争x|,

又|伏|=|9|一叫4卜y+5—p=4—

.•.(4+介|=4.，解得p=2,

，抛物线C的方程为x?=4y；

⑵

•・•直线/与抛物线C相交，

.・・/的斜率存在，由⑴知尸(0,1),设/的方程为广履+1,

答案第13页，共17页

代入f=4y,得x2-4fcv-4=0.

:.x{+Xj=4k,x1x2=-4,

r2r

由％2=4y,得旷=一,则y'=q,

42

・•・切线"斜率心=£,

u:m!In,

・・•直线〃斜率与=5,

又直线〃过A（x„y直线n的方程为：y-%='（x-入）,

令x=0,得知=X-券，

X[x2=-4,.・.yD=y\+2,

X

「.AT）的中点M（^，y+1），

2

则线段AD的垂直平分线。的斜率（=一一，（左。0,否则/为y轴，与抛物线只有一个交

%

点），

•・・直线。的方程为：y—（乂+1）=-2*-+）,

x22

设。与y轴交于点©%）,

2222

,1+11=1

.,.%0=31++—=—+—=—+-—）

x?4x,x244

直线。过定点（0,1）,命题得证.

,4

22'（"=4cos*-sin*

⑵逋

3

【解析】

【分析】

（1）在曲线C的参数方程中消去参数f,可得出曲线C的普通方程，再利用直角坐标方程

与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C的极坐标方程；

（2）因为丽.丽=0，所以可设以外,，）、利用勾股定理可得出

|福f=比+P«=--2：.2八+”.2广-277-然后利用三角恒等变换结合正弦型函数

114cos~6-sm04sm'，一cos0

答案第14页，共17页

的有界性可求得I洞的最小值.

(1)

2x+y=2t

解：在曲线C的参数方程中，可得两式相乘得普通方程为4/-V=4,

故曲线C的极坐标方程为4"cos?6-p1sin20=4,即P2=——;---------

4cos-O-sirT。

⑵

解