高中数学集合间的基本关系

高中数学集合间的基本关系

目录

【考点梳理】................................................................1

【题型归纳］................................................................3

【双基达标】................................................................5

一、单选题..............................................................5

【高分突破】................................................................6

—：单选题..............................................................6

二、多选题..............................................................8

三、填空题.............................................................9

四、解答题............................................................10

【答案详解】...............................................................11

【考点梳理】

考点一子集、真子集、集合相等

图形表

示子集如果

集合A中的

定义符号表示图形表示子集如

符号任意一个元

果集合A中的任意一个元素都是集合

定义表示图形素都是集合

B中的元素，就称集合A是集合B的

表示子集B中的元素，

子集AUB

就称集合A

是集合B的

子集AUB

AUB

如果集合A中的任意一个元素都真子集如果

（或B

子集是集合B中的元素，就称集合A是集集合AUB,

2

合B的子集AUB但存在元素

A）

xeB,且x在

第1页共26页

A,就称集合

A是集合B

的真子集

AB

([&)

集合相等如

真子果集合A的

集如果集任何一个元

合AUB,素都是集合

但存在元B的元素，

如果集合AUB,但存在元素AB

素xeB,同时集合B

x€B,且x住A,就称集合A是集合B（或

且XaA,的任何一个

的真子集ABBA）

就称集合元素都是集

A是集合合A的元

B的真子素，那么集

集AB合A与集合

B相等A=

B®

集合

相等如果

集合A的

如果集合A的任何一个元素都是

任何一个

集合B的元素，同时集合B的任何一

元素都是

个元素都是集合A的元素，那么集合A=

集合B的考点二空

B

元素，同

A与集合B相等A=B、ZV考点二集

时集合B

空集

的任何一

个元素都

是集合A

第2页共26页

的元素，

那么集合

A与集合

B相等A

B

考点二空集

1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.

2.规定：空集是任何集合的子集.

【题型归纳】

题型一：子集、真子集的个数问题

1.下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子

集；④若0UA,则AH0.

其中正确的个数是（）

A.0??B.1??C.2??D.3

2,已知集合一』丁"&2,xeZ},则满足条件—cd

的集合C的个数为（）

A.1??B.2??C.4??D.8

3,已知集合4={*，-3*+2=0心用,3={汨054户€用,则满足条件

AuCuS的集合C的个数为（）

A.1??B.2??C.3??D.4

题型二：根据集合包含关系求参数

4.已知集合M={W-a<x<2〃},N=（l,4）,且“〈N,则实数〃的取值范围

是（）

第3页共26页

(—00,—|,2

A.(-00,2]77B.(-8,0]??C.'3??D.L3.

5.已知集合A={x|0Sx’a}，B卡|H2},若B=A,则实数。的取值范围为

()

A.a<0??B.0<6Z<l?7C.1<6Z<2??[)>a>2

6.已知集合A={MC2},8={y|y=2x+a,xeA},若此巴则实数”的取

值范围为()

A.g]??B.[-Z-1]??仁[-2,2]??口.卜草]

题型三：根据集合相等关系求参数

{1,a+b,a)=<0,—,b\

7.设。，％GR,集合【。J,则b-a=()

A.1??B.-1??C.2??D.-2

8.已知集合'I0'"+8={0,1-即},若人=8,则a+2b=()

A.-2??B.2??C.-1??D.1

ja,—,ll={a2,a+Z?,0}

9.已知"wR,beR,若集合IaJ，贝心碇+^^的值为()

A.-2??B.-1??C.1??D.2

题型四：与空集有的集合问题

10.已知全集“=卜卜1<、<9},A={x[l<x<a},A是U的子集.若反吃

则。的取值范围是()

A.。<9

B.a<9

C.a>9

D.l<a«9

11.有下列命题：①mx2+2x—1=0是一元二次方程；②抛物线丫=2*2

+2x—1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何

集合的真子集.其中真命题有()

第4页共26页

A.1个??B.2个??C.3个??D.4个

12.若集合A={Me2+2x+l〈0}二0,则实数机的取值范围是（）

A.m£l??B.O〈mWl??C.0</n<17?Dm<\

??.【双基达标】

??.1.一、单选题

13.设A={（x,y）||x+l|+（y-2）2=0},B={-1,2},则必有（）

A.BUA??B.AUA=B??D.ACB=0

A=\x\x=—（2k+\）,k&z\B=\x\x=—k+—,ke.z\

14.若集合I9J,I99J,则集合48之间的

关系为（）

A.*U8??B.BOA??C.A=3??D.A丰B

15.已知A=3x?=l},集合8={x|如=1},若8=则m的取值个数为

（）

A.0??B.1??C.2??D.3

16.下列所给的关系式正确的个数是（）

①OuN；②万eQ；③{力u{a,b,c,d}；④0eR.

A.1??B.2??C.3??D.4

17.已知aeR,AeR,若集合［"J，则。+"的值为（）

A.-2??B.1??C.-1??D.2

M="!x|x=k~~—,kez\N=\x\x=k--+—,左ez1

18.若集合〔24J,〔42」，则（）

A.M=N??B.MUN??C.NUM??D.没有包含关系

19.已知"一B=k|『-4x20},若RB且…，则实数加

的取值范围是（）

A.MNO

第5页共26页

B.m<-3

C.-3<m<0

D.4—3或利wo

20.下列各组集合中，表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3))

B.M={3,2},N={2,3}

C.M={(x,y)|x+y=l},N={y|x+y=l}

D.M={3,2},N={(3,2)}

<x|x=—+l,neZ}]x\x=m+—,meZ}

21.集合M=〔2,N=[2,则两集合M,N

的关系为()

A.MAN=0??B.M=N

C.MUN??D.NUM

22.已知集合A={-2,3/},集合8={3,叫.若8=/则实数团的取值集合为

()

A.{"??B.{"}??C.{L-"??D.

??.【高分突破】

??.i.一：单选题

23.集合6-x'的子集个数为()

A.2??B.4??C.8??D.16

24.下列与集合4={T2}相等的是()

A.{(」,2)}??B.(J2)

2

c{(x,y)|x=-l,y=2}??D{x|x-x-2=0)

第6页共26页

25.定义集合A*B={削x=设A={2,3},B={1,2},则集合A*B

的非空真子集的个数为()

A.12??B.14??C.15??D.16

IYYII

A={x\x=k+—keZ]B={x\x=----，meZ]

26.已知集合6f,23

C={A|A;=—+—,n&Z]

26\则集合4B,C的关系是()

A.4茴CB??B.C商48?7c.AUC=5??D.A-B=C

27.已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x—l)2+p(x—l)+q=x+3},

当人={2}时，集合B=()

A.{1}??B.{1,2}

C.{2,5}??D.{115}

28.已知集合人={#-1"43},Ix+1J,则用韦恩图表示它们之间

的关系正确的是()

2

29.设集合P={川Q={>neR\mx+4mx-4<0}对任意实数x恒成

立，则下列关系中成立的是（）

A.P是°的真子集

B.0是尸的真子集

C.…

D.P与Q无关

30.已知SI,S2,S3为非空集合，且SI,S2,S3UZ,对于1,2,3的任

意一个排列i,j,k,若xesi,yesj,则x—yesk,则下列说法正确的是（）

第7页共26页

A.三个集合互不相等??B.三个集合中至少有两个相等

C.三个集合全都相等??D.以上说法均不对

??.2.二'多选题

31.已知集合人{即=<2},B={X\2a-3<x<a-2}下列说法正确的是

（）

A.不存在实数。使得A=3

B.当。=4时，A三B

C.当04a44时，B^A

D.存在实数。使得8=A

32.若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax-1=0},且SUP,则实数a的可能

取值为（）

A.0??B.3??&4??D.2

33.下列说法正确的有（）

A.设加={加2,N={m+2,2m},且则实数机=0；

B.若。是即叫的真子集,则实数。对;

C,集合「={小2-3犬+2=0},。=卜加-1=0},若尸“，则实数""

D.设集合L-3x+2=0}至多有一个元素，则”"°}口卜卜"V；

A={xeR|x2-3x-18<0}B={xeR|x2+ax+a2-27<0)

34.已知集合则下列

命题中正确的是（）

A.若A=8,则a=-3??B.若Au%则。=一3

C.若8=0,贝lJa4-6或aN6??D.若时，贝|」-6<。4-3或

35.下列四个命题中，假命题的是（）

A.{0}是空集

B.若awN,则一4eN

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C.集合卜，一2»「°}中只有1个元素

D.对所有实数“、b,方程6+b=0恰有一个解

36.已知集合人=归以2+2x+a=0,“eR},若集合人有且仅有两个子集，则〃

的值是()

A.1??B.-1??C.0??D.2

37.定义集合运算：A®B={z|z=(x+y)x(x—y),x€AyGB},设人={&，6},

8="},则()

A.当了=夜，>'=及时，z=I

B.X可取两个值，y可取两个值，z=a+y)x(x-y)有4个式子

C.中有4个元素

D.A区8的真子集有7个

??.3.三'填空题

38.某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也

会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有人.

39.已知集合4={让3"44},8={也相-1。<加+1},且8=则实数m的

取值范围是.

40.已知I。J，则方程“x-(”+6)x-2"=°的解为_.

41.已知集合人但依八8=卜产-4=0},若AQ,则所有a的取

值构成的集合为.

.\.2«+1.2n

A=<x\x=------,neZ>,B={x\x=--F1,〃£Z}

42.已知集合〔3J3,则集合A、B的

关系为A_B(从“U?=”选择合适的符号填空).

43.下列各组中的两个集合相等的有

(1)P={x|x=2n,nEZ},Q={x|x=2(n+1),nGZ)

(2)P={x|x=2n-1,n6N+},Q={x|x=2n+1,nGN+)；

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1+(-1)"

(3)P={x|x2-x=0},Q={x|x=2,nEZ).

(4)P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+l)

??.4.四'解答题

44.已知集合A={X|0<X-&5},8={g-5<%，6}.

（1）若Aub,求〃的取值范围；

（2）若B=求a的取值范围；

（3）集合A与5能够相等？若能，求出。的值，若不能，请说明理

b_

45.含有三个实数的集合可表示为{a,1）,也可表示为{a2,a+b,0}.求

a+a2+a3+,・,+a2011+a2012的值.

46.已知集合"=4=力，集合3={1,2,可

（1）是否存在实数。，使得对任意实数匕都有A=8成立？若存在，求出对

应的“值；若不存在，说明理由.

（2）若成立，写出所有实数对（”力）构成的集合.

A={x||<2'<4}

B-|x|x<C=^x\m-\<x<2/n+l1

47.已知集合

（1）若A=8时，求实数。的取值范围;

（2）若C是A的子集，求实数m的取值范围.

48.设集合A={Hi/+3a-3},B={X|X2-2X+1=0}

C=|jc|x2-(a+l)x+<2=01

(1)讨论集合B与C的关系;

（2）若"0,且C=A,求实数a的值.

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??.【答案详解】

1.B

①错，空集是任何集合的子集，有0U0;②错，如。只有一个子集；③错,

空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集.

故选：B.

2.D

A={x|-~-<O,xsA^}={x|0<x<2,xsA^}={1

解：x,

B={x\\[x<2,xeZ)={x|0<x<4,xeZ)={012Q4}

因为4=所以C中元素至少有i,2；至多为：0,1,2,3,4；

所以集合C的个数即为集合{0,3,句子集的个数：23=8.

故选：D.

3.D

【详解】

求解一元二次方程，得

A={x|x?-3x+2=O,xeR}=^x|(x-l)(x-2)=0,xeR}

={1,2}；易知3={x|0<xV4,xeN}={l,2,3,4}.

因为所以根据子集的定义，

集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原题即求集合也4}的子集个数，即有22=4个.

故选：D.

4.C

【详解】

因M=而0=N,

«<1

所以M=°时,即2。日一,则"3,此时

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1

a>—

a<2a3

1—a>1=>-6Z<0

2a<4a<2

MR。时，MaN,则，无解,

Q4一(—00,—1

综上得3,即实数。的取值范围是3.

故选：C

5.D

【详解】

因为集合e={x|l<x<2}>BuA,

所以心2.

故选：D

6.B

【详解】

由题意,集合A=[1，2],可得B={y|y=2x+a,x"}=[a+2M+4],

ja+2<i

因为AaB,所以卜+422,解得祖-2,-1]

故选:B.

7.C

【详解】

{\,a+b,a\=<0,—,Z?l

解：[。J,注意到后面集合中有元素0,

由于集合相等的意义得。+6=°或"=0.

a*°,:.a^Q,

：.a+h=0,gpa=-b9a,

:.b=\,a=-\,

:.b-a=2.

故选：c

8.D

第12页共26页

【详解】

由于A=8,

所以

a+b=l

心”

(1)3,结合集合A元素的互异性可知此方程组无解.

a-\-b=\-b

*a,1

—=1a=b=—=>a+2b=\

(2)藤解得3

故选：D

9.B

【详解】

a

<a=a+b

a2=1[b=0J〃=0

所以।，解得1“=1或i"=T,

当。=1时，不满足集合元素的互异性，

故叫T,以。，即产严+o期=7

故选:B.

10.D

【详解】

由题意知，集合A#。，所以。>1,又因为A是U的子集，故需。交，所以

a的取值范围是

故选：D

11.A

【详解】

①错，当m=0时，不是一元二次方程；②错，A=4+4a,并不一定大于

或等于0；③正确；④错，空集是任何非空集合的真子集.

故选：A.

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12.A

【详解】

若集合A=｛冲加+2x+iwo｝=0,则不等式渥+2x+l>0恒成立，

X>,1

当加=0时，不等式〃谓+2x+l>0可化为2x+l>0,则,2,不满足题意；

J/n>0

当山中0时，为使不等式用、2x+l>0恒成立，只需解得心1,

综上集合4=｛却-+2》+1<0｝=0时，加>|；

又集合人=｛珈涓+2犬+14。｝片0,所以m£l.

故选：A.

D

【详解】

由于集合A是点集而B是数集，

所以是两类集合，所以交集为空集，

故选：D.

14.C

【详解】

1]41

解析：设任意%”,则寸好+MZ,当心23Z时,产+1）=y§,

所以王€8；当K=2"-1”Z时，

J八41

寸§（41）=铲所以石叫

所以

414

又设任意WWB,贝广=/±3=产±1）的"

因为4吠+1=2（2七）+1,4&-1二2（2右-1）+1,

且那表示所有的偶数，2e-1表示所有的奇数.

所以4右土%eZ）与2〃+1（〃eZ）都表示所有的奇数.

所以*《4.所以BqA

故A=8.

第14页共26页

故选：c.

15.D

【详解】

解：由题意知，集合A={T，1},

由于侬=1,

.•.当m=0时，B=0,满足3=A；

8=口]—=1—=-1

当心片0时，MJ,由于BUA,所以机或机，

」.相=1或m=-],

.••“=0或1或-1.

即m的取值个数为3,

故选：D.

16.A

【详解】

解：①°=N,o为集合N的一个元素，OwN,故①错误，

②万©Q,因为"为无理数，无eQ,故②错误，

③㈤={"'0a，因为集合㈤是集合{"''G"}的子集，故③正确,

④0eR,因为。为R的子集，故④错误.

故选：A.

17.B

【详解】

b_

\a,-,\\=[a\a+b,6\.-.-=o

[QJa,即匕=0,

ft?2=1

.•.{a,0,l}={/,a,0}.当[=4时，a=_1或a=i,

当a=l时，即得集合{MM},不符合元素的互异性，故舍去，

J〃二l

当时，«=1,即得集合{1，°」},不符合元素的互异性，故舍去，

第15页共26页

综上，吗-1,…，产+产=（一1严+产。故选：B

18.B

【详解】

*卜可.（21的z},N42五+2）入Z]

2及-1为奇数，人+2为整数，所以M三N.

故选：B

19.B

【详解】

-!—<-）

集合A中，由x-1得，当X>1时，1C-X+1,x<0（舍）；当X<1时，1>-X+1,

x>0,所以集合A={H°<x<l}；集合B中，若A=16+4机40,屋Y,则3=R,

符合要求;若〃〉Y,根据二次函数对称轴为x=2,若AuB,则1-4-〃亚0,加4-3,

综上可得：机《-3

故选：B

20.B

【详解】

对于A：M,N都是点集，（23与◎，2）是不同的点则M,N是不同的集合,

故不符合；

对于B：M,N都是数集，都表示2,3两个数，是同一个集合，复合要求;

对于C：M是点集，表示直线》+）'=1上所有的点，而N是数集，表示函数

》+丫=1的值域，则M,N是不同的集合，故不符合；

对于D：M是数集，表示1,2两个数，N是点集，则M,N是不同的集合,

故不符合；

故选：B.

21.D

由题意，对于集合M,当n为偶数时，设n=2k（keZ）,则*=1<+1（1<€2）,

第16页共26页

当n为奇数时,设n=2k+l(keZ),则x=k+l+5(keZ),

•••NUM,

故选：D.

22.C

【详解】

因为B=A,所以.=1或病=_2

因为帚=-2无解，所以环=-2不成立，

由"=1得机=±1,所以实数机的取值集合为{LT.

故选：C.

23.D

【详解】

{xeN|-^-eN}={0,3,4,5}

6-x,

{xeNI-^-cN}4

.­-6T'的子集的个数为24=16.

故选：D.

24.D

解：...k，*2=0}={T,2},

二与集合A={T2}相等的是种--2=0}

故选：D

25.B

【详解】

AaB={2,3,4,6},所以集合的非空真子集的个数为2"-2=14,

故选：B.

26.C

【详解】

n1

C={x\x=—d--HEZ}

解：集合26

_2a1_1

.当〃=勿.的时，x=E+d=a+d,

第17页共26页

267+11_2

+-+

当〃=2a+l(aeZ)时，26^3,

A={x\x=k+—keZ]

又集合6/.A0C

,nI_、m1m-\1

B={x|x=-meZ]C={tx\=—+-neZ]-------=-------+—

集合23集合26t,2326,

可得C=H

综上可得AUC=B.

故选：C.

27.D

由A={x|x2+px+q=x}={2}知，

x2+px+q=x即x'(PTx+q=°有且只有一个实数解“2,

•••22+2p+q=2,且A=(p-l)2-4q=0.

计算得出p=—3,q=4.

则(x—l)2+p(x—l)+q=x+3可化为(x—1)2—3(x—l)+4=x+3；

即(x_l)2_4(xF=0；

则x-l=O或x-l=4,

计算得出x=l或x=5.

所以集合8={1,5}.

故选：D.

28.C

【详解】

解：因为集合1x+1J,

所以8={X|-1<X43},又集合A={x|-14x43},

所以BUA,根据韦恩图可得选项C正确，

故选：C.

29.A

【详解】

由题意，由。={机€刈82+4，以一4<0对任意的x恒成立},

第18页共26页

对加分类：

①当加=0时，-4<0恒成立，

②当加<0时，则△=«机）2_4X/MX（-4）<0,解得加<0,

综上可得加40,即。={，*卬加40},所以「是。的真子集.

故选：A.

30.B

解：若x€Si,yWSj,则y—xCSk,从而（y—x）—y=-xCSi,所以Si中有非

负元素，由i,j,k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有

0,则取S1US2US3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样

的a存在），不妨设aeSl,取S2US3中的最小正整数b,并不妨设b€S2,这时

b>a（否则b不可能大于a,只能等于a,所以b—a=0eS3,矛盾），但是，这样

就导致了0<b—a<b,且b—aCS3,这时与b为S2US3中的最小正整数矛盾，

•••三个集合中必有一个集合含有0」•三个集合中有一个集合含有0,不妨设0CS1,

则对任意XGS2,有x-0=xeS3,.-.S2包含于S3,对于任意yeS3,有y-0=y£S2,

••.S3包含于S2,则S2=S3,综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，

故选：B.

31.AD

【详解】

|2a-3=l,

选项A：若集合4=8,则有卜-2=2,,因为此方程组无解，所以不存在实

数〃使得集合A=B,故选项A正确.

选项B：当。=4时，8={耶<x<2}=0,不满足故选项B错误.

若则

①当8=0时，有2a-32a-2,a>l.

a<\,

<2。一3>1,

②当时，有此方程组无实数解；

所以若3=A,则有aNl,故选项C错误，选项D正确.

故选：AD.

32.ABD

第19页共26页

解:P={x|x2+x-6=0}={-3,2},

①S=0,a=0；

②Sx0,S={x|x=«],

a3,a3,

L=J_

a2,a2；

综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{万，0,3}.

故选：ABD.

33.ABD

【详解】

[m=tn+2[m=2m

对于A,因为"=N,故卜=2机(无解舍去)或12=2+%故机=0,故A

正确.

对于B,因为。是的真子集，故为非空集合，

故故B正确.

对于C,尸=乩2},

若〃2=0,则Q=0,满足Q项J

0=W1=11=2,„=1

若〃吐0,则,又Q=P,故机或“即〃?=1或2,

综上，加=0或加=1或'"=5,故c错误.

J"0

对于D,因为A至多有一个元素，故4=0或iA=9-8a4(),

«e«a>->

所以〔8j,故D正确.

故选：ABD.

34.ABC

【详解】

第20页共26页

A={xeR|-3<x<6}>若A=B,则a=-3,且27=78,故A正确.

。=-3时，A=B,故D不正确.

若HaB,则(_3)-+〃•(-3)+/_2740且62+6a+q2_27V0,解得”一3,故B

正确.

22

当8=0时，«-4(«-27)<0,解得awd或/6,故C正确.

故选:ABC.

35.ABD

【详解】

对于A选项，{*不是空集，A错；

对于B选项，当。=。时，则“GN且-aeN,B错；

对于C选项，22一2»1=°}={1},C对；

对于D选项，取。=。，后幻，则方程6+3=0无实解，D错.

故选：ABD.

36.ABC

【详解】

由于集合A有且仅有两个子集，则集合A为单元素集合，即方程

以2+2工+〃=0只有一•根.

①当。=0时，方程为2x=0,解得x=0,合乎题意；

②当“0时，对于方程加+2x+a=0,A=4-4<r=0,解得"=±1.

综上所述，。=0或"±1.

故选：ABC.

37.BD

【详解】

A0B=|z|z=d-丁，》^A,ye8}={1,0,2}

故A<8)8中有3个元素，其真子集的个数为23-1=7,故C错误，D正确.

当x=0,)=五时，z=0,故A错误.

x可取两个值，丫可取两个值，z=(x+y)x(x-y)共有4个算式，

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分别为:

(夜+1)(拒T，M+i)MT,(6+⑹(&-&),(0+旬(&-&)

故B正确.

故选：BD.

38.12

设会骑车的人组合的集合为A,会驾车的人组成的集合为B,

既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C,

易知AB=C,

记card(A)表示集合A中的元素个数，

则有cwd(AB)=card(A)+card(B)-card(A8)=68+62-57=73,

所以既不会骑车也不会驾车的人为85-73=12.

故答案为：12

3%[T+8)

解：分两种情况考虑：

①若B不为空集，可得：2m-lon+l,

解得：加<2,

8qA,A={x|-3«xK4}

/.2/n-lN-3且zn+1<4,

解得：—1WMW3,

②若B为空集，符合题意，可得：2m-l>m+l,

解得：〃亚2.

综上，实数m的取值范围是机N-L

故答案为：[T").

40.{「2}

【详解】

.卜,11={-a+6,。}

bb

——=0,..6=0,0

若a=0,则。无意义，故有。，此时有a=a+〃，=1.

第22页共26页

.•“=_］或”1(舍去，因为V工沙中不满足集合的互异性)

222

a=-},b=O代入a^x-(a+h)°'x-2/⑼=0得

Y+x-2=0,方程的解集为{1，-2}.

故答案为：2-2}

/o,±-l

41.I2J

【详解】

3={-2,2}

当。=0时，A=0,满足Aa8.

x\x=—

当aw。时,

综上所述，所有〃的取值构成的集合为12

故答案为:

【详解】

x\x=-(2n+\),neZ

解：由集合A得:

x\x=-(2n+3),neZ

由集合B得: