2024-2025学年新教材高中数学第一章预备知识1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词与存在量词一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE5第一章预备学问§2常用逻辑用语2.2全称量词与存在量词学问点1全称量词命题与存在量词命题的概念1.☉%9￥0*￥7@0%☉(2024·黄冈中学检测)下列命题中全称量词命题的个数为()。①平行四边形的对角线相互平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等。A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：①②满意“对全部的…都成立”的特点,是全称量词命题,③含有“存在”,是存在量词命题。2.☉%30@33￥*@%☉(2024·合肥168中学周练)下列命题:①有的质数是偶数;②与同一平面所成的角相等的两条直线平行;③与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。其中是全称量词命题的是,是存在量词命题的是。(只填序号)答案：②③①解析：依据所含量词可知②③是全称量词命题,①是存在量词命题。3.☉%@@82**77%☉(2024·黄冈中学过关训练)用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题:(1)实数的平方大于或等于0:;

答案：∀x∈R,x2≥0(2)存在一对实数,使3x-2y+1≥0成立:。

答案：∃(x,y),x∈R,y∈R,3x-2y+1≥04.☉%￥5*5#@56%☉(2024·绵阳南山中学月考)下列命题,是全称量词命题的是;是存在量词命题的是。

①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数。答案：①②③④解析：①是指全部的正方形的四条边相等,②是指任何含有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形,③是指任何正数的平方根不等于0,都有全部的含义,所以都是全称量词命题;而④至少有一个正整数是偶数,含有存在量词“有一个”,属于存在量词命题。故全称量词命题有①②③,存在量词命题有④。学问点2全称量词命题与存在量词命题的真假判定5.☉%*@*4#033%☉(2024·长沙一中月考)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()。A.每一个二次函数的图像都开口向上B.存在一条直线与两个相交平面都垂直C.存在一个实数x,使x2-3x+6<0D.对随意c≤0,若a≤b+c,则a≤b答案：D解析：对于A,该命题为全称量词命题,由二次函数图像及性质可得该命题是假命题;对于B,该命题是存在量词命题,依据空间中线面的位置关系可得该命题是假命题;对于C,存在一个实数x,使x2-3x+6<0是存在量词命题,由于x2-3x+6=x-322+154>0恒成立,故该命题是假命题;对于D,由题意得该命题为全称量词命题,对随意c≤0,若a≤b+c,则a-b≤c≤0,故6.☉%#5@03@9#%☉(2024·南昌二中周练)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()。A.每一个锐角三角形的内角都是锐角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1x答案：B解析：对于A,锐角三角形中的内角都是锐角,故为全称量词命题;对于B,至少有一个实数x,使x2≤0,是存在量词命题,并且x=0满意题意,故为真命题;对于C,∵2+(2-2)=2,明显两个无理数的和必是无理数不正确,是假命题;对于D,为存在量词命题,存在一个负数x,使1x>2,明显不正确,为假命题。综上所述,故选B7.☉%6@09**7@%☉(多选)(2024·会宁一中月考)下列命题中的假命题是()。A.存在x∈N,使4x<-3 B.存在x∈Z,使2x-3=0C.对随意x∈R,2x>x2 D.对随意x∈R,x2+2>0答案：ABC解析：对于选项A,使4x<-3成立的x值满意x<-34,故没有这样的自然数使其成立,A为假命题;对于选项B,可解得x=32,故B为假命题;对于选项C,取x=1,2x>x2不成立,故C为假命题;对于选项D,当x∈R时,x2≥0,∴x2+2≥2>0,故D为真命题,故选8.☉%24#@*72@%☉(2024·石家庄中学周练)推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并推断其真假:(1)对随意非零实数x1,x2,若x1<x2,则1x1>答案：解:该命题是全称量词命题,存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但1x1<1x(2)∃x∈R,使得x2+1=0。答案：该命题为存在量词命题,对随意x∈R,x2+1>0恒成立,∴该命题是假命题。9.☉%#*086*0#%☉(2024·六安一中周练)用符号“∀”(“∀”表示“随意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,并推断其真假:(1)实数的平方大于或等于0;答案：解:这是全称量词命题,隐藏了全称量词“全部的”。改写后命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题。(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;答案：改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题。如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立。(3)勾股定理。答案：这是全称量词命题,全部直角三角形都满意勾股定理。改写后命题为:∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2,它是真命题。学问点3全称量词命题与存在量词命题的否定10.☉%*29**4*0%☉(2024·太和一中月考)命题“随意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是()。A.随意x∈(-∞,0),x3+x<0B.随意x∈(-∞,0),x3+x≥0C.存在x∈[0,+∞),x3+x<0D.存在x∈[0,+∞),x3+x≥0答案：C解析：命题“随意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是“存在x∈[0,+∞),x3+x<0”。11.☉%8*0￥*6#3%☉(2024·陕师大附中检测)命题“全部实数的平方都是正数”的否定为()。A.全部实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方不是正数D.至少有一个实数的平方是正数答案：C解析：∵“全称量词命题”的否定肯定是“存在量词命题”,∴命题“全部实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”。故选C。12.☉%*68￥￥#91%☉(2024·南郊中学月考)已知命题q:∀x∈R,x2>0,则()。(┐p为命题p的否定)A.命题┐q:∀x∈R,x2≤0为假命题B.命题┐q:∀x∈R,x2≤0为真命题C.命题┐q:∃x∈R,x2≤0为假命题D.命题┐q:∃x∈R,x2≤0为真命题答案：D解析：全称量词命题的否定是将“∀”改为“∃”,然后再否定结论。又当x=0时,x2≤0成立,所以┐q为真命题。故选D。13.☉%￥26@3￥#0%☉(2024·和县一中检测)命题“∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”的否定是()。A.∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0B.∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0C.∀(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0D.∀(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0答案：C解析：∃(x,y)的否定是∀(x,y),2x+3y+3<0的否定是2x+3y+3≥0,故选C。14.☉%131￥1*@#%☉(2024·广丰一中月考)命题“∃x∈R,x3-x2+1>0”的否定是()。A.∃x∈R,x3-x2+1<0B.∀x∈R,x3-x2+1≤0C.∃x∈R,x3-x2+1≤0D.不存在x∈R,x3-x2+1>0答案：B解析：由存在量词命题的否定的定义可得B正确。15.☉%￥#@#0254%☉(2024·临川十中过关测试)写出下列命题的否定并推断其真假:(1)不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根;答案：解:这一命题可以表述为“对全部的实数m,方程x2+x+m=0都有实数根”,其否定为“存在实数m,使得x2+x+m=0没有实数根”,留意到当Δ=1-4m<0,即m>14时,一元二次方程没有实根,(2)全部末位数字是0或5的整数都能被5整除;答案：命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,是假命题。(3)某些梯形的对角线相互平分;答案：命题的否定是“随意一个梯形的对角线都不相互平分”,是真命题。(4)被8整除的数能被4整除。答案：命题的否定是“存在一个数能被8整除,但不能被4整除”,是假命题。题型由全称量词命题和存在量词命题的概念求参数的取值范围16.☉%1￥#*@024%☉(2024·郑州一中月考)已知命题“对随意x∈[1,2],x2-2ax+1>0”是真命题,则实数a的取值范围为()。A.-∞,5C.(-∞,1) D.(1,+∞)答案：C解析：由题意知不等式x2-2ax+1>0对x∈[1,2]恒成立,∴a<x2+12x=12x+1x对x∈[1,2]恒成立。令g(x)=12x+1x,x∈[1,2],则g(∴g(x)min=1,∴a<1,∴实数a的取值范围为(-∞,1)。17.☉%8@#6@￥84%☉(2024·南宁一中周练)若存在x∈R,使ax2+2x+a<0,则实数a的取值范围是()。A.a<1 B.a≤1C.-1<a<1 D.-1<a≤1答案：A解析：存在x∈R,使ax2+2x+a<0的否定为:对随意x∈R,都有ax2+2x+a≥0恒成立,下面先求对随意x∈R,都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的取值范围:(1)当a=0时,不等式可化为2x≥0,即x≥0,明显不符合题意;(2)当a≠0时,有a>0,4所以存在x∈R,使ax2+2x+a<0的实数a的取值范围是a<1,答案选A。18.☉%#￥426##5%☉(2024·黄冈中学月考)已知y=3ax2+6x-1,a∈R。(1)当a=-3时,求证:对随意x∈R,都有y≤0;答案：证明:当a=-3时,y=-9x2