专练15（二次函数类压轴题）中考数学考点必杀500题（江西专用）（解析版）

2021中考考点必杀500题专练15（二次函数类压轴题）（30道）1．（2021·江西赣州市·九年级一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．（1）m＝，点A的坐标是，抛物线y1的解析式是．（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；③若发散抛物线yn的顶点An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出AnAn﹣1的长度（用含n的式子表示）．【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y2＝﹣x2＋20x﹣97；②A3（22，7）；③2n﹣1．【分析】（1）把点（﹣1，0）代入y0＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得A的坐标，进而根据中心对称的性质得到A1，即可判断抛物线y1的解析式；（2）①先求得A2的坐标，即可根据中心对称的性质求得抛物线y2的解析式；②根据中心对称的性质求得A3的坐标；③根据勾股定理求得AAn，则由直线对称的性质得到AnAn﹣1＝AAn，即可求得结果．【详解】解：（1）∵抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），∴m﹣4＋3＝0，∴m＝1，∴y0＝x2＋4x＋3，∵y0＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2﹣1，∴顶点A的坐标是（﹣2，﹣1），∵抛物线y1与抛物线y0关于点（1，0）成中心对称，∴抛物线y1的顶点A1为（4，1），∴y1＝﹣（x﹣4）2＋1，即y1＝﹣x＋8x﹣15，故答案为：1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①∵A（﹣2，﹣1），A1（4，1），抛物线y2与抛物线y0关于点A1成中心对称，∴A2（10，3），∴y2＝﹣（x﹣10）2＋3＝﹣x2＋20x﹣97；②设A3（a，b），则，＝3，解得：a＝22，b＝7，∴A3（22，7）；③∵A（﹣2，﹣1），An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），∴AAn＝＝2n，∴AnAn﹣1＝AAn＝2n﹣1．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法、抛物线的性质，新定义的理解，点的对称坐标的求法等知识，综合性较强，理解新定义并熟练掌握抛物线的性质是解题关键．2．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，点在抛物线上．（1）求点的坐标与抛物线的解析式；（2）将抛物线沿直线作次平移（为正整数），平移后抛物线分别记作，，…，，顶点分别为，，…，，顶点横坐标分别为，，…，，与轴的交点分别为，，…，；①在，，…，中，是否存在一条抛物线，使得点恰好落在这条抛物线上？若存在，求出所有满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由；②若，过点作轴的平行线交于点，若由，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值；（3）如图2，是抛物线上的一动点，且保持在第四象限，直线关于直线的对称直线交抛物线于点，点，到直线的距离分别为，，当点在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明理由．【答案】（1）抛物线：（2）①：②（3）不变化，【分析】(1)把两点带入抛物线即可求出解析式，点坐标；(2)①根据平移规律设出：再带入即可算出来②根据平移规律设出，，求出坐标，进而求出点坐标，再根据即可求出；（3）不变化，，设E()，由对称性可知F，进而可以求出直线LAF联立LAF与抛物线解得F，从而和都用带数式子表示出来，即可求出定值【详解】(1)抛物线过点带入得解得∴抛物线解析式：当y=时，，解得x1=0,x2=2(2)①∵抛物线沿直线作次平移（为正整数）∴设：若过,则有，解得n1=0(舍去),n2=5∴：

②根据平移可得，∴（n+1,-n-1）当时，由平移可得若由，，，为顶点的四边形是平行四边形则解得（3）不变化，设E()，则由对称性可知F，设直线LAF:解得∴LAF:联立解得F【点睛】本题是二次函数综合题，考察了二次函数图像平移，平行四边形等知识点，善于用用代数式设抛物线，用代数式表示点是解题关键3．（2021·江西九年级二模）如图，已知抛物线，与y轴交于点A，它的顶点为B．作抛物线关于原点对称的抛物线，与y轴交于点C，它的顶点为D．我们把称为的对偶抛物线．若中任意三点都不在同一直线上，则称四边形为抛物线的对偶四边形，直线为抛物线的对偶直线．（1）求证：对偶四边形是平行四边形．（2）已知抛物线，求该抛物线的对偶直线的解析式．（3）若抛物线的对偶直线是，且对偶四边形的面积为10，求抛物线的对偶抛物线的解析式．【答案】（1）见解析；（2）直线的解析式为：；（3）抛物线的对偶抛物线的解析式为：．【分析】（1）根据题意，利用勾股定理分别解出的长，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可解题；（2）由抛物线，分别解出，，利用待定系数法即可求得直线的解析式；（3）过点作，垂足为点，根据中心对称的性质，解得，求得对偶四边形的面积，进而得到点的横坐标为，点在直线上，再代入二次函数的解析式即可解题．【详解】解：（1）关于原点对称的曲线为点关于原点对称的是点，点关于原点对称的是点，令对偶四边形是平行四边形；（2）抛物线，此时设直线的解析式为：，代入点得，，直线的解析式为：；（3）过点作，垂足为点，当，点与点关于原点对称，对偶四边形的面积为10，点的横坐标为，即点的横坐标为，点在直线上，顶点，顶点抛物线，将代入得，抛物线，抛物线的对偶抛物线的解析式为：．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及勾股定理、平行四边形的判定是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·江西九年级一模）如图，已知抛物线C1：y1＝x2＋2x＋a＋1的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y2＝（x﹣a）2＋2a＋1，抛物线C2的顶点为D，两抛物线交于点C．（1）若a＝1，求点C的坐标．（2）随着a值的变化，试判断点A，B，D是否始终在同一直线上，并说明理由．（3）当2AB＝BD时，试求a的值．【答案】（1）；（2）A，B，D始终在同一直线上，理由见解析；（3）-2或2．【分析】（1）令y1=y2，并把a=1代入，即可得到关于x的方程，解出x后代入C1解析式即可得到y1，进而得到C点坐标；（2）由题意可以得到A、B坐标，并得到直线AB的解析式，然后把D点坐标代入直线AB的解析式即可得知A，B，D是否始终在同一直线上；（3）分两种情况讨论．【详解】解：（1）若a=1，令y1=y2，即x2＋2x＋a＋1=（x﹣a）2＋2a＋1，∴x2＋2x＋1＋1=（x﹣1）2＋2＋1，∴x2＋2x＋1＋1=x2-2x＋1＋2＋1，即4x=2，∴x=，将代入y1＝x2＋2x＋2中得：，∴C点坐标为（）；（2）点A，B，D始终在同一直线上，理由如下：由题意可得点A坐标为（-1，a），点B坐标为（0，a+1），∴直线AB的解析式为y=x+a+1，∵D是抛物线y2的顶点，∴D点坐标为（a，2a+1），∵当x=a时，y=x+a+1=2a+1，∴点D在直线AB上，∴A、B、D始终在同一直线上；（3）①如图，当A为BD中点时，满足2AB=BD，

此时可得，即a=-2；②如图，当B在线段AD上，存在2AB=BD，分别过A、D两点作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，可得AM∥DN，

∴，即，解得a=2，综上所述，a的值为-2或2．【点睛】本题考查抛物线平移的综合应用，熟练掌握抛物线的图象与性质、一次函数的图象与性质、中点坐标公式及平行线分线段成比例定理是解题关键．5．（2021·江西）如图，已知二次函数L：y＝﹣4x﹣2，其中n为正整数，它与y轴相交于点C．（1）求二次函数L的最小值（用含n的代数式表示）．（2）将二次函数L向左平移（3n﹣4）个单位得到二次函数L1①若二次函数L与二次函数L1关于y轴对称，求n的值；②二次函数L1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数y＝﹣4x﹣2中，当n依次取1，2，3，…，n时，抛物线依次交直线y＝﹣2于点A1，A2，A3，…，An，顶点依次为B1，B2，B3，…，Bn．①连接CBn﹣1，Bn﹣1An﹣1，CBn，BnAn，求证：△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn；②求：：：…：的值．【答案】（1）；（2）①n＝4；②y＝x﹣6；（3）①证明见解析；②．【分析】(1)用顶点坐标公式即可求最小值；(2)①求出二次函数L与二次函数L1的顶点，二次函数L与二次函数L1关于y轴对称，列方程可求n；②二次函数L1顶点的纵坐标y与横坐标x与有关，消去即可得到y与x的函数关系；(3)①画出图形，用抛物线对称性可以得到△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn均为等腰三角形，从而可证；②用表示即可得到答案．【详解】解：（1）∵二次函数L：，其中n为正整数，∴顶点为，化简得，∴二次函数的最小值是；（2）∵二次函数L：的顶点为，∴二次函数L向左平移（3n﹣4）个单位得到二次函数L1，，∴抛物线L1的顶点坐标为，①∵二次函数L与二次函数L1关于y轴对称，∴顶点也关于y轴对称，即与关于y轴对称，∴，解得n＝4，②∵抛物线L1的顶点坐标为，∴顶点横坐标，顶点纵坐标，即，∴顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在的函数关系为：，（3）①∵二次函数L：的顶点为，∴顶点横坐标，顶点纵坐标，∴顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在的函数关系是，即抛物线L：，其中n为正整数的顶点都在直线上，如图所示：∴系列抛物线中的顶点B1，B2，B3，…，Bn都在同一直线上，∴∠An﹣1CBn﹣1＝∠AnCBn，根据抛物线的对称性可知：Bn﹣1C＝An﹣1Bn﹣1，BnC＝AnBn，∴∠An﹣1CBn﹣1＝∠Bn﹣1An﹣1C，∠BnAnC＝∠AnCBn，∴∠Bn﹣1An﹣1C＝∠BnAnC，∴△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn．②过Bn作BnDn⊥直线y＝﹣2于Dn，如图所示：∵二次函数L：的顶点为，∴Bn，∴BnDn＝＝2n，由可得或，∴An（2n，﹣2），∴AnC＝2n，∴＝AnC•BnDn＝2n2，．【点睛】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是画出图形，求出相关点坐标从而表示线段、面积等．6．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，绕点顺时针旋转得到，，抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①点是抛物线的顶点，试判定的形状，并加以证明；（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点，使？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在点，使【分析】（1）由，可得出点B、C的坐标，然后将点B、C的坐标代入二次函数进行求解即可；（2）过点作轴于点，根据与轴相交于、B两点，顶点为，即可求出A、D的坐标，然后可证明，从而得出，即可判断；（3）连接，设点的坐标为，根据即可求解；【详解】解：（1），，，抛物线经过、两点，，解得：，抛物线的解析式为；（2）是等腰直角三角形，理由如下：过点作轴于点，与轴相交于、B两点，顶点为，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，（3）连接，设点的坐标为，，，，，，解得：，（不合题意舍去），即存在点，使

（方法有很多的，比如过点作轴交于等等，正确的请按步骤给分）【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数与几何图形的结合、以及求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键；7．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．将抛物线向右平移个单位得到抛物线与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线在第一象限交于点M．（1）求抛物线的解析式，并求出其对称轴；（2）①当时，直接写出抛物线的解析式；②直接写出用含m的代数式表示点M的坐标；（3）连接．在抛物线平移的过程中，是否存在是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），其中对称轴是直线；（2）①；②点M的坐标为；（3）存在，．【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；（2）①利用抛物线平移规律即可求得C2解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M的横坐标，进而代入C1抛物线解析式即可；（3）过点M做于点N，分别表示出点D、M、N、A的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN、MN，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为．则解得抛物线的解析式为，其中对称轴是直线（2）①由（1）知：抛物线的解析式为，即，当时，根据抛物线平移规律可得：抛物线解析式为：②根据抛物线平移规律可得，抛物线向右平移个单位得到抛物线解析式为：，其对称轴为：∴交点M横坐标为：将其代入抛物线解析式可得：∴点M的坐标为；（3）存在m值使是等边三角形．理由如下：过点M做于点N∵，∴若是等边三角形，则，∴即解得（不合题意，舍去），∴当时，是等边三角形．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质．8．（2021·江西上饶市·九年级期末）已知抛物线和抛物线（为正整数）．（1）抛物线与轴的交点______，顶点坐标______；（2）当时，请解答下列问题．①直接写出与轴的交点______，顶点坐标______，请写出抛物线，的一条相同的图象性质______；②当直线与，相交共有4个交点时，求的取值范围．（3）若直线（）与抛物线，抛物线（为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点，点，点，点，当时，求出，之间满足的关系式．【答案】（1），；；（2）①，；；对称轴为直线（或与轴交点为，）；②，且，；（3）．【分析】（1）根据，可以求得该抛物线与x轴的交点和该抛物线的顶点坐标，本题得以解决；（2）①将n＝1，代入yn得，据此可以求得该抛物线与x轴的交点和该抛物线的顶点坐标，然后根据（1）中的结果，写出抛物线y，yn的一条相同的图象性质即可；②求出直线与相交只有1个交点时m的值，直线与相交只有1个交点时m的值，过点时m的值，过点时m的值，根据函数图象，从而可以得到当直线y＝x＋m与y，yn相交共有4个交点时，m的取值范围；（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，根据可得，进而可以求出k，n之间满足的关系式．【详解】解：（1）∵抛物线，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，4），∴抛物线y＝−x2＋2x＋3与x轴的交点为（3，0），（−1，0），故答案为：（−1，0），（3，0）；（1，4）；（2）①当n＝1时，抛物线，∴当y1＝0时，x3＝3，x4＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，），∴该抛物线与x轴的交点为（3，0），（−1，0），抛物线y，yn的一条相同的图象性质是对称轴都是x＝1（或与x轴的交点都是（−1，0），（3，0））；②当直线与相交只有1个交点时，由，得，则，∴，当直线与相交只有1个交点时，由，得，则，∴，∴.把，代入，得；把，代入，得，∴，且，；（3）由，得，∴，由，得，∴，∵，∴∴，化简得：．【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；（3）存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．（4）在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．【详解】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3，令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为M（1，﹣4），连接OM．则△AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图（2），设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD．则0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，△DOB的面积=﹣（m2﹣2m﹣3），∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积=﹣m2+m+6=﹣（m﹣）2+．∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．（4）有两种情况：如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为y=﹣x+3．由解得：∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F的坐标为（﹣3，0）．∴直线CF的解析式为y=﹣x﹣3．由解得：∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．考点：二次函数综合题．10．（2021·江西赣州市·九年级期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（，1），（，1）．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案；（2）根据对称性，可得AC的长，根据顶点式解析式，可得F2根据待定系数法，可得，根据四边形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：B在A的右侧，B在A的左侧，AC=，BD=2，可得答案．【详解】解：（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得解得：故答案为：．②当时，，；，；四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，四边形ABCD时正方形故选D．（2）∵B（2，c－1），∴AC=2×2=4．∵当x=0，y=c，∴A（0，c）．∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．∴设F2：y=a（x－2）2+c－1．∵点A（0，c）在F2上，∴4a+c－1=c，∴．当时，，∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．∴S四边形ABCD=4．（3）如图所示：设F2的解析式，B点在A点的右侧时，解得：，，B在点A的左侧时，解得：，，综上所述，，．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨论是解题的关键，以防遗漏．11．（2021·江西九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），点在的延长线上，且（为正整数）．过点，的抛物线，其顶点在轴上．（1）求的长；（2）①当时，抛物线的函数表达式为______；②当时，求抛物线的函数表达式；（3）如图2，抛物线，经过、两点，顶点为，且、、三点在同一直线上，①求与的关系式；②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积（，为正整数，，），若，请直接写出值．【答案】(1)1，(2)①，②，(3)或【分析】（1）把y=1代入，求出A、B两点坐标即可；（2）①把代入，求出、、M坐标即可；②把代入，求出、、M坐标即可；（3）①类似于（2）求出求出、、P坐标，代入解析式可求；②根据，求出k和t的关系，确定它们的值，再根据①中结论求解即可．【详解】解：（1）对于，当y=1时，有，解得：或，∴A(，1)，B(，1)，∴AB=，故答案为：1；（2）①当n=1时，BC=AB=1，则C(，1)，抛物线对称轴为：,由M为抛物线顶点，∴M(1，0)，设抛物线解析式为：，把B(，1)代入得，，∴a=4，∴抛物线的函数表达式为：；故答案为:②当n=2时，BC=2AB=2，则C(，1)，同理，M(，0)，设过点B，则有，∴抛物线的函数表达式为：；（3）①如图，可知，则，∵O、B、P三点共线，直线OB解析式为：∴，∴，将点B(，1)，，代入抛物线得：即；②当n=k时，AC=k+1，，当n=t时，AC=t+1，，又∵，∴，解得，，∵，为正整数，，，当t=1时，k=3，，当t=2时，k=5，，【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的知识，准确进行计算．12．（2021·江西九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．①抛物线C'的解析式为（用含m的关系式表示）；②求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4；（2）①y＝（x﹣2m）2﹣4；②2＜m＜2；（3）能，m＝﹣3或6．【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），再设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（2，0）代入可得a＝﹣即可解答；（2）①由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），可得出抛物线C′的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4；②联立两抛物线的解析式，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则得到关于m的不等式组，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．【详解】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得a＝﹣，∴抛物线C的函数表达式为y＝﹣x2+4．（2）①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，∴抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），∴抛物线C′的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4，故答案为：y＝（x﹣2m）2﹣4．②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2＜m＜2，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y＝﹣x2+4上，∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍弃），∴m＝﹣3时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，解得m＝6或0（舍弃），∴m＝6时，四边形PMP′N是正方形．综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣3或6．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，灵活运用所学知识和利用参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．13．（2021·江西九年级月考）如图，已知二次函数：，其中为正整数，它与轴相交于点．（1）求二次函数的最小值（用含的代数式表示）．（2）将二次函数向左平移个单位得到二次函数．①若二次函数与二次函数关于轴对称，求的值；②二次函数顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数中，当依次取1，2，3，…，时，抛物线依次交直线于点，，，…，，顶点依次为，，，…，．①连接，，，，求证：；②求的值．【答案】（1）二次函数的最小值是；（2）①；②；（3）①见解析；②【分析】（1）把二次函数写成顶点式即可；（2）①根据两个解析式的顶点关于轴对称的坐标变化，列方程即可；②抛物线的顶点坐标之间的关系，确定解析式即可；（3）①根据两个等腰三角形的底角对应相等可证相似，或三角函数证角相等也可；②可以求出三角形面积的规律，分别表示三角形面积，再比即可；或利用相似三角形的性质求面积比．【详解】解：（1）二次函数化为顶点式为：，所以，二次函数的最小值是．（2）∵，∴抛物线：的顶点坐标为，∴平移后的抛物线：，∴抛物线的顶点坐标为．①若二次函数与二次函数关于轴对称，则，解得．②∵抛物线的顶点坐标为，∴，∴，∴．（3）①∵系列抛物线中的顶点，，，…，都在同一直线上，∴．方法一：根据抛物线的对称性可知和都是等腰三角形，∴，，∴，∴．方法二：过点作直线于点，过点作直线于点，∵，，∴，∴，∴．②方法一：∵，∴．方法二：∵系列抛物线中的都相似，∴等于相似比的平方．∵这些三角形的相似比恰好等于，∴．【点睛】本题考查了二次函数和相似三角形的综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质进行计算．14．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．（1）求m的值及C点坐标；（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．【答案】（1）m=4；C（0，4）；（2）①P（1+，1+）或P（1-，1-）；②当t=2时，S四边形PBQC最大=16；理由见解析．【分析】（1）把B（4，0）代入可求解析式，再用解析式C点坐标；（2）根据菱形对角线互相垂直平分，求直线PQ解析式，与抛物线解析式联立方程组即可；（3）过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，设点P（t，-t2+3t+4），表示出S△PCB的面积，再乘以2，得到S四边形PBQC的函数解析式，根据解析式求最大值．【详解】（1）将B（4，0）代入y=-x2+3x+m，解得m=4，∴二次函数解析式为y=-x2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4）（2）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（a，-a2+3a+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴a=-a2+3a+4，∴∴P（1+，1+）或P（1-，1-）②如图，设点P（t，-t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=-x+4，∵点D在直线BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC=2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=∵0<t<4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、菱形的判定和性质、直线与抛物线交点和二次函数最值问题，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．15．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．（1）求直线AB的解析式；（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，点C的坐标是(-1，)．【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，可知∠BOD=60°，求出B点坐标，再用待定系数法求解析式即可；（2）确定抛物线的对称轴，连接AB，与对称轴交于点C，此时，△BOC的周长最小，再用AB解析式求C点坐标即可．【详解】(1)过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∴OD=1，DB=，∴点B的坐标是(1，)．设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，∴直线AB的解析式为（2）∵抛物线经过A，O，B三点，且点A、O在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x=-1∵点C在对称轴x=-1上，△BOC的周长=OB+BC+CO，∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O与点A关于直线x=-1对称，有CO=CA，△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．∴当x=-1时，代入直线AB的解析式得y=，∴点C的坐标是(-1，)．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数对称轴、最短路径问题，解题关键是根据已知条件确定点的坐标和两点一线求最短的轴对称做法．16．（2021·江西吉安市·九年级一模）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3,y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【详解】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴，∴，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，解得或，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．点睛：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.17．（2021·江西抚州市·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．【答案】（1）（-1,0）；（1，-4）；菱形；2；（2）；（3）m=2，或m=10，．【分析】（1）联立两个函数的解析式，得到方程组，求得方程组的解，得A的坐标；利用配方法确定B的坐标；根据菱形的判定定理判定即可；根据惊喜度的定义计算即可；（2）联立两个函数的解析式，得到方程组，解方程组确定交点的坐标，根据惊喜度的定义计算即可；（3）计算对称轴，分三种情形计算．【详解】（1）根据题意，得，∴，解得，∴解方程组的解为，，点A（-1,0）；∵y＝﹣2x﹣3=，∴点B的坐标为（1，-4）；∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D，∴直线BD是抛物线的对称轴，∴BA=BC，DA=DC，根据翻折的意义，得BA=DA，BC=DC，∴BA=BC=DA=DC，∴四边形ABCD是菱形；设点D的纵坐标为n，根据题意，得，∴n=4，∴点D的坐标为（1，4），∴AC=，BD=，∴|D|＝＝=2；故答案为：（-1,0），（1，-4），菱形，2；（2）根据题意，得，解得，∴解方程组的解为，，∴点A（，m），点C（，m）；∴AC==2，∵抛物线y＝m﹣6m（m＞0），∴点B的坐标为（1，-6m）；∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D，∴直线BD是抛物线的对称轴，设点D的纵坐标为n，根据题意，得，∴n=8m，∴点D的坐标为（1，8m），∴BD=，∴|D|＝＝=1，∴m=；（3）∵抛物线y＝﹣6m，∴抛物线的对称轴为x=1，（a）当m﹣1≤1≤m+3时，即﹣2≤m≤2时，如图③，根据（2），得点B的坐标为（1，-6m），点D的坐标为（1，8m），根据对称性，得点D是最高点，且最高点的纵坐标为16，∴8m=16，∴m=2，∴BD==28，∴，解得，∴点A（，2），点C（，2）；∴AC==2，∴|D|＝＝=；（b）当m﹣1＞1时，即m＞2时，如图④，根据题意，得翻折前的坐标为（m-1，），翻折后对应点R的坐标为（m-1，16），根据对称性，得=m，∴，∴m=2（舍去），m=10，∴BD==140，∴，解得，∴点A（，10），点C（，10）；∴AC==2，∴|D|＝＝=；（c）当m+3＜1时，即m＜-2时，不能形成惊喜线，所以不存在m，综上所述，m=2，或m=10，．【点睛】本题考查了二次函数的新定义问题，熟练掌握解析式联立方程组的意义及其解法，抛物线的对称性，活用分类的思想是解题的关键．18．（2020·江西南昌市·九年级二模）如图，抛物线与轴交于两点(点位于点的左侧)，与轴的负半轴交于点．求点的坐标．若的面积为．①求这条抛物线相应的函数解析式．②在拋物线上是否存在一点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（1，0）；（2）①；②存在，点的坐标为或．【分析】（1）直接令，即可求出点B的坐标；（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到(1−a)•(−a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可．【详解】解：当时，解得点位于点的左侧，与轴的负半轴交于点点坐标为．由可得，点的坐标为，点的坐标为的面积为．点的坐标为点的坐标为，设直线的解析式为则．当点在轴上方时，直线直线直线的函数解析式为则(舍去)，点的坐标为；当点在轴下方时，直线与直线关于轴对称，则直线的函数解析式为则(舍去)，点的坐标为综上可得，点的坐标为或【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．19．（2020·江西九年级二模）在平面直角坐标系中，我们将抛物线通过平移后得到，且设平移后所得抛物线的顶点依次为，这些顶点均在格点上，我们将这些抛物线称为“缤纷抛物线”（k为整数）．（1）的坐标为____________，直接写出平移后抛物线的解析式为____________（用k表示）；（2）若平移后的抛物线与抛物线交于点A，对称轴与抛物线交于点B，若，求整数k的值．【答案】（1）（6，12），；（2）4或．【分析】（1）观察平移后抛物线顶点坐标的特点，然后依据规律即可得到平移后抛物线的解析式；（2）如图1所示：过点作，垂足为，由可知顶点，对称轴为，对称轴与抛物线的交点为，然后求得抛物线的交点，，最后依据列方程求解即可；【详解】解：（1）抛物线通过平移后得到，，，，，∴的坐标为：（6，12），∴；（2）如图1所示：过点作，垂足为．由可知顶点，对称轴为，对称轴与抛物线的交点为，解得，，，，即，整理得：，解得或或；当时原方程无意义，故不是原方程的根．的值为4或．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点式、锐角三角函数的定义、点的坐标与函数解析式的关系，找出抛物线的顶点坐标存在的规律是解答问题（1）的关键，求得点、、的坐标是解答问题（2）的关键．20．（2020·江西赣州市·九年级一模）如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(，0)，F(0，)；（3）t=9﹣2．【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣x+，∴N(，0)，F(0，)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=，tan∠PBO=，令y=tan∠BPD=，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=(舍)或y=，∴t=﹣×，∴t=9﹣2，∴P(0，9﹣2)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．21．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）如图，已知二次函数：和二次函数：图象的顶点分别为、，与轴分别相交于、两点（点在点的左边）和、两点（点在点的左边），（1）函数的顶点坐标为______；当二次函数，的值同时随着的增大而增大时，则的取值范围是_______；（2）判断四边形的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线，均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线位置固定不变，通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线应平移的距离是多少？【答案】（1），；（2）四边形是矩形；（3）①所有定点的坐标，经过定点或，经过定点或；②抛物线应平移的距离是或．【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；

（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、D、M、N的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；

（3）①分别将二次函数的表达式变形为和，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH1=EF=4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1），顶点坐标为，由图象得：当时，二次函数，的值同时随着的增大而增大．故答案为：；；（2）结论：四边形是矩形．由二次函数和二次函数解析式可得：点坐标为，，点坐标为，，顶点坐标为，顶点坐标为，的中点为，的中点为，与互相平分，四边形是平行四边形，又，∴□是矩形；（3）①二次函数，故当或时，即二次函数经过、两点，二次函数，故当或时，即二次函数经过、两点，②二次函数经过、两点，二次函数经过、两点，如图：四个定点分别为、，、，则组成四边形为平行四边形，∴FH⊥HG，FH=2，HM=4-x，设平移的距离为，根据平移后图形为菱形，则EH1=EF=H1M=4，由勾股定理可得：FH2+HM2=FM2，即，解得：，抛物线位置固定不变，通过左右平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线应平移的距离是或．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．22．（2020·江西南昌市·九年级一模）如图，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x轴，，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），点D为二次函数图像的顶点.（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图像上，求点G的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P、Q.且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.【答案】（1）y=(x-1)2-4；（2）点G坐标为（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ为平行四边形，理由见解析.【分析】（1）利用顶点式求解即可,（2）将G点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,（3）作出图象,延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得证明△AQR∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可证明四边形CDPQ为平行四边形.【详解】（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,（）（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式，得，，解得a1=3.6，a2=-1（舍去），所以点G坐标为（3.6,2.76）.S△FHG=6.348（3）y=mx+m=m（x+1），当x=-1时，y=0，所以直线y=mx+m延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴.因为FH∥x轴，所以∠QPH=∠QAR,因为∠PHQ=∠ARQ=90°，所以△AQR∽△PQH,所以=0.6,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），因为n+1≠0，所以m=0.6..因为y2=（x-1-m）2+0.6m-4,所以点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,所以=0.6,所以tan∠KSD=tan∠QAR，所以∠KSD=∠QAR，所以AQ∥CS，即CD∥PQ.因为AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT=PH,DT=QH,所以PQ=CD，所以四边形CDPQ为平行四边形.【点睛】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数的交点问题,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,掌握待定系数法是求解（1）的关键,求出G点坐标是求解（2）的关键,证明三角形的相似并理解题目中准黄金直角三角形的概念是求解（3）的关键.23．（2020·江西九年级二模）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n＞1）．（1）求点B的坐标；（2）平移后的抛物线可以表示为（用含n的式子表示）；（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．①请写出a与n的函数关系式．②如图2，连接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．【答案】（1）B（1，1）；（2）y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）a=；a=+1.【解析】【分析】1)首先求得点A的坐标,再求得点B的坐标,用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式即可验证答案。(2)①根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可。②点C作y轴的垂线,垂足为E,过点D作DF⊥CE于点F,证得△ACE~△CDF,然后用m表示出点C和点D的坐标,根据相似三角形的性质求得m的值即可。【详解】解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，∴A（0，2），把A（0，2）代入y=（x﹣1）2+m，得1+m=2∴m=1．∴y=（x﹣1）2+1，∴B（1，1）（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+1，∵∵D（n，2﹣n），∴则平移后抛物线的解析式为：y=（x﹣n）2+2﹣n．故答案是：y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）①∵C是两个抛物线的交点，∴点C的纵坐标可以表示为：（a﹣1）2+1或（a﹣n）2﹣n+2由题意得（a﹣1）2+1=（a﹣n）2﹣n+2，整理得2an﹣2a=n2﹣n∵n＞1∴a==．②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠CDF又∵∠AEC=∠DFC∴△ACE∽△CDF∴=．又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a∴=∴a2﹣2a=1解得：a=±+1∵n＞1∴a=＞∴a=+1【点睛】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定与性质，需综合运用各知识求解。24．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图，已知抛物线经过原点，顶点，且与直线相交于和两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）求证：是直角三角形；（3）抛物线上存在点（点不与点重合），使，求出点的坐标；（4）若直线交轴于点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）是直角三角形，见解析；（3）；（4）存在，或或或【分析】(1)设抛物线解析式，将B(2,0)代入求得a，将B(2,0)代入y=kx+2，求得k；

(2)分别求出，根据勾股定理逆定理即可证明；

(3)作∠BCE=∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A′，过A′作A′H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴与x轴交于点G.根据对称与三角形全等，求得A′(3,1)，然后求出A′C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；

(4)设F(1,m)，分三种情况讨论：①当BF=BD时，，②当DF=BD时，，③当BF=DF时，，m=1，然后代入即可．【详解】解：（1）设抛物线解析式，将代入，，∴，抛物线解析式：，将代入，，，∴直线的解析式：；（2）联立，解得，，∴，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（3）如图，作，与抛物线交于点，延长，与的延长线交于点，过作垂直轴于点，设二次函数对称轴于轴交于点．∵，，∴点与关于直线对称，，可知，∵，∴，，∴，，，∴，∵，∴直线：，联立：，解得或，∴（4）∵抛物线的对称轴：直线，∴设，直线的解析式：；∴∵，∴，，①当时，，，∴坐标或②当时，，，∴坐标或③当时，，，，此时、、在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点的坐标或或或．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．25．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取在直线左侧的抛物线的部分；当时，取在直线右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对兄弟抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线(轴)的一对兄弟抛物线．（1）求抛物线关于直线的“兄弟抛物线”所对应的函数解析式；（2）设抛物线交轴于点，交直线于点．①当直线平行于轴时，求的值；②当是直角时．求抛物线关于直线的“兄弟抛物线”顶点的横坐标；③已知点的坐标分别为，直接写出抛物线及其关于直线的“兄弟抛物线”与矩形不同的边有四个公共点时的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②或；③或．【分析】（1）先求出已知抛物线的顶点关于直线的对称点，进一步即可求出结果；（2）①先根据题意求出点A坐标，进而可得点B坐标，然后把点B代入抛物线的解析式可得关于m的方程，解方程即可求出m的值；②由题意可知点在轴上，进而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，进一步即可结果；③符合题意的抛物线如图3和图4所示，由此可得点在轴下方，设则，把点B代入抛物线的解析式可得n和m的关系式，然后结合二次函数的图象即可求出m的取值范围．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，关于直线的对称点的坐标为，“兄弟抛物线”所对应的二次函数解析式为；①抛物线交轴于点，点，直线平行于轴，抛物线交直线于点，点，，(舍去)或，；②如图1和图2，，点在轴上，点的坐标是，把代入中，得，解得：或，的顶点横坐标为，∴抛物线的顶点横坐标为或，则抛物线关于直线的“兄弟抛物线”的顶点横坐标为或，“兄弟抛物线”的顶点横坐标为或；③如图3和图4，点的坐标分别为，点，抛物线及其关于直线的“兄弟抛物线”与矩形不同的边有四个公共点，点在轴下方．设则．把代入中，得，，如图，由二次函数图象可知：当时，或；所以m的取值范围是：或．【点睛】本题是新定义试题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、对“兄弟抛物线”的理解与应用以及二次函数与一元二次方程和不等式的关系，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，正确理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．26．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）抛物线C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点，．（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A1，A2，……An，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为Cn，抛物线Cn经过点An，Cn的顶点坐标为Mn（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1）．①抛物线C2的解析式为，顶点坐标为．②抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．③直接写出Mn﹣1，Mn两顶点间的距离：．【答案】（1）（0，0），（1，1）；（2）①y＝（x﹣3）2+3，（3，3）．②存在，P（0，2），③2．【分析】（1）分别取x＝0，x＝1求出对应的函数值即可解决问题；（2）①由题意a＝1，可得抛物线的解析式为y＝x2，设平移后的顶点为（m，m），则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2+m，利用待定系数法求出m即可；②求出A1，M1，A2，M2的坐标，利用图象法解决问题即可；③分别求出Mn，Mn﹣1的坐标，利用两点间距离公式求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x[a（x﹣1）+x+1]，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝1，∴抛物线C经过定点（0，0）和（1，1），故答案为：（0，0），（1，1）；（2）①由题意a＝1，可得抛物线的解析式为y＝x2，设平移后的顶点为（m，m），则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2+m，∵抛物线C2经过A2（2，4），∴4＝（2﹣m）2+m，解得m＝3或0（舍弃），∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2+3，顶点M2（3，3）．故答案为：y＝（x﹣3）2+3，（3，3）；②存在．由题意A1（1，1），M1（1，1）．A2（2，4），M2（3，3），观察图象可知当P（0，2）时，PA1∥A2M2，此时四边形PM1M2A2是矩形；③由题意An（n，n2），An﹣1[n﹣1，（n﹣1）2]，设抛物线Cn的解析式为y＝（x﹣m）2+m，∵Cn经过An，∴n2＝（n﹣m）2+m，解得m＝2n﹣1或0（舍弃），∴Mn（2n﹣1，2n﹣1），同法可得Mn﹣1（2n﹣3，2n﹣3），∴MnMn﹣1＝＝2，故答案为：2．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．27．（2020·江西宜春市·九年级一模）在平面直角坐标系中，正方形....按如图的方式放置．点和点分别落在直线和轴上．抛物线过点,且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，...按此规律，抛物线,过点,且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数)．（1）直接写出下列点的坐标：，；（2）写出抛物线的解析式，并写出抛物线的解析式求解过程，再猜想抛物线的顶点坐标；（3）设，试判断与的数量关系并说明理由．【答案】（1）；（2）抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为，抛物线的解析式过程见解析；抛物线的顶点坐标为；（3）与的数量关系为，理由见解析．【分析】（1）先求出A1坐标，根据正方形性质，求出B1坐标，进而求出A2坐标，最后求出B2坐标；（2）根据A2点B2的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；根据A3B3的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；写出三条抛物线的顶点坐标，找出规律，写出的顶点坐标；（3）根据（2）求出D1，D2坐标，进而求出，，，长，最后求出，比较即可．【详解】解：（1）把x=0代入得y=-1，∴点A1坐标为(0，-1)；∵四边形是正方形∴A1B1=1，∴点B1坐标为(0，-1)；把x=1代入得y=-2，∴点A2坐标为(1，-2)；∵四边形是正方形∴A2B2=2，∴点B2坐标为(3，-2)；∴（2）解：由（1）得点A2坐标为(1，-2)，点B2坐标为(3，-2)，抛物线的对称轴为直线把代入得，抛物线的顶点为设抛物线的解析式为：抛物线过点当时，解得抛物线的解析式为：把代入得，∴点A3坐标为(3，-4)∵四边形是正方形∴A3B3=4，∴点B3坐标为(7，-4)；∴抛物线的对称轴为直线把代入得，抛物线的顶点为设抛物线的解析式为:，抛物线过点解得抛物线的解析式为：，根据抛物线的顶点为抛物线的顶点为，抛物线的顶点为得抛物线的顶点坐标为（3）与的数量关系为理由如下；由（2）得抛物线的解析式为当时，解得（舍去）即由（2）得抛物线的解析式为当时，解得（舍去）即．【点睛】本题考查了一次函数，二次函数解析式求法及平面直角坐标系中点的规律等知识，综合性较强，图形较为复杂，根据函数解析式求点的坐标和顶点式求二次函数解析式是解题重点．根据题目特点，逐项分析，找出点的规律是解题关键．28．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）已知抛物线：，其中．（1）以下结论正确的序号有_________；①抛物线的对称轴是直线；②抛物线经过定点，；③函数随着的增大而减小；④抛物线的顶点坐标为．（2）将抛物线向右平移个单位得到抛物线．①若抛物线与抛物线关于轴对称，求抛物线的解析式；②抛物线顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出的取值范围；③若抛物线与轴交于点，抛物线的顶点为，求之间的最小距离．【答案】（1）①②④；（2）①y=4x2+16x-5，②，③之间的最小距离是．【分析】（1）①将