广州省惠阳市惠城区2022年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列说法正确的是（）

A.负数没有倒数B.-1的倒数是-1

C.任何有理数都有倒数D.正数的倒数比自身小

2.如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系

是（）

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

3.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的

一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.一

9633

4.将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（）

5.下列判断正确的是（

A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨

C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D.“a是实数，|a|NO"是不可能事件

6.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-1,0）,点B的坐标是（3,0）,在y轴的正半轴上取一点C,使A、B、

C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）

A.（0,B.（百，0）C.（0,2）D.（2,0）

7.如图，两个转盘A,B都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘

A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）.小明每

转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：

转盘总次数10203050100150180240330450

“和为7”出现频

27101630465981110150

数

“和为7”出现频

0.200.350.330.320.300.300.330.340.330.33

率

如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率为（）

A.0.33B.0.34C,0.20D.0.35

8.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若NACD=NB,AD=1,AC=2,AADC的面积为1,则4BCD的面积为（）

A.132°B.134°C.136°D.138°

10.如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于‘AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线1,在直线1上取一点

2

C,使得NCAB=25。，延长AC至点M,则NBCM的度数为（）

C.60°D.70°

11.如图，点A,B为定点，定直线1//AB,P是1上一动点.点M,N分别为PA,PB的中点，对于下列各值:

①线段MN的长；

②APAB的周长；

③aPNIN的面积；

④直线MN,AB之间的距离；

⑤NAPB的大小.

其中会随点P的移动而变化的是（）

A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤

12.改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民

各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018

年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图.

教育、文化和娱乐消费支出折线图

说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度

相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较.

根据上述信息，下列结论中错误的是（）

A.2017年第二季度环比有所提高

B.2017年第三季度环比有所提高

C.2018年第一季度同比有所提高

D.2018年第四季度同比有所提高

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在RtAABC中，NACB=90。，NA=30。，BC=2,点D是边AB上的动点，将AACD沿CD所在的直线

折叠至ACDA的位置，CA，交AB于点E.若△A，ED为直角三角形，则AD的长为.

15.计算：cos2450-tan30°sin60°=.

16.如图，四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.若四边形EFGH为菱形，则对角

线AC、BD应满足条件.

17.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交

点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm）,那么该光盘的半径是—cm.

18.如图，在A45C中力琼AC.。f分别为边A34C上的点.AC=3A，43=3AE,点尸为5C边上一点,添加一个条件:

可以使得AFDB与AADE相似.（只需写出一个）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然

生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期,

该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务，求实际平均每天

施工多少平方米？

20.（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=h+6的图象与丫轴交于点8（（）,1）,与反比例函数丫=巴的图

X

象交于点A（3,-2）.

（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；

（2）若点C是y轴上一点，且BC=BA,直接写出点C的坐标.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

!III1IIII,

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

・3-

-4-

-5-

21.（6分）先化简，再求值：a（a-3b）+（a+b）2-a（a-b）,其中a=Lb=--

2

22.（8分）某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要,

需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是

甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工

程各需多少天？若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既

能按时完工，又能使工程费用最少.

23.（8分）图1和图2中，优弧AB纸片所在。。的半径为2,A8=2百，点尸为优弧上一点（点尸不与

A,B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A'.

-A'

A'

发现：

(1)点。到弦A8的距离是,当BP经过点0时，ZABA'=；

(2)当&V与。。相切时，如图2,求折痕的长.

拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁，得到半圆形纸片，点P(不与点M,N重合)为半圆上一点，将圆

形沿NP折叠，分别得到点M,0的对称点A',O',设NMNP=a.

(1)当a=15。时，过点4,作A'C//MN,如图3,判断A'C与半圆0的位置关系，并说明理由；

(2)如图4,当＜1=。时，N4,与半圆0相切，当a=。时，点0,落在NP上.

(3)当线段N。，与半圆0只有一个公共点N时，直接写出。的取值范围.

24.(10分)如图1,菱形ABCD,AB=4,ZADC=120°,连接对角线AC、BD交于点O,

(1)如图2,将AAOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的△A，BO与菱形ABCD重合部分的面积.

(2)如图3,将AA，BO绕点O逆时针旋转交AB于点E，，交BC于点F,

①求证：BE'+BF=2,

②求出四边形OE，BF的面积.

25.(10分)嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图.这组

成绩的众数是；求这组成绩的方差；若嘉淇再射击一次(成绩为整数环)，得到这8次射击成绩的中位数恰好

就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数.

26.（12分）如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过

点B,C,ZF=30°.

（1）求证：BE=CE

（2）将AEFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF,EG分别与AB,BC相交

于点M,N.（如图2）

①求证：ABEM^ACEN；

②若AB=2,求ABMN面积的最大值；

27.（12分）综合与探究

如图，抛物线y=-叵x+G与*轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,直线I经过

33

B,C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM,将线段MC绕点M顺时针旋转

90。得到线段MD,连接CD,BD.设点M运动的时间为t(t>0),请解答下列问题：

(1)求点A的坐标与直线1的表达式；

(2)①直接写出点D的坐标(用含t的式子表示)，并求点D落在直线1上时的t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；

(3)在点M运动的过程中，在直线I上是否存在点P,使得ABDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

根据倒数的定义解答即可.

【详解】

A、只有0没有倒数，该项错误；B、-1的倒数是-1,该项正确；C、0没有倒数，该项错误；D、小于1的正分数

的倒数大于1,1的倒数等于1,该项错误.故选B.

【点睛】

本题主要考查倒数的定义：两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数，熟练掌握这个知识点是解答本题的关键.

2、B

【解析】

首先过点A作根据三角形面积求出AM的长，得出直线BC与OE的距离，进而得出直线与圆的位置关系.

【详解】

解：过点A作AM_L3C于点M,交OE于点N,：.AMxBC=ACxAB,.♦.AM=彳-=二=2.1.

,:D、E分别是AC、AB的中点，：.DE//BC,DE=-BC=2.5,：.AN=MN=-AM,：.MN=i.2.

22

,以。E为直径的圆半径为1.25,...r=L25>L2,...以OE为直径的圆与5c的位置关系是：相交.

故选B.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键.

3、C

【解析】

分析：将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可.

详解：将三个小区分别记为A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

31

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为

故选：C.

点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树

状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

4、A

【解析】

分析：面动成体.由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转.

详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选A.

点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转.

5、C

【解析】

直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案.

【详解】

A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；

B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；

C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；

D、“a是实数，|a|KT是必然事件，故此选项错误.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键.

6、A

【解析】

直接根据4AOC^ACOB得出OC2=OA・OB,即可求出OC的长，即可得出C点坐标.

【详解】

依4AOC^ACOB的结论可得：OC2=OA.OB,

即OC2=1X3=3,

解得：OC=g或-石(负数舍去)，

故C点的坐标为(0,G).

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质.

7、A

【解析】

根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率即可.

【详解】

由表中数据可知，出现“和为7”的概率为0.33.

故选A.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，

随实验次数的增多，值越来越精确.

8、C

【解析】

VZACD=ZB,NA=NA,

/.△ACD^AABC,

«,•SABCD=SAABC-SAACD=4-1=1.

故选C

考点：相似三角形的判定与性质.

9、B

【解析】

过E作EF〃AB,求出AB〃CD〃EF,根据平行线的性质得出NC=NFEC,ZBAE=ZFEA,求出NBAE,即可求出

答案.

解：

过E作EF〃AB,

VAB/7CD,

，AB〃CD〃EF,

.•.NC=NFEC,NBAE=NFEA,

VZC=44°,NAEC为直角，

J.ZFEC=44°,ZBAE=ZAEF=90°-44。=46。，

，Z1=180°-ZBAE=180°-46°=134°,

故选B.

“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键.

10、B

【解析】

解：\•由作法可知直线/是线段A8的垂直平分线，

：.AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=25°,

：.ZBCM=ZCAB+ZCBA=25o+25°=50°.

故选B.

11、B

【解析】

试题分析：

①、MN=-AB,所以MN的长度不变；

2

②、周长CAPAB=，(AB+PA+PB),变化；

2

③、面积SAPMN=—SAPAB=1xAB,h,其中h为直线I与AB之间的距离，不变;

442

④、直线NM与AB之间的距离等于直线1与AB之间的距离的一半，所以不变；

⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知NAPB的大小在变化.

故选B

考点：动点问题，平行线间的距离处处相等，三角形的中位线

12、C

【解析】

根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.

【详解】

2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确：

2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故3正确；

2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误;

2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故。正确

故选C.

【点睛】

本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、3-百或1

【解析】

分两种情况:情况一：如图一所示，当NA，DE=90。时；

情况二：如图二所示，当NA，ED=90。时.

【详解】

解：如图，当NA，DE=90。时，AA'ED为直角三角形，

VZA'=ZA=30°,

:.ZA'ED=60°=ZBEC=ZB,

/.△BEC是等边三角形，

.*.BE=BC=1,

又「RtAABC中，AB=1BC=4,

/.AE=1,

设AD=A'D=x,贝!|DE=1-x,

VRtAADEA，D=6DE,

：.x=6(1-x),

解得x=3-5/3,

即AD的长为3-V3;

如图，当NA'ED=90。时，AAED为直角三角形,

此时NBEC=90°,ZB=60°,

:.NBCE=30°,

/.BE=-BC=1,

2

又YRtAABC中，AB=1BC=4,

AE=4-1=3,

DE=3-x,

设AD=A，D=x,则

RSA'DE中，A,D=1DE,即x=l(3-x),

解得x=l,

即AD的长为1,

综上所述，即AD的长为3-6或1.

故答案为3-百或1.

【点睛】

本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线，构造直角三角形，学会运用分

类讨论是解题的关键.

14>a(a+b)(a-b).

【解析】

分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析:原式=a(a+b)(a・b).

故答案为a(a+b)(a-b).

15、0

【解析】

直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案.

【详解】

cos245°-tan30°sin60°=(―)2--x—=---=0.

23222

故答案为0.

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

16、AC=BD.

【解析】

试题分析：添加的条件应为：AC=BD,把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC

的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，

所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD,所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四

边形EFGH为菱形.

试题解析：添加的条件应为：AC=BD.

证明：TE,F,G,H分别是边AB、BC、CD,DA的中点，

二在4ADC中,HG为^ADC的中位线，所以HG〃AC且HG=』AC；同理EF〃AC且EF=-AC,同理可得EH=-BD,

222

贝!JHG〃EF且HG=EF,

二四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD,所以EF=EH,

二四边形EFGH为菱形.

考点：1.菱形的性质；2.三角形中位线定理.

17、5

【解析】

本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解.

【详解】

解：如图，设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.

连接OC,交AB于D点.连接OA.

•尺的对边平行，光盘与外边缘相切，

AOCXAB.

/.AD=4cm.

设半径为Rem,则R2=42+(R-2)2,

解得R=5,

•••该光盘的半径是5cm.

故答案为5

【点睛】

此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键.

18、DF//AC或ZBFD=ZA

【解析】

因为AC=3AO,AB=3AE,ZA^ZA,所以AM坦〜AACB，欲使AFDB与AME相似，只需要A/DB与

A4CB相似即可，则可以添加的条件有：NA=NBDF,或者NC=NBDF,等等，答案不唯一.

【方法点睛】在解决本题目，直接处理与A3,无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过

得AFD8与八4cB相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、1平方米

【解析】

设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量+工作效率结合提前11天完

成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论.

【详解】

解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，

根据题意得：当独―33*0=u,

x1.2x

解得：x=500,

经检验，x=500是原方程的解，

.,.1.2x=l.

答：实际平均每天施工1平方米.

【点睛】

考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

20、(1)y=--,y=-x+l;(2)C(0,3夜+1)或C(0,1-372).

x

【解析】

JJ7

(1)依据一次函数y="+匕的图象与〉’轴交于点8(0,1),与反比例函数y=—的图象交于点43,-2),即可得到反

x

比例函数的表达式和一次函数表达式；

(2)由A(3,-2),8(0,1)可得：AB=^32+(1+2)2=30，即可得到8C=3及，再根据8。=1,可得CO=3五+1

或30-1，即可得出点。的坐标.

【详解】

YYIin

(1)•・•双曲线))=—过43,-2),将A(3,-2)代入y=—,解得：m=-6.

xx

二所求反比例函数表达式为：y=--.

X

•・•点A(3,-2),点3(0,1)在直线y="+b上，・・・—2=3%+/?,〃=1,・・・%=一1,・・・所求一次函数表达式为丫=-元+1.

(2)由A(3,-2),8(0,1)可得：=+(1+2>=3夜,:•BC=3叵.

又「BO=1,；.CO=30+1或3立一1，3&+1)或C(0,1一3夜).

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和反比例函数与一次函数的交点问题.此题难度适中，注意

掌握数形结合思想的应用.

21、-

4

【解析】

原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；

【详解】

解:原式=M-3ab+a2+2ab+b2-a2+ab

=a2+b2,

当a=l、b=-』时，

2

原式=12+(-1)2

2

1

=1+-

4

二>

4

【点睛】

考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22、(1)甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；(2)应该选择甲工程队承包该项工

程.

【解析】

(D设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天.再根据“甲、乙两队合作完成工程需要

10天”，列出方程解决问题；

(2)首先根据(1)中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙

工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成.针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用.

【详解】

(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天.

根据题意得：“+?=1

x2x

方程两边同乘以2x,得2x=30

解得：x=15

经检验，x=15是原方程的解.

.•.当x=15时，2x=30.

答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.

(2)因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：

方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：4x15=60(万元)；

方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：2.5x30=75(万元)；

方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：(4+2.5)x10=65(万元).

V75>65>60...应该选择甲工程队承包该项工程.

【点睛】

本题考查分式方程在工程问题中的应用.分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

23、发现：(1)1,60°s(2)2^3;拓展：(1)相切，理由详见解析；(2)45。；30°；(3)(TVaV30。或45°<a<90°.

【解析】

发现:(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离;利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出NABA，.

(2)根据切线的性质得到NOBA，=90。，从而得到NABA，=120。，就可求出NABP,进而求出NOBP=30。.过点O作

OG±BP,垂足为G,容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长.

拓展：(1)过A\O作A，H_LMN于点H,OD_LA'C于点D.用含30。角的直角三角形的性质可得

OD=A'H=-A'N=-MN=2可判定X'C与半圆相切；

22

(2)当NA，与半圆相切时，可知ONJ_A，N,则可知a=45。，当。在23时，连接MO，，则可知NO，=；MN,可求得

ZMNOr=60°,可求得a=30。；

(3)根据点A，的位置不同得到线段NO,与半圆O只有一个公共点N时01的取值范围是0YaV30。或45°<a<90°.

【详解】

发现：(1)过点O作OH_LAB,垂足为H,如图1所示，

图1

•.•(DO的半径为2,AB=26,

二OH=^OB2-HB2=汇―(后=1

在△BOH中，OH=1,BO=2

:.ZABO=30°

V图形沿BP折叠，得到点A的对称点A\

:.ZOBA,=ZABO=30°

:.NABA，=60。

(2)过点O作OGJ_BP,垂足为G,如图2所示.

：BA，与。O相切，；.OBJ_A，B.NOBA，=90。.

VZOBH=30°,，NABA'=120°.

二NA'BP=NABP=60°.

/.ZOBP=30°.，OG=；OB=L:.BG=日

VOG±BP,；.BG=PG=G

.,.BP=26.折痕的长为

拓展：(1)相切.

分别过A\O作A，H_LMN于点H,OD_LA'C于点D.如图3所示,

VA'C/7MN

•••四边形A，HOD是矩形

/.A'H=O

Va=15o.".ZA'NH=30

11

:.OD=A'H=-A'N=-MN=2

22

AA'C与半圆

(2)当NA，与半圆O相切时，贝！JONJ_NA，，

二NONA'=2a=90°,

/.a=45

当。在上时，连接MO。则可知NO，=；MN,

:.ZOrMN=0°

:.ZMNOr=60°,

Aa=30°,

故答案为：45°；30。.

(3)•.,点P,M不重合,Aa>0,

由(2)可知当a增大到30。时，点O,在半圆上，

.,.当0。<0!<30。时点O,在半圆内，线段NO,与半圆只有一个公共点B；

当a增大到45。时NA，与半圆相切，即线段NO,与半圆只有一个公共点B.

当a继续增大时，点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合，

.,.a<90°,

.•.当45。%<90。线段BO,与半圆只有一个公共点B.

综上所述0。Va<30。或45°<a<90°.

【点睛】

本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30。角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知

识，正确的作出辅助线是解题的关键.

24、（1）石；（2）①2,②石

【解析】

分析：⑴重合部分是等边三角形，计算出边长即可.

⑵①证明：在图3中，取A3中点E,证明△OEE&AOB尸，即可得到在'=3产，

BE'+BF=BE,+EE'=BE=2,

②由①知，在旋转过程60。中始终有AOEEgAOBE四边形OEBE的面积等于S.OEB=6.

详解：（1：•四边形为菱形，ZADC=120°,

AZADO=60°,

二为等边三角形

:.ADAO=30°,ZABO=60°,

'：ADHA!O,

：.ZA'OB=60°,

△瓦出为等边三角形，边长=2,

二重合部分的面积：^X22=V3

4

（2）①证明：在图3中，取A8中点E,

由上题知，NEOB=60°,ZE'OF=60°,

/.NEOE'=ZBOF,

又VEO=OB=2,NOEE'=ZOBF=60°,

:"OEE'义AOBF,

：.EE'=BF,

:.BE+BF=BE+EE=BE=2,

②由①知，在旋转过程60。中始终有AOEEQAOBF,

...四边形OE'BF的面积等于S.OEB=G.

点睛：属于四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握每个知识点是解题的关键.

8

25、(1)10；(2)-；(3)9环

7

【解析】

(1)根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，结合统计图得到答案.

(2)先求这组成绩的平均数，再求这组成绩的方差；

(3)先求原来7次成绩的中位数，再求第8次的射击成绩的最大环数.

【详解】

解：(1)在这7次射击中，10环出现的次数最多，故这组成绩的众数是10;

(2)嘉淇射击成绩的平均数为：g(10+7+10+10+9+8+9)=9,

方差为：1[(10-9)2+(7-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2]=1.

(3)原来7次成绩为7899101010,

原来7次成绩的中位数为9,

当第8次射击成绩为10时，得到8次成绩的中位数为9.5,

当第8次射击成绩小于10时，得到8次成绩的中位数均为9,

因此第8次的射击成绩的最大环数为9环.

【点睛】

本题主要考查了折线统计图和众数、中位数、方差等知识.掌握众数、中位数、方差以及平均数的定义是解题的关键.

26、(1)详见解析；(1)①详见解析；②1；③"+

4

【解析】

(1)只要证明△BAEgZ\CDE即可；

(1)①利用(1)可知AEBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

③如图3中，作EH_LBG于H.设NG=m,贝！JBG=lm,BN=EN=&m,EB="m.利用面积法求出EH,根据三

角函数的定义即可解决问题.

【详解】

.*.AB=DC,NA=ND=90。,

YE是AD中点，

/.AE=DE,

.,.△BAE^ACDE,

/.BE=CE.

(1)①解：如图1中，

由(1)可知，△EBC是等腰直角三角形,

；.NEBC=NECB=45。，

VZABC=ZBCD=90°,

.,.ZEBM=ZECN=45°,

VZMEN=ZBEC=90°,

/.ZBEM=ZCEN,

VEB=EC,

A△BEMCEN；

©VABEM^ACEN,

.•,BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4-x,

SABMN=—,x(4-x)="—(x-1),+1,

22

I

.,--<0,

2

.♦.x=l时，ABMN的面积最大，最大值为1.

③解：如图3中，作EH1.BG于H.设NG=m,贝！JBG=lm,BN=EN=6m,EB=#m.

图3

EG=m+5/3m=(1+百)m,

VSABEG=-・EG・BN=-・BG・EH,

22

.也m?+\Tm3+-J3

••EH=-----------------------=---------m,

2m2

3+^3

在RtAEBH中，sinZEBH=EH__2_后+夜.

EBx/bm4