湘教版高中数学必修第一册第4章4-2-1 4-2-2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件

第1课时指数函数的概念、图象与性质第4章幂函数、指数函数和对数函数4.2指数函数4.2.1指数爆炸和指数衰减4.2.2指数函数的图象与性质学习任务核心素养1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)1．通过指数函数图象的绘制，培养直观想象素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养．

必备知识·情境导学探新知知识点1指数函数的概念如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数________(x∈R)，叫作指数函数，其中a>0，且a≠1．[提示]

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1．y＝ax思考1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1．体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数． (

)(2)函数y＝2－x不是指数函数． (

)××知识点2指数爆炸和指数衰减(1)指数爆炸：当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而____，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸．(2)指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长______是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长．(3)指数衰减：如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而____以至无限接近于_，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其____百分比是一个____．增大百分比缩小0缩小常量体验2．某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%．则x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式为__________________．y＝100(1＋1.2%)xy＝100(1＋1.2%)x

[1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，……故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x．]

x－2－1012y＝2x

a的范围a＞10＜a＜1图象

知识点3指数函数的图象与性质a的范围a＞10＜a＜1性质定义域(－∞，＋∞)值域____________过定点________，即当x＝0时，y＝____单调性在R上是______在R上是______奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于_____对称(0，＋∞)(0，1)1增函数减函数y轴思考2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a．当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．提醒指数函数图象的特征同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0<b<a<1<d<c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．体验3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝mx(m>0且m≠1)是R上的增函数． (

)(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数． (

)(3)所有的指数函数图象过定点(0，1)． (

)(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的． (

)××√√体验4．函数y＝3－x的图象是(

)A

BC

D

√

关键能力·合作探究释疑难√D

[①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．]反思领悟

判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1．[跟进训练]1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是__________________．

类型2指数函数的实际应用【例2】

(对接教材P107例题)某林区2022年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%．(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．[解]

(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2．∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x．∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为{x|x∈N}．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图所示．

x0123…y200210220.5231.5…作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)．即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．反思领悟

实际应用问题中指数函数模型的类型(1)指数增长模型设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．(2)指数减少模型设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．(3)指数型函数把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．

√类型3指数函数的图象的应用【例3】

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)函数y＝ax-3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．√(3，4)(1)D

(2)(3，4)

[(1)由于f(x)单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D．(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4．故函数y＝ax-3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3，4)．]反思领悟

指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[跟进训练]3．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x+1；(2)y＝2x-1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|．[解]

(1)y＝2x+1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到．(2)y＝2x-1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到．(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．1．下列函数一定是指数函数的是(

)A．y＝2x+1

B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－x学习效果·课堂评估夯基础√23题号415D

[结合指数函数的定义可知D正确，故选D．]

23题号415√B

[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B．]3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(

)A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c23题号45√1B

[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b<a<1<d<c，故选B．]4．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为________．23题号451

5．若函数f(x)＝(4－