考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义-第十二章上课资料

第十二章无穷级数

第一节常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的收敛与发散

给定一个数列〃1，〃2，〃3,…,〃〃，…将各项依次相加.

00

简记为2册，

n=l

00

即+〃2+〃3」--卜〃〃+,・r称该式为无穷

n=l

级数，其中第〃项〃〃叫做级数的一般项.

级数的前〃项和S”=£以=〃1+〃2+〃3+,+即称

k=i

为级数的部分和。

若limS〃=S存在，则称无穷级数收敛，并称S为

ns

00

级数的和，记作S=Z〃〃；若limS〃不存在，则

n=l00

称无穷级数发散。

【例1】（93三）级数去（hl|广的和为

n=l2

■m•廿7In3

【答案］------

2-In3

结论：等比（几何）级数X产

当Iqlvl时收敛

当14时发散

二、收敛级数的和

00

若收敛，则其和定义为

n=l

oon

S=£un=lim工收=limS〃。

〃=1n—>ook=lnfg

三、无穷级数的基本性质

0000

(1)若级数收敛于s,即则各项

n=ln=l

乘以常数C所得级数gc4也收敛，其和为CS。

n=l

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

0000_.

cr=E%，则

(2)设有两个收敛级数S=Z"n，

n=ln=l

级数W(4土%)也收敛，其和为S土b。

■]

注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减

【例】取与=(-1)2\七=(-1产+1,而％+七=0。

(3)在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级

数的敛散性。

（4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级

数的和。

推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。

【例】(1—1)+(1—1)+•,•=0।但1—1+1—1+,・^^

散。

【例2】判断级数的敛散性：

1111

V2—1A/2+1A/3—1A/3+1

见级数收敛的必要条件

00

必要条件：若Z/收敛，则理〃Oo

n=l

逆否命题：若级数的一般项不趋于°，则级数必

发散。

【例】！一2+3一：+…+（一1尸£+…

172345n+1

注：lim%=0并非级数收敛的充分条件

00I111

【例】iffl?n^z-=i+++•--++•-

n=i〃23n

【例3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和:

(1)安加(2)£l-cos攵

n=lInJn=lVn

【答案】（1）发散；（2）发散

五、两个重要级数：几何级数与0级数的敛散性

00

（1）几何级数：当|川<1时收敛；当

n=l

时发散.

00

001A1、

（2）P级数（或对数P级数）：£4，

^np\^n\npn）

当p>l时收敛，当pVI时发散。

第二节常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

00

正项级数：若%之0,则称X即为正项级数。

n=l

00

收敛定理1：正项级数Z〃〃收敛等价于部分和序

n=l•>

歹ijs（〃=1,2,…）有界。

0000

收敛定理2：（比较审敛法）设E册,2%是两个

n=ln=l

正项级数，且存在NeZ+,对一切〃〉N,有

un<kvn（常数A>0）,则有

0000

(1)若强级数2%收敛，则弱级数Z%也收敛;

n=ln=l

0000

(2)若弱级数发散，则强级数Z%也发散。

n=ln=l

调和级数与P级数是两个常用的比较级数。

【例1】判断下列级数的敛散性

n

001/W001

(1)Z--(2)(〃>O,QW1)

n=l\5y+

【答案】(1)收敛；(2)当0<a<l时，发散；当。>1时，收敛;

1

00（J001

（3）(4)E

2

n=17n-5n=l^n+n+l

【答案】（3）收敛；（4）发散；

0013

(5)Eln1+

n=ln2J

【答案】(5)收敛

【例2】（97—）

、11

设〃i=2,an+1=-（an+一）（〃=1,2,・・・），

2%

°°a

证明：（I）lima“存在；（II）级数£（工一1）收敛.

〃

n->oon=l匕+1

【解析】（1）用单调有界必收敛证明；（2）用比较审敛法证明

收敛定理3：(比较审敛法的极限形式)

00oo〃

设两正项级数z满足lim%=1,则有:

n=ln=l8Vn

(1)当时,两个级数同时收敛或发散;

0000

(2)

当/=o时,且收敛时,ZUn也收敛；

n=ln=l

0000

当2=8时，且2%发散时,也发散。

n=ln=l

【例3】判断下列级数的敛散性

001

(2)Z」.(其中常数p>0)

n=2(ln〃)〃

【答案】（1）收敛；（2）发散

00

【例4】（04—）设”为正项级数，下列结论中

n=l

正确的是

oo

(A)若lim〃%=0,则级数收敛.

n—>oo

n=l

(B)若存在非零常数％使得则级数

ns

oo

发散.

n=l

oo

(C)若级数士册收敛，则lim/a.=o.

n—>oo

n=l

oo

(D)若级数“发散，则存在非零常数乙，使得

n=l

limna=2.

8n"

【答案】（B）

00

收敛定理4：(比值审敛法)设Z〃〃为正项级数,

n=l

且lim4^=则有：

8Un

(1)当夕VI时,级数收敛;

（2）当夕＞1或夕=oo时，级数发散。

（3）当夕=1时,级数可能收敛也可能发散.

001

【例】”级数X，

n=inP

【例5】判断级数的敛散性

（1）（2）Z—

n

n=i2”110“

【答案】（1）收敛；（2）发散

【例6】(04H)设有下列命题：

■■0000

①若£(〃2“一1+〃2“)收敛，则Z〃〃收敛.

n=ln=l

■■0000

②若Z册收敛，则2%+100收敛.

n=ln=l

〃00

③若则Z4发散.

8un=l

000000

若E(〃〃+%)收敛,则2%，E%都收敛.

n=ln=ln=l

则以上命题中正确的是②③

00(n+iy.

【例7】（88三）讨论级数Z的敛散性.

n=lnn+1

【答案】收敛.

00

收敛定理5：(根值审敛法)设Z〃〃为正项级数，且

n=l

lim^un=p,则有：

n—>oo

(1)当0Vl时，级数收敛；

(2)当夕>1时，级数发散；

(3)当夕=1时,级数可能收敛也可能发散。

001

【例】P-级数，二

n=inP

【例8］判断级数的敛散性

00/・3"oo^2n-l

⑵31(2〃-1/1

【答案】（1）收敛；（2）发散

-、交错级数及其审敛法

设un>0,n=l,2,•••,则各项符号正负相间的级

数〃〃2+〃3------1)“…称为交错级数。

收敛定理6：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足

条件：(1)un>un+1(〃=1,2,…);

(2)limw=0,

8n

00Y

则级数E(-1)〃T即收敛

n=l

【例9］用莱布尼茨判别法判别级数的敛散性：

00n-1Inn

L(-D

n=2

【解析与答案】单调性，极限

=(-1)〃ln(l+))则级数

【例10](95-)设〃

0000

(A)与Ed都收敛.

n=ln=l

0000

(B)-〃〃与x*都发散.

n=ln=l

0000

(C)z/收敛而E*发散.

n=l〃=1

0000

(D)E即发散而z说收敛.D

n=ln=l

三、绝对收敛与条件收敛

0000

定义：对任意项级数若收敛，则称原

n=ln=l

00

级数Z册绝对收敛；若原级数收敛，但取绝对值

n=l

00

以后的级数发散，则称原级数2%条件收敛。

n=l

00£1

【例】条件收敛；£3为绝对收敛。

n=l〃n=l〃

定理7绝对收敛的级数一定收敛。

【例11】判断级数的敛散性。

GO00,

(2)£(-1尸

⑴苦，n=l

0000sinna

（3）L（-Dn-1(4)X

n=l〃•2n=ln4

【答案】（1）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）绝对收敛；（4）绝对收敛

【例12](87-)设常数k>0,则级数£(-1)〃丝1

n=ln

（A）发散.（B）绝对收敛.

（C）条件收敛.

(D)收敛或者发散与〃的取值有关.

【答案】（C）

【13](90—)设a为常数，则级数三811等一;

n=lTl7

(A)绝对收敛.(B)条件收敛.

(C)发散.(D)收敛性与a的取值无关.

【答案】(C)

00zy

【例14］（92—）级数工（-1）"（1-3。）（常数a>0）

n=l〃

（A）发散.（B）条件收敛.

（O绝对收敛.（D）收敛性与a有关.

【答案】（C）

00-

【例15](94-)设常数;1>0,且级数收敛,

n=l

00"

则级数Z(-1)"丁*

n=lvn+X

(A)发散.(B)条件收敛.

(C)绝对收敛.(D)收敛性与4有关.

【答案】(C)

00

【例16](96-)设册＞0(〃=1,2,…)且£%收敛,

〃=1

力■82

常数4e(0与，则级数Z(-1)"5tan9L

2n=l〃

(A)绝对收敛.(B)条件收敛.

(0)发散.(D)敛散性与4有关.

【答案】(A)

【例17】（96三）下述各选项正确的是

8-8-00.

（A）若E*和Z说都收敛，则2（%+匕）2收敛.

n=ln=ln=l

008_8-

（B）若£%叫收敛，则Z*与ZW收敛.

n=ln=ln=l

（C）若正项级数00发散，则〃“之11.

n=l〃

■■00

(D)若级数EM收敛，且〃〃认5=1,2,…),则

n=l

00

级数Z%也收敛.

n=l

【答案】（A）

第三节幕级数

一、函数项级数的概念

设〃〃（%）5=1,2,…）为定义在区间/上的函数,

00

则称=U(x)+〃2(X)^-----HW(x)d----

n=l1n

为定义在区间/上的函数项级数。

00

对/G/,若常数项级数2%(与)收敛，称"0为其

n=l

收敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；

00

若常数项级数发散，称X。为其发散点,

n=l

所有发散点的全体称为其发散域。

在收敛域上，函数项级数的和是X的函数

S(x),称它为级数的和函数，并写成

00

s(x)=

n=l

00A

【例】等比级数2*"=1+*+，+...+*、…

〃=0

二、幕级数及其收敛性

形如：

82

10)〃=«0+%(2—x0)+“2(X_%0)+…

M=0

n

+an(x—x0)+…

的函数项级数称为幕级数，其中数列

an5=0,1,…)称为幕级数的系数。

下面着重讨论勺=0的情形，即

82

nn

Zanx=〃o+atx+a2xH---Fanx

n=0

定理1（阿贝尔定理）若幕级数/册/在*=*o

n=0

点收敛，则对满足不等式年|〈|/|的一切X幕级数

都绝对收敛。反之，若当x=“o时该幕级数发散，

则对满足不等式旧|>|/|的一切X,该幕级数也发

散。

K称为收敛半径，（-K,K）称为收敛区间。（一K,K）加

上收敛的端点称为收敛域。

定理2若0的0系数_满足lim%"|=)，则.

〃=o8an

(1)当夕，0时，R=\

(2)当夕=0时，R=8；

(3)当夕=8时，R=0o

【例3(95一)幕级数-的收敛

半径K=_______

【答案】V3

【例2】（02三）设幕级数2aM〃和£叫力的收

n=ln=l

敛半径分别为彳与1则幕级数的收敛半

33n=ibn

径为

(A)5.(B)逅.(C)1.(D)i

335

【答案】(A)

00Y"

【例3］求幕级数ZJ的收敛半径及收敛域。

n=on2n

【答案】收敛域为［—2,2)

【例4】（-）求幕级数g生?的收敛域.

n=l〃・3"

【答案】［0,6）

【例5】（—）若£在％=T处收敛，

n=l

则此级数在％=2处（）

（A）条件收敛（B）绝对收敛

（0）发散（D）收敛性不能确定

答案：（B）

三、幕级数的运算

___0000

定理3设幕级数2aM〃及的收敛半径分

〃=0M=0

别为与，&,令尺=111111{/，&},则有：

0000

n

2Yanx=（4为常数）\x\<Rr

〃=0〃=0

H

(

HM

oa

k

b

n

kl

)

A

A

00

定理4若幕级数〃的收敛半径K>0,则其和

M=0

函数S(x)在收敛域上连续并有任意阶导数，且在

收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，运算前后

收敛半径相同：

0000

s'(%)=XE(-R,R)

n=0n=l

0000zy

JgS(x)dx=£xndx=Z――xn+

n=0n=0〃+1

XG(一&R)

00

［例6)(97-)设幕级数的收敛半径为3,

〃二0

oo

则幕级数的收敛区间为.

n=l

【答案】(-2,4)

第四节函数展开成塞级数与级数求和

一、泰勒级数

复习泰勒中值定理：若函数/（X）在与的某邻域内

具有〃+1阶导数，则在该邻域内向

2

/(^)=/(-v0)+/\x0)(x-x0)+^^(x-x0)+---

(n)

Jf(x)

+\^-(x-xQy+Rn(x)

n\

泰勒级数的定义：若〃%)在X。的某个邻域内具有

任意阶导数，则称“

2

/(x)=/(x0)+/\x0)(x-x0)+^^(x-x0)+---

1〃)(%)

(X_Xg)°+•••

n\

为/(%)的泰勒级数。当仆=0时泰勒级数又称为麦

克劳林级数。

函数展开成泰勒级数的充要条件(数一)：设/(X)

在与的某个邻域内具有任意阶导数，则在该

邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是一（X）

的泰勒余项

,（〃+1）/

Rn（x）=」一捍（％一/）向fo（〃f8）,X是该邻

（n+l）!

域中的点,自介于4与工之间）.此时,有泰勒级数

〃f^kUx）

/（X）=/（4）+Z4yx-/）"+&（X）

k=ik•

=/（/）+£"（一。八

Sn\

二、几个常见函数的麦克劳林展开式

oon

(1)ex=V—-,xe(-oo,+oo);

Sn\

8

(2)ln(l+x)=£------xn+1^xG(-1,1];

n=0〃+1

si…£上匕X2n+\xG(-8,+00)；

S(2«+l)!

(4)cosx=J^X2W,XG(-OO,+OO)；

n=0(2〃)！

00

⑸三

n=0

(6)(1+x)a=1+ax+~~—x2+•••

2!

+m0-1)…+…户e(Tl)

n\

[00

三、函数展开成幕级数

展开方法

［直接展开法一利用泰勒公式

i间接展开法一利用已知其级数展开式的函数

1、直接展开法

由泰勒级数理论可知，函数/(%)展开成幕级数的

步骤如下：

第一步求函数及其各阶导数在元=0处的值;

第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半

径K;

第三步判别在收敛区间(一凡的内lim&(x)是否

n—>(x)

为0。

【例1】将/(%)=/展开成，的幕级数。

【答案】ev=V—,xe(-oo,+oo)

2、间接展开法

具体方法：利用一些已知的函数展开式及幕级数

的运算性质，将所给函数展开成幕级数。

【例2】(87三)将函数/(%)=展开工的

x2—3x+2

级数，并指出收敛区间.

001001

【答案】/(%)=》"+二(1+F)x”，其收敛区间为(-L1)•

〃=i2〃=o2

【例3】(95三)将函数y=ln(l-%-2%2)展成X的

幕级数，并指出其收敛区间.

【答案】ln(l-x-2/)=Z-2——£_%",收敛区间为一上，上.

M〃L22J

发展为”的

【例4】(89—)将函数/(x)=arctan

幕级数.

【答案】2n+

-+Y^-x'(—1<X<1).

4占2〃+1

[例5](94一)

11+r1

将函数/(x)=-ln------+-arctanx一X展开成x的

41-x2

幕级数.

co4n+l

【答案】/(x)=E^一7(-1<8<1)

念4〃+1

【例6】将「产山展成*的幕级数。

【答案】F(x)=y_t!2L、

X

M(2〃+D!2n+lS<x<+8)

四、级数求和

(一)幕级数求和

具体方法：利用已知幕级数的展开式间接求解和

函数。

00

【例7】求幕级数作(-1)"(2〃-1)针-2的和函数。

n=l

【答案】上工，X6(-l,l)

(1+X)

【例8】求幕级数£里耍2/T的和函数。

n=l2

【答案】—xe(-l,l)

(1)

82n

【例9】求幕级数£J的和函数。

n=l〃

【答案】-11)(1一/)，xe(-l,l)

00x2n

【例10】求蹲级数£(-1)的和函数。

n=ln(2n-l)

【答案】-2xarctanx+ln(l+x2),XG[-1,1]

00

【例11](90—)求幕级数+的收敛域,

n=0

并求其和函数.

14-r

【答案】收敛域是(—1,1)；S(x)=一二，-1<X<1.

(I-%)-

00/11c

【例12】(05三)求寨级数Z在区

〃=112“+1)

间内的和函数S(x).

111+X1II/n

,比心/C/\丁1"1----：----T，|1怕(0,1),

【答案】5(x)=<2x1-x1—JT

0,x=0

001

【例⑶(87-)求哥级数三商工”+1的收敛域,

并求其和函数.

9

【答案】收敛域为[一2,2),S(x)=2xln--,xe[—2,2)・

2-x

(-)常数项级数求和

具体方法：选择适当的幕级数求和，然后将.的数

值带入求值。

【例141求数项级数L00—1J的和。

n=i(2n-l)2n

【答案】—ln(V2+l)

2

001

【例15】2(96-)求级数Z2”的和•

n=2(n2-V)2n

53

【答案】---ln2

84

【例16】（93—）求级数g（T"《_2+l）的和.

〃=o2n

22

【答案】—

27

傅里叶级数（数一）

第五节

一、函数的傅里叶系数与傅里叶级数

(1)〃%)在［-兀,句上的傅里叶级数定义为

oo

/(%)〜?cosnx

+Z+bnsinnx);

n=l

其中％=—[/(X)C0SHXdx,H=0,1,2,…

兀J-兀

bn=-\/(x)sinHdx,H=1,2,…,称为/(%)的

兀J-兀

傅里叶系数。

(2)i(D中的区间换为一般的则

/(%)〜？+2mt,•〃兀、

ancos——x+bnsin——xL

其中《=二f/(x)cos与xdx/=0J2・・・

I

=jJz/(x)sin^xdx,n=l,2,--,称为/(x)

的傅里叶系数。

【例1】（93—）设函数=一万vxv乃）

的傅里叶级数展开式为

a00

Ycosnx+bsinnx）,则其中系数仄的值

2n=ln

为—

2

【答案】-71

3

【例2]设/(%)是周期为2%的周期函数，它在

[-乃，4]上的表达式为

〃“)=【：'-f将/(工)展成傅里叶级

[2x,0<x<^

数。

二、狄利克雷收敛定理

设函数八元)在［TH上连续或只有有限个第一类

间断点，并且至多只有有限个极值点，则八元)的

傅里叶级数收敛，并且

(1)当"是/(%)的连续点时,级数收敛于人元)；

(2)当工是/(%)的间断点时，级数收敛于

/(x-O)+/(x+O)

(3)当％=裁时，级数收敛于

IK：：：以.为周期

【例3】求/(%)=

的傅里叶级数在30,1两点处的值。

【例4】(88-)设是周期为2的周期函数,

2,-l<x<0,mI

它在区间(T1］上定义为/(x)=x3,0<x<l；"

“元)的傅里叶级数在1=1处收敛于

3

【答案】一

2

三、正弦级数和余弦级数

(1)若/(X)在［TJ］是奇函数，EP/(-x)=-/(x),

其傅里叶级数为正弦级数，即0=0,〃=0,1,2,…

/(X)〜£么sin?X,其中2=Jj；/(x)sin9xdx.

n=lI4°【

（2）若/（x）在［TJ］是偶函数，即/（_*）=/（X）,

其傅里叶级数为余弦级数，即么=0,〃=o,i,2,…,

“X心/T+28

/n=1I

其中%=范/（乐萍.

（3）如果/（龙）是定义在［o,n上的函数，将其作奇

延拓，就可利用（1）将其展开成正弦级数；将其

作偶延拓，就可利用（2）将其展开成余弦级数.

【例5】(89-)设函数/(*)=/,o<x<l,而

00

S(x)=»nsinnnx9-oo<x<+oo.其中

n=l

pl1

b=2|/(x)sinn^dr,〃=l,2,3,・・・J0l]S(—一)为

Jo2

(A)(B)-i.(C)(D)

2442

【答案】(B)

【例6】(08-)将函数/(%)=1-*2(0<»)展

oo/_11

开成余弦级数,并求的和

Mn

本章强化练习

一、常数项级数的判别

1v(11H)设｛%｝是数列，则下列命题正确的是

()

0000

(A)若收敛，则收敛

n=ln=l

0000

(B)若H(〃27+〃2”)收敛，则收敛

n=lH=1

0000

(C)若£%收敛，则21T2”)收敛

n=ln=l

00

(D)若月(%「%)收敛，则0看0"收敛

n=ln=l

答案：(A)

2、(09-)设有两个数列{6},{2},若则〃”=0，

则()

0000

(A)当£勿收敛时，“勿收敛

n=ln=l

oooo

(B)当2么发散时，2〃也发散

n=ln=l

(C)当2oo口I收敛时，存oo〃女收敛

n=ln=l

oooo

(D)当E也发散时，发散

〃=1n=l

答案：(C)

00

3、(06-H)若级数收敛，则级数()

n=l

0000

(A)fl”|收敛.(B)£(-1)%收敛.

n=ln=l

0000|

(C)收敛.(D)£"M收敛.

n=ln=l乙

答案：（D）

00

4、(05三)设%>0/=1,2,…，若，〃“发散,

n=l

00

收敛，则下列结论正确的是

n=l

0000

(A)收敛，2〃2〃发散・

n=ln=l

0000

(B)E%,收敛，E“27发散.

n=ln=l

0000

(C)£(。2〃-1+。2〃)收敛(口)工(。27-。2〃)收敛・

n=ln=l

/_一、a+aa-a

5、(03-)设p“=2产必=上1,〃=1,2,…,

则下列命题正确的是

000000

(A)若z册条件收敛，则EP〃与E狐都收敛.

n=ln=ln=l

000000

(B)若z册绝对收敛，则zp〃与E盘都收敛.

n=ln=ln=l

000000

(C)若2a〃条件收敛，则zp〃与zq〃敛散性都

n=ln=ln=l

不定.

000000

(D)若£册绝对收敛,则E，〃与E劣敛散性都

n=ln=ln=l

不定.

答案：(B)

6、（04一）设有方程%"+〃％-1=0,其中〃为正整

数.证明此方程存在唯一正实根与，并证明当。＞1

00

时，级数£球收敛.

n=l

二、幕级数的收敛半径和收敛域求解

1v（11一）设数列｛6｝单调递减，

n

lima”=0,S〃=£怎5=1,2,・・・)无界,则幕级数

8

k=l

力怎(x-1)〃的收敛域()

k=l

(A)(-1,1](B)[-1.1)

(C)[0,2)(D)(0,2]

答案：(C)

2n_（-Dn

2、（09三）幕级数£一e―/的收敛半径

n=l〃

答案：e

00

3、（08-）已知幕级数WX（%+2）"存在x=0处收

n=0

00

敛，在龙=-4处发散，则幕级数EX（x-3）”的收

〃=0

敛域为________________

答案：（1,5J

4、（92三）级数£出立

的收敛域为

n=l

答案：（0,4）

三、幕级数的和函数求解

8(-I]"1

1、(10-)求幕级数6—^的收敛域及和

函数.

答案：收敛域为和函数为xarctanx,xe[-l,l]

00(-1「针+1

2、(06H)求幕级数士的收敛域及和

n=l

函数s(x).

答案：收敛域为[-1,1],

和函数S(x)=2x2aivtanx-xln(l+x2),xef-l,l]

_oo丫2〃

3、(03H)求幕级数1+£(-1)〃*(,〈1)的和函

n=l2H

数/(X)及其极值.

答案：/(x)=l—gln(l+x2)(|x|<i),极大值为1

4、求下列幕级数的收敛域及其和函数:

00(〃一1>

⑴zxn

〃=0n+1

l,x=0,

答案：(1)(-1,1)S(x)_<_gma_幻,o<困<1.

U-x

00

⑵Zn(n+X)xn

n=l

2比

答案：(2)(-1,1)S(x)=-

V7(1-x)3

见K函数展开成幕级数

1

1、(07H)将函数/(%)=丁";一;展开成“-1

x—3x—4

的幕级数，并指出其收敛区间.

Iv「1,（-1）"

答案:（x—1）"”（T3）

X2-3X-45^|_3n+12,,+1

2、(06-)将函数/(%)=六三展开成x的幕

级数。

答案：*1一（一1）"炉，闭＜1

〃=02"

1_2Y

3、(03—)将函数/(%)ar&anw右展开成”的

00

幕级数，并求级数£

n=0

处金，/、万三（一1）"4"/加

答案：/（兀）=：-2£———----,xe

1；^2^T-4

4M；2〃+1~22

五、常数项级数的求和问题

1v（09—）设明为曲线y=%"与

y=xn+1(n=12,..…)所

9SI成区域的面积，记

8QQ

，=2X，S2=E%,

求，与§2的值。

〃=1W=1

答案：S]=；通=1一ln2

2、(00三)设/〃=/sin〃

Xcosxdx,〃=o,1,2，…，求

00

n=0

答案：ln(2+J^)

81,

3、(99H))〃T

n=l2

答案：4

4、（98三）设有两条抛物线y=〃，+l和

"5+1）八］，记它们交点的横坐标的绝对

值为册.

(I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积

ooq,

s〃；(II)求级数Z2的和•

n=lan

4ies4

答案：(I)S„---------1(II)X—=7

3〃(〃+1)J〃(〃+1)n=l3