2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十一章 第三节 随机事件的概率与古典概型含答案

14版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十一章第三节随机事件的概率与古典概型第三节随机事件的概率与古典概型【课程标准】1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查随机事件、样本点、事件间的关系、古典概型;古典概型是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.有限样本空间与随机事件(1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果.(2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示.(3)有限样本空间:样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集.(5)基本事件:只包含一个样本点的事件.2.两个事件的关系和运算项目含义符号表示包含关系A发生导致B发生__A⊆B__

相等关系B⊇A且A⊇B__A=B__

并(和)事件__A与B至少一个发生__

A∪B或A+B交(积)事件A与B同时发生__A∩B或AB__

互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生__A∩B=⌀,且A∪B=Ω__

【微点拨】互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:1≥P(A)≥0.(2)P(Ω)=1,P(⌀)=0.(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).(5)如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).4.古典概型(1)古典概型及其特点①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概型.(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.5.频率与概率(1)频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).【微点拨】概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的改变而改变;而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12,3451.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的有 ()A.事件发生的频率与概率是相同的B.两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生C.从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同D.若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件【解析】选BC.因为频率的稳定值为概率,所以选项A错误;由两个事件的和事件的定义可知,选项B正确;因为从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,不是小于0,就是不小于0,各有12因为只有A∪B是必然事件,且A∩B=⌀时,A与B是对立事件,所以选项D错误.2.(必修第二册P235练习1改编)一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A.至少有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶【解析】选B.射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.3.(必修第二册P246习题9改编)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】选B.由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.4.(样本点理解错误)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为 ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)},共8个.5.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为________.

【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为C5甲、乙都入选的方法数为C3所以甲、乙都入选的概率P=310答案:3【巧记结论·速算】若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).【即时练】根据多年气象统计资料,某地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为 ()A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75【解析】选C.该地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为P=1-0.45-0.20=0.35.【核心考点·分类突破】考点一随机事件的频率与概率[例1](1)(多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是 ()A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大【解析】选AD.由题图可知,在一个生产周期内机器正常的概率为20100=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.有两个零件发生故障的概率为10+15+5100=0.3,只有一个零件发生故障的概率为15+20+10100=0乙零件发生故障的概率为20+10+5+5100=0.4,甲零件发生故障的概率为15+10+15+5100=0由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正确.(2)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ()A.134石 B.169石C.338石 D.1365石【解析】选B.这批米内夹谷约为28254×1534≈169(石)【解题技法】利用概率的统计定义求随机事件的概率(1)利用频率的计算公式计算出频率;(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.【对点训练】1.某班要选一名学生做代表,每个学生当选的概率是相同的,若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13,则这个班的女生人数占全班人数的百分比是__________【解析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=3答案:75%2.通过手机验证码注册某APP时,收到的验证码由四位数字随机组成,如某人收到的验证码(a1a2a3a4)满足a1<a2<a3<a4,则称该验证码为递增型验证码,某人收到一个验证码,则它是首位为2的递增型验证码的概率为________.

【解析】因为a1=2,2<a2<a3<a4,所以a2,a3,a4从3,4,5,6,7,8,9中选,选出3个数,让其按照从小到大的顺序排列,有C710000(种),所以它是首位为2的递增型验证码的概率为3510000答案:7【加练备选】1.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:9328124585696834312573930275564887301135据此估计,该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为__________.【解析】两次掷飞镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个,因此所求的概率为1020=1答案:12.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如表:

投篮次数8101520304050进球次数681217253239进球频率(1)计算表中进球的频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?(3)若这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投进8次吗?【解析】(1)表中进球的频率分别为:68=0.75,810=0.8,1215=0.8,1720=0.85,2530=56,3240=0(2)由于进球频率都在0.8左右摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.8.(3)不一定,一名运动员投篮进球的概率是0.8,表示投篮成功的可能性,他在10次一组的投篮中,可能会投进8次.考点二互斥事件与对立事件[例2](1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是 ()A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两个事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两球还可能都是红球,故两个事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.(2)在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A+B发生的概率为 ()A.13 B.12 C.23 【解析】选C.掷一枚骰子有6种等可能的结果,依题意知P(A)=26=13,P(B)=46所以P(B)=1-P(B)=1-23=1因为B表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与B互斥,从而P(A+B)=P(A)+P(B)=13+13=【解题技法】1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.2.求复杂的互斥事件概率的两种方法(1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求解,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.【对点训练】1.(多选题)下列说法中正确的有 ()A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AB)=0B.若事件A与事件B是对立事件,则P(A+B)=1C.某人打靶时连续射击三次,则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【解析】选ABC.事件A与事件B互斥,则A,B不可能同时发生,所以P(AB)=0,故A正确;事件A与事件B是对立事件,则事件B即为事件A,所以P(A+B)=1,故B正确;事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生,且二者必有一个发生,所以为对立事件,故C正确;事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生,即丙分得的是红牌,所以不是互斥事件,故D错误.2.一只袋子中装有7个红球,3个绿球,从中不放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为715,取得两个绿球的概率为115,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两个互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=715+115=815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-1答案:815【加练备选】1.(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},则下列关系正确的是 ()A.AD=⌀ B.BD=⌀C.A+C=D D.A+B=B+D【解析】选BC.“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中且第二枚没中或第一枚没中且第二枚击中,“至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故AD≠⌀,BD=⌀,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A与河流B是水库C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水库C就不缺水.根据经验知道河流A,B不缺水的概率分别是0.7和0.9,同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为__________.【解析】记“河流A不缺水”为事件A,记“河流B不缺水”为事件B,记“水库C不缺水”为事件C,则P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.即水库C不缺水的概率为0.95.答案:0.95

考点三古典概型[例3](1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ()A.15 B.13 C.25 【解析】选C.从6张卡片中无放回抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况,其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况,故所求概率为615=2(2)将5名支援某地区的医生分配到A,B,C三所医院,要求每所医院至少安排1人,则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为 ()A.12 B.625 C.716 【解析】选B.由题意可知,分配情况分为两类:3,1,1或2,2,1,其方法总数为C53A33+C52C32C11A22·【解题技法】1.古典概型的概率求解步骤(1)求出所有样本点的个数n(样本点个数的求解方法主要是利用排列组合知识,也可以利用列举法或列表法等);(2)求出事件A包含的所有样本点的个数k;(3)代入公式P(A)=kn求解2.涉及“至多”或“至少”以及正面较复杂而对立面较简单的情况下可以利用对立事件的概率公式求解.【对点训练】1.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的概率是 ()A.23 B.13 C.29 【解析】选C.记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A,B,C,则样本点有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,其中一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的样本点有(A,B),(B,A),共2个,所以所求的概率P=292.某校选定4名教师去3个地区支教(每地至少1人),则甲、乙两人不在同一地区的概率是________.

【解析】该校选定4名教师去3个地区支教(每地至少1人),基本事件总数n=C42C甲、乙两人在同一地区包含的基本事件个数k=C22A33=6,所以甲、乙两人不在同一地区的概率是P=1-k答案:5【加练备选】(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破,孪生素数也称为孪生质数,就是指两个相差2的素数,例如5和7.在大于3且不超过20的素数中,随机选取2个不同的数,恰好是一组孪生素数的概率为 ()A.356 B.328 C.17 【解析】选D.大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19,共6个,随机选取2个不同的数,分别为(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15种选法,其中恰好是一组孪生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种,故随机选取2个不同的数,恰好是一组孪生素数的概率为315=1第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.

(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)P(A(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=n(②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.

【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.

【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 ()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=P(AB)P(因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为 (A.16 B.13 C.56 【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=2故P(A)=12,P(B)=13,所以P(AB)=12×13=3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是 ()A.310 B.35 C.12 【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=P(4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.

【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=4所以P(C|B)=P(BC)P(答案:1221【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响) A.49 B.190 C.45 【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=P(D)=66×6=1对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=1对于C选项,P(BC)=16×6=1对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则 ()A.A与B为对立事件 B.A与C互斥C.A与C相互独立 D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C2角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.

【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件Ak(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5=0.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116乙连胜四场的概率为116丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-1(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,因此丙最终获胜的概率为18+116+18+1【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为 (A.764 B.1532 C.2732 【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为 ()A.35 B.25 C.27 【解析】选D.设事件A为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B为“两块板恰好是全等三角形”,则P(AB)=2C72=221,P(A)=所以P(B|A)=P(AB)P((2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.P(B|A①证明:R=P(A|②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.【解析】①因为R=P(B|A)P(B|A)所以R=P(AB)P(B)所以R=P(A|②由已知P(A|B)=40100=2P(A|B)=10100=1又P(A|B)=60100=3P(A|B)=90100=9所以R=P(A|B)P所以指标R的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P(B|A)=P((2)样本点法:P(B|A)=n(【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ()A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解析】选A.根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(