2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第六章 第五节 第3课时 高考中的解三角形问题含答案

3版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第六章第五节第3课时高考中的解三角形问题第3课时高考中的解三角形问题【核心考点·分类突破】考点一边、角、周长和面积的计算问题(规范答题)[例1](1)(2023·新高考I卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.①求sinA;②设AB=5,求AB边上的高.审题导思破题点·柳暗花明①思路:利用正弦的两角和与差公式、同角三角函数间的关系就能顺利地解答②思路:给出三角形边AB的长,而由第①问可以确定三角形的三个内角,利用正弦定理便可求出另一条边AC或BC的长,从而求得AB边上的高规范答题微敲点·水到渠成【解析】①在△ABC中,A+B=π-C,因为A+B=3C,所以3C=π-C,解得C=π4.……………… 因为2sin(A-C)=sinB,所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),关键点观察已知式2sin(A-C)=sinB的结构,结合三角形内角和定理A+B+C=π,将sinB转化为sin(A+C)所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=3cosAsinC,所以sinA=3cosA, ………………[3分]即tanA=3,所以0<A<π2,所以sinA=310=31010巧变多变由C=π4及2sin(A-C)=sinB可进行多种变形,运用三角恒等变换求解(ⅰ)2sin(A-π4)=sin(3π4-A)=sin(A+π(ⅱ)2sin(A-π4)=cos(π4-A)=cos(A-π4),首先得到tan(A-π4)=(ⅲ)2sin(A-C)=2sin(π2-B)=2cosB=sinB,得到tanB=2,从而sinB=255所以sinA=sin(3π4-B)=3②方法一:(三角恒等变换+正弦定理)由①知sinA=31010,tanA=3>0,A为锐角,所以cosA=1010,避误区此处要对A的范围进行分析,若写成cosA=±1010,会造成不必要的失分所以sinB=sin(3π4-A)=22(cosA+sinA)=22×(1010+31010)由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AC=AB·sinB作CD⊥AB,垂足为D,由12AB·CD=12AB·AC·sinA, 得CD=AC·sinA=210×31010=6.破题有招“等面积法”是解三角形问题中的常用方法,本题利用等面积法求出AB边上的高.等面积法是建立方程的有效手段.方法二:(正弦定理+余弦定理)由正弦定理BCsinA=ABsinC,得BC=ABsinC×sinA=522由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,得52=AC2+(35)2-2AC·35cosπ4整理得AC2-310AC+20=0,解得AC=10或AC=210, ………………[7分]由①得,tanA=3>3,所以π3<A<π2,又A+B=3π4,所以B即C<B,所以AB<AC,所以AC=210,………………[8分]避误区利用余弦定理,得出关于AC的一元二次方程,有两个解,此时要根据三角形的性质及有解的条件进行取舍.设AB边上的高为h,则12×AB×h=12×AC×BCsinC,即5h=210×35×22,解得h=6,所以AB边上的高为6. ………………[10分]方法三:(利用三角形的几何特征)作CD⊥AB,垂足为D,tanB=-tan(A+∠ACB)=-tanA+tan∠ACB1-tanA又AB=AD+BD=CDtanA+CDtanB=CD3+CD2=56CD所以AB边上的高为6. ………………[10分]换思路利用三角形的几何性质,由方程思想求出AB边上的高.此种方法需要较强的观察能力和较深的数学功底,这就要求学生在平时学习中多积累、多总结.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=32,sinB=1①求△ABC的面积;②若sinAsinC=23,求【解析】①由题意得S1=12·a2·32=34a2,S2=34b2,S3=34c2,则S1-S2+S3=34a2-34b2+34c2=32,即a2+c2-b2=2,由余弦定理得cosB又sinB=13,则cosB=1-132=223,ac=1cosB=324,则②由正弦定理得:bsinB=asin则b2sin2B=asinA·csinC=acsinAsinC=324【解题技法】基本量计算问题的求解思路(1)边角关系要统一,化简过程务必要等价转化;(2)放在适当的三角形中求解,优先考虑特殊的三角形(有时作辅助线会事半功倍);(3)注意寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,以及应用方程思想.【对点训练】1.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=2531,求△ABC的周长【解析】(1)因为sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,所以ac·a2+c2-b22ac即a2+c2-b22-(b2+c2-a2)=-a2+(2)因为a=5,cosA=2531,由(1)得b2+c2=50,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA则50-5031bc=25,所以bc=312,故(b+c)2=b2+c2+2所以b+c=9,所以△ABC的周长为a+b+c=14.2.(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+(1)求bc;(2)若acosB-bcosAa【解析】(1)因为a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2-a2cos(2)由正弦定理可得acosB-bcosA=sin(A-B)sin(A+B)-sinBsin即-2cosAsinB=sinB,而0<sinB≤1,所以cosA=-12又0<A<π,所以sinA=32,故△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=12×1×3【加练备选】(2023·开封模拟)在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA-acosB=a+c.(1)求角B;(2)若b=5,△ABC的内切圆半径r=34,求△ABC的面积【解析】(1)因为bcosA-acosB=a+c,由余弦定理得b·b2+c2-a22bc即a2+c2-b2=-ac,所以cosB=a2+c2-b22ac=-1(2)由余弦定理得:a2+c2-25=-ac,则a2+c2=25-ac,由三角形面积公式得12(a+b+c)·r=12acsinB,即a+c=2则a2+c2+2ac=4(ac)2-20ac+25,所以25-ac+2ac=4(ac)2-20ac+25,解得ac=214,所以S△ABC=12×214×3考点二解三角形实际应用问题[例2](1)(2023·嘉兴模拟)某同学为测量彬塔的高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=__________m.

【解析】因为∠BCD=15°,∠BDC=135°,所以∠DBC=30°,在△BDC中,由正弦定理可得CDsin∠DBC=CBsin∠BDC,可得CB=CDsin∠DBCsin∠BDC=202,在Rt所以AB=CBtan60°=202×3=206(m).答案:206(2)(2023·无锡模拟)如图,某公园改建一个三角形池塘,∠ACB=90°,AB=2百米,BC=1百米,现准备养一批观赏鱼供游客观赏.①若在△ABC内部取一点P,建造连廊,方案一如图①,使得点P是等腰三角形PBC的顶点,且∠CPB=2π3,求连廊AP+PC+PB②若分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,并建造连廊,使得△DEF变成池中池,放养更名贵的鱼类供游客观赏:方案二如图②,使得△DEF为正三角形,设S2为图②中△DEF的面积,求S2的最小值;方案三如图③,使得DE平行于AB,且EF垂直于DE,设S3为图③中△DEF的面积,求S3的最大值.【解析】①因为点P是等腰三角形PBC的顶点,且∠CPB=2π3,BC∠PCB=π6,PB=PC,由余弦定理可得,cos∠BPC=PB2+P∠ACB=π2,故∠ACP=π3,在Rt△ACB中,AB=2,BC=1,所以AC=AB在△ACP中,由余弦定理可得,AP2=AC2+PC2-2AC·PC·cosπ3,解得AP=21故AP+PC+PB=213+233=21+233,所以连廊AP+②设题图②中的正△DEF的边长为a,∠CEF=α(0<α<π),则CF=asinα,AF=3-asinα,∠EDB=π-∠B-∠DEB=2π3-∠DEBα=π-π3-∠DEB=2π3-∠DEB,所以∠ADF=π-π3-∠EDB=2π在△ADF中,由正弦定理可得,DFsinA=AFsin∠ADF,即asinπ6=3-asinαsin(2π3-即a=32sinα+3cosα=37sin(α+θ)≥21题图③中,设BE=x,x∈(0,1),因为DE∥AB,且EF⊥DE,所以∠DEC=π3,∠FEB=π6,∠EFB=π2,所以EF=xcosπ6=32x,DE=CEcosπ3=2CE=2-2x,所以=12×32x·(2-2x)=32(-x2+x)=-32(x-12)2+38,所以当x=1【解题技法】解三角形应用题的求解思路(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解三角形的模型;(3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.【对点训练】(2023·嘉兴模拟)已知村庄B在村庄A的北偏东45°方向,村庄C在村庄A的北偏西75°方向,且村庄A,C之间的距离是26千米,村庄C在村庄B的正西方向,现要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D,使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的3倍.(1)求村庄B,C间的距离;(2)求农贸市场D到村庄B,C的距离之和.【解析】(1)由题意可得AC=26,∠BAC=120°,∠CBA=45°.在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠CBA=BCsin∠BAC,则BC即村庄B,C间的距离为6千米.(2)村庄C在村庄B的正西方向,因为农贸市场D在村庄B的北偏东30°的方向,所以∠DBC=120°.在△BCD中,设DB=t,则DC=3t,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD,即(3t)2=36+t2-2t×6×(-12),化简得t2-3t即BD=6,CD=63.所以农贸市场D到村庄B,C的距离之和为(6+63)千米.【加练备选】(2023·信阳模拟)在△ABC中,∠BAC=60°,△ABC的面积为103,D为BC的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.(1)求△DEF的面积;(2)若AD=1292,求sin∠ABC+sin∠ACB的值【解析】(1)在四边形AFDE中,∠BAC=60°,∠DFA=∠DEA=90°,故∠FDE=120°,故S△DEF=12DE·DF·sin120°=34DE·DF,作BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点又D为BC的中点,则DE=12BM=12ABsin60°=3DF=12CN=12ACsin60°=34AC,故S△DEF=34×34AB×34AC=316S△ABC(2)设△ABC的三条边BC,AC,AB分别为a,b,c,由S△ABC=12bcsin∠BAC=103知bc=40,延长AD到点Q,使AD=DQ,连接CQ,则AQ=129,∠ABC=∠BCQ,则在△AQC中,∠ACQ=120°,CQ=AB=c,故由b2+c2+bc=129与bc=40可得,b2+c2-bc=49=a2,则a=7,b2+c2+2bc=169,则b+c=13,由正弦定理得b+csin∠ABC+sin∠ACB=asin∠BAC=143考点三开放探索性问题[例3](2023·北京模拟)在△ABC中,sinA=3sinB,b=3.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并解决下面的问题:(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积.条件①:b2-a2=c2-3ac;条件②:c2-a2=b2-3ab;条件③:asinB=-3bcosA.【解析】(1)因为sinA=3sinB,b=3,所以由正弦定理可得a=3b=3,条件①:由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=32,因为所以sinA=3sinB=32,此时A=π3或条件②:由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=32,因为又因为c2=a2+b2-3ab,解得c=3,所以B=C=π6,A=2π3,△条件③:将sinA=3sinB,b=3,a=3代入可得3sinA=-3cosA,即tanA=-3,因为△ABC中,A∈(0,π),所以A=2π3,此时sinB=33sinA=12,B=π6,△ABC存在且唯一确定;所以A=2π3(2)由(1)可知C=π6,所以S△ABC=12absinC=[例4](2023·三明模拟)在下面的三个条件中任选一个补充到问题中,并给出解答.①2a-b=2ccosB,②sin(C+π6)=cosC+1③m=(a-c,b-a),n=(a+c,b),m⊥n.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且__________.

(1)求角C;(2)若c=3,求△ABC周长的取值范围.【解析】(1)选①:由正弦定理及2a-b=2ccosB,得2sinA-sinB=2sinCcosB,又因为sinA=sinπ-(B+C)=sin(B+C)=sinBcosC所以2sinBcosC=sinB,因为sinB≠0,所以cosC=12,又因为C∈(0,π),所以C=π选②:由sin(C+π6)=cosC+12,得32sinC+12cosC=cosC+12,即32sinC-所以sin(C-π6)=12.因为C∈(0,π),所以C-π6∈(-π6,5π6),所以C-π6=选③:因为m⊥n,所以(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,化简得a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,因为a+b2≥ab,所以ab≤(a+所以3ab=(a+b)2-3≤34(a+b)2,所以0<a+b≤23当且仅当a=b=3时等号成立,所以a+b+c≤23+3=33,又因为a+b>c,所以a+b+c>2c=23,所以△ABC周长的取值范围为(23,33].【解题技法】解开放探索性问题的两个注意点(1)分析时要兼顾给出的几个条件,选择最易解答的一个条件;(2)解题时只需要选一个条件,结合其他条件求解即可.【对点训练】(2023·郑州模拟)在①sinB=17;②sinA=3sinB这两个条件中任选一个,补充在下面问题中记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos(A+π3)=(1)求C;(2)若c=2,__________,点D在边AB上,且∠ACD∶∠BCD=2∶3,求CD.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)因为2ccos(A+π3)=b,由正弦定理得2sinCcos(A+π3)=sin所以2sinC(12cosA-32sinA)=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcos整理得(3sinC+cosC)sinA=0,又0<A<π,所以sinA≠0,所以3sinC+cosC=0,又0<C<π,则3sinC=-cosC>0,故tanC=-33,即C=5π(2)因为∠ACD∶∠BCD=2∶3,且∠ACD+∠BCD=5π6,故∠ACD=π3,∠BCD=若选择①:因为∠ACB>π2,则B为锐角,故cosB>0,即cosB=1-sin2B则sinA=sin(B+∠ACB)=sinBcos∠ACB+sin∠ACBcosB=17×(-32)+12×437由正弦定理得asinA=bsinB=csin∠ACB=212=4,则a=4sinA=4×3314=所以△ABC的面积为S△ABC=12absin∠ACB=12×637×47因为S△ACD+S△BCD=12b·CDsin∠ACD+12a·CD=12×47CD×32+12×S△ABC=S△ACD+S△BCD,即6349=437CD,所以若选择②:因为sinA=3sinB,由正弦定理得a=3b,由余弦定理,得cos∠ACB=-32=a2+b2-42ab=4b2-△ABC的面积为S△ABC=12absin∠ACB=12×2217×27因为S△ACD+S△BCD=12b·CDsin∠ACD+12a·CD=12×277CD×32+12S△ABC=S△ACD+S△BCD,即37=32114CD,所以CD考点四解三角形与三角函数、向量综合[例5](1)(2023·哈尔滨模拟)已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,A=π6,若cosBsinCAB+cosCsinBAC=A.12 B.32 C.1 【解析】选C.如图所示:取AB的中点D,则OD⊥AB,AO=AD+DO,代入cosBsinCAB+cos得cosBsinCAB+cosCsinB两边同乘AB得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB化简得cosBsinC|AB|2+cosCsinB|由正弦定理得cosBsinCsin2C+cosCsinBsinB·sinC·cos∠BAC=化简得cosB+cosC·cos∠BAC=12m·sinC,则m==2[-cos(∠BAC(2)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c满足b2+acac=sinAsin①已知D为线段BC上一点,且满足AD=BD,若AC=189,求CD的长;②若△ABC为锐角三角形,求△ABC面积的范围.【解析】①由题设b2+acac=ac+ca=a2+c2ac,则a2+c2-又B∈(0,π),则B=π3,又AD=BD,则△ABD为等边三角形,故BD=AB=c由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,则BC2-12BC-45=0,所以BC=15(负值舍去),故CD=BC-BD=3.②由题意A+C=2π30<C<π20<所以a=12sin(2π3-C)由S△ABC=12acsinB=54tanC+183,而tanC∈(3所以S△ABC∈(183,723).【解题技法】解三角形与三角函数、向量的综合问题的解题策略(1)三角形中边角关系可以用向量数量积的形式展现出来,而正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,应注意两者的联系;(2)利用正弦、余弦定理能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式;(3)涉及最值或范围问题,常利用正弦定理把边转化为角,利用三角函数的性质求出范围或最值,或化角为边,利用不等式求出最值或范围.【对点训练】1.(2023·郑州模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B-C=π2,且b=3a,则sinB= (A.12 B.33 C.22 【解析】选D.因为A+B+C=π,所以B=C+π2=π-B-A+π2,A=3π2由正弦定理得sinB=3sinA=3sin(3π2-2B)=-3cos2B=23sin2B-3即(sinB-32)(23sinB+2)=0,由题可知B∈(π2,π),所以sinB=2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积S=14abtan(1)求C;(2)若c=1,S=36,D为AB边的中点,求【解析】(1)由题意S=12absinC=14abtanC,所以sinCtanC因为C∈(0,π),所以C=π3(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB=a2+b2-ab,又S=36=12absin∠ACB=34ab,所以ab因为D为边AB的中点,所以CD=12(CA+CB所以|CD|2=14(|CA|2+|CB|2+2|CA||CB|cosπ3)=14(b2+a2+ab)=1【重难突破】极化恒等式在高考考查平面向量的试题中,求解数量积问题是高考命题的重点和热点.对于一些具有中点或能够构造中点的向量的数量积问题,应用平面向量的“极化恒等式”求解,可以减少运算量,使题目的解答更加清晰简单.一、源于教材(人教A必修第二册第22页练习第3题)求证:(a+b)2-(a-b)2=4a·b.【证明】因为(a+b)2=a2+2a·b+b2①,(a-b)2=a2-2a·b+b2②,所以①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b.【说明】对于非零向量a,b,有a·b=14[(a+b)2-(a-b)2],我们称这个公式为平面向量的“极化恒等式”二、极化恒等式模型1.平行四边形模型如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则AB·AD=14(AC2-BD2)几何意义:两个非零向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的142.三角形模型如图,在△ABC中,设D为BC的中点,则AB·AC=AD2-BD2.推导过程:由AB·AC=[12(AB+AC)]2-[12(AB-AC)]2=AD2-(12CB)2=|AD|2-|DB|2=AD几何意义:两个非零向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的三角形“中线”的平方与“第三边”一半的平方的差.类型一求数量积的值[例1](1)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b= ()A.1 B.2 C.3 D.5【解析】选A.由极化恒等式,得a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]=14(2)如图所示,在长方形ABCD中,AB=45,AD=8,E,O,F为线段BD的四等分点,则AE·AF=________.

【解析】BD=AB2+ADAE·AF=AO2-OE2答案:27【解题技法】极化恒等式的使用方法求数量积时,两个向量共起点的情况下,使用极化恒等式的一般步骤如下:第一步:取第三边的中点,连接两个向量的共起点与第三边的中点;第二步:利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.【对点训练】如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值为________.

【解析】设DC=a,DF=b,BA·CA=|AD|2-|BD|2=9b2-a2=4,BF·CF=|FD|2-|BD|2=b2-a2=-1,解得b2=58,a2=138,所以BE·CE=|ED|2-|BD|2=4b2-a2=答案:7类型二求数量积的最值或范围[例2](2022·北京高考)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是 ()A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]【解析】选D.(极化恒等式)设AB的中点为D,由题易知CD=AB2=52,所以(|CD|-|PC|)2-|AD|2≤PA·PB≤(|CD|+|PC|)2-|AD|2,即(52-1)2-(52)2≤PA·PB≤(52+1)2-(52)2,所以【解题技法】求数量积的最值或范围的策略求数量积的最值或范围,一般用极化恒等式转化为点到直线的距离最小,或用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).【对点训练】已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点,且AP=λAB+(2-2λ)AC(λ∈R),则PA·PC的最小值为 ()A.16 B.12 C.5 D.4【解析】选C.如图,延长AC到点D,使得AD=2AC.因为AP=λAB+(2-2λ)AC=λAB+(1-λ)AD,所以点P在直线BD上.取线段AC的中点O,连接OP,则PA·PC=|PO|2-|OA|2=|PO|2-4.显然当OP⊥BD时,|PO|取得最小值.因为BO=23,OD=6,所以BD=43,所以|PO|min=23×643=3,所以PA·PC第六章平面向量、复数第一节平面向量的概念及其运算【课程标准】1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素.2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.3.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.【考情分析】考点考法:高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的形式考查.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小称为向量的长度(模)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为0的向量记作0,其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量与非零向量a共线的单位向量为±a平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任意向量平行(共线)相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的向量若非零向量a,b互为相反向量,则a=-b2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb【微点拨】对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”.3.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得b=λa.【微点拨】只有当a≠0时,定理中的实数λ才存在且唯一.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14321.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的是 ()A.若a∥b,则a与b方向相同或相反B.若a∥b,b∥c,则a∥cC.若a=b,b=c,则a=cD.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等【解析】选ABD.对于A选项,因为a∥b,若a=0,则零向量的方向任意,A错误;对于B选项,取b=0,则a∥b,b∥c,但a,c不一定平行,B错误;对于C选项,a=b,b=c,则a=c,C正确;对于D选项,方向相反时,两个单位向量不相等,D错误.2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n【解析】选B.如图,因为CD=CA+AD=CA+12DB=CA+12(CB-CD)=CA+1所以12CB=32CD-CA,即CB=3CD-2CA=33.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.4.(必修第二册P15练习T2·变条件)点C在线段AB上,且ACCB=53,则AC=____AB,BC=____【解析】由已知画图如下,由图形知AC=58AB,BC=-答案:58-【巧记结论·速算】1.中点公式的向量形式P为线段AB的中点,O为平面内一点,则OP=12(OA+OB)2.向量三角不等式对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【即时练】1.在△ABC中,D为AB的中点,E为CD的中点,设AB=a,AC=b,则AE= ()A.12a+14b B.12aC.14a+12b D.14a【解析】选C.因为D为AB的中点,E为CD的中点,所以AE=AC+CE=AC+1=AC+12(12AB-AC)=14AB+12AC,又因为AB=a,AC=b,所以AE2.若a,b满足|a|=5,|b|=8,则|a+b|的最大值为__________,最小值为__________.

【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得|a+b|的最大值为13,最小值为3.答案:133【核心考点·分类突破】考点一平面向量的基本概念[例1](1)(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“aa=bb”是“a=b”的 (A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由aa=bb表示单位向量相等,则a,b同向,但不能确定它们的模是否相等,即不能推出a=b,由a=b表示a,b同向且模相等,则aa=bb,所以“aa=bb(2)在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),判断是否存在下列关系的向量:①是共线向量的有____________;

②方向相反的向量有____________;

③模相等的向量有__________.

【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d.答案:①a和d,e和b②a和d,b和e③a,c,d【解题技法】平面向量有关概念的关注点(1)共线向量即为平行向量;(2)向量的平行不具有传递性,只有非零向量平行具有传递性;(3)两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量长度、起点无关;(4)与向量a同向的单位向量是aa【对点训练】1.(2023·郑州模拟)已知四边形ABCD,下列说法正确的是 ()A.若AB=DC,则四边形ABCD为平行四边形B.若|AC|=|BD|,则四边形ABCD为矩形C.若AD∥BC,且|AC|=|BD|,则四边形ABCD为矩形D.若|AB|=|CD|,且AD∥BC,则四边形ABCD为梯形【解析】选A.A选项,若AB=DC,则AB=DC且AB∥DC,则四边形ABCD为平行四边形,正确;B选项,对角线相等的四边形不一定是矩形,错误;C选项,若AD∥BC,且|AC|=|BD|,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故错误.D选项,若|AB|=|CD|,且AD∥BC,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故错误.2.向量AM∥AN,其中AN是单位向量且AM=2AN,则MN=________.

【解析】因为AM∥AN,其中AN是单位向量且AM=2AN,则MN=AN-AM,①若AM=2AN,则MN=AN-AM=AN-②若AM=-2AN,则MN=AN+2AN=3AN=3AN=3,因此,答案:1或3考点二平面向量的线性运算【考情提示】平面向量的线性运算主要考查平面向量加、减运算、运算规则及其几何意义,常以平面向量为载体考查平行四边形法则、三角形法则,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1平面向量的加、减运算的几何意义[例2]如图所示,已知在矩形ABCD中,AD=43,设AB=a,BC=b,BD=c.则a+b+【解析】a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD,延长BC至E,使CE=BC,连接DE,由于CE=BC=AD,所以CEAD,所以四边形ACED是平行四边形,所以AC=DE,所以AC+BD=DE+BD=BE,所以a+b+c=BE=2BC=2答案:83【解题技法】利用向量加、减法的几何意义解决问题的常用方法(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.角度2平面向量的线性运算[例3](1)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若BA=a,DA=b,则AC= ()A.3a-2b B.12a+1C.-a+2b D.a-2b【解析】选D.AC=BC-BA=2DC-BA=2DA+AC-BA=2b+2AC-a,所以AC=a-2(2)(多选题)(2023·河源模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,AF=13AE,则 (A.AE=BC-13BA B.BE=BCC.BF=13BC+56BA D.AE【解析】选BCD.对A,由题意得AE=AB+BE=AB+BC+CE=AB+BC+12CD=-BA+BC+12BA=-对B,BE=BA+AE=BA-12BA+BC=12对C,BF=BA+AF=BA+13AE=BA+13(-12BA+BC)对D,AE+BE=-12BA+BC+12BA+BC【解题技法】向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.角度3根据向量线性运算求参数[例4](1)(多选题)(2023·梅州模拟)如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=12AB,E,F分别为DC,AE的中点,若AD=λAB+μBF(λ,μ∈R),则 (A.λ=72 B.μ=2 C.λ=74 D.【解析】选BC.因为CD∥AB,CD=12AB,所以AD=AE+ED=AE-1因为F为AE的中点,所以AE=2AF=2(AB+BF)=2AB+2BF,所以AD=2AB+2BF-14AB=74AB+2BF,所以λ=7(2)(2023·安庆模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,OP=xOA+yOB,且BA=4PA,则 ()A.x=13,y=23 B.x=23,C.x=34,y=14 D.x=14,【解析】选C.由BA=4PA可得BP=34BA,所以OP=OB+BP=OB+OB+34(OA-OB)=34OA+14OB,所以x=3【解题技法】与向量的线性运算有关的参数问题解题策略一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.提醒:有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.【对点训练】1.如图,已知OA=a,OB=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量MN= ()A.b-2a B.bC.b-a2 D.2(b【解析】选D.由题设及题图知:MN=2AB且AB=OB-OA=b-a,所以MN=2(b-a).2.(2023·赣州模拟)如图,平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=AB,b=AD,则BF= ()A.13a-23b B.-14aC.-58a+13b D.-13a【解析】选D.因为在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,AF=2FE,AD=b,AB=a,所以BF=BE-FE=BE-13AE=BE-13(AB+BE)=-13AB+23=-13AB+13BC=-13AB+133.(2023·北京模拟)在平行四边形ABCD中,点P满足AP=12(AB+AC),若PD=λAB+μAD,则λ+μ的值是__________【解析】由AP=12(AB+AC