2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 第五节 第1课时 椭圆的定义及标准方程含答案

10版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章第五节第1课时椭圆的定义及标准方程第五节椭圆第1课时椭圆的定义及标准方程【课程标准】1.掌握椭圆的定义及标准方程.2.会利用待定系数法确定椭圆的标准方程.【考情分析】考点考法:椭圆是历年高考的重点内容,其中求椭圆的标准方程时常出现在解答题的第一问中.核心素养:数学运算、直观想象、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.【微点拨】(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.(2)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.2.椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上:x2a2+y2b2(2)焦点在y轴上:y2a2+x2b2【微点拨】(1)椭圆的标准方程中焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.(2)a,b,c的关系:a2=b2+c2.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是一条直线【解析】选CD.因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆,故A错误;由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在,故B错误;由于2a=|MF1|+|MF2|>|F1F2|,符合椭圆的定义,故C正确;平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故D正确.2.(选择性必修第一册P109练习T3变条件)已知椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABFA.10 B.15 C.20 D.25【解析】选C.由题意椭圆的长轴长为2a=225=10,由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20.3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PFA.1 B.2 C.4 D.5【解析】选B.方法一:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,从而S△F1PF2=b2tan45°=1=12×|PF1方法二:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,由椭圆方程可知,c2所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,又|PF1|+|PF2|=2a=25,平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF14.(忽略隐含条件)若方程x25-k+y2k-【解析】由已知得5解得3<k<5且k≠4.【巧记结论·速算】椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)当P为短轴端点时,θ最大,S△F(2)S△F1PF2=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a+c).【即时练】1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.6【解析】选C.由椭圆的定义可知,|MF1|+|MF2|=2a=6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|M当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.2.设点P为椭圆C:x2a2+y24=1(a>2)上一点,F1,且∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为__________.

【解析】方法一:由题意知,c=a2又∠F1PF2=60°,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2a2所以|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos60°=4a2-3|PF1||PF2|=4a2-16,所以|PF1||PF2|=163所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=1方法二:由题意得b2=4,∠F1PF2=60°,所以S△PF答案:4【核心考点·分类突破】考点一椭圆的定义及应用教考衔接类题串串联题号类题说明(1)源自教材第108页例2.此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆(2)源自教材第108页例3.此题给出椭圆的另一种定义方式(3)源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为__________.

【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0),由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=y0因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y0把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4,即x24+y2答案:x24+y(2)如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-49,则点M的轨迹方程为__________【解析】(2)设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以直线AM的斜率为kAM=yx+5(同理,直线BM的斜率为kBM=yx-5由已知,有yx+5·yx-5化简,得点M的轨迹方程为x225+y2100答案:x225+y2(3)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45,则动点M的轨迹方程为【解析】(3)设d是点M到直线l:x=254根据题意,动点M的轨迹就是集合P=M|由此得,(x-4将上式两边平方,并化简,得9x2+25y2=225,即x225+y答案:x225+【解题技法】(1)在圆x2+y2=a2(a>0)上取一点P(不取x轴上的点),过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD上的点M满足|MD||PD|=ba(a(2)设A,B两点的坐标分别为(-a,0),(a,0)(a>0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是c2a2-1(a>c>0),则动点(3)动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=a2c(a>c)的距离的比是常数ca,则动点【对点训练】1.(2024·丽江模拟)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是 ()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.双曲线的一支【解析】选A.设动圆P的半径为r,又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1,圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8,则|PA|=r+1,|PB|=8-r,可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.2.(2024·梅州模拟)已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆C的一个交点为A,若|AF2|=4,则△AF1F2的面积为A.23 B.13 C.4 D.15【解析】选D.椭圆C:x29+y25=1中,|F1F2|=29-5=4,由|因此△AF1F2为等腰三角形,底边上的高h=|AF2|2所以S△AF1F2=12|考点二椭圆的标准方程【考情提示】高考对椭圆方程的考查常以解答题的形式出现,有关椭圆的几何性质的求解也常以选择题和填空题的形式出现.角度1定义法[例2]已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 ()A.x264-y248=1 B.C.x248-y264=1 D.【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r,圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为x264+y角度2待定系数法[例3]已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-32,52),(3,-5),则椭圆的方程为【解析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).由(-3所以椭圆的方程为y210+x答案:y210+【解题技法】根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.【对点训练】1.(2024·潍坊模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且过点【解析】由题知:c=1,①又椭圆经过点P(1,32),所以1a2+又a2-b2=c2,③联立解得:a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为x24+y答案:x24+2.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为__________.

【解析】由圆B方程知其圆心为B(3,0),半径r1=10.设圆M半径为r2,则|MA|=r2,由题意可知|MB|=r1-r2=10-r2,即|MA|+|MB|=10,又|AB|=6,所以|MA|+|MB|>|AB|.所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点且a=5,c=3的椭圆,所以b2=a2-c2=16.所以动圆圆心M的轨迹方程为x225+y答案:x225+【加练备选】1.(2024·沈阳模拟)F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=23,则椭圆的标准方程为 (A.x236+B.x29+C.x220+y236=1或D.x29+y25=1或【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA=|OF||AF|=c因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆方程为x29+同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为x25+y2.已知点P为椭圆x225+y216=1上的任意一点,O为原点,M满足OM=12【解析】设点M(x,y),由OM=12OP得点P(2x,2y),而点P为椭圆x2于是得(2x)225+(所以点M的轨迹方程是4x225+答案:4x225第2课时椭圆的几何性质【课程标准】1.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.掌握椭圆几何性质的简单应用.【考情分析】考点考法:椭圆的方程与几何性质是高考的重点,其中求椭圆的离心率问题常以选择题的形式出现,它常与方程、不等式、平面向量等知识相结合.核心素养:数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2by2a2+x2b性质范围-a≤x≤a,且-b≤y≤b-b≤x≤b,且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)离心率e=ca,且e∈a,b,c的关系a2=b2+c2【微点拨】(1)椭圆焦点位置与x2,y2的系数有关.(2)离心率表示椭圆的扁平程度,e越接近0,椭圆越接近于圆;e越接近1,椭圆越扁平.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率都与焦点所在的坐标轴有关B.椭圆的焦点一定在长轴上C.椭圆x2a2+y2b2=1(a>D.椭圆x24+y23=1比椭圆【解析】选BD.椭圆的长轴长,短轴长,离心率都与焦点所在的坐标轴无关,故A错误;椭圆的焦点一定在长轴上,故B正确;椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的参数ba,ca均能刻画椭圆的扁平程度,故C错误;椭圆x24+y23=1的离心率为12,椭圆x216+y2.(选择性必修第一册P112练习T4变形式)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,-32b),且C的离心率为1A.x24+y23=1 B.C.x24+y22=1 D.【解析】选A.由题可知,1a解得a2所以椭圆的方程为x24+y3.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则aA.233 B.2 C.3 D【解析】选A.由e2=3e1,得e22=3e12,即4-144.(椭圆的相关概念不清致误)若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为________,焦点坐标为________.

【解析】设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由题意可得:2a=2×2b,则a2=4b2,因为椭圆方程为x2+my2=1,即x2+y2且焦点在y轴上,则a2=1m,b2可得a2=1m=4,解得m=1所以c=a2-b2=3答案:14(0,±3【巧记结论·速算】1.设P为椭圆上不同于长轴两端点的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则①b≤|OP|<a;②a-c<|PF1|<a+c.2.椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b23.设P,A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三点,其中A,B关于原点对称,P与A,B均不关于坐标轴对称,则直线4.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.5.若P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex6.椭圆系方程:①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2②与x2a2+y2b2=1有共同的离心率的椭圆系为x2a2+y2b2【即时练】1.已知椭圆的标准方程为x2100+y264=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]【解析】选C.方法一:设点P(x0,y0),则|OP|=x0由椭圆的范围,知|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.因为点P在椭圆上,所以x02100则y02=64-所以|OP|=925因为0≤x02≤100,所以64≤即8≤|OP|≤10.方法二:设x0=10cosθ,y0=8sinθ,θ∈[0,2π),则|OP|=x02+64+36cos因为cos2θ∈0,1,所以8≤|OP2.若椭圆C:x2m+y29=1(m>9)比椭圆D:x26+y2A.(6,62) B.(18,36)C.(62,+∞) D.(36,+∞)【解析】选C.椭圆C的离心率e1=m-9m,椭圆D的离心率e2=6-36=22,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2则2m>62,所以椭圆C的长轴长的取值范围是(62,+∞).3.(一题多法)过点(3,-5),且与椭圆y225+x2【解析】方法一:(待定系数法)设所求椭圆方程为y225-k+x29-k=1(k<9),将点(解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为y220+x方法二:(定义法)椭圆y225+x29由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为y220+x答案:y220+【核心考点·分类突破】考点一由椭圆的性质求方程[例1](1)(多选题)(2024·天水模拟)椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的标准方程可能为 ()A.x24+y2=1 B.y24C.y216+x24=1 D.【解析】选AC.设长轴长为2a,短轴长为2b,因为长轴长是短轴长的2倍,则2a=2×2b,即a=2b,又因为椭圆经过点(2,0),则有:若椭圆的焦点在x轴上,可知a=2,b=1,椭圆的标准方程为x24+y若椭圆的焦点在y轴上,可知a=4,b=2,椭圆的标准方程为y216+x综上所述:椭圆的标准方程为x24+y2=1或y216(2)(2024·南昌模拟)已知椭圆的离心率为12,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为 (A.x236+y227=1 B.C.x227+y236=1 D.【解析】选A.由椭圆的焦点是(-3,0),(3,0),得椭圆的半焦距c=3,由离心率为12,得ca=即a=6,因此椭圆的短半轴b=a2-c2=62-32【解题技法】求椭圆标准方程的步骤【对点训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为23【解析】(1)由已知,2a=12,e=ca=23,得:a=6,c=4,从而b2=a2-c2所以椭圆的标准方程为x236+y求适合下列条件的椭圆的标准方程:(2)经过点P(-6,0)和Q(0,8).【解析】(2)由椭圆的几何性质知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于是有b=6,a=8.又短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为y264+x【加练备选】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为8和6;【解析】(1)由题意得:2a=8,2b=6,所以a=4,b=3,结合焦点在x轴上,故椭圆方程为x216+y求适合下列条件的椭圆的标准方程:(2)中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为4;【解析】(2)由题意得:c=5,2b=4,故a2=b2+c2=4+25=29,因为焦点在y轴上,故椭圆方程为y229+x求适合下列条件的椭圆的标准方程:(3)对称轴都在坐标轴上,长半轴长为10,离心率是0.6;【解析】(3)由题意得:a=10,e=ca=0.所以c=6,b2=a2-c2=100-36=64,当焦点在x轴上时,椭圆方程为x2100+y264=1;当焦点在y轴上时,椭圆方程为y求适合下列条件的椭圆的标准方程:(4)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1.【解析】(4)由题意得:a=2,a-c=1,所以c=1,b2=a2-c2=4-1=3,结合焦点在x轴上,故椭圆方程为x24+y考点二椭圆的几何性质【考情提示】高考对椭圆性质的考查是历年的重点,主要以离心率或与椭圆有关的最值问题为载体考查逻辑推理与运算求解能力.角度1椭圆的离心率[例2](1)(2024·北京模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,若以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P,且△OPF2是等边三角形,则椭圆A.12 B.3-12 C.2-3【解析】选D.由题意知∠F1PF2=90°,O为F1F2的中点,故|OP|=12|F1F2|=c△OPF2是等边三角形,即有|PF2|=c,∠PF2F1=60°,所以|PF1|=3c,又P在椭圆上,故|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以ca=23+1即椭圆E的离心率为3-1.(2)(2024·成都模拟)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是A.(0,22) B.(0,12] C.(0,1) D.【解析】选A.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为MF1·MF2=0⇒所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆,又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2-c2,2c2<a2,所以e2=c2a2<12,所以0<角度2与椭圆有关的最值问题[例3](1)(2024·南昌模拟)已知点F1,F2为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则|PF1|·|PF2|的取值范围为A.[3,4] B.[2,3] C.[1,4] D.[1,7]【解析】选A.椭圆C:x24+y23=1的焦点F1设P(2cosθ,3sinθ),0≤θ<2π,|PF1|2·|PF2|2=[(2cosθ+1)2+(3sinθ)2]×[(2cosθ-1)2+(3sinθ)2]=(cosθ+2)2×(cosθ-2)2=(cos2θ-4)2,所以|PF1|·|PF2|=(cos2θ由于0≤cos2θ≤1,3≤4-cos2θ≤4,所以|PF1|·|PF2|的取值范围为[3,4].(2)(多选题)(2024·哈尔滨模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为2-32,点P为椭圆上的任意一点,则A.1 B.2 C.4 D.5【解析】选ABC.由已知得2b=2,故b=1,因为△F1AB的面积为2-32,所以12(a-c)所以a-c=2-3,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,故a+c=2+3,所以a=2,c=3,所以1|PF1=2a|=4-|PF又a-c≤|PF1|≤a+c,即2-3≤|PF