2021届高中数学知识过关学案（文理）模块一三角函数与解三角形（原卷版）

高中数学辅导课程

模块一三角函数与解三角形基础知识丹描

［高中通用版（学生版）］

目录

第一讲、角的概念及弧度制.....................................................1

【知识点1】任意角..............................................................1

【知识点2】象限角.........................................................1

【知识点3］终边相同的角的表示.............................................2

【知识点4】角度制与弧度制的转化...........................................4

【知识点5】弧长公式.......................................................5

第二讲、任意角的三角函数......................................................5

【知识点1】三角函数的定义.................................................5

【知识点2】三角函数值的符号...............................................6

【知识点3】三角函数线.....................................................7

第三讲、三角函数同角关系及诱导公式............................................8

【知识点1】同角三角函数的基本关系式.......................................8

【知识点2】诱导公式......................................................11

第四讲、正弦函数、余弦函数和正切函数图像与性质...............................15

【知识点1】五点作图法................................................16

【知识点2］定义域、值域及取值范围问题....................................19

【知识点3】函数的周期性..................................................22

【知识点4］三角函数的对称轴和对称中心....................................24

【知识点5］奇偶性........................................................25

【知识点6】单调性........................................................26

第五讲/(%)=Asin(3¥+。)图像与性质........................................29

【知识点1】伸缩变化问题..................................................29

【知识点2］/(%)=Asin(@x+。)图像与性质................................31

第六讲三角恒等变换..........................................................34

【知识点1］三角恒等变换及辅助公式........................................34

【知识点2】正切两角和差公式变形..........................................36

【知识点3】二倍角公式....................................................37

【知识点4】辅助角公式....................................................41

第七讲、解三角形.............................................................44

【知识点1】正弦定理......................................................44

【知识点2】余弦定理......................................................46

【知识点3］三角形的面积公式..............................................49

【知识点4］解三角形的实际应用举例........................................52

第一讲、角的概念及弧度制

【知识点1】任意角

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。（射线的起始位置称为始边，终止

位置称为终边。

正角：按逆时针方向旋转所形成的角

负角：按顺时针方向旋转所形成的角

零角：射线没有作任何旋转所形成的角

例1.将射线0M绕端点O按逆时针方向旋转120。所得的角的大小为（）

A.1200B.-1200C.6O0D.24O0

变式1.在直角坐标系中，以x轴为始边，绕原点O按顺时针方向旋转720。所得的角的大小为.

变式2.写出图（1）、（2）中的角a、P、丫的度数.

⑴

【温你一馨】任意角问题，带有旋转方向。

【知识点2】象限角

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，角的

终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为

轴上角：终点与坐标轴重合的角，例如：0=90,180,…

例2.角a=105°是哪个象限角?o

变式1.角a=—215°是哪个象限角？。

变式2.下列命题正确的是（）

A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角

1

C.终边相同的角一定相等D.不相等的角，它们终边必不相同

变式3.若一30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将一30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角

是.

归结；

TT

第一象限角的集合为P={x|2Z万<x<2%乃+,,keZ}

TT

第二象限角的集合为P={%|2七7"+鼻<%<2左乃+"，kwZ\

第三象限角的集合为P={x\2k7r+7r<x<2k^+^3万-，%eZ}

37r

第四象限角的集合为P={x|2Qr+/<x<2Rr+2%,E]

【知识点3]终边相同的角的表示

。终边与。终边相同（。的终边在，终边所在射线上）oa=6+2版■/eZ）,

注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

A组

例3.下列与150。角终边相同的角是（）

A.30°B,-1500C.390°D,-2100

变式1.下列各角中，与一1110°的角终边相同的角是（）

A.60°B.-60°C.30°D.-30°

变式2.与210°角的终边相同的角（包括210°角）组成的角的集合是,

例4.若角a的终边在函数y=-x的图象上，试写出角a的集合.

变式1.若角a的终边在函数y=岳,（xN0）的图象上，试写出角a的集合.

2

变式2.已知集合4={0^=无」80。±45。，左GZ},集合8={缈=，90°+45°,左GZ},则A与8的关系是()

A.QBB.8二MC.A=BD.且BZA

H工

B组

例5.已知角a=2016°.

(I)把a改写成左360。+川^^乙0。3?<360。)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求仇使。与a终边相同，且一360°二。<7与。.

反思与感悟：求适合某种条件且与已知角终边相同的南，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般

形式，再依条件构建不等式求出k的值.

变式1.与角-1825°的终边相同，且绝对值最小的角的度数是,弧度表示为—

变式2.已知角£=心180。+45。,交Z,则角/?属于第几象限角？

例6.已知a为第二象限角，求］的终边所在的象限.

变式1.若角a是第一象限角，问一a、2a、］是第几象限角？

技巧与方法：此时此地你有什么领悟吗？若讨论a亍c所c属象限，你能get到吗?

3

【知识点4】角度制与弧度制的转化

弧度制：半径为r的圆，其圆弧等于半径所对的圆心角即为1弧度，记作：lrad.

角度制与弧度制的关系：

360°=2兀

常用特殊角的弧度数

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7171兀7127r345434

07127

~67~37T~6T

例7.（1）将角度制转换成弧度制：

①175。=rad.②—300°=rad.（3）2°—rad

（2）将弧度制转换成角度制：

①2=。需=。③普。.

变式1.角度制与弧度制间的互化：

①°；②-75"=rad,5400=rad

变式2.a=-2rad,则a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4

【知识点5】弧长公式

l=\a\R,扇形面积公式：S=^lR=^\a\R2（e为弧度制）.

例8.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

变式1.已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm,则该弧所对的圆心角的弧度数是.

变式2.已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积

是多少？

第二讲、任意角的三角函数

【知识点1】三角函数的定义

①如图，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么:

y叫做。的正弦，记作sina,即sina=y；

x叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=x；

即U做a的正切，记作tana,即tana=*xW0）.

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为闲数值的闲数.

【补充延申】三角函数也可定义为：设a是任意一个角，P（x,y）是a的终边上的任意一点（异于原点）,

它与原点的距离是7=J〉+V>0,那么sina=2,cosa=2,tana00）。

rrx

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。

例1.若角a的终边与单位圆相交于点（乎，一冬，则Sina的值为.

例2.已知角a的终边经过点P（5,-12）,则sina+cosa的值为.

4

变式1.已知角a的终边经过点尸（〃八-3）,且cosa=一亍则相等于.

变式2.已知角a的终边过点P（—3m,m）（m和），则sina=.

5

变式3.已知角的终边落在直线y=2x上，求sina、cosa、tana的值.

【知识点2】三角函数值的符号

sina、cosa、tana在各个象限的符号如下:

【口诀记忆】

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

x

其含义是在第一象限各三角函数值全为正，O0

在第二象限只有正弦值为正，在第三象限

只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为」sinacosatana

例3.判断下列各式的符号：

①sin3-cos4-tan5；②a是第二象限角，sina-cosa.

⑵若cos6k0且sin6>0,贝碌是第()象限角

A.~B.三C.一或三D.任意象限角

变式1.已知点尸(tana,cosa)在第三象限，则a是第象限角.

变式2.设a是第三、四象限角，5山。=竽三，则形的取值范围是_______

4-m

变式3.若应回+与幺=0,试判断sinecos。的符号__________.

sina|cosa|

6

记一记.特殊角的三角函数值：

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

717171712万3万5〃3万

07C

67T7-3~TTT

sinaj_V2V3V2

0皇10-1

2V2222

cosa5/3V2j_\__V2_V3

10-10

TV2'2F

tanaV3/_V3

01V3-V3-10

T/

例4.作出一苓的正弦线、余弦线和正切线.

O

变式1.在单位圆中画出满足sina=:的角a的终边，并求角a的取值集合.

7

B组

例5.利用三角函数线比较sin段和sin季cos与和cos尊tan与和tan,的大小.

反思与感悟：利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）

比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负.

变式1.比较sin1155。与sin（-l654。）的大小.

第三讲、三角函数同角关系及诱导公式

【知识点1】同角三角函数的基本关系式

知识9.同角三角函数的基本关系式：

win（y

（1）平方关系：sin2«+cos2a-1（2）商数关系：tantz=--------

cosa

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，己知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值.

在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行

定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三

角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

例1.（1）若sina=—/,且a为第四象限角，则tana的值为（）

12c5r5

A.yB.■yC.^2D.n

兀1

（2）已知一sina+cos0=亍则lana的值为（）

4334

A.—B.—C'D.2

反思与感悟：

（1）同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sina,

cosa,tana三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角a的象限，从而判断三角函数

值的正负.

8

(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关

键在于运用方程的思想及(sinaicosa)2=l±2sinacosa的等价转化，分析解决问题的突破口.

4

变式1.已知tan且a是第三象限角，求sina,cosa的值.

8

变式2.已知cosQ=-F，求sina,tana的值.

反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角a是第几象限角，则应分类讨论，先由已知

三角函数的值推出a的终边可能在的象限，再分类求解.

例2.已知tana=2,求下列代数式的值.

4sina—2cosa(2)^sin2«+^sinacosa+gcos%.

(1)5cosa+3sina;

反思与感悟：

(1)关于sina,cosa的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosa或CQV?。转化为关于tana的式子后再求

值.

(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换，由1=sin?。+cad。代换后，再

同除以cas^a,构造出关于tana的代数式.

9

sina+cosa、|田—一八

变式1.已知而二嬴a=2,计算下列各式的值.

3sina-cosa

(1)―；---------------・(2)sin2a—2sinacosa+1.

2sina+3cosa

cos2a

例3.(1)化简：sin2atana+.+2sinacosa.

131M1(X

tanasinatana+sina

(2)求证:

tana—sinatanasina

反思与感悟：

(1)三角函数式的化简技巧

①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.

②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造1=sin?。+CQS)。，以降低函数次数,

达到化简的目的.

(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：

①证明一边等于另一边，一般是由繁到简.

②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).

左边

③比较法：即证左边一右边=0或手彳=1(右边和).

石现

④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.

10

变式1.化简tana念一1,其中a是第二象限角.

【知识点2】诱导公式

诱导公式I：sin(a+^-27i)=sina,cos(a+Q2©=cosa,tan(a+Z,2兀)=tana,其中

诱导公式2：sin(jc+a)=­sina,cos(7c+a)=—cosa,tan(兀+a)=tana.

诱导公式3：sin(—a)=­sina,cos(—a)=cosa,tan(—a)=­tana.

诱导公式4：sin(兀一a)=sina,cos(兀一a)=­cosa,tan(7i—a)=­tana.

诱导公式5：sin(匹-a)=cosa,cos^--a)-sina.

22

JIJI

诱导公式6：sin(—+a)=cosa,cos6+a)=-sina

22

口诀：

k

(乙万+a)的本质是：奇变偶不变(对左而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时

2

可把a看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：

(1)负角变正角，再写成2k乃+g),0We<2不；(2)转化为锐角三角函数。

例4.求下列各三角函数式的值：

(l)cos210°：(2)sin^

(3)cos(—1920°);(4)sin(—'^)+cos^|^tan4兀.

反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步躲

11

(1)“负化正”:用公式一或三来转化.

(2)“大化小”：用公式一将角化为0。到360。间的角.

(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90。的角转化为锐角.

(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.

变式1.求下列各三角函数式的值：

(l)sin1320°；(2)cos(-吉)；

(3)tan(-945°)；(4)sin810°+tan765°—cos3600.

tan(2兀­a)sin(—2兀—a)cos(6兀­a)

例5.化简⑴

cos(a—兀)sin(5兀­a)

1+2sin290Ocos430°

sin250°+cos790°

反思与感悟：三角函数式的化简方法

⑴利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.

(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.

(3)注意“1”的变式应用：如l=sin2a+cos2a=tan7.

变式1.化简下列各式：

cos(o+sin(2兀+a)cos1900-sin(-210°)

^^sin(-a-7t)-cos(_a)*(2)cos(-350°)-tan(-585°),

12

例6.(给值求值或给值求角问题)

(1)己知sin(兀+。)=—，5cos(2兀一夕)，|。|《，则夕等于()

7t_717T_7T

A.一dB.-3D.3

(2)已知cos《一a)=坐,

(3)已知cos(a+^)=],和aW普，求sin(a+引的值.

反思与感悟：(1)解决条件求值问题的策略

①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.

②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数

值逆向求角.

(3)注意观察互余、互补关系：如胃一a与聿+a,g+a与袭一a,彳-a与彳+a等互余，1+8与专一仇彳+

。与牛一。等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.

13

变式1.已知sin£=；,cos(a+4)=—1,则sin(a+2份的值为()

A.1B.-1C.；D.一；

变式2.已知5皿(点+6()=坐，求cos停一a)的值.

tan（2兀-a）sin（—2兀-a）cos（67t—a）

例7.求证:tana.

反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：

(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.

(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.

(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.

sin8+cosj_2sin（6-骞4呜）—1

变式1.求证:

sincos01—2sin2（n+0）

B组：应用：

14

sin(7t—a)cos(—a)sin^j+a]

例8.已知./(a)=cos(7t+«)sin(-ct)'

⑴化简加)；

(2)若角4是△ABC的内角，且火A)=|,求tanA-sinA的值.

反思与感悟：解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关

系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.

变式1.已知sina是方程5*—7x—6=0的根,a是第三象限角，求心1?(兀一a)的值.

第四讲、正弦函数、余弦函数和正切函数图像与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

,y

yy

17T

图象乙、帝一2元'I

3J(­

0IT0

■--1■~2""----2-1r

定义域RR{x|x£R且冗#也+与左£2}

值域L1J1|T』1R

TT对称中心：管，0)(%ez),

对称轴：x=E+](kGZ)；对称轴:x=E(%GZ);

对称性

对称中心：

对称中心：(E,0)伏GZ)无对称轴

15

冗

(%〃+—,O)McZ

2

奇偶性奇函数偶函数奇函数

周期性最小正周期：27r最小正周期：2n最小正周期：匹

在-5+2E,,+2E

在［一兀+2E,2E］（ZGZ）

上单调递增；

在开区间（航一号

*EZ）上单调递增；

单调性

E+?（kez）上递增

与竽+也

在+2ht,2在［2E,兀+2E］也CZ）上单

调递减

（kEZ）

上单调递减

兀

在x=1+2kli(keZ)时,ymax

在冗=2E/£Z)时，ymax=

=1;1;

最值无最值

jr在X=7t+2E(%£Z)时，ymin

在彳=一爹+2&兀(&62)时，

=一1

ymin1

【知识点1】五点作图法

16

“五点法''作正弦函数y=sinx（xG[0,27r]）、余弦函数〉=85%，xG[0,2用图象的步骤

⑴列表

7U3兀

X0兀2兀

2T

sinx010-10

cosX10-101

（2）描点

画正弦函数y=sinx,xG[0,2句的图象，五个关键点是：（0,0）,（多1），（兀，0）,（苧，-1）,（2兀，0）;

画余弦函数尸cosx,何0,2句的图象，五个关键点是：（0,1）,俘0）,（兀，-1）,停0）,（2兀，1）.

（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y=sinx（xG[0,2M）、余弦函数y=cosx（xG[0,2用）的简

图.

例1.利用“五点法”作出函数y=l-sinx（OWxW27t）的简图.

反思与感悟：作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即），=$皿》或＞=3$》的图象

在[0,2兀]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.

例2.能作函数产tanx,x《一看习的简图吗？怎样画？

反思与感悟：正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x=^l■航，kGZ所隔开的无穷多支曲

线组成的.

17

变式1.用“五点法”作出函数y=l-cosM0〈xW27r）的简图.

变式2.利用正弦或余弦函数图象作出），=卜也口+自）|的图象.

B组题

例3.作出函数式x）=sinx+2|sinx|,xG[0,4句的图象.

变式1.画出函数y=|taar|+tairv的图象,

18

例4.求方程sinx+2|sinx|—|log2x|=0解的个数.

反思与感悟：判断方程解的个数的关注点

(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解.

(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定.

变式1.方程W—cosx=0的实数解的个数是.

【知识点2］定义域'值域及取值范围问题

知识12；定义域、值域及取值范围问题

例5.利用正弦曲线，求满足£<sinxW乎的x的集合.

反思与感悟：用三角函数图象解三角不等式的方法

(1)作出相应正弦函数或余弦函数在［0,2何上的图象；(2)写出适合不等式在区间［0,2句上的解集；(3)根据公式

一写出不等式的解集.

19

变式L使不等式6一2sin尤NO成立的x的取值集合是()

2E+f«2E+季kQZ1B."2E+：«E+季kQZ

C.，2E—竽kGZ］D."2E+苧WxW2E+季kGZ

变式2.当［0,4兀］时，解不等式sinx>0.

例6.求函数段)=lgsin16—x2的定义域.

变式1.函数尸lg(sin2x)+39—f的定义域为.

变式2.函数y=1的定义域为___________________.

［-(6+3tanx)

7F

例7.(1)函数y=2sinx(0Wx《j)的值域是.

(2)函数y=,cosQx-2)，xel-e,生］的值域是.

2444

TTTT

变式1.函数式x)=sin(2x—R在区间［0,引上的最小值为.

TTTT

变式2,函数y=2tan(—x——)，XG(——，兀)的值域为

20

B组

例8.(1)求函数段)=2sin2x+2sinL4,蚩毯的值域.

7TJT

(2)已知一qWxWz，J(x)=tan2x+2tairv+2,求«r)的最值及相应的x值.

变式1,函数y=3-sinx-2cos2工，光c［生，2］的值域为

66

变式2.求函数产tan2(3x+W)+tan(3x+1)+1的定义域和值域.

反思与感悟：一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数

的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.

常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：

⑴形如y=sin(cox+9)的三角函数，令t=a)x+s，根据题中x的取值范围，求出1的取值范围，再利用三

角函数的单调性、有界性求出y=sint的最值(值域).

(2)形如y=asin%+bsinx+c(a#0)的三角函数，可先设r=sinx,将函数yuqsirPx+Ain工+。3#0)化为关

于t的二次函数丁=〃户+初+c(〃W0),根据二次函数的单调性求值域(最值).

(3)对于形如y=〃sinx(或y=acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论.

21

延申思考3.已知函数式x)=2asinx+b的定义域为［一；，用，函数的最大值为1,最小值为一5,求。和

。的值.

【知识点3】函数的周期性

(1)对于函数凡丫)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有/k+T)=/U),

那么函数,大x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

(2)如果在周期函数/U)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做/U)的最小正周期.

【求三角函数周期的方法】

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.

(2)公式法，对形如y=Asin((ox+9^y=Acos(ft>x+0)(A,co,。是常数，A#),co/))的函数，T=言.

7T

y=Atan{cox+(p)的最小正周期为T=——.

\o)\

T

•般的，若函数y=/(x)的最小正周期为T,则y=的最小正周期为——.

1切

⑶观察法，即通过观察函数图象求其周期.

22

例9.(l)y=sin(2x+§(xGR)；

(2)y=|sinx|(x^R).

反思与感悟：对于形如函数4口声0时的最小正周期的求法常直接利用7=而来求解,

对于v=\Asin5|的周期情况常结合图象法来求解.

!了一总的最小正周期是,

变式1.函数y=3cos|

变式2.下列函数是以兀为周期的函数是()

.X..

A.y=sin2B.y=sinx+2C.y=cos2X~T2D.y=cos3x—1

变式3.函数y=sin(ox+：)的最小正周期为2,则3的值为.

B组

例10.(1)函数兀v)是周期函数，10是7U)的一个周期，且式2)=啦，则122)=.

TT

(2)已知函数7U)=cosy,求*1)+,«2)+13)+…+八2020)的值.

反思与感悟：函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先斫究它在一个周期内的函数值的变化情况,

再给予推广求值.

23

jr

变式1.设函数式x)=sinqx,则火1)+/(2)+x3)+…+共2018)=.

【知识点4】三角函数的对称轴和对称中心

函数y=sinxy=cosxy=tanx

yy

_7T11

不宣21T

图象-27r-iXJy由广［j

。.豆丁7-/-X一臼IL

■"-i2

11

1■

对称中心：（

对称轴:x=E（%£Z）;

对称对称轴：x=E+货AWZ）；等。）

性对称中心：（2"+工,0）,女GZ（ASZ）,

对称中心：（E,0）（4GZ）2

无对称轴

x=，+2fat(%GZ)时，ymax=l;X=2E(k£Z)时，ymax=1;

最值x=n+2kn(k£Z)时jmin=一无最值

X=—Z)时，Mnin=­I1

【三角函数对称轴和对称中心的求解方法】

正（余）弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于X轴的直线，

定义法

对称中心.是图象与X轴的交点，即函数的零点.

函数y=4sin（s+e）的对称轴为》=辞一\+券对称中心为得一舄0）：

函数y—4cos（3x+°）的对称轴为x—八号，对称中心为＞0）；

公式法

cjj（jj\ci/vjj/

函数y—4an（s：+0）的对称中心为£。）上述kGZ

例11.函数y=—2sin（2x—乙71）对称轴是；对称中心是.

例12.如果函数y=3cos（2x+（p）的图像关于点（工-，。）中心对称，那么|中|的最小值为（）

7171

A.—D.—

62

24

1JI

变式1.函数y=2cos(-x一一)-2对称轴是________________;对称中心是_________________.

24

971TC

变式2.函数y=-sin(2x-y)，在xw[-y,0]时的对称轴是;对称中心是.

nw

延申变式:设函数/(x)=2sin(-x+y),若对任意X&R都有)</(x)<f(x2)成立，则|再一/I

的最小值为—

【知识点5】奇偶性

三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y=/si〃cox或

的形式，而偶函数一般可化为)u/cossx+6的形式.常见的结论有：

77

(1)若)=4加(5+夕)为偶函数，则有夕二版+万伏6⑷；若为奇函数，则有e=E#GZ).