2019-2020学年辽宁省葫芦岛市高三第一学期期末数学试卷（文科） 含解析

2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷(文科)

一、选择题

1.A={x\x-1>0),B={x|y-x-6^0},则4D5=()

A.[-2,1)B.[-2,3]C.(1,3]D.[1,3)

2.已知/是虚数单位，复数号=()

A.i-2B./+2C.-2D.2

3.在等比数列{a.}中，a,，备是方程X2+5A+1=0的两根，则备=()

RR

A.1B.±1C.—D.±—

22

4.在△/B。中角4,8,。所对的边分别为名b,c,则下列等式正确的是()

A.a:b=A:BB.asi"=dsin8

C.a:b=sin8:s\r\AD.a:6=sin4:sin8

5.设z，芯均为单位向量，则”IW-2EI=[2；+EI"是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科

特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好

生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改

实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科

必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、

政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部

分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两

幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的()

登高堆枳条形图1置麻堆枳条形图2

100%

等高堆积条形图1等高堆积条形图2

A.样本中的女生数量多于男生数量

B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱物理

D.样本中的女生偏爱历史

7.函数》(x)=专'+/二的大致图象为()

8.函数f(z)=In(/-ax-3)在(1,+8)单调递增，求々的取值范围()

A.W2B.a<2C.aS-2D.a<-2

9.若」<aV6V1,0<c<1,则下列不等式不成立的是()

e

A.Iogac<Iog/,cB.alogQVblogM

C.at)<baD.a3<tf

10.已知角a,B£(0,n),tan(a+P)=—,cosB=''历,则角2a+B=()

210

A9兀03兀八5打、兀

4444

11.如图所示，已知球。为棱长为3的正方体48必-486〃的内切球，则平面4笫截球0

的截面面积为()

A.旦工B.3nC..我兀D.3百兀

22V

12.设函数A(x)=一x(x-a)2(xGR),当a>3时，不等式f(-^-sin6-1)

("-sin?e)对任意的AG[-1,0]恒成立，则e的可能取值是()

二、填空题

13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

正(主)视图侧(左)视图

俯视图

14.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了

“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率

得到圆周率TT的近似值的方法.具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币（如图），测

得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm,“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边

长为1cm,在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p,则圆周率

n的近似值为.

15.1g（3x）+/gy=/g（A+y*-1）,则A+V的取值范围是.

22

16.已知双曲线C:七-t=1（a>。，Z»>0）的左，右焦点分别为鸟，点P为双曲

ab

线C右支上异于顶点的一点，ZiMA的内切圆与x轴切于点（2,0）,则a的值为

若直线y=-2*经过线段用的中点且垂直于线段历，则双曲线C的方程为.

解答题

17.如图，在四棱锥P-X5⑺中，侧面外。是等边三角形，且平面2IDJ■平面力坑论E为

阳的中点，AD//BC,CDLAD,BC=CD=2,AD=A.

（1）求证：CE〃牛面PAB;

（2）求三棱锥。-4CE■的体积.

BC

18.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏

洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对

近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大

五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安

全情况的调查，通过调查年龄在［15,65）的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最

为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路

安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组［15,25),第2组［25,

35),

第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所

示.

(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精

确到小数点后一位)；

(2)现在要从年龄核小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机

抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的楼率.

频率组即

<).030

0.015

0.01()

IIIIIII千一

6152535455565(岁)

19.已知数列｛&｝其前"项和£满足：S„=2-(91)即(〃GN*),ai=0.

(1)求数列｛a〃｝的通项公式；

nUTi

(2)当〃=1时，G=1,当且〃£N*时，设a=±-----,求｛♦｝的前〃项和

20.椭圆£:=1(a>6>0)的上顶点为4,点8(1,-乂3)在椭圆£•上，月,

2,29

ab/

E分别为f的左右焦点，NE/伤=1200.

(1)求椭圆E的方程;

(2)点"在圆/+/=〃上，且"在第一象限，过"作"+/=〃的切线交椭圆于C,。两

点，且c,〃不共线，问：△华〃的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理

由.

21.已知函数2(x)=xln/kx,〃CR.

(1)求y=，(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若不等式r(x)Wf+x恒成立，求A的取值范围；

(3)函数h(x)=二，/-x+!nx,设g(x)=\h(x)/工人|,记g(x)在［-2,4］

上得最大值为0(A),当。(外最小时，求4的值.

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时就写清

题号.［选修4-4:坐标系与参数方程］

近

x=x0t

2

22.在直角坐标系x加中，直线/的参数方程为＜(士为参数).以坐标原点

j/2

t

2

。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆，的极坐标方程为p=2灰sin。.

(1)求圆C的直角坐标方程及直线/的斜率;

(2)直线/与圆。交于机N两点,掰V中点为0,求。点轨迹的直角坐标方程.

［选修4V:不等式选讲］

23.设耳。是正实数，求证：

(1)若＞26=1,求才+炉的最小值；

(2)若才+46=1,求百a+2b的最大值.

参考答案

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1./={x\x-1>0},B={x\^~x-6^0},则4r15=()

A.[-2,1)B.[-2,3]C.(1,3]D.[1,3)

【分析】求出A,B,由此能求出AC8.

解：'：A={z|x-1>0}={x|x>1},

B={x|%-x-6W0}={x|-2W启3},

.•"05={*|1<后3}=(1,3].

故选：C.

2.已知/是虚数单位，复数言=()

A./-2B./+2C.-2D.2

【分析】利用复数的运算法则即可得出.

解：复啮5(2+i)_5(2+i)_2,.

(2-i)(2+i)5〜

故选：B.

3.在等比数列｛&｝中，&,a-是方程f+5/1=0的两根，则选=（）

A.1B.±1C.—D.±—

22

【分析】根据题意，由一元二次方程根与系数的关系分析可得a,a6=1,结合等比数列的

性质可得（关）2=a4a6=1,即可得答案.

解：根据题意，雨,%是方程4+5A+1=0的两根，则a杂=1,

又由数列｛aj为等比数列，则（孱）2=a1a6=1,

解可得：备=±1：

故选：B.

4.在△?（%中角4,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式正确的是（）

A.a\b-AxBB.asin4=6sin8

C.a:b=s\nB:sin>4D.a:b=sin/:sinB

【分析】直接根据正弦定理即可求解.

解：因为可得，

sinAsint>sinC

只有。成立.

故选：D.

5.设工评为单位向量,则"1之-2E1=|2Z+刷"是"二的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：若“1二-2沼=区+耳”平方得夏-吗・芯+4汽=4工+4柒t+b.

即5-4柒4=5+42・fo,

即吗•芯=0,得柒fo=O,即反之也成立，

即“1；・困=|2；司"是"：1E”的充要条件,

故选：C.

6.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科

特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好

生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改

实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科

必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、

政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部

分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两

幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）

等高堆积条形图1等高堆积条形图2

A.样本中的女生数量多于男生数量

B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱物理

D.样本中的女生偏爱历史

【分析】利用等高堆积条形图的性质直接求解.

解：由等高堆积条形图知：

在4中，由等高堆积条形图2知，样本中的女生数量多于男生数量，故4正确；

在8中，由等高堆积条形图1知，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的

学生数量，故8正确；

在C中，由等高堆积条形图2知，样本中的男生偏爱物理，故C正确；

在。中，由等高堆积条形图2知，样本中的女生偏爱物理，故。错误.

故选：D.

【分析】根据题意，分析函数的奇偶性以及在(0,+8)上的单调性，综合即可得答案.

X-X

解：根据题意，函数f(x)=~~~|—,

X

则r(-x)=—~~驾厂=且若一=，(x),即函数r(x)为偶函数,

(-X)2X2

当x>0时，f(x)=.：(x-2)-广x+2),分析可得f(x)在(0,+OO)先减后

XJ

增，

故选：D.

8.函数f(x)=/n(〃-ax-3)在(1,+°0)单调递增，求a的取值范围()

A.aW2B.a<2C.aW-2D.a<-2

【分析】结合复合函数的单调性及对数函数的性质即可求解.

解：令t(x)=，-ax-3,

fl<l

由复合函数的单调性可知，｛2a飞

.-2-a>0

解可得，aW-2.

故选：C.

9.若工Va<6<1,0<c<1,则下列不等式不成立的是()

e

A.IogsCVIog6cB.a\ogz>c<b\ogflc

C.al)<baD.a<t)

【分析】利用函数的单调性即可判断出结论.

解：—<a<b<\,0<c<1,贝寸：0<log,c<logc,a\cgc>b\cg,c,atfVbd,ac<if.

e4b

故选：B.

10.已知角a,3G(0,n),tan(a+0)=—,cosB=^^~,则角2a+|3=()

210

,9K371人5兀、兀

A.--Bo.--C.--D.—

4444

【分析】利用两角和差的三角公式进行转化，先求出tan(2a+B)的值，结合角的范

围进行判断即可.

解：Vcos0='sin0=.11_f.Z2Z2.\2=2^2.>则tanB=工,

10VV102107

_tan(a+B)-tanB_27_1

则tana=tan(a+B-0)

l+tan(a+B)tanB1dx工

14_3+25

tan(a+B)+tana

贝4tan(2a+B)=tan(a+0+a)=

l-tan(a+B)tana1、，16-1-5

1,

VO<tan(a+3)<1,0<tana<1,

...OVa+BV—,0<a<—,

44

,Jl

贝40<2a+P<—,

则2a+B=子，

故选：D.

11.如图所示，已知球0为校长为3的正方体48曲-48G〃的内切球，则平面/笫截球。

的截面面积为（）

3冗r3)兀

B.3nV.-------------------------D.3百打

~2~2

【分析】求出平面4必是边长为何用=3&的正三角形，所求截面的面积是该正三角

部哂户_（平）2噂,由此

形的内切圆的面积，内内切圆的半径是：r=

能求出平面截球0的截面面积.

解：根据题意知，平面/必是边长为J丽=3、历的正三角形,

且球与包含上三角形的三边的平面的切点恰好在此三线段的中点,

故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,

则由图得，△/切内切圆的半径是:

平面ACN截球。的截面面积为:

A冗X堂产号

故选：A.

12.设函数f(x)=-x(x-a)2(xGR),当a>3时，不等式f(-A-sin0-1)

(*2-sin20)对任意的〃G[-1,0]恒成立，则。的可能取值是()

【分析】当a>3时，先利用导数求得函数，(x)在(-8,1]上为减函数，再将不等

式恒成立转化为sin20-sine-1W"+A对任意的*e[-1,0]恒成立，进而解得sin

e的范围.

解：由2(x)=-x(x-a)2,得f(x)=-(3x-a)(.x-a).

令f(x)=0,得■或x=a,

o

当a>3时，告<a,."(x)在区间(-8,a],[a,+8)上单调递减，在区间管，a)

OOO

上单调递增;

当a>3时，y>l,则｛x)在区间(-8,1]上为减函数，

又0],sinGe[-1,1],则-2W-A-sin6-1W1,-1-sin20=^1.

Vf(-A-sin9-1)Nf(^-sin^)对任意的[-1,0]恒成立,

21

**,sin20-sin士!■任意的〃W[-1,0]恒成立,

4

sin"8-sin8恒成立,

-^CsinQ即

/.0的可能取值是小.

故选：D.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，第16题为两空题，第一空2分，第

二空3分.）

13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为—.

一6一

【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积.

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体,

如图所示:

14.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了

“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率

得到圆周率n的近似值的方法.具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币（如图），测

得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2c叫“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边

长为1c码在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p,则圆周率

【分析】先求出圆及正方形的面积，然后根据与面积有关的几何概型的概率求解公式即

可求解.

解：由题意可知，外圆的面积5=4TT,内方的面积为1,

在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率。=丝3=1

4冗4兀

则n=■■—-.

4（l-p）

故答案为：--7-1

15./g（3x）+/gy=1g（A+y+1）,则肝y的取值范围是［2,+8）.

【分析】lg（3x）+/gy=lg（A+y+1）,利用对数运算性质可得：A+>+1=3xy,再利用基

本不等式的性质即可得出.

解：lg（3x）+/gy=lg（A+yH）,则/g（3xy）=lg（妙尸1）,x>0,y>0.

/.A+>H-1=3xj<3X化为：3（妙。2-4（A+y）-420,

解得2^22,当且仅当x=y=1时取等号.

•'.A+y的取值范围是［2,+8）.

故答案为：［2,+8）.

22

16.已知双曲线C:与-工了=1（a>0,6>0）的左，右焦点分别为石，石，点"为双曲

b2

线C右支上异于顶点的一点，△历Q的内切圆与x轴切于点（2,0）,则a的值为2,

22

若直线y=-2x经过线段用的中点且垂直于线段小，则双曲线C的方程为l—~y_

-4-16

=1.

【分析】设点。是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|历|-|所|=2a,设三角形

用6的内切圆心在横轴上的投影为A（x,0）,D、C分别为内切圆与PF、、所的切点.由

同一点向圆引得两条切线相等知|M|-|用|=（4升为）-（%*■苗），由此得到△阳月

的内切圆的圆心横坐标.即为a=2,运用对称思想，结合中点坐标公式和两直线垂直的

条件，再由直线的斜率公式和点"满足双曲线方程，化简整理，即可得到6=4,进而得

到双曲线方程.

解：点。是双曲线右支上一点，

由双曲线的定义，可得|所|-|所|=2a,

若设三角形由内的内切圆心在横轴上的投影为4(x,0),该点也是内切圆与横轴的切

点.

设8、6分别为内切圆与小、所的切点，考虑到同一点向圆引的两条切线相等，

则有：PR-PF?=业DFi)-(PSCFQ

=DFLCFz=AF、-F?A=(dx)-(c-x)=2x=2a,即x=e,

・••内切圆的圆心横坐标为a.

由题意可得a=2,

设。(历，〃)，£(-C,0),

直线y=-2x经过线段用的中点且垂直于线段所，则P与点石关于直线y=-2”对称,

‘n」

可得，m+C2,解得片争,〃=萼，即有P(野，萼),

ncxzm-c5555

—=-2X——

22

代入双曲线的方程可得又行+4=，，

10025b2

解得6=4,c=2^/5.

22

即有双曲线的方程为2__匚二1.

416

故答案为：2；Ai_xi=

416

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.如图，在四棱锥P-四微中，侧面力。是等边三角形，且平面以ZLL平面/田笫，E为

外的中点，AD//BC,CDLAD,BC=CD=2,AD=A.

(1)求证：CE〃平面PAB；

(2)求三棱锥。-/应■的体积.

【分析】(1)取以中点尸，连结优BF,推导出四边形日议;为平行四边形.CE//BF.由

此能证明龙〃平面PAB.

(2)连接〃；AC.由%-减=%-核能求出三棱锥P-/绥的体积.

解：(1)证明：如图，取ZM中点尸，连结环BF,

因为E为依中点，AD=4,所以牙〃4?,EF=^AD=2.

又因为BC"AD,BC=2,乐旗EF〃BC,EF=BC,

所以四边形日3c为平行四边形.所以CE〃BF.

又因为幽平面PAB,BFu平面PAB,

所以〃平面PAB.

(2)解：连接AC.由题意得力-减=%-3，

由于⑺_LAD,且平面PAD1.平面ABCD,

平面平面ABCD=AD,可得缈J■平面PAD

即3_L平面外£,于是3为三棱锥的高.

在等边三角形△以。中，£为加中点，

于是&«<£=[&««)=2又缈=2,

18.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏

洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对

近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大

五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安

全情况的调查，通过调查年龄在［15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最

为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路

安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组［15,25),第2组［25,

35),

第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所

不­

(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精

确到小数点后一位)；

(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机

抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的概率.

领率组距

0.03()

<).015

<).010

年龄

6152535455565(岁)

【分析】(1)由频率分布直方图能求出a,由此能求出这100人年龄的样本平均数和中

位数.

(2)第1,2组抽取的人数分别为10人，15人.由分层抽样知抽取的人数分别为2人，

3人.设第1组抽取的人员为品，&;第2组抽取的人员为6,环,bi.进而求出在5

人随机抽取两人，第2组恰好抽到1人的概率.

解：(1)由10X(0.010+0.015+^0.030+0.010)=1,得a=0.035,

平均数为20X0.1+30X0.15+40X0.35+50X0.3+60X0.1=41.5岁；

设中住数为x,U'J10X0.010+10X0.015+(x-35)X0.035=0.5,.•.*々42.1岁.

(2)根据题意，第1,2组分的人数分别为100X0.1=10人，100X0.15=15人，按照

分层抽样的方式抽取的人数分别为2人，3人.

设第1组抽取的人员为昌，金；第2组抽取的人员为》，金,

于是，在5人随机抽取两人的情况有:

（胡，4），

（a〕，b\）,（a[,打）9（a〕，勿）,

（&,b\）,（a,bi）,（生，bi）,

（乐，6）,（A,力），（包6）共10种.

满足题意的有：（各，A）,（各，th）,（各，th）,（匹bi）,（血62）,（a,&）

共6种.

所以第2组恰好抽到1人的概率p=&=3.

105

19.已知数列｛aj其前"项和S满足：Sn=2-（"1）a同（〃GN*）,a,=0.

（1）求数列｛aj的通项公式；

on+1

（2）当〃=1时，5=1,当"m2且"GN”时，设a=----,求｛c„｝的前"项和乙.

nan

【分析】（1）运用数列的递推式：当"=1时，a,=S,当"N2时，an=S„-Sn-„结合

数列的恒等式，可得所求；

r)n+l

(2)当〃N2且"GN’时，求得c„=人一=(/7-1)2",运用数列的错位相减法求和,

nan

计算可得所求和.

解：（1）当〃=1时，a=S=2-2a2=0,得生=1,

当〃》2时，a„=S„-S„-t=na„-（"1）a*“即（用）的=（n-1）an,

因为生手0,所以另史上=吟，

an"1

迎X......X^a-=lx2.xxn-222

a2a2a3an-l34n(n-l)n'"(n-l)n，

<0n=l

综上所述,2

(n-l)nn>2

(2)当n=1时，75=1,

当时，cn=(n-1)•T

7；=1+2*2+2X23+...+X2n

27；=2+23+...+(〃-2)X2〃+(〃-1)X2用

-5=3+23...n_(〃-1)X2*1=3+232-(/?-1)X2"1

+21-2

=-5-(〃-2)2"'

7；=5+(〃-2)2同

综上所述，7„=5+(〃-2)2"'

Xy

20.椭圆&2+2=1(a>6>0)的上顶点为4,点8(1,-亨)在椭圆£■上，F”

为分别为£的左右焦点，Z^=120°.

(1)求椭圆£的方程；

(2)点附在圆/+/=〃上，且“在第一象限，过“作/+/=〃的切线交椭圆于C,。两

点，且C,F2,。不共线，问：△帙〃的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理

由.

【分析】(1)由题意点4F、,E的位置及NA/E=120°可得a,6的关系，又点8在

椭圆上代入椭圆方程，进而求出a,6的值，求由椭圆的方程；

(2)设直线切的方程，由题意与圆相切求出参数的关系，将直线与椭圆联立求出两根

之和及两根之积，进而求出弦长|即|,再求|帙|,+|帙|的表达式用缈的坐标表示，进

而求出|缈l+lGQl+l。引为定值.

解：(1)由N£/A=120°,得已=[,

a2

8点(1,一返)代入椭圆方程得：一与■^方=1,

24bz4bz

2

由①②得d=4,4=1,所以椭圆£的方程为：2_+/=1；

4

(2)由题意，设CD的方程为尸k/m(kVO,m>0),

cc|in|.今

•・•必与圆寸+7=1相切，A/=1,即才=1+匕

Ml+k*9

「y=kx'hn

由：2得(1+4必)J/+8A7TZX+4/T/-4=0,A>0,

[丁y=1

设C(x,yt),D(.X2,y2),则一-8km__£

l+4kJl+4k2

ICD\=7l+k2l不一X2I=\/i+k2'J(X[+x2)2-4x]X2,

，8km、2441n2-4_-W3kVl+p-4>/3km

---------7)-4,---------2-----------------2~~2

l+4kJl+4k'l+4kzl+4k

乙1

又|4|2=(M-b)2+y=(M-«)2+1-(V3*1-4)2,

44

IMI=-y(4--y3*1),

同理|诙|=£(4-丘)，

....-JQ,、473km

'.\CF\+\DFI\=4--—(*,+及)=4+---------5-,

22l+4k2

，|缈|+|帙|+|巫|=4

即△能〃的周长为定值.

21.已知函数尸(x)=x/nx+kx,AGR.

(1)求y=2(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若不等式，(幻W4+*恒成立，求〃的取值范围；

(3)函数h(x)-4+/"*,设g(x)=\h(x),记g(x)在[-2,4]

4x

上得最大值为。(k),当。(外最小时，求〃的值.

【分析】(1)求导，求出切线斜率，再由点斜式方程得解；

(2)设g(x)=Inx-QkT,求导，只需g(x)的最大值小于0即可；

(3)解题的关键是求出中(〃)，进而得解.

解：(1)函数/=/(*)的定义域为(0,+8),

f(x)=1+/M〃，f(1)=l+k,

Vf(1)=k,

函数尸尸(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-Zr=(A+1)(x-1),

即y=(A+1)x-1,

(2)设g(x)=Inx-x^k-1,，(x)=—-1,

x

xG(0,1),r(x)>0,g(x)单调递增，

xG(1,+8),g>(x)<0,g(x)单调递减，

•.•不等式?(x)WM+x恒成立，且x>0,

Inx-x^k-1WO,

：.g(x)«x=g(1)=4-2W0即可，故Z2;

(3)由已知，g(x)=|-^-x^-x2-k|,令u(x)=_^x3-x2，

uz(X)=-1-X2-2X=-|-X(X-|-)»

在(-8,0)(x)>0〃(X)增函数；在[0,-y]u/(xXOu(x)减函数；在

信8°)u'(x)>Ou(x那函数;

Xu(O)=U(4)=0,U(-2)=-6,u(y)=—

所以，在[-2,4]上，u(x)e[-6,0],当-6V〃V0时，g(0)—g(4)=|-川=

-A；g(2)=|-6-川=6+〃,8(卷)=|-舞-k|=|舞+k|,

当瑞+卜>0时，g(y)=-1^-+k<6+k=g(-2),

当篝+k<0时，g仔)