2021届高中数学知识过关学案（文理）模块七 导数（原卷版）

高中数学辅导课程

模块七导数

基础知识打指

［高中通用版（学生版）］

目录

第一节变化率与导数..........................................................................1

【知识1】函数的平均变化率...............................................................1

【知识3】导数的概念.....................................................................4

【思考提升1】...........................................................................6

【知识4】导数的几何意义.................................................................6

【探索1】在某个点处的切线方程......................................................7

【探索2】过某个点的切线方程.........................................................7

【探索3】求切点坐标.................................................................8

【探索4】数形结合...................................................................8

【思考提升21..................................................................................................................................9

【知识5】导数公式......................................................................10

【探索1】利用导数公式求函数的导数..................................................10

【探究2】利用导数公式研究切线问题..................................................11

【思考提升3】..................................................................12

【知识6】导数的运算法则................................................................13

【探索1】利用法则进行导数的运算...................................................13

【探索2】导数公式及运算法则的综合应用..............................................14

【思考提升4】......................................................................15

【知识7】复合函数的概念及求导法则......................................................16

【探索11求复合函数的导数..........................................................16

［探索2］复合函数导数的应用........................................................18

第二节导数在研究函数中的应用..............................................................20

【知识8】利用导数判断函数的单调性.....................................................20

【探索1】判断或证明函数的单调性问题................................................20

【探索2】利用导数求函数的单调区间..................................................21

【探索3】求含参函数的单调区间.....................................................21

【探索4】函数图象与导数图象的应用..................................................22

【知识9】函数的单调性与导数的关系.....................................................23

【探索1】已知函数单调性求参数的取值范围............................................24

【探索2】证明不等式、等式问题.....................................................25

【知识10】函数的极值与导数.............................................................27

【探索1】讨论不含参函数的极值问题..................................................28

【探索2】函数极值在函数图像的应用..................................................29

【探索3】讨论含参函数的极值问题...................................................29

【探索4】由函数的极值求参数.......................................................30

【探索5】由函数极值解决函数零点问题................................................31

【知识11】函数的最大（小）值与导数......................................................32

【探索1】在闭区间内求函数的最值问题................................................32

【探索2】在开区间内求函数的最值问题................................................33

【探索4】由函数的最值、极值求参数..................................................34

【探索5】与最值有关的恒成立问题...................................................36

第三节导数模块内容复习.....................................................................42

【回顾1】导数几何意义的应用.......................................................43

【回顾2】函数的单调性、极值、最值问题..............................................43

【回顾3】导数在实际生活中的应用...................................................44

第一节变化率与导数

【知识1】函数的平均变化率

函数y=7W从X］到X2的平均变化率

/I,4、取於2)一穴即)

(1)定乂式：7；=--------------

AxX2-X\

(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比.

(3)作用：刻画函数值在区间⑶，恕］上变化的快慢.

(4)几何意义：已知巴(及，於2))是函数y=/U)的图象上两点，则平均变化率二叁D

八%X2-X1

表示割线尸］尸2的斜率.

［例如］一质点的运动方程为s=10巴其中$表示位移，，表示时间，求该质点从乙=1到尬=2的平

10x4-10x1

均速度

Vj=~/—~।=30.

【例1-1］设函数丫=人》)=/一1,当自变量X由1变为1.1时，函数的平均变化率为.

【练习1-1】若函数)，=穴用=/—X在区间［―2,〃上的平均变化率为2,则£=.

【例1-2］求函数丫=於)=/在x=l,2,3附近的平均变化率，取Ar都为:，哪一点附近的平均变化率最大？

【反思】求平均变化率的主要步躲

⑴先计算函数值的改变量Ay=穴*2)—AM).

(2)再计算自变量的改变量Ax=X2—X1.

(3)得平均变化率第="之二空2

AvX2~X\

【练习1・21(1)已知函数y=ya)=f+2x—5的图象上的一点A(—1,—6)及邻近一点伙一1+Av,—6+Ay),

1

(2)如图所示是函数y=/(x)的图象，则函数式刈在区间［—1,1］上的平均变化率为；函数Ar)在区间［0,2］

上的平均变化率为.

【练习1-3］若函数y=y(x)=—"N+x在［2,2+Ax］(A%>0)上的平均变化率不大于-1,求的取值范围.

1-3］过曲线丫=耳)=心一彳上的两点P(1,O)和。(1+Ax,△y)作曲线的割线，已知割线尸。的斜率为2,

求Ax的值.

【反思】平均变化率的几何意义：函数y=/(x)从©到也的平均变化率的实质是函数y=/U)图象上两点PI(XI,

於D),6(X2,於2))连线PP2的斜率，即廉%=言="丫二，.

【练习1-4】汽车行驶的路程s和时间f之间的函数图象如图所示，在时间段缶，司，［A,A］,。，目上的平

均速度分别为石”32,石3,则三者的大小关系为.

【练习1-5】已知点A(xi，y),8(X2,以)在函数y=/(x)的图象上，若函数人幻从乃到及的平均变化率为小,

则下面叙述正确的是()

A.曲线y=/(x)的割线AB的倾斜角为/B.曲线y=/U)的割线A8的倾斜角为1

C,曲线y=/(x)的割线AB的斜率为一5D.曲线y=/(x)的割线A8的斜率为一坐

2

【练习1-6】甲、乙两人走过的路程si(f),S2(f)与时间r的关系如图所示，则在［0,初这个时间段内，甲、乙

两人的平均速度。甲，的关系是()

A

B

O

A.vip>vz.B.vq><yz.C.。单=。乙D.大小关系不确定

【知识2】瞬时速度

瞬时速度

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

(2)一般地，设物体的运动规律是s=s(f),则物体在to到r0+A/这段时间内的平均速度为

Ass(fo+A/)-s(fo)

•.如果Ar无限趋近于0时，©无限趋近于某个常数我们就说当趋近于0时，石

的极限是。，这时。就是物体在时刻，=加时的瞬时速度，即瞬时速度

一八Q

【例如】物体的路程s与时间t的关系是s⑺=5尸.则物体在［1,1+Af］这段时间内的平均速度u=守=10

+5Ar(其中A.V=5(1+Ar)2-5=10Ar+5(Ar)2)

Ay

当。趋近于0时，而趋近于10,这时的平均速度即为当/'=1时的瞬时速度.

【温馨提示】简单极限的计算，如lim(10+5AZ)=10,lim(10+5A/)=10+5=15

A7A(->1

【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间《单位：S)的关系可用函数S⑺=5+1+1表示，求物体在r=l

s时的瞬时速度.

【练习2-1】某物体的运动路程s(单位：m)与时间f(单位：s)的关系可用函数5。)=尸+/+1表示，试求

(1)物体的初速度.

(2)在哪一时刻物体的瞬时速度为9m/s.

3

【反思】

（1）不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误.

（2）求运动物体瞬时速度的三个步骤

①求时间改变量和位移改变量As=s（m+Ar）—s（ro）;

—Av

②求平均速度V=©;

AcAc

③求瞬时速度，当无限趋近于0时，右无限趋近于的常数。即为瞬时速度，即4守.

【练习2-2】一质点M按运动方程s（f）=/+l做直线运动（位移单位：m,时间单位：s）,若质点M在f=2

s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.

【知识3】导数的概念

1.在某个点处的导数

函数产危）在x=xo处的瞬时变化率屈为AX=2}!5）'然我们称它为函数>=於）在X=xo

处的导数，记作，（xo）或y'L，即/（冽尸㈣"=如"°+/蚂

2.导函数（简称“导数”）

对于函数>=於），当*=必时，/（沏）是一个确定的数，则当X变化时，/⑴便是一个关于X的函数，我们称

它为函数y=7&）的导函数（简称导数），

而、，r危+.）一段）

即/a）=y=M%一瓦—•

［例如］已知函数凡¥）=*,则X=i处的导数［（1）=44-■,----=2是一个值;

导函数，a）=jja""+黑””=2%,了⑴是一个函数.令尤=1,可求得了（1）.

［特别提醒］

区别联系

/（X0）/（X0）是具体的值，是数值在X=Xo处的导数，（X0）是导函数/（X）

在X=Xo处的函数值，因此求函数在某

人幻是函数JU）在某区间/上每一点都

八X）一点处的导数，一般先求导函数，再

存在导数而定义的一个新函数，是函数

计算导函数在这一点的函数值

4

【例3】⑴若函数於）可导，则!四胆二然刻

（2）求函数y=x—:在x=l处的导数.

【反思】（1）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

①求函数的增量Ay=/Uo+Ax）—/（羽）；②求平均变化率黑人*°）：③求极限&I））

（2）瞬时变化率的变形形式

危o+Ax)—Xxo)火xo—Ax)—/(xo)../xo+nAx)—Xxo)/xo+Ax)—/x0—Ax)

蛔m=婀__=M=购云=

【练习3-1】已知yu）=3f,/（项）=6,求M）.

【练习3-2】对于函数y=/&）=5,其导数值等于函数值的点是.

【练习3-3］若可导函数y（x）的图象过原点，且满足总叫叫=一1,则/（0）等于.

【方法小结】

理解平均变化率要注意以下几点：

⑴平均变化率蚓三幽表示点（XI,1汨））与点（X2,兀3））连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”.

X2-X\

（2）为求点沏附近的平均变化率，上述表达式常写为“"十啰二X初）的形式.

（3）函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Ar取值越小，越能准确体现函数的变化

情况.

利用导数定义求导数：

（1）取极限前，要注意化简党，保证使Ax-0时分母不为0.

（2）函数在M）处的导数/（尤o）只与项有关，与Ar无关.

（3）导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.

5

【思考提升1】

【思考1-1］如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=0,x=*r>0)围成的△048的面积为S⑺,

则5⑺在t=2时的瞬时变化率是.

f29+3(L3)2,0&<3,

【思考1-2】若一物体运动方程如下：(位移单位：m,时间单位：s)s=/⑺=

十2,1与3.

求：(1)物体在re［3,5］内的平均速度;

(2)物体的初速度加；

⑶物体在t=\时的瞬时速度.

【知识4】导数的几何意义

(1)切线的定义：设是曲线y=/U)的割线，当点几趋近于点P时，割线趋近于确定的位置，这

个确定位置的直线尸T称为曲线y="x)在点尸处的切线.

(2)导数/(沏)的几何意义：导数/(冲)表示曲线v=*x)在点(xo,角哨)处的切线的斜率k,即k^f'fa,)

./(^o+Ax)—/(xo)

=蚂晨•

(3)切线方程：曲线y=/(x)在点(如，火&))处的切线方程为y—/Uo)=f'(xo)(x—xo).

6

【探索1】在某个点处的切线方程

【例4-1】已知曲线C：)，=*+*求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程.

【反思】求曲线在某点处的切线方程的步骤

|求斜率曲线在点(x“J(x.))处切线的斜率|

|与方程卜啊k斜式.匕f(岛)写出切线方程|

|变形式~将点斜式变为一般式

【练习4-1】曲线y=f+l在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是.

【练习4-2］已知直线以一刀一2=0与曲线y=V在点P(l,l)处的切线互相垂直，则%

【探索2】过某个点的切线方程

【例4-2】求过点(一1,0)与曲线y=~+x+l相切的直线方程.

【反思】过点(为，％)的曲线y=/(x)的切线方程的求法步骤

⑴设切点(助，Xx0)).

(2)建立方程，(&)=年誓

X\Xo

⑶解方程得左=/(xo),xo,J0,从而写出切线方程.

【练习4-3］求函数y=/a)=r—3f+x的图象上过原点的切线方程.

7

【探索3】求切点坐标

【例4-3】已知曲线y=2*+4x在点P处切线斜率为16,则点P坐标为.

【练习4-4】已知曲线式x)=f-l在犬=均处的切线与曲线g(x)=l-V在x=xo处的切线互相平行，求必

【反思】求切点坐标的一般步骤

(1)设出切点坐标.

(2)利用导数或斜率公式求出斜率.

⑶利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标.

(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.

【练习4-5】直线/：y=x+a(aWO)和曲线C：式x)=i—*+1相切，则a的值为，切点坐标为

【探索4】数形结合

【例4-4】已知函数兀v)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()

A.0</(2)勺■'(3)勺(3)—A2)B.0勺■'(2)勺(3)一犬2)</(3)

C.0<f(3)勺(3)一犬2)</(2)D.0<^3)-A2)</(2)勺>'(3)

【反思】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.

【练习4-6】若函数)，=/(x)的导函数在区间［小灯上是增函数，则函数y=/(x)在区间口，句上的图象可能是()

【练习4-7】如图，函数y=/(x)的图象在点尸(2,y)处的切线是/,则式2)+/(2)等于.

8

【思考提升2】

【思考2-1】已知函数人x)=or2+i(a>o),g(x)=V+fer,若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)

处有公切线，求a,b的值.

【思考2-2】已知曲线y=/+l,是否存在实数°,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线？若存在,

求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

9

【知识5】导数公式

1.几个常用函数的导数

原函数导函教

yu)=c了（力=。

兀v)=x/W=l

危）=》2/(x)=2x

兀V）=：/(*)=-5

*)=5

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

fix）=c（c为常数）/W=Q

犬x)=/(aGQ*)f(x)=axa~l

於)=sinxf(x)=cos,x

J(x)=cosxf(x)=—sinx

段)="f(x)=ax\na(a>0)

fix)=exf(x)=e

«x)=log融x

f(y-x\na(4>0且存1)

"/1

Xx)=lnx/w="

【探索1】利用导数公式求函数的导数

【例5-1】求下列函数的导数.

71x2x

(l)y=sin不；(2)y=；(3)y=lgx；(4»=/；(5)y=2cos3一1.

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【反思】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.

（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，

如根式要化成指数幕的形式求导.

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如y=F可以写成），=兀-4,）,=毛@可以写成）,=/等，这样就可以直接使用繇函数的求导公式求导，以免在

求导过程中出现指数或系数的运算失误.

【练习5-1］下列各式中正确的个数是（）

①（/丫=7居@（x~［y=x~2；③）=一%一,；④（安丫=会一,；

@（cosx）z=—sinx；@（cos2）z=—sin2.

A.3B.4C.5D.6

【练习5-2］（1）已知函数y（x）=W，则/（一3）等于.

（2）已知人x）=lnx且，。0）=9，则xo=.

【练习5-3】质点沿直线运动的路程s与时间f的关系是5=屹，则质点在f=4时的速度为（）

A.---B.-'-

2赞JO^/25

【探究2】利用导数公式研究切线问题

【例5-2】已知曲线），=/（x）=5，y=g（x）=：,过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成

的三角形面积.

【反思】解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点

在曲线上这三个条件联立方程解决.

【练习5-4】已知y=h是曲线y=lnx的一条切线，贝!j欠=.

11

【练习5-5】正弦曲线＞=$山》上切线的斜率等于:的点为（）

兀⑶(兀V3兀勿

B.-，--或---

I3232J

C.(2Z7+工，叵|(ZGZ)(O(jrn、

I32JI32/132J

【思考提升3】

【思考3-1］求抛物线y=f上的点到直线x—y—2=0的最短距离.

【思考3-2】设曲线），=/i（〃CN*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为心,则孙及%的值为（）

A」B.\.C.7,D.1

nn+1n+l

【思考3-3］设为(x)=sinx,力(x)=fo(x),方(力=/'i(x),…，加G)=/“(x)，"GN,则为oi7(x)=

【思考3-4】设正弦曲线y=sinx上一点尸，以点P为切点的切线为直线/,则直线/的倾斜角a的取值范围

是.

【思考3-5】点P是曲线y=e''上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.

【思考3-6】函数y=f（Q0）的图象在点（以，点）处的切线与x轴的交点的横坐标为公+】，其中R£N*,若0

=16,则0+的+45的值是.

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【知识6】导数的运算法则

1.和、差的导数

火工)士g(x)了=/(x)±g，(x).

知识点二积、商的导数

(1)积的导数

①[/(X),g(x)]'=1(x)e(x)+/U)R'(X).

②[c/U)l'=cHx).

(2)商的导数

/(X)_/(x)g(x)-/U)g'(x)

(g(x)和)•

g(x)[g(x)]2

【温馨提醒】[/U)g(x)]%f(x)g'(x),

【探索1］利用法则进行导数的运算

【例6-1】求下列函数的导数.

(l)y=3/+xcosx；(2)y=lgx—，；(3)y=(/+3)(e*+lnx)；

(4)y=W+tanx；(5)y=^qrp

【练习6-1］求下列函数的导数.

2p―3x+5+]f+l

(Dy=(3)y=(x+l)(x+3)(x+5).

x\jx

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【练习6-2】已知若/'(xo)+_/Uo)=0,则Xo=.

【练习6-3】函数/(x)=xcosx-sinx的导函数是()

A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数

【探索2】导数公式及运算法则的综合应用

InV

【例6-2]⑴已知函数/)=7+R(l),试比较犬e)与川)的大小关系；

(2)设火x)=(or+〃)sinx+(cx+r/)cosX,试确定常数a,h,c,d,使得/(x)=xcosx.

[反思](1)中确定函数犬x)的解析式，需要求出/(1),注意/(1)是常数.

⑵中利用待定系数法可确定a,h,c,d的值.

完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.

_Y

【练习6-4】函数/U)==[+4(l)x，则/(0)=.

【练习6-5】已知函数/u)=/(；)cosx+sinx,则/。的值为.

【探索3】切线问题

【例6-3】已知函数於)=af+bx+3(W0),其导函数为，(x)=2x—8.

(1)求m6的值；

(2)设函数g(x)=e'sinx+/(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.

【练习6-6](1)设曲线了=智乎在点e，2)处的切线与直线x+ay+l=O垂直，则a=

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⑵设函数/(x)=g(x)+/,曲线y=g(x)在点(1,g(l))处的切线方程为y=2x+l,则曲线y=_/(x)在点(1,负1))

处切线的斜率为.

【练习6-7】在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=af+§(a,6为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P

处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.

【方法小结】

1.导数的求法

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特

别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其

次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.

2.和与差的运算法则可以推广

麻|)与X2)土…句M)了=f(xi)均5)±..旬(为).

3.积、商的求导法则

(1)若C为常数，则［或01=呢功;

(2)[f(x)-g(x)]'=f(^g(x)+fix)g'(x),

[g(x)产3听0)；

⑶当危)=1时，有［君］'=一瑞(g(x)邦)•

【思考提升4】

t—1

【思考4-1】已知某运动着的物体的运动方程为5(。=>-+2尸(位移单位：m,时间单位：s),则f=ls时

物体的瞬时速度为m/s.

【思考4-2］在下面的四个图象中，其中一个图象是函数於)=*+/+(〃-l)x+l(aSR)的导函数y=/(x)

的图象，则1-1)等于()

15

【思考4-3】设15)=5,/'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若〃(x)=«鬻，则〃'(5)=.

【思考4-4】在等比数列｛斯｝中，at—2,as—4,函数/(x)=x(x—m)…(x—痣)，则f(0)等于()

A.26B.29C.215D.212

【知识7】复合函数的概念及求导法则

复合函数的一般地，对于两个函数＞=，*〃)和〃=g(x),如果通过变量〃，y可以表示成x

概念的函数，那么称这个函数为函数)，和〃=g(x)的复合函数，记作y=Ag(x)).

复合函数的复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=A〃)，〃=g(x)的导数间的关系为y/=

求导法则yu'ux,即y对x的导数等于y对u的导数与〃对x的导数的乘积.

【探索1】求复合函数的导数

【例7-1】求下列函数的导数.

(2)y=bg2(2x+l)；(3)y=ess"i；(4)y=sin｛2x+§.

⑴尸

【反思】(1)求复合函数的导数的步骤

16

[分号)~[选择中间变量，写出构成它的内、外层函数)

[分别1导)~I分别求各层函数对相应变量的导数]

I相*.H把上述求导的结果相乘]

[变量'回代)~~[把中间变量回代]

⑵求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导：③

计算结果尽量简洁.

(3)求简单复合函数,/(ax+Z?)的导数

实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y=A"),“=ar+〃的形式，然后再对y=«“)与〃

=奴+人分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y=/(〃)，“=依+。的形式是关键.

【练习7-1］求下列函数的导数.

(1»=(/—4)2；(2)y=ln(6.r+4)；(3)y=103jt~2；

sin(3x-：)；

(4)尸、2x—l；(5)y=；(6)y=cos2x.

【例7-2】求下列函数的导数.

/八In3%

⑴产丁；

(2)y=x\j1+3；

(3)y=xcos(2x+?sin(2x+兀5

【反思】(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式,

17

对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.

(2)复合函数的求导熟练后，中间步豚可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内

逐层求导.

【练习7-2】求下列函数的导数.

(l)y=sin3x+sinx3；

(2)y=xln(l+2r);

(3)y=1(et+e~v).

(4Mx)=(l-2?)10,求了(1).

【探索2】复合函数导数的应用

【例7-3】设4》)=111(》+1)+5+1+℃+仪〃，bGR,a,b为常数)，曲线y=/(x)与直线)，=那在(0,0)点相

切，求m匕的值.

【反思】复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖

掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.

【练习7-3】已知点尸在曲线》=母匕Q为曲线在点尸处的切线的倾斜角，则Q的取值范围是()

A[O,§B,[|,电c《,y]D[季兀）

【练习7-4】求曲线y=ln(2x-l)上的点到直线/：2%—)'+3=0的最短距离.

18

19

第二节导数在研究函数中的应用

【知识8】利用导数判断函数的单调性

［1］导数与函数单调性：一般地，设函数y=/(x)在区间(。力)内可导,则在区间(a,b)内,

(1)如果/(x)>0,则犬x)在这个区间内单调递增；

(2)如果f(x)<0,则./(X)在这个区间内单调递减.

例如:图中函数/(x).

1

y/x0,/(X0))

(X|

K*

导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性

/(x)>0k>0锐角上升递增

/(x)<0k<0钝角下降递减

［2］利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y=/(x)的定义域：

⑵求导数y=/(x)；

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;

(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

【探索1］判断或证明函数的单调性问题

【例8-1］证明函数y(x)=¥在区间(0,2)上是增力口的.

【练习87】下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是()

A.y=sinxB.y=x-evC.y=xi~xD.y=\nx~x

【练习8-2］证明函数yu)=x+：在(0,1］上是单调递减的.

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【探索2】利用导数求函数的单调区间

【例8-2】求下列函数的单调区间.

⑴y=*—Inx；(2)y—x+^(b>0).

［反思］求函数y=_/(x)的单调区间的步骤

(1)确定函数y=/(x)的定义域.

(2)求导数<=f(x).

(3)解不等式/(x)>0,函数在解集所表示的定义域内为增函数.

(4)解不等式/(x)<0,函数在解集所表示的定义域内为减函数.

【练习8-3］函数人无)=年+2%把口611)的单调递减区间为.

【练习8-4］若函数式x)的导函数为，(x)=/—4x+3,则函数/(x+1)的单调递减区间是

【探索3】求含参函数的单调区间

【例8-3］讨论函数/0)=//+》一(a+l)lnx(aeO)的单调性.

［反思］(1)讨论参数要全面，做到不重不漏.

(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.

【练习8-5］设函数yU)=e'一以一2,求/(X)的单调区间.

21

2

【练习8-6】已知函数式x)=x—;+a(2—Inx),a>0,试讨论/(x)的单调性.

【探索4】函数图象与导数图象的应用

【例8-4】已知函数y=/(x)的定义域为［―1,5］，部分对应值如下表../U)的导函数y=/'(x)的图象如图所示.

X-1045

危)1221

给出下列关于函数段)的说法：

①函数y=/(x)是周期函数；②函数/U)在［0,2］上是减函数；

③如果当1,f］时，加0的最大值是2,那么f的最大值为4；

④当1<«<2时，函数y=y(x)-a有4个零点.其中正确说法的个数是()

A.4B.3C.2D.1

［反思］(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(“，力内，若/'(x)>0,则y=/(x)在(a,6)上

单调递增；如果/(x)<0,则)，=/(x)在这个区间上单调递减；若恒有，(x)=0,则y=/(x)是常数函数，不

具有单调性.

(2)函数图象变化得越快，/(x)的绝对值越大，不是/(x)的值越大.

【练习8-7］若函数«r)的图象如图所示，则导函数/(x)的图象可能为()

【练习8-8】已知尸=城(幻的图象如图所示(其中/⑴是函数/)的导函数)，则所给四个图象中，y=Ax)

的图象大致是()

D

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【练习8-9]在R上可导的函数y(x)的图象如图所示，则关于x的不等式Af(x)<0的解集为

【探索5】利用导数讨论不等式问题

【例8-5】函数式x)的导函数〃x)的图象如图所示，若△A8C为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是()

A./(COSA)0/(COSJB)B.*sinA)<y(cosB)C.y(sin4)/sinB)D./(sin4)次cos3)

【练习870】定义在R上的函数火x),若。-1)/(尤)<0,则下列各项正确的是()

A..穴0)+42)>41)B.10)+八2)=2火1)

C.负0)+犬2)<〃(1)D.10)+逃2)与40)大小不定

【练习8-11】定义在R上的函数y(x)满足./u)=l,/(x)<2,则满足7(x)>2x—1的x的取值范围是

【知识9】函数的单调性与导数的关系

[1]函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间(a,位内的函数y=«r)：/(x)>0=^x)单调递增；/(x)<0n单调递减.

特别提醒：

①若在某区间上有有限个点使/(x)=0,其余的点恒有/(x)>0,则人工)仍为增函数(减函数的情形完全类似).

②Ax)为增函数的充要条件是对任意的xG(a,6)都有/(x)K)且在(a,b)内的任一非空子区间上_f(x)不恒

为0.

[21函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y=/(x),在区间(〃，6)上

导数的绝对值函数值变化函数的图象

越大快比较“陡峭”(向上或向下)

越小遑比较“平缓”(向上或向下)

[31利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.

(2)注意"临界点'’和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意

在定义域内的间断点.

(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“U”连接，而只能用“逗号”或“和”字等

隔开.

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【探索1】已知函数单调性求参数的取值范围

【例9-1](1)若函数兀v)=fcv-lnx在区间(1,+8)上单调递增，则k的取值范围是.

(2)若函数凡t)=履一Inx在定义域上不是单调函数，则4的取值范围是.

|反思](1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即/'(x)20(或/'(x)WO)恒成立，利用分离参数或函数

性质求解参数范围，然后检脸参数取“=”时是否满足题意；

②先令，(x)>0(或/(x)<0),求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”时|x)是否满足题意.

(2)恒成立问题的重要思路

①加刃(X)恒成立=>加为(X)max；

②^恒成立今机W火X)min.

【练习9-1】若函数