高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业十四答案

第14练三角恒等变换

W--积累运用

【知识梳理】

1.两角和与差的三角函数公式

两角和的余弦公式：cos(a+/?)=cosacos4一sinasinfi

两角差的余弦公式：cos(a一夕)=cosacos夕+sinasin夕

两角和的正弦公式：sin(a+/?)=sinacos尸+cosasinp

两角差的正弦公式：sin(a一夕)=sinacosy?—cosccsin[i

FA-,八tana+tani?

两角和的正切公式：tan(a+£)=~~;7

x1—tanatanp

f-axeff八j八tana-Imp

两角差的正切公式：tan(a—£)7—7

f1+tanatanp

2.二倍角公式

三角函数公式简记

正弦sin2a=2sinacosaS2«

余弦cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2aC2a

八2tana

正切tan2a—.,T2a

1—tam9

二倍角公式的变形

(1)升基公式：1+cos2a=2cos2a；

1—cos2a=2sin2a.

mb，、4c1+cos2a_1-cos2a

⑵降慕公式：cos2a=2；sin2a=3.

(3)用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下:

2sinacosa2tana

l)sin2a=2sinacosa二即sin2a="j，n.

sin2a+cos2a1+tan2a'1十tan2a

.cos2a-sin2a1—tan2a1—tan2a

2)cos2a—cos2asin2a——~\——T~~\T-,即cos2a=T+^-

sinza十cos2a1十tan2a

3.半角公式

.a1—cosa

sin2=2~

1-cosasina1—cosa

1+cosa1+cosasina

4.辅助角公式

asinx+/?cosx=\a?+b2sin(x+其中tan

5.积化和差与和差化积公式

（1）积化和差公式

sinacos或=g[sin（a+尸）+sin（a一尸）[.

cosasinS=][sin(cc+夕)-sin(a-p)].

cosacos/?=][cos(a+A)+cos(a一夕)J.

sinasin/J=­2[cos(cc+^)-cos(a-^)].

⑵和差化积公式

sina+sin^=2sincos-

sina-sin尸=2cos-^~sin—3

a+Ba-,

cosa+cos/?=2cos?cos].

cosa—cos£=_2sin2广sin?厂.

【易错点拨】

1.求角时忽视角的范围.

2.求值或求角时忽视角的范围.

3.公式中加减符号易记错.

4.半角公式符号的判断，实际问题中的定义域.

基础过关练

JT3

1.（2021•山西•吕梁学院附属高级中学高三期中（文））若cos（：-a）==,则sin2«=（）

247

C.D.

2525

【答案】B

【解析】

3372

=>cosa+s\na=-----

55

n1+sin2a=—=>sin2a=--

2525

故选：B.

2.（2021.河南许昌.高二期末（文））函数F（x）=s呜+cos郛最小正周期和最小值分别是（

A.兀和B.2兀和一2C.4兀和一夜D.4兀和-2

【答案】C

【解析】

/（x）=sin]+cos]=V2sin^+-^j

2n_

所以f（x）的最小正周期为丁=4无

2

的最小值为-五,

故选：C.

TT

3.（2021•江苏连云港•高一期末）sin方的值是（）

A瓜+®D显-®-^6+5/2-76-V2

rD.

4444

【答案】B

4.（2021•山东省实验中学高三期中）已知cosa-cos夕=g,sina-sin/=g,则cos（a-/7）=

【答案】|59|

【解析】

]1\2121

由cosa—cos/?=—,sina-sin尸=§得至U：(cosa-cosp)~=—,(sina-sinpy=-,

13

所以cos2a+cos2y?4-sin2a+sin2/?-2(cosacos夕+sinasin/)=不，

1359

即2—2cos(a—£)=w=cos(a-/)二石.

,59

故答案为：—.

72

5.(2021•新疆・新和县实验中学高一期末)若方程d+3"+3〃+]=o的两个根为tanA,tanB,则

tan(A+B)=.

【答案】1

【解析】

因为方程x2+3ax+3a+\=0的两个根为tanA,tanB,

所以tanA+tanB=-3a,tanAtan5=3a+1,

z,tanA+tan8-3a.

所以的解+小匚氤^=匚函而=1，

故答案为：1.

6.(2021•黑龙江•哈尔滨市第三十二中学校高三期中(理))化简：

sin(e+105)cos('-15)-cos(6+105,in(e_15)=

【答案】B

2

【解析】

根据两角差的正弦公式，可知

sin(0+105)cos(0-15)-cos(0+105)sin(^-15)=sin[(0+lO5)-(0-15)]=sinl20=^.

故答案为：B

2

7.(2021•江西•南昌县莲塘第二中学高一期末)已知函数〃x)=sin(dsin?x-gcos(x),则

/(1)+/(2)+-+/(2020)=.

【答案】1010.

【解析】

解：/(x)=sin-^A-^sin-^x--73cos-^-x^

=sin2—x-sin—xcos—x

444

1-cos-XV3.71

2------sin-x

22--2

nTT17V\Iy/3

/（l）=-sin—+—4--=-COS—+—=---------，

2626222

.TC1

/（2）=-sin兀+C+,=sin—+—=1,

6262

37r7i

/（3）=-sin一+一

26

1.乃1八

/（4）=-sin（2^+^+—=-sin—+—=0.

262

•，,〃l）+/X2）+/（3）+〃4）=g-^+l+g+^+0=2.

又〃X）的周期为4.

.1./（l）+/（2）+-+/（2020）=500[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]=505x2=1010.

故答案为：1010.

8.（2022安徽合肥・高一期末）已知cosa+sina=亚，。6小，》

242

（1）求tan2a；

（2）若tan（1一/）=一^^,求tan（2a+/?）.

【答案】（1）（2）—

159

【解析】

（I）因为cosa+sina=^^,

2

2251

所以cosa+sin2a+sina=1+sin2a=­,即sin2a=—.

44

因为二后（（,1],所以2aw（],;rj,所以cos2a=-[^,

故tan2a=2=_姮.

cos2a15

（2）因为tan（T一夕）=一/^,所以tan,=

_V15V15

所以tan(2a+0=tan2a+tan£=一5叵.

1-tan2atanP>/15>/159

1+---x---

155

9.(2021•黑龙江•鹤岗一中高一期末)已知函数/OOusin'+Ksinxsinlx+^l

(1)求/(X)的最小正周期；

(2)求函数/(%)的单调增区间；

(3)求函数/&)在区间。，耳灯上的取值范围.

TTTT3

【答案】(1)T=7r；(2)+k7r,—+k7r，4eZ；(3)fMG0,—

【解析】

(1)/(X)=sin2x+^sinxsin^x+y^=^|^+*sin2x=sin(2x-f+g

所以T=T.

(2)由---F2k1W2.x---«—F2&7,得---Fk.7rWxW—FATT,kcZ、

26263

jr7T

所以函数/(X)的单调递增区间是一二+k小工+k兀/wZ.

63

(3)由xe0,^^得2x-Jw~~Z,~271，所以sin(2x———>1,

_3J6|_66JI67L2_

所以f(x)e0,|.

10.(2021.云南•鹤庆县第一中学高一期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同

一个常数.

(1)sin213°+cos2l70-sin13°cos17°

(2)sin215°+cos2150-sin150cos15°

(3)sin218°+cos2120-sin18°cos12°

(4)sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos55°

I试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

II根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

【答案】见解析

【解析】(1)选择(2),计算如下：sin215o+cos215O-sinl5%osl5o=l-；sin30o=2,

故这个常数为;3.

4

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式

r3

sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=-

4

证明：sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=sin2a+(孝cosa+；sina)2-sina(cos30°cosa+sin30°sina)

•2321.2-1.23.2,323

=sirra+—cosza+—sin-a+——sinacosa-——sinacosa--sinza=-sirra+—cosza="

44222444

11.（2021•四川达州•高一期末（理））如图，某人身高1.73m,他站的地点A和云南大理文笔塔塔底。在同

水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角/MCE=22.8。（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，

下同）.他沿线段AO向塔前进100m到达点8,在点5直立时，测得塔顶〃的仰角NMDE=48.3。：塔尖MN

的视角NATON=3.3°（N是塔尖底，在线段上）.

（1）求塔高MO；

（2）此人在线段A。上离点。多远时，他直立看塔尖MN的视角最大？说明理由.

sin??R°qin4R3°

参考数据：g.一°3,1皿22.8。=。42.，63.5^=67.4x60,

【答案】（1）69.13m；（2）63.59m,理由见解析.

【解析】

解：(1)vZA/CE=22.8°,ZA/DE=48.3°,

ZDMC=25.5°.

CDsinACDM

在VCDW中，由正弦定理得,CM=

sinZDMC

又CD=1(XM?,

CM=100sin(180。-48.3。)_100sin48.3。

sin25.5°sin25.5°

IQOsin48.3^^22.8。

ME=CMsinZMCE==67.4m,

sin25.5°

所以，MO=ME+EO=67.4m+l.73m=69.13m.

ME67.4_67.4

(2)由(1)知,CE==160(m).

tanZ.MCEtan22.8°~0.42125

/.DE=CE-CD=60m.

・・・ZNDE=ZMDE-ZMDN=45°，

:.NE=DE=60m.

设此人应在线段AO上的尸处，FO=xm,直立时，眼睛处于G点,

则tan/MGE=丝，tanZNGE=—

x

tanZ.MGE-tanZ.NGE

tanZ.MGN=tan(ZMGE-/NGE)=

1+tanNMGE-tan/NGE

67.460

xx7.4<7.47.4

,67.46067.4x60-I67.4x602j67.4x60

尤+2Jx------------

xxXYX

当且仅当》=也生史，即x=63.59时，等号成立.

X

所以，他站在线段AO上到点。的距离为为63.59相处时，看塔尖MN的视角最大.

12.(2021•北京八中高一期中)对于定义域分别是修，七的函数y=f(x),y=g(x)规定：函数

/(X)•g(x),X€£>/且XGD&

h(x)="f(x),xe•且x走Dg,

g(x),x任。/且XG%.

(I)若函数f(x)=」^,g(x)=sinx,xeR,写出函数以外的解析式并求函数〃(x)值域；

sinx-1

(II)若g(x)=/(x+c),其中a是常数，且。€[0,加，请设计一个定义域为R的函数y=/(x)及一个a的

值，使得"x)=cos4x,并予以证明.

sinx7rzi)

------,X。F2K7r,keZ

sinx-12力(X)值域为18,-gu{l},

【答案】(I)〃(x)=，

.71

sinx,x=—+24万,keZ

2

rr

(ID/(x)=sin2x+cos2x,«=—,证明见解析.

【解析】

(I)若函数/(此=.1-^(x)=sinX,XGR

sinx-1

则O/=(x|xw+2k兀、k£Z1,D&=R,

当了工生+24匹AcZ时，h(x)=s,n”.

2sinx-1

TT

当x=5+2后),keZ时,/z(x)=sinx；

sinx冗z)

------,xw—+2%1,4eZ

所以力(力=«sinx-1---2

s\nx,x=—+2k兀、keZ

当了工£+2攵江次£2时，sinxe[-l,l),sinx-1G[-2,0),——-——G[-oo,——

2sinx-1I2

,,,sinx.1(1

此时hf(zx)x=-----=1+------e-oo,­,

sinx-1sinx-112_

IT

当尤=—+2k冗,AwZ时，h(x)=sinx=1；

2

所以函数〃(幻值域为1-8,-g□{1},

冗

(II)/(x)=sin2x+cos2x,«,

贝1Jg(x)=f(x+a)=/[x+2)=sin2(x+q)+cos21x+?

=sin2x+—4-cos2x+—=cos2x-sin2x,

{2{2

所以〃(x)=/(x)-/(x+a)=(sin2x+cos2x)(co