第03讲异面直线所成的角高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练）

求异面直线所成的角的三步曲

QB）。:、即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角;

即证明作出的角是异面直线所成的角'：

,一'、口三鼠形,不山相足百篇，而臬隶由西瓦是前露

（〔三求）〈或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝：

♦角，则它的补角才是要求的角]

4^^^＞异面直线所成角的概念及辨析

一、单选题

1.（2021・上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线〃、方所成角为80。，P为空

间一定点，则过P点且与“、人所成角都是50。的直线有且仅有（）条.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】在空间取一点P,经过点P分别作“〃必"/〃，分析直线满足它的射影尸。在

。‘，少所成角的平分线上时的情况可得出答案.

【详解】在空间取一点P,经过点P分别作a//a\b//b',

设直线〃确定平面a,

当直线PM满足它的射影PQ在所成角的平分线上时，PM与"所成的角等于PM与〃

所成的角，

因为直线。、8所成角为80。，得必加所成锐角为80。，

所以当直线PM的射影PQ在a',b'所成锐角的平分线上时，PM与a',b'所成角的范围是

[40°,90°）,

这种情况下，过？点有2条直线与a、匕所成角都是50。；

当直线的射影户。在。‘力,所成钝角的平分线上时，PM与所成角的范围是

[50°,90°）,

这种情况下，过P点有且仅有1条直线（即PMua时）与a、〃所成角都是50。；

综上所述，过P点且与。、匕所成角都是50。的直线有3条.

故选：B.

2.（2021•上海市延安中学高二期中）已知正方体ABCO-48C。，P为CC,中点，对于下

列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB,AR都相交；（2）过点尸有且只有

一条直线与直线AB,A。都成45。角.则以下判断正确的是（）

A.（1）为真命题；（2）为真命题B.（1）为真命题；（2）为假命题

C.（1）为假命题；（2）为真命题D.（1）为假命题；（2）为假命题

【答案】B

【分析】作出过P与两直线相交的直线昉判断①；通过平移直线AB,A。，结合异面直

线所成角的概念判断②.

【详解】解：直线ABLJAR是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任

何一条上，如图所示：

取3月的中点。,则PQ//AR,且PQ=AR,设AQ与A3交于E,则点A、R、Q、E、

P共面，

直线砂必与AA相交于某点尸，则过尸点有且只有一条直线E尸与AB、4。都相交，故

①为真命题；

分别平移AB,AA,使AB与AM均经过p，则有两条互相垂直的直线PM,PN与AB,AA,

都成45。角，故②为假命题.

...①为真命题，②为假命题.

故选：B

二、填空题

3.（2021・上海•位育中学高二阶段练习）空间中三条直线a、从c两两垂直，若直线d与直

线久b、c所成角都为凡则cosO=

【答案】3

3

【分析】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体ABCO-AMGR中同一顶点。的

三条棱ZM,DC,。2，由此能够求出cos。.

【详解】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体ABCO-A4GR中同一顶点。的

三条棱ZM,DC,DD、,如图：

直线d与这•:条直线所成的角都为。，

:.0=NADB、=NB、DD\=NCDB、,

“石△ADg

>/Affijcosi9=-=—.

故答案为：丑.

3

DC

叫•

4.（2021・上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线a.如果直线b同时满足条件:

①。与b异面；②。与b成定角；③。与方的距离为定值.那么这样的直线b有

条.

【答案】无数

【分析】作出两个平行平面，两条异面直线分别在两个平面上判断.

【详解】如图所示：

aM0,aua,bu0、异面，

则平面夕内任意•条与b平行的直线都满足要求，

故答案为：无数

5.（2021・上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线〃、人所成的角为60'，过

空间内一点P作与直线。、方所成角均是60的直线/,则所作直线/的条数为.

【答案】3

【分析】利用异面直线所成的角的概念，平移两直线。、b,可知当/为120的角平分线符

合题意，把60的角平分线旋转可得符合题意的两条直线，即可求解.

【详解】

bT

如图，将直线“平移与直线b相交于点p,

因为直线。、6所成的角为60。，则其补角为120。,

当直线/过点P且为其补角120。的角平分线时，直线/与“、6所成角均是60，

设60。的角平分线为。，把c绕点P旋转，且在旋转的过程中保持与。、匕所成角均是6,

上下旋转各能得到一个位置，使得与。、匕所成角均是60，

所以共有3条直线符合题意，

故答案为：3.

证明异面直线垂直

一、单选题

1.（2017.上海交大附中高二期中）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动

点，将AADE沿AE翻折成ASAE,使得平面SAE_L平面ABCE,则下列说法中正确的有（）

①存在点E使得直线SA_L平面SBC；

②平面SBC内存在直线与SA平行

③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；

④存在点E使得SE1BA.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查空间中的折叠问题，涉及线面垂直，面面垂直，线面平行，线线平行垂直

的判定与性质，属综合性题目，难度中上.

【详解】对于命题①,若直线SAJ_平面SBC,则SA±BC,

又•.・平面SAE1平面ABCE,

故在平面ABCE中作BHXAE与H,

则BHJ_平面SAE,

；.BH_LSA,

XVBHABC=H,BH,BCu平面ABCE,

.♦.SA_L平面ABCE,

，SAAE,即NSAE是直角，

但是NSAE即折叠之前的NDAE,在折叠前后保持不变，始终是锐角，

所以命题①不正确；

若SEJ_BC,同样由于BH平面SAE,可得BH_LSE,

进而同上得到SEL平面ABCE,得至IJ/SEA为直角，

ZSEA即为折叠之前的NDEA,在折叠过程中保持不变，始终是锐角,

命题④错误；

对于命题②，因为平面S8CI直线必=S,

故平面SBC内的直线与必相交或异面，

所以命题②不正确；

对于命题③,在平面ABCE中作CF〃AE,交AB于F.

如图所示：

由线面平行的判定定理可得CF〃平面SAE,

所以命题③正确，

综上，正确的命题个数为1个，

故选A.

考点：1、线面垂直的判定定理；2、线面平行的判定；

考点：平面与平面垂直的性质

二、填空题

2.（2022・上海长宁•高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体

中，则下列说法中正确的序号是.

①直线AF与直线CN垂直；

②直线BM与直线CN相交；

③直线ME与直线CN平行；

④直线AB与直线CN异面；

【答案】①©

【分析】画出正方体，CN//BE,AFA^BE,故AF_LCN,①正确，根据相交推出矛盾得

到②错误，根据QV〃BE,8E与ME相交得到③错误，排除共面的情况得到④正确，得

到答案.

【详解】如图所示的正方体中，CN//BE,AFLBE,故AF_LCN,①正确；

若直线与直线CN相交，则氏M,C,N四点共面，即8在平面CMV内，不成立，②错

误；

CN//BE,BE与ME相交，故直线ME与直线CN不平行，③错误；

AB//MN,MN与CN不平行，故AB与CN不平行，若AB与CN相交，则A,B,C,N四点

共面，N在平面ABC内，不成立，故直线与直线CN异面，④正确；

故答案为：①④.

1.（2022•上海•复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥O-ABC中，AC=BD=2,E、F

分别为AD与8C的中点，EF=®，则异面直线AC与8。所成角的大小是.

D

【答案】y

【分析】取AB的中点分别连接ME,MF,把异面直线AC与80所成的角即为直线ME

与M尸所成的角，在AME厂中，根据ME2+M/2=EF2,即可求解.

【详解】如图所示，取A8的中点M,分别连接ME,MF,

因为E、尸分别为A。与8C的中点，

可得MEHBD,MFIIAC,§.ME=^BD=1,MF=AC=\,

所以异面直线AC与30所成的角即为宜线ME与M尸所成的角，

在AMEF中，因为ME=1,MF=1,EF=&,所以ME?+"=EF?，

TT

所以即直线ME与MF所成的角为5，

1T

所以异面直线AC与3。所成的角

故答案为：y.

2.（2021•上海市徐汇中学高二期中）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N

分别是A反尸C的中点，若仰=8。=2,%=2石，则异面直线出与阿所成角的大小为

p

A1~M-----%

【答案】J

o

【分析】连接AC,取AC的中点G,连接MG,NG,根据M,N分别是A氏尸C的中点，得到

MG/IBC,NG//PA,则/MVG是异面直线B4与MN所成的角，然后利用余弦定理求解.

【详解】

如图所示：

连接AC,取AC的中点G,连接MG,NG,

又因为M,N分别是A8,PC的中点，

所以MGUBC,NG“PA,

所以NMNG是异面直线R4ijMN所成的角,

因为MN=BC=2,PA=26,

所以MG=1,NG=^,

22(V3)2-l73

MN-NG2-MG2+

则cos4MNG=

2,MN・NG2.2.V3-2

因为NMMGe（0,g,

所以NMNG=g,

6

故答案为：7

o

3.（2021.上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a,b是两条异面直线的面对角线,

则它们所成的角大小可能为

【答案】90。或60

［分析］通过求异面直线AD,与B}C和异面直线ADt与AC,所成角即可.

【详解】解：正方体的面对角线成异面直线的，分平行的面和相交的面两类

如图找两对代表进行计算：

1.异面直线AR与8。，其所成的角即为直线AR与所成的角，90。;

2.异面直线AQ与AG，其所成的角即为直线AR与4c所成的角，60.

故答案为：90或60.

4.（2021•上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体ABC。-的面对角线中，与

所成角为60。的有条.

【答案】8

【分析】根据AA，C,AAD-VABG，A。8cl是等边三角形判断.

【详解】如图所示：

因为AAQC，是等边三角形，

所以AC,D£,D岛ABjjAD,所成角为60。，

又VA8G，AOBG是等边三角形，

所以AG，4仇DG,DB与8G所成角为60°,

因为AR//BG，

所以AG,A8,OG,£>8与4R所成角为60°,

所以与AR所成知为60。的面对交线有8条，

故答案为：8

5.（2021・上海•华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体42CQ-ABCQ

中，与AR成60角的面对角线的条数是

【答案】4

【分析】分别连接A综。结合正方体的结构特征和异面直线所成角的定义，即

可求解.

【详解】如图所示，连接入耳,。声.可得用。为等边三角形，

所以ZDABt=ZAD,B,=60,所以ABt,D向与AD,所成的角为60-

连接BD,CQ,可得BD//BBCD//AB一则皮）,CQ与A。所成的角为60。，

综上可得，与A，成6（T角的面对角线的条数为4条.

故答案为：4.

6.（2021.上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相

交但相互垂直，若直线/与这三条直线所成的角的大小都是。，则tan9=.

【答案】V2

【分析】在空间任取一点。，分别作三条直线的平行线04，OB,OC,构造一个正方体,

则直线/即直线OO与04、OB、0c所成的角相等均为，，山此即可求出tan。.

【详解】解：在空间任取一点。，

分别作三条直线的平行线3，OB,OC.

构造一个正方体如右图所示，

则直线/即直线。。与。4、OB、OC所成的角相等均为6,

即。=NCO£）,设正方体的棱长为1,则CO=V^，

贝！］tane=tanNCW=0=夜.

故答案为：血.

c

7.（2021.上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面R记是等边三角形，C为底面弧A8

的中点，。为母线尸8的中点，则异面直线必和C£＞所成角的大小为

-JT

【答案】V

【分析】如下图所示，连接OP,OC,过点。作。底面于，，连接C”，根据中位线定

理得OD//B4,所以NQDC（或其补角）就是异面直线R4和CD所成的角，设

PA=PB=AB=2,解三角形可求得答案.

【详解】如下图所示，连接。p,OC,过点。作£归_1底面于H,连接CH,

因为。为母线距的中点，所以OD//PA,所以N8C（或其补角）就是异面直线抬和8所

成的角，

iSiPA=PB^AB=2,则PO=6,。"=且,0"='，所以CH=，0。2+。“2,

222

所以DC=+CH。=泉咚）+［亭）

=0,又OD=OC=1,所以满足

OD2+OC2DC1，

rr7T

所以NOOC=丁，所以异面直线R4和所成角为二,

44

1T

故答案为：

4

R

三、解答题

8.（2021・上海浦东新•高二期中）在三棱锥P—ABC中，M,N分别是如，8c的中点,

己知AC=P8=2,MN=6求异面直线AC,尸8所成角的大小.

【答案】60°

【分析】取AB中点Q,连接QM,QN,可得QM//BP,QN//AC,从而可得NMQN就

是异面直线AC,PB所成的角或其补角，从而可的答案.

【详解】解：取AB中点Q,连接。历，QN,

。是AB中点，N是BC中点，=>QN//AC,QN=^AC=\,

同理，=QM"BP,QM=lpB=l,

所以

在△MQN中，QM=QN=l,MN=^,

cosZMQN='+；-（同=-1=>ZMQN=120°.

•••异面直线AC，加所成的角的大小为60。.

堂曳%>由异面直线所成的角求其他量

一、填空题

TT

1.（2021•上海市控江中学高二期中）异面直线4、b所成角为《，直线C与4、〃垂直且分

另IJ交于4、8,点C、。分别在直线“、b上,若AC=1,AB=2,BD=3,则C£>=.

【答案】而或如

【分析】过8作BE//AC且过。作OEL3E于E,连接8E、CE,要注意£C在AB的同侧

7T

或异侧两种情况，结合已知有NOBE=石，再过C作CFLBE于F,求出。从EC的长度，

在放△OEC中应用勾股定理求CD.

【详解】由题意，过8作8E//AC且过。作于E,连接8E、CE,如下示意图，

，由题设知：面48EC为直角梯形且NO8E=t，

过C作C/_L8E于尸，则CF=AB=2,BD=3,可得DE=更,BE=-,

22

如图1,易得EF=g,则EC=^-,

22

在心AOEC中，CD=dDE2+EC2=JFL

如图2,易得EF=],则£C=①，

22

在RtxDEC中，CD=YIDE2+EC2=＞/17.

故答案为：拒或历

7T

2.（2021•上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线所成角为过空间一点尸有且仅有

2条直线与对匕所成角都是。，则夕的取值范围是.

【分析】将直线。力平移交于点P,并作Na'/W及其外角的角平分线；根据过空间一点P有

且仅有2条直线与。所成角都是6,可知4方向上有两条，4方向上不存在，由此可得范围.

【详解】将直线“力平移交于点尸，设平移后的直线为

过点尸作47W及其外角的角平分线//,则Za'Ph'=y；

在4方向，要使过空间一点P的直线，且与方所成角都是。的宜线有两条，则。＞TT£；

O

在4方向，要使过空间一点尸的直线，目.与所成角都是。的直线不存在，则

综上所述:

故答案为:

3.（202卜上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABC。中，AB=CD=S,M、N分

别是对角线AC、3。的中点，若异面直线A3、。＞所成角的大小为30。，则MN的长为

A

［答案］J32±16G

【分析】取8c的中点P，连接NAMP,利用三角形中位线定理可得N尸〃CDMP〃/18,

由异面直线所成角的定义，异面直线A3,所成的角即为NMPN或其补角，在AMPN中,

利用余弦定理求解即可

【详解】解：取BC的中点P,连接NP,MP,

因为A8=8=8,"、N分别是对•角线AC、BO的中点，

赤以NP〃CD、MP〃AB,NP=-CD=4,MP=-AB=4.

22

所以，异面直线A8,8所成的角即为NMPN或其补角，

因为异面直线48、8所成角的大小为30。，

所以NMPN=30°或150°,

当/M/W=30。时，在&MPN中,由余弦定理可得

MN=y/NP2+MP2-2NP-MPcos30°

=^42+42-2x4x4x^y

=小32-16月

当/用取=150。时・，在△MPN中，由余弦定理可得

MN=y］NP1+MP2-2NP-MPcos150°

=^42+42+2X4X4X^-

="32+16&

综上，MN的氏为。32土16四，

故答案为：，32±16,

P

C

4.（2021.上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体A8a>中，AB=CD=4,E、尸分别

TT

为BC、AD的中点，且异面直线A8与CO所成的角为则EF=.

【答案】2或2百

【分析】取AC中点M,先通过平行关系分析异面直线A8与C。所成的角为/丽或其补

角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出E尸的长度.

【详解】取AC中点“，连接因为E,F分别为BC,A。的中点，

所以ME//A8,A8=2,MF//CD,MF=-CD=2,

22

所以异面直线AB与CD所成的角即为NEMF或其补角，

当异面宜线AB与8所成的角为Z.EMF时，

1T

ZEMF=-,HME=MF=2,所以AMEF为等边三角形，所以EP=2；

当异面直线AB与CD所成的角为AEMF的补角时，

NEMF=卷,ELME=MF=2,所以防？=ME?+M/？—2MF-MECOSNEMF,

所以EF=j22+22-2x2x2xcos等=26，

综上可知，EF长为2或2百，

故答案为：2或2方.

5.（2019•上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形ABC。，AB=CD=S,M、N、P分别为

8D、AC、BC的中点，若异面直线A8和CD所成的角为60。，则线段MN的长为.

【答案】4或

【分析】先根据异面直线AB和C。成60。的角，则NMPN=60。或120。，然后利用余弦定理

求出MN的长即可.

【详解】解：•.・AB=C£>=8,M、N、P分别为30、AC,8c的中点，连接MN,MP.

NP

：.NP=MP=4,NP//AB,MPIICD,所以NM/W为异面向线AB和8所成的角或补角，

因为异面直线AB和8成60。的角,:.4MPN=60。或120°

当/MPN=60。时，MN=4

当ZMPN=120°时，MN=y/PN2+PM2-2PNPMCOSZMPN=4百

故答案为：4或46

6.（2021.上海•华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形ABCD的对角线AC=BO=8,

M,N分别为AB,CD的中点，且AC1.8。，则MN等于

【答案】4夜

【分析】取BC中点尸，连接MP,NP,由中位线的性质及ACJ.8。，利用直角三角形求解.

【详解】取8c中点尸，连接历P,NP,

又因为AC=8,BD=8,M,N分别为A8,CD的中点,

所以「A〃/AC,PM=-AC=4,

2

PN//BD.PN=>BD=4.

2

又因为异面直线AC与由）所成的角为90。，

所以NMPN=90。，

所以MN?=/>"+.2=42+42=32,

所以MN=4jL

故答案为：4夜

7.（2021.上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为

60°,连接各边中点所得四边形的面积是.

【答案】673

【分析】空间四边形A—8co中，分别取A3、BC、CD、D4的中点E、F、G、H,连

接EF、FG、GH、HE,则连接各边中点所得四边形的面积是S四边忤MH=25«刖，由此能求

出结果.

【详解】如图，空间四边形A-8C。中，

两对角线的长AC、的长分别为6和8,所成的角为60。，

分别取AB、BC、CD、ZM的中点£、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE,

则EF//GH//AC,且EF=G"=；AC=3,

EH//GF//BD,^.EH=GF=-BD=4,

2

NHEF=60°或NHEF=120°,

・•・连接各边中点所得四边形的面积是：

S四边胫£«;〃=2S,FEH=2x（；x3x4xsinNHEF）=6G.

故答案为：6G.

8.（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直

线为“黄金异面直线对“，在连接正方体各顶点的所有直线中，”黄金异面直线对“共有

对.

【答案】24

【分析】由异面直线的定义和正方体的对称性，以AC为例，与之构成黄金异面直线的直线

有4条，从而计算得到答案.

【详解】正方体如图所示，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，

以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有AB,BC,A'。，8C这4条，

而正方体的面对角线有12条，

所以所求的黄金异面宜线对共有12宁x4=24对（每一对被计算两次，所以要除以2）,

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查异面直线及其所成的角，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题.

二、解答题

9.(2021・上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习)已知四棱锥P-ABCZ),底面ABC。

为正方形，边长为3,P£)_L平面A8CD

⑴若PC=5,求四棱锥P-ABC。的体积；

(2)若直线与8P的夹角为60。，求尸。的长.

【答案】(1)12(2)3五

【分析】(1)由锥体体积求四棱锥P-ABCD的体积；(2)由直线4。与8P的夹角为60。可得

NT8C=6(r.由此可求尸8,再解三角形求PO的长.

(1)；尸。,平面ABC。，CDu平面ABCD,

.•.点尸到平面A8C。的距离为「。，PDLCD,

"：PC=5,CD=3,

PD=4,

•••底面A8c。为正方形，边长为3,

底面ABC。的面积为9,

四棱锥P-A8CO的体积V=gx9x4=12,

(2)VAD//BC,

直线4。与8P的夹角的平面角为NPBC,；直线AO与8P的夹角为60。，

•*.^PBC=60,

设尸£>=x,则PC=j9+x?，PB=&+18，

在APBC中,PC=y/9+x2>PB=df+18，BC=3,

由余弦定理可得cos4PBC=BP-+BC-

2BPBC

・181

-6&+182，

••x=3\/2•

10.（2020•上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S,底面中心为。，OC是与底面

直径AB垂直的一条半径，O是母线SC的中点.

（1）求证：BC与SA不可能垂直；

（2）设圆锥的高为4,异面直线AO与8C所成角的余弦值为正，求圆锥的体积.

6

【答案】（1）证明见解析；（2）/

【解析】（1）假设5CLSA,得到AB_L8C,不成立，得到证明.

（2）如图所示：延长CO与圆交于点E,连接AE,。在底面的投影为OC中点产，

易知BCHEA，故ND4E为异面直线A。与BC所成角，根据余弦定理解得r=2,计算得到

体积.

【详解】（1）假设3CLSA,易知SO_L平面ABC,8Cu平面A8C,故SOL5C,

故BC_L平面SOA,AB\平面SOA,故ABJ_8C,不成立，故假设不成立.

BC与54不可能垂直.

（2）如图所示：延长CO与圆交于点E,连接AE,。在底面的投影为OC中点尸，

易知BQ/EA，故NZME为异面直线AO与3c所成角，设底面半径为小

222

在AA£）E中：AE=®，£>E={4+宁,DA=7OF+<9A+FO=^4+^r.

根据余弦定理：DE2=DA2+AE2-2DA-AEcosZDAE,计算得到r=2.

故体积丫=!乃产力=殍.

【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力

和空间想象能力.

Q巩固提升

一、单选题

1.（2021•上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体4B8-A4GA中，尸为线段Bq

的中点，E为线段AG上的动点，则下列四个结论正确的是（）

A.存在点E,使EF〃BD

B.存在点E,使平面A8CQ

C.E尸与A0所成的角不可能等于60°

D.三棱锥用-ACE的体积随动点E变化而变化

【答案】B

【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体

的体积公式，一一判断即可.

【详解】根据题意，如图所示，连接AB.

对于选项A,平面平面A.BG，

:.若EFHBD,一定有50〃平面A/G，又；与平面4阳相交，

:.不存在点E，使EF//BD，故A错；

对于选项B,当E为中点时，易知E尸〃4出，•.•在正方体ABCD-AMGA中，AB1AB,,

AOIA*且A£>nA81=A,A8_L平面4BCQ,即瓦•，平面A8CQ,故B正确；

对于选项C,当E为中点时，易知EF"A'B,ADt//BCt,

•；在正方体ABC。-ABC。］中，AtB=BCt=A,Ct,

.•.48与8G所成的角为60,即瓦'与A"所成的角为60,故C错；

对于选项D,设正方体边长为2,因为AC//AC，AAt//BBt,所以二棱锥瓦-ACE的体积

V

\-ACE=VE-ACB,=A-4CB,=VH-A,AC=S^AC-'故D错・

故选：B.

2.（2021••高二阶段练习）如图，在正方体ABCO-ABCR中，过点4作平面4/D的垂线,

垂足为点”，给出以下命题：①”是的垂心；②4”垂直于平面CB|R；③A”的延

长线过点G;④直线A4和所成角的大小为45。，其中正确的命题个数为（）

【答案】C

【分析】首先，判断三棱锥A-3。为正三棱锥，然后，得到△BA。为正三角形，得到”

为A在平面A3。内的射影，然后，根据平面4即，平面BG。，得到②正确，最后，结合

线面角和对称性求解.

【详解】解：对于①，•••AB=AA1=AO,BA=BQ=A。，

三棱锥A-84。为正三棱锥，

...点，是AABZ）的垂心，故①为真命题；

对于②，•；BD/iB、D、，AB"D、C,R&）u平面BD^,BA,<=平面BD\.

平面ABO与平面BCR平行，

又：A"L平面A8。，

A4垂直平面Cg〃，故②为真命题；

对于③，连接AR,A”则有BA—BA

根据正方体的性质可知，B£-LBA,,

又与所以BAL平面AB©,

又AC,u平面AB£,所以AG±BA,.同理可得AC,1BD.

又姐08。=8,所以AG，平面A/。,又AH上平面AB。，

且过平面外一点作平面的垂线有且只有一条，故A、H、G三点共线，故③为真命题.

对于④，：AA〃网，.•.NAAH就是直线4〃和B片所成角，

在直角三角形AHA中，

,/AAt=\,AtH=-x—xy/2=—,

1,323

smZ.AiAH=,故④为假命题；

故选：C.

3.（2021.上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形A8C。（及

其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是力尸的中点，设尸是CE上的一

点，且AP_LBE,则4G与BP所成角的大小为（）

E

A.45°B.15°C.30°D.0°

【答案】C

【分析】根据■得8EJ■平面ABP,进而得到再在平面EBC内找到AG

的平行线，进而得出AG与所成角即可

【详解】因为ABYBE,AP^}AB=A,故BE1平面ABP,故BE工BP,

取弧EC的中点H,连接易得AG//BH,且NEB"=60。，故AG与3P所成角即

ZPBH=90°-60°=30°

故选：c

4.（2021•上海市市西中学高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM

与平行；②CN与8E是异面直线；③CN与成60。；④。例与BN垂直.以上四个命题

A.①®@B.②④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项.

【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：

山图可得：为异面直线，CN与BE不是异面直线，故①②错误；

连接47,4。,。河,附,8£,贝曙4\9为等边三角形，

而BM//AN,故ZANC或其补角为CN与BM所成的角，

因为NAAC=6O。，故CN与所成的角为60。，故③正确；

因为DWJ.NC,又BC_L平面。0区＞,所以ZW_L8C,故DW_L平面8CN

又BNu平面8CN,所以。例，8N,则④正确；

综上，正确命题的序号为：③④.

故选：C.

二、填空题

5.（2021・上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图甲，将三棱锥P-A8C沿三条侧棱剪

开后，展开成如图乙所示的形状，其中点P/,A,丹共线，点匕，B,巳共线，点巴，C,

8共线，且PP2=P2P3,则在如图甲所示的三棱锥P-ABC中，外与8c所成角的大小为

A

pPlPs

BS-------V

尸2

甲乙

【答案】90°

【分析】根据展开图和中位线定理可知PB=PC,AB=AC,取8c中点。，则可证8。_1平

面以D,得出8cl.PA.

【详解】

解：=."是P岛的中点,

同理可知8是P/P2的中点，C是P2P3的中点，

••.AB=gp/，AC=/&

又P\P[=P[P3,AB=AC,PB=PC,

在图甲中，取2C的中点。，连接A。，PD,

则A£>_L8C,PDLBC,又ADIPD=D,

.•.3。_1平面以。，又以u平面附。，

：.BC±PA,

现与8c所成角的大小为90。.

故答案为：90°.

6.（2021•上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图已知A是△BCD所在平面外一点,

AD=BC,民尸分别是A8、8的中点，若异面直线AD与BC所成角的大小为（，则A£）与

EF所成角的大小为.

【答案】g或5

36

【分析】取AC的中点G,连接EG,G尸，则NEGF=（或/及力=与，分别分析这两种情

况下NGFE的大小即为4。与EF所成角.

【详解】解：如图所示：取AC的中点G,连接£G,GF,则EG//8C,GF//AD,

所以NEG尸为异面直线与BC所成角或其补角.因为AQ=BC,所以EG=GF,

rrTT

当NEGF=§时，△EGF为等边三角形，ZGFE=-,

即AZX与EF所成角的大小为?；

当NEGF=4时，EG=GF,AEGF为等腰三角形，乙GFE=j

36

即AD与EF所成角的大小为.

O

故答案为：g或3.

36

7.（2021・上海交大附中高二期中）在长方体ABCD-AMGR中，AA]=AD=\fAB=2,

则直线AC与4。所成的角的余弦值等于.

【答案】巫

10

【分析】联结81C,B,A,B.CHA.D,则A。与AC的夹角即BC与AC的夹角NACB1,求得

$A,AC,80的长，从而求得夹角的余弦值.

【详解】联结BC，B,A,如图所示:

在长方体中，B'C"AD,则A。与AC的夹角即BC与与AC的夹角N4CB1,

222

在A4C片中，BlA=AC=-j2+i=45,B、C+1=6，

~B,C—而

则

cosZACB,=2_=_r=_

故答案为：叵

10

8.（2021.上海师范大学第二附属中学高二期中）在四面体ABCO中，A8=8,8=6,M,

N分别是8C、AD的中点，且MN=5,则A3与C4所成角的大小是.

【分析】取BD中点为。，连接QM,ON,根据题中条件，由异面直线所成角的概念，得

到NMON即为异面直线AB与CD所成的角，或所成角的补角，结合题中数据求解，即可得

出结果.

【详解】取BD中点为。，连接OM,ON,

因为M、N分别是BC、4£）的中点，

所以OM//CD,ONHAB,

则NMQV即为异面宜线AB与CQ所成的角，或所成角的补角，

又A8=8,CD=6,MN=5,

则。MJC£>=3,ON=-AB=4,

22

因此0知2+次2=削2,则OMLQN,所以NMON=90。.

D

故答案为：90°.

三、解答题

9.(2022・上海・复旦附中高二期中)在长方体ABCO-A/C。中，AB=\,AD=2,4A=4,

E、尸分别为线段BC、CC上的点，且CE=1,CF=\.

⑴求证："〃平面人。。人;

(2)求异面直线EF与AQ所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)巫

10

【分析】(1)如图，取的中点M,棱。"上取点N使得£W=1,根据长方体的特征和平

行四边形的判定定理和性质可得所〃MN,利用线面平行的判定定理即可证明：

⑵如图，取AA,的中点P,连接MP,则NPMV为异面直线EF与的所成角，

在APMN中利用余弦定理求出cosZPMN即可.

(1)取AO的中点M,棱。A上取点N使得〃N=1,如图，

可得NF〃EM且NF=EM,

所以四边形EFMW为平行四边形，所以EF〃MN,

又EF不在平面AORA上，MNu平面ADRA，

所以所〃平面A。。A：

⑵取AA的中点P,连接MP,如图，

则NPMN为异面直线EF与AD的所成角,

因为MN=0，PM=PN=5

PM?+MN?-PN°x/10

所以cosNPMN=

2PM-MNlo-

故异面直线EF与4。所成角的余弦值为叵.

10

10.(2021•上海市洋泾中学高二阶段练习)已知边长为1的正方形ABC。绕BC边旋转一周

A

(1)求该圆柱体的表面积；

1T

(2)正方形A8C。绕BC边逆时针旋转万至ABC。，求证：A.DVAC.

【答案】(1)4万；(2)证明见解析

【分析】(1)根据圆柱的表面积公式求得正确答案.

(2)通过证明AC,平面4声。来证得AC.

(1)圆柱的表面积为2万xI2+2TTX1X1=4%.

⑵依题意可知名1BA,BA,LBC,BAr>BC=B,

所以8A，平面ABC。，所以BAt±AC,

由于四边形A8CO是正方形，所以ACL5。.

由于84仆8。=8,所以AC,平面A8O,

所以

11.（2021.上海市南洋模范中学高二期中）在长方体A88-A8C2中，AB=BC=2,过

A、G、5三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体A8CO-AGA，且这

个几何体的体积为10.

（1）求棱AA的长；

（2）若4G的中点为。1,求异面直线BO,与A2所成角的余弦值.

【答案】（1）3（2）姮

11

【分析】（1）设=刀，由题设匕08-AGO,=匕0co-44GA—,可求出i棱长.

（2）因为在长方体中40〃BC,所以NO/C即为异面直线8。与AQ所成的角（或其补

角）那么借助于三角形求解得到结论.

（1）解：设惧=力，

由题设KlBCO-AGA=匕88-48££>1=1°,

-1'S正方HMfiCOX"-§X工八用。X力=10

即2x2x/z——x—x2x2x/z=10,解得。=3.

3