2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版七十四 正态分布含答案

6版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版七十四正态分布七十四正态分布(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)等于()A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.07【解析】选A.由题意得P(ξ>1)=1-P(ξ≤1)=1-0.84=0.16,所以P(-1≤ξ≤0)=12×(1-0.16×2)=0.342.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a-3),则实数a的值为 ()A.1 B.53 C.5 D.【解析】选B.因为P(X>a+2)=P(X<2a-3),所以由正态曲线的对称性知a+2+2a-323.(5分)若随机变量X服从正态分布N(5,1),则P(6≤X≤7)≈ ()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1359 B.0.3413C.0.4472 D.1【解析】选A.依题设,得P(4≤X≤6)≈0.6827,P(3≤X≤7)≈0.9545,所以P(6≤X≤7)≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359【加练备选】某天文馆开馆后的1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),则在此期间的某一天,该馆的游客人数不超过2210的概率为()(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.99865 B.0.9973C.0.9772 D.0.00135【解析】选A.因为该天文馆开馆后1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),所以P(1790≤X≤2210)=P(2000-3×70≤X≤2000+3×70)≈0.9973,所以P(X>2210)≈12×(1-0.9973)=0.00135,所以P(X≤2210)≈1-0.00135=0.998654.(5分)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 (A.150 B.200 C.300 D.400【解析】选C.因为P(X<90)=P(X>120)=15P(90≤X≤120)=1-15×2=35,所以P(90≤X≤105)=所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=3005.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ= ()A.-12 B.0 C.12 D【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ=-x+x6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),其正态曲线如图所示,则下列结论中正确的是A.甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值B.甲工厂生产零件尺寸的均值小于乙工厂生产零件尺寸的均值C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【解析】选AC.X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,结合正态密度函数的图象可知,μ1=μ2,σ1<σ2,故甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值,故A正确,B错误;甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性,故C正确,D错误.7.(5分)(2023·南京模拟)已知随机变量X服从正态分布N2,σ2=3PX>5,则P-1≤X【解析】因为X~N2,σ2,P-1≤X≤2=P2≤又因为P-1≤X≤2=3所以PX≥2=P2≤X≤5+PX>5=4P所以PX>5=0.125,所以P2≤X≤5=0.5-0.所以P-1≤X≤5=0答案:0.758.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.

【解析】由题意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ<2)=P(ξ≥6)=0.2.所以正态曲线的对称轴为直线x=4,即P(ξ≥4)=12,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为12,所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×1答案:19.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72≤X≤88)≈68.27%.(1)求参数μ,σ的值;(2)求P(64≤X<72).(结果精确到0.0001)参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73%.【解析】(1)由题意得参数μ=80.又P(72≤X≤88)≈68.27%,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,可知σ=8.(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈95.45%.因为P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-95.45%)=2.所以P(X≥64)≈97.725%.又P(X<72)=12×[1-P(72≤X12×(1-68.27%)=15.所以P(X≥72)≈84.135%,所以P(64≤X<72)=P(X≥64)-P(X≥72)≈13.59%.【能力提升练】10.(5分)为了解某地区高中男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高中男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若58.5<X≤62.5属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是 ()A.997 B.954 C.819 D.683【解析】选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,从而属于正常情况的人数是1000×0.6827≈683.11.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷40000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布X~N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为 ()(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906 B.1359C.2718 D.3413【解析】选B.因为X~N(-2,4),所以阴影部分的面积S=P(0≤X≤2)=12[P(-6≤X-P(-4≤X≤0)]≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359,则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影内的概率为P=0.13512.(5分)(多选题)(2023·泰安模拟)水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=1102πe-(x-100A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大【解析】选AC.本题考查正态密度函数的特征以及性质的应用.正态密度函数为f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈(-∞,+∞),由题意知μ=100,σ2=100,所以该地水稻的平均株高为100cm,方差为100,故A正确,B错误;因为正态密度曲线关于直线x=100对称,所以P(X>120)=P(X>P(80<X<90),故D错误.13.(5分)某一部件由3个元件按如图方式连接而成,若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设3个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.

【解析】由题意得,3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1000,502),则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12,则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1-12×12=34,故该部件使用寿命超过1000小时的概率为34答案:314.(10分)为应对气候变化,我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值,2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况,从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查,得到如下频数分布表,并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业:碳排放量X[2.5,5.5)[5.5,8.5)[8.5,11.5)[11.5,14.5)[14.5,17.5)[17.5,20.5)[20.5,23.5)频数56912864(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布Nμ,σ2,其中μ近似为样本均值x,σ2近似为样本方差s2,经计算得x≈12.8,s≈5.(2)通过研究样本原始数据发现,抽取的50家企业中共有8家“超标”企业,市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查,现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查,设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数,求Y的分布列与数学期望.(参考数据:若X~Nμ,则Pμ-σ≤Pμ-2σPμ-3σ≤X【解析】(1)由已知,得μ≈12.8,σ≈5.2,所以P(X>18)=P(X>μ+σ)≈1-0.68272所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.(2)由题中频数分布表可知,8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家,所以Y的可能取值为1,2,3,4,且PY=1=C41PY=2=C42PY=3=C43PY=4=C44所以Y的分布列为Y1234P1331所以EY=1×114+2×37+3×37+4×115.(10分)某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在70,80内的学生获三等奖,得分在80,90(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率;(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2,其中σ①若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数);②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机取3名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附参考数据,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则Pμ-σ≤Pμ-2σ≤X≤μ+2σ【解析】(1)由题中样本频率分布直方图得,样本中获一等奖的有6人,获二等奖的有8人,获三等奖的有16人,共有30人获奖,70人没有获奖.从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,基本事件总数为C100设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A,则事件A包含的基本事件的个数为C70所以PA=C701C301(2)由题中样本频率分布直方图得,样本平均数的估计值μ=35×0.006×10+45×0.012×10+55×0.018×10+65×0.034×10+75×0.016×10+85×0.008×10+95×0.006×10=64,则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N64,①因为μ+σ=79,所以PX>79≈1-0.故参赛学生中成绩超过79分的学生数为0.15865×10000≈1587.②由μ=64,得PX>64=1即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该生竞赛成绩在64分以上的概率为12所以随机变量ξ服从二项分布ξ~B3,所以Pξ=0=C30123=18,Pξ=1=C31Pξ=3=C33所以随机变量ξ的分布列为:ξ0123P1331Eξ=0×18+1×38+2×38+3×1【素养创新练】16(5分)(多选题)(2023·广州模拟)为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题,科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定:某区域内的m个点Pixi,yi,zi的深度zi的均值为μ=1m,标准偏差为σ=1m,深度zi∉[μ-3σ,μPiP1P2P3P4P5P6P7P8xi15.115.215.315.415.515.415.413.4yi15.114.214.314.414.515.414.415.4zi2012131516141218A.μ=16 B.σ=29C.P1不是孤立点 D.P8是孤立点【解析】选BC.由题表可知μ=18σ=(20-15)2+(12-15)2+…+(18-因为29>5,所以15+3229>20,则z1=20∈15-3229,15+3229,z8=18∈[15-3七十一事件的独立性、条件概率与全概率公式(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P(A)=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是 A.互斥 B.对立C.相互独立 D.既互斥又相互独立【解析】选C.因为P(A)=1-P(A)=1-23=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与2.(5分)(2023·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为 (A.78 B.34 C.14 【解析】选B.设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,该运动员三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-(1-p)3=6364,解得p=33.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为 ()A.0.13 B.0.17 C.0.21 D.0.3【解析】选B.由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为 ()A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84【解析】选C.设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘动车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是 ()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件【解析】选BD.由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×6.(5分)(多选题)(2023·常州模拟)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).下列说法正确的为()A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解析】选ABD.对于A.依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积,它们相互独立,所以所求概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,A正确;对于B,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件,是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积,它们相互独立,所以所求概率为(1-β)·β·(1-β)=β(1-β)2,B正确;对于C,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1、1、0,1、0、1,0、1、1和1、1、1的事件和,它们互斥,由选项B知,所求的概率为C32β(1-β)2+(1-β)3=(1-β)2(1+2对于D,由选项C知,三次传输,发送0,则译码为0的概率P=(1-α)2(1+2α),单次传输发送0,则译码为0的概率P'=1-α,而0<α<0.5,因此P-P'=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0,即P>P',D正确.7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.

【解析】设事件A为“周二晚上值班”,事件B为“周三晚上值班”,则P(A)=C61CP(AB)=1C72=121,故P(B|A)=答案:18.(5分)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;

(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.

【解析】(1)设第一次击中为事件A,第二次击中为事件B,则P(A)=45由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率是45(2)设仅击中一次为事件C,则仅击中一次的概率为P(C)=C21×45×1在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P(B|C)=15×4答案:(1)45(2)9.(10分)小王某天乘火车从重庆到上海,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率;(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率;(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.【解析】用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1.(1)由题意得A,B,C之间相互独立,所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.(2)恰好有一列火车正点到达的概率为P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.(3)三列火车至少有一列火车正点到达的概率为P3=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.2×0.3×0.1=0.994.【能力提升练】10.(5分)甲、乙两名选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,若采用三局两胜制,则甲最终获胜的概率为 ()A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648【解析】选D.由题意可得甲最终获胜有两种情况:一是前两局甲获胜,概率为0.6×0.6=0.36,二是前两局甲一胜一负,第三局甲胜,概率为C21×0.6×0.4×0.6=0所以甲最终获胜的概率P=0.36+0.288=0.648.11.(5分)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①,②,③三个村庄进行义诊活动,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往①村庄”;B表示事件“医生乙派往①村庄”;C表示事件“医生乙派往②村庄”,则 ()A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立C.P(B|A)=5D.P(C|A)=5【解析】选D.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①,②,③三个村庄进行义诊包含C4事件A含有的样本点个数为A33+则P(A)=1236=13,同理P(B)=P(C)=事件AB含有的样本点个数为A2则P(AB)=236=1事件AC含有的样本点个数为C22+C21C21对于A,P(A)P(B)=19≠P(AB),即事件A与B对于B,P(A)P(C)=19≠P(AC),即事件A与C对于C,P(B|A)=P(AB)对于D,P(C|A)=P(AC)P12.(5分)(2023·泉州模拟)某校老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________.

【解析】设进行检测的4个汉字中至少有一个是最后一天学习的为事件A,恰有3个是后两天学习过的汉字为事件B,则事件A所包含的基本事件数n(A)=C21×C63+事件B所包含的基本事件数n(B)=C41×C43=16,所以P(B|A)=n(答案:1613.(5分)某电视台举办知识竞答闯关比赛,每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答正确得10分,回答错误得0分;第二个问题回答正确得20分,回答错误得0分;第三个问题回答正确得30分,回答错误得-20分.规定每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率是12,且各题回答正确与否相互之间没有影响,则该选手仅回答正确两个问题的概率是________;该选手闯关成功的概率是【解析】该选手仅回答正确两个问题的概率P1=23×23×(1-12)+23×(1-23)×12+(1-23该选手要闯关成功,则只有第3个问题回答正确或者第1,3两个问题回答正确或者第2,3两个问题回答正确或者三个问题都回答正确,所以闯关成功的概率为(1-23)2×12+23×(1-23)×12+(1-23)×23×12+答案:4914.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,