2010年初一奥赛培训09“设而不求”的未知数

2010年初一奥赛培训09：“设而不求”的未知数一、解答题1．（10分）（2013秋•江油市校级月考）一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长是1．求这个三角形的面积．2．（10分）已知：，求证．3．（10分）已知，，都是5的倍数，，且，试求的值．4．（10分）若使为可约分数，则自然数的最小值应是多少？5．（10分）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？6．（10分）设自然数为99的倍数，试求，．7．（10分）我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差（大数减小数），将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？8．（10分）从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？9．（10分）某队伍长1998米，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．10．（10分）设，求证11．（10分）已知，且．求证：．12．（10分）设六位数（其中，分别表示十万位及个位上的数字），又是4的倍数，且被11除余5，那么等于多少？13．（10分）五个人要完成某项工作，如果甲、乙、丙三人同时工作需6小时；甲、丙、戊三人同时工作需小时；甲、丙、丁三人同时工作需7.5小时；乙、丙、戊同时工作，需用5小时，问五个人同时工作需用多少小时完成？14．（10分）公共汽车每隔分钟发车一次，小红在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面驶来一辆公共汽车，如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的，则为多少？

2010年初一奥赛培训09：“设而不求”的未知数参考答案与试题解析一、解答题1．（10分）（2013秋•江油市校级月考）一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长是1．求这个三角形的面积．【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理【专题】几何图形问题【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质求得斜边长；设出两条直角边，再结合三角形的周长、勾股定理、三角形的面积联立方程即可解决问题．【解答】解：因为直角三角形斜边上的中线长是1，所以斜边长2；设两条直角边的长度是，，面积是，由此联立方程得，，由①得，两边平方得，④把②，③代入④式得，解得；答：这个三角形的面积是．【点评】在这个题目中，只要求出未知数的值，而我们却设了三个未知数：，，，并且在解题过程中，我们也根本没求，的值．但是由于增设了，后，给我们利用等量关系列方程及方程组求的值，带来了很大的便利，像这种未知数（如，就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数．所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用．2．（10分）已知：，求证．【考点】分式的基本性质【专题】证明题【分析】设恒等式等于一个常数，求出，，与这个常数的关系式，再进行证明．【解答】解：设，则，，，，．【点评】设出恒等式等于一个常数，求出，，与这个常数的关系式是解答本题的关键．3．（10分）已知，，都是5的倍数，，且，试求的值．【考点】数的整除性【专题】计算题【分析】因为，，都是5的倍数，因此可设，，因为，所以．又因为，以，，所以，所以，代入代数式求值．【解答】解：不妨设，，，由题意可知，，，都是整数．因为，所以．又因为，所以，，①所以，所以．②将①，②代入所求的代数式得【点评】本题考查数的整除性的问题，关键设出，，，是“设而不求”的未知数．根据条件消去未知数得到结果．4．（10分）若使为可约分数，则自然数的最小值应是多少？【考点】约分【专题】计算题【分析】要使可约分，分子与分母有公因数，设分子：，①；分母：，②；整理得到．从而求得的最小值．【解答】解：要使可约分，不妨设分子与分母有公因数，显然应用，并且设分子：，①分母：．②其中，为自然数．由①得，将之代入②得，即，所以．由于71是质数，且，所以，所以．故最小为84．【点评】本题考查了约分，找到分子与分母的最大公约数是解此题的关键．5．（10分）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？【考点】二元一次方程组的应用【专题】年龄问题【分析】可设四个人的年龄分别记为，，，，根据题中叙述可列出四个方程，通过方程变形可以判断哪个数最大哪个数最小，再计算最大年龄与最小年龄的差即可．【解答】解：设四个人的年龄分别记为，，，，根据题意有，①，②，③，④由上述四式可知，⑤，⑥，⑦，⑧比较⑤，⑥，⑦，⑧知，最大，最小，所以⑤⑧得，所以，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．答：最大年龄与最小年龄的差是18．【点评】本题考查了二元一次方程的变形应用．此题设的未知数较多，但此题不必求出，，，的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．6．（10分）设自然数为99的倍数，试求，．【考点】数的整除性【专题】计算题【分析】由题意得能被整除，根据一个数能被9整除的特征有：，可求得及的范围，再由（可得的可能值，进而讨论即可得出及值的可能组合．【解答】解：自然数为99的倍数，可得能被整除，根据一个数能被9整除的特征有：为自然数），即为自然数），又由于，，则有，从而有或①，同理，按照一个数被11整除的特征有：或②，①与②相结合，并考虑，，故只有，．所以原自然数为6224427．【点评】本题考查了数的整除性的知识，难度较大，关键是根据整除的知识得到的可能值，然后分类讨论可能性．7．（10分）我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差（大数减小数），将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？【考点】列代数式；代数式求值【专题】数字问题【分析】该题是个位，百位上数的调换，即两位数上数字出现的次数一样的，那么相加得到解决．【解答】解：不妨设原数为，对调后的差为，所以．因是三位数，所以，．所以．差对调后为，所以．故所求为1089．【点评】本题是一个排列问题，难易适宜．8．（10分）从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【考点】三元一次方程组的应用【专题】应用题【分析】关键描述语为：“熔炼后两个合金含铜的百分数相等”；等量关系为：千克合金里切后纯铜的质量千克合金切下纯铜的质量）千克合金里切后纯铜的质量千克合金切下纯铜的质量），把相关数值代入即可求解．【解答】解：设所切下的合金的重量为千克，重12千克的合金的含铜百分数为，重8千克的合金的含铜百分数为，于是有，整理得．因为，所以，因此，即所切下的合金重4.8千克．【点评】本题考查了用多个未知数解决含铜百分比问题；注意在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．9．（10分）某队伍长1998米，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．【考点】分式方程的应用【专题】应用题【分析】此题利用行程问题中的追及问题（路程速度差追及时间）与相遇问题（路程速度和相遇时间），设出队伍行进的速度和战士的行进速度，利用前面基本数量关系列出方程解答即可．【解答】解：设这个战士的行进速度为米小时，队伍行进的速度为米小时，这个战士从排尾赶到排头所需时间为小时，战士从排头赶到排尾所需时间为小时，队伍行进1998米所需时间为小时，根据题意列方程得：，整理得，解得（舍去负值），所以这个战士所走距离为米；答：战士走过的路程为米．【点评】此题考查行程问题中的追及问题（路程速度差追及时间）与相遇问题（路程速度和相遇时间），解决这一问题时，可以从不同角度考虑问题，增设不同参数也会有不同解法．10．（10分）设，求证【考点】分式的加减法【分析】设（参数），则，，分别代入等式的左右两边化简，证明左边右边．【解答】证明：设，则，，左边，右边，左边右边，得证．【点评】本题考查了分式等式的证明方法，根据已知等式的特点，设参数，能使运算简便．11．（10分）已知，且．求证：．【考点】分式的等式证明【专题】证明题【分析】由于条件中有一个连等式，故可利用设参数的方法把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式，即设，代入所求代数式即可．【解答】证明：设，则，，，因为，又因为．所以原式成立．【点评】本题考查的是分式的等式证明，解答此类题目时要注意条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式，通过设参数解答此类题目是一种常用的方法．12．（10分）设六位数（其中，分别表示十万位及个位上的数字），又是4的倍数，且被11除余5，那么等于多少？【考点】带余除法【专题】探究型【分析】先根据是4的倍数可得出的可能值，再根据及时，所得的数被11除余5得出减去5的数，再由被11整除的数的特点即可求出的值．【解答】解：从是4的倍数可知被4整除，所以或6，当时，被11整除，所以是11的倍数，由于是一位数字，所以无解．当时，被11整除，所以是11的位数，因此，此时．故答案为：9．【点评】本题考查的是带余数的除法，根据是4的倍数求出的可能值是解答此题的关键．13．（10分）五个人要完成某项工作，如果甲、乙、丙三人同时工作需6小时；甲、丙、戊三人同时工作需小时；甲、丙、丁三人同时工作需7.5小时；乙、丙、戊同时工作，需用5小时，问五个人同时工作需用多少小时完成？【考点】三元一次方程组的应用【专题】工程问题【分析】等量关系为：6（甲的工作效率乙的工作效率丙的工作效率）；（甲的工作效率丙的工作效率戊的工作效率）；（甲的工作效率丙的工作效率丁的工作效率）；（戊的工作效率乙的工作效率丙的工作效率），把相关数值代入求得5个人的工作效率之和，让1除以5个人的工作效率之和即可得到五个人同时工作需用多少小时完成．【解答】解：设甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，丁的工作效率为，戊的工作效率为．（2）（3）得①，（1）（3）得②，③，④，把③④代入（4）得，，，，，，．答：3小时才能完成．【点评】考查多元方程的求法；得到4个关于工作效率和的等量关系是解决本题的关键；采用特殊消元法求解是解决本题的难点．14．（10分）公共汽车每隔分钟发车一次，小红在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面驶来一辆公共汽车，如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的，则为多少？【考点】一元一次方程的应用【专题】应用题【分析】分析：想要求出的值，必须找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解作答．【解答】解：假设小红的速度为，汽车的速度为，由于小红汽车均为匀速，所以时时刻刻，向相同方向行驶的汽车，任意相邻两辆间的距离都是相同的．则由题目可得出：，即：，相邻两辆汽车间的距离为：，所以有：（分钟），答：汽车每5分钟发车一次．故为5分钟．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

考点卡片1．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．2．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．3．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．4．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．5．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．6．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．7．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．8．三元一次方程组的应用在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．9．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．10．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三