专题05勾股定理及其逆定理（考点清单2考点8种题型）

专题05勾股定理及其逆定理（考点清单）考点一勾股定理【考试题型1】用勾股定理解三角形相关计算题【解题方法】在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．【典例1】（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，分为两种情况：斜边是有一条直角边是，由勾股定理得：第三边长是；和都是直角边，由勾股定理得：第三边长是；即第三边长是或，故选：D．【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方．【专训11】（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．【专训12】（2019秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（

）A．2﹣1 B．2 C． D．2+1【答案】A【分析】根据题意得，，，则是直角三角形，根据勾股定理得，得，即可得．【详解】解：由题意得，，，∵，∴，∴是直角三角形，即，∴，∴，即点D表示的数为：，故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．【专训13】（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（

）A．25 B．5 C．16 D．12【答案】A【分析】根据正方形的性质证，推出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，∵根据正方形的性质得：，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，在中，由勾股定理得：，则正方形B的面积为25．故选：A．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出的长．【专训14】（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在中，，，，则点到直线的距离是（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】作于点，根据勾股定理可以求得的长，然后根据三角形的面积为定值即可求出点到直线的距离．【详解】解：作于点，如图所示，，，，，，，解得，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是明确三角形的面积为定值，点到直线之间垂线段最短．【专训15】（2021秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考期中）如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】利用勾股定理求出AB，根据垂线段最短，求出CP的最小值即可解决问题．【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴,∵AP+BP+PC=CP+AB=CP+5，根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP的值最小，最小值，∴AP+BP+CP的最小值，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法，属于中考常考题型．【专训16】（2020秋·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据：（1）点P(x，y)到x轴的距离等于|y|；（2）点P(x，y)到y轴的距离等于|x|；利用勾股定理可求得.【详解】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是故选：D【点睛】考核知识点：勾股定理.理解点的坐标意义是关键.【考试题型2】判断勾股数【解题方法】能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数注意：①三个数必须是正整数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．【典例2】（2023春·江苏南通·八年级如东县实验中学校考期中）在下列各数中，不是勾股数的是（

）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41【答案】B【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．【详解】解：A、52+122=132，是勾股数，此选项不符合题意；B、82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；C、82+152=172，是勾股数，此选项不符合题意；D、92+402=412，是勾股数，此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股数，注意：①三个数必须是正整数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．【专训21】（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）下面四组数，其中是勾股数组的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确；B、，，，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；C、，不能构成勾股数，故错误；D、，不能构成勾股数，故错误．故选：A．【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．【专训22】（2022秋·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（

）A．47 B．62 C．79 D．98【答案】C【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.【详解】解：由题可得：……当故选：C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.【考试题型3】求以直角三角形三边为边长的图形面积【解题方法】解题的关键是把握图形面积之间的关系．【典例3】（2021春·江苏南通·八年级统考期末）如图，字母B所代表的正方形的面积是（

）A．194 B．144 C．13 D．12【答案】B【分析】如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=21，c2=169，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．【详解】解：如图，∵a2+b2=c2，而a2=25，c2=169，∴b2=16925=144，∴字母B所代表的正方形的面积为144．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．【专训31】（2020秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．5【答案】D【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，进而可将阴影部分的面积求出．【详解】解：，∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝，∴AB2＋AC2＋BC2＝10，∴S阴影＝×10＝5．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系是解决本题的关键．【专训32】（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．【专训33】（2019秋·江苏南京·八年级南京市第十三中学校考期中）如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．26 C．47 D．94【答案】C【详解】解：如图根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即．故选C．【专训34】（2022秋·江苏·八年级期中）如图，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆B、C的面积分别是4、5，则半圆A的面积是（

）A．1 B．3 C． D．9【答案】A【分析】根据半圆的面积计算公式即可计算S与直径的关系，根据直角三角形中勾股定理的应用可以计算直角△ABC中三边关系，根据这两个关系式即可解题．【详解】解：如图，半圆B、C、A的面积分用S2、S1、S3表示；S1＝π，S2＝π，S3＝π，∵在直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴S2+S3＝S1，半圆A的面积是54=1；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了半圆的面积计算公式，本题中正确的根据勾股定理求出AB，AC，BC的关系是解题的关键．【专训35】（2021秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（

）A．18 B．26 C．28 D．34【答案】B【分析】由图可以得到a、b、c三个正方形的面积与1号、2号、3号、4号正方形的面积之间的关系，再根据1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，可以求得a，b，c三个正方形的面积的和．【详解】解：解：如下图所示，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，同理可证，，，∴，∵，，∴，故选B．【点睛】本题考查了学生对勾股定理的理解，解题的关键是把握图形面积之间的关系．【考试题型4】利用勾股定理解决三角形折叠问题【解题方法】选不含折痕为边的直角三角形利用勾股定理求解.【典例4】（2018秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（

）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，计算即可．【详解】解：∵D是BC的中点，∴BD=3，设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，在Rt△BDN中，，x2+32=（9－x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选C．【专训41】（2023春·江苏南通·八年级如东县实验中学校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，设，则，，在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．【专训42】（2021秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，设DE＝x，则BD＝8−x，得出（8−x）2＋42＝x2，解方程求出x即可得解．【详解】∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC=，∵将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，∴AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE−AB＝10−6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8−x，∵BD2＋BE2＝DE2，∴（8−x）2＋42＝x2，解得：x＝5，∴DE＝5．故选B．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【考试题型5】探索勾股定理的证明方法【解题方法】注意观察图形，发现各个图形的面积和a，b的关系．【典例5】（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（

）A．25 B．28 C．16 D．48【答案】B【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2＋b2的值，由已知条件得到ab的值，从而求得．【详解】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，即得a2＋b2＝42＝16，由题意4×ab＋4＝16，2ab＝12，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝16＋12＝28．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．【专训51】（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期中）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．【详解】解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键．考点二勾股定理逆定理【考试题型6】判断三边能否构成直角三角形【解题方法】如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．即根据三边判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．【典例6】（2022秋·江苏·八年级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（

）A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、12＋12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；C、1＋2＝3，不能构成三角形，不符合题意；D、52＋122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【专训61】（2021秋·江苏扬州·八年级宝应县城北初级中学校考期中）满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6 B．C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝1，BC＝2，【答案】B【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可．【详解】解：A、设∠A=2x°，∠B=4x°，∠C=6x°，2x+4x+6x=180，解得：x=15，则∠C=6×15°=90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；C、62+82=102，△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；D、12+22=（）2，则△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．【考试题型7】在网格中判断直角三角形【解题方法】判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．【典例7】（2023春·江苏·八年级期中）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据勾股定理求出的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根据度角直角三角形的性质即可判断D选项．【详解】根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意；根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意；根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意；∵，∴，∵，∴，故D选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【专训71】（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题．【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意；B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意；C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意；D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．【专训72】（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则，，，，因为，所以能构成一个直角三角形三边的线段是．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【专训73】（2020秋·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是(

)A．2和3 B．3和3 C．2和4 D．3和4【答案】A【分析】结合格点图形及勾股定理，等腰三角形的性质即可得解．【详解】解：（1）如图，为等腰三角形有两种由勾股定理易知：ED=DC=,符合题意，由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，（2）如图，为直角三角形有三种由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=,满足，由勾股定理逆定理知∆ABE为直角三角形，由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=,满足，由勾股定理逆定理知∆CBE为直角三角形，由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=,满足，由勾股定理逆定理知∆CDE为直角三角形，故选：A【点睛】本题主要考查了在格点中画等腰三角形及勾股定理在格点图形中的应用，结合格点图形，利用勾股定理，合理构造是解决本题的关键．【专训74】（2020秋·江苏·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．150°【答案】B【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．【详解】解：连接AC，由勾股定理得：AC=BC=，AB=，∵AC2+BC2=AB2=10，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．【考试题型8】已知三角形相关数据判断能否构成直角三角形【解题方法】直角三角形的判定方法：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形.【典例8】（2019秋·江苏淮