高中数学《条件概率》导学案

IMK：第一章随机变量及其分布___________________

DIERZHANG2.2二项分布及其应用

2.2.1条件概率

卜课前自主预习

H知识导学

知识点6条件概率的定义

一般地，设A,B为两个事件，且尸(A)>0,称P(3|A)=今黑为在事件A发生

的条件下，事件3发生的条件概率.一般把读作叫发生的条件下，B发

生的概率,变形公式(即乘法公式)：P(AB)=包P(A)-P(B|A).

知识点匚条件概率的性质

性质1：回QWP(B|A)W包1.

性质2：如果8和C是两个互斥事件，那么P(BUCIA)=国产仍|A)+P(C|A).

H知识拓展

每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一

部分已经知道，即在原随机试验的条件又加上一定的条件，已知事件A发生，在

此条件下事件发生，要求P(B|A),相当于把A看作新的基本事件，空间计算

“(A3)

事件AB发生的概率，即尸(即尸喘=墨=馈1

〃(。)

O自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.()

(2)事件A发生的条件下，事件8发生，相当于A,8同时发生.()

(3)P(B[A)^P(AB).()

答案(1)X(2)7(3"

2.做一做

12

(1)已知P(B|A)=g,P(A)=『则P(AB)等于.

(2)把一枚硬币任意掷两次，事件A=｛第一次出现正面)，事件8=(第二次出

现反面)，则P(B|A)=.

(3)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下

雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记=(4)=0.20,P(B)

=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)=,P(B|A)=.

答案⑴看⑵3⑶1!

］72

解析(1)P(AB)=P(B\A\P(A)=^X5=75-

(2)P(A)=g,P(AB)4则P(3|A)=5凿=g.

(3)由条件概率的概念可知，

P(AB)0.122

P{A\B)=P(B)=0718=3'

P(AB)_Q12_3

P(8|A)=P(A)~7ij2~5-

l课堂互动探究、

探究1条件概率的计算

例15个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次,

求：

(1)第一次取到新球的概率；

(2)第二次取到新球的概率；

(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率.

［解］记第一次取到新球为事件A,第二次取到新球为事件A

⑴P(A)=,.

3X2+2X33

⑵P»)=

5X45-

3X23

(3)解法一：因为尸(48)==7=/，

D入41v

3

所以P(那尸鬻毒《

5

解法二：因为"(A)=C4a=12,z?(AB)=CiCl=6,

所以尸的划=嚅=壹4

拓展提升

计算条件概率的两种方法

(1)在缩小后的样本空间QA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)=

事件A8所含基本事件的个数

事件A所含基本事件的个数；

(2)在原样本空间。中，先计算P(AB),P(A),再按公式P(理4)=镖1计算，

求得P{B\A).

［跟踪训练1］从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机取出1张，用A

表示“取出的牌是Q”，用8表示“取出的牌是红桃”，求P(A|B).

解解法一：由于52张牌中有13张红桃，则8发生(即取出的牌是红桃)的

131

概率为产出)=五=不

而52张牌中，既是红桃又是的牌只有一张，故P(AB)=专，.•.P(4B)=

P(AB)_1_1_1

P(B)=52^4=l3-

解法二：根据题意，即求”已知取出的牌是红桃”的条件下，事件A：“取

出的牌是的概率.

n(AAB)1

/i(B)=13,从而尸(A|3)=.〃⑻=F

探究2有关几何概型的条件概率

例2一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点

(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3

个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,求P(AB),P(A\B).

［解］如图，〃(Q)=9,

“(4)=3,〃(8)=4,

n(AB)=l,

n(AB)1

P(4|B)==4'

拓展提升

本例是面积型的几何概型，利用小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩

小为〃(3).

［跟踪训练2］如图，四边形ERGH是以。为圆心，半径为1的圆的内接正

方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH

内”，3表示事件“豆子落在扇形。"E(阴影部分)内”，则

(1)P(A)=；

⑵P(B|A)=.

答案联(2)1

解析(1)由题意可得，事件A发生的概率

n/八S〉”,EFGH爽X也2

P(A)-z—K/2——.

TIX1I兀

(2)事件AB表示“豆子落在△E0“内”，则

G［XI?1

P(AR2

尸(附、_一^s国^。—一兀_X_12_—_2L兀.

1

,,,P(AB)五1

故P(B\A)=p(A)=2=］

71

探究3条件概率的实际应用

例3一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0〜9中任选一个.某

人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字.求：

(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.

［解］设第i次按对密码为事件A/(z=l,2),则A=4U(AIA2)表示不超过2

次按对密码.

(1)因为事件4与事件A丛2互斥，由概率的加法公式得P(A)=P(4)+P(AIA2)

zzz-1-4,--9-X--1-=-1

1010X95-

⑵用8表示最后一位按偶数的事件，则P(A|8)=P(4|B)+P((AIA2)|B)=5+

4X12

5X4=5。

拓展提升

若事件8,C互斥,则「(BUC|A)=P(阴A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事

件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些

简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.

[跟踪训练3]在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至

少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生

能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概

率.

解记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5

道题，另1道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，

事件。为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优

秀”，贝ijA,B,。两两互斥，且。=AUBUC,E=AUB,可知

P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

_C?ododoCfoCTQ_12180

一巡)+CM+C%)-C%,

P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),

P(E\D)=P(A[D)+P(B\D)

2102520

_P(A)p(8)_雷

-P(0+P(D)~12180+72180~58,

C%C%

故所求的概率为翌13.

JO

f-------------------------------1%1--------------------------------1

1.条件概率：p(阴4)=^^=喘.

2.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(A8)表示在样本空间Q中，计算AB

发生的概率，而P3⑷表示在缩小的样本空间0A中，计算8发生的概率.用古

AB中样本点数中样本点数

典概型公式,则P(B\A)=一。中样本点数.

以中样本点数P(A6)

3.利用公式P(BUaA)=P(3]A)+P(qA)求解有些条件概率问题较为简捷，但

应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条

件而乱用这个公式.

卜随堂达标自测

I3

1.已知P(8|A)=5，尸(AB)=d，则P(A)等于()

Zo

313c31

A-16B16C-4D4

答案C

3

解析由P(AB)=尸(A)P(8|A)可得P(A)=木

2.某地区气象台统计，该地区下雨的概率为吉,刮风的概率为吉，既刮风又

下雨的概率为七，则在下雨天里，刮风的概率为()

A*R13

A-225B-2C-8U4

答案C

解析设A为下雨，8为刮风，

421

由题意知P(A)=B，P(B)=记，P(AB)=^,

I

/W)103

P(用A)==

P(A)T=8,

15

故选C.

3.抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰

子的点数之积大于20的概率是()

1

A.4B3C2D5

答案B

解析抛掷红、黄两枚骰子共有6X6=36个基本事件，其中红色骰子的点数

为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含

4X6,6X4,6X5,6X6,共4个基本事件，所求概率为;.

4.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=x0<r<|sB=

13

--

X44,则尸(B(A)等于.

答案2

1

2111

解析P(A)=T=2.'.'AC\B=%4<x<2

11

4-4-1

---

•・•/W尸而12

2-

5.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随

机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号

箱中取出红球的概率是多少？

解记事件A=“最后从2号箱中取出的是红球”，事件8="从1号箱中

取出的是红球”，

42—13+14-3

则P(3)=干=§,P(B)=1-P(B)=3,P(A|3)=干=g,P(A|B)=干=

1

y

———421111

从而尸(A)=P(AB)+P(AB)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(

B)=^yXT3+TJXTJ=—Z/

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品，则任选一件为一

级品的概率为()

A.75%B.96%C.72%D.78.125%

答案C

解析记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=l-P(A)=l-4%

=96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件

A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品知P(B|A)=75%；故

P(B)=P(AB)=P(A>P(B\A)=96%X75%=72%.

2.下列式子成立的是()

A.P(A\B)=P(B\A)

B.O<P(B|A)<1

C.P(AB)=P(AYP(B\A)

D.P(AQB\A)=P(B)

答案C

解析由「(卸4)=与哥得P(AB)=尸(B|A>P(A).

3.某种动物活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄20岁

的这种动物活到25岁的概率是()

A.0.32B.0.5C.0.4D.0.8

答案B

解析记事件A表示“该动物活到20岁”，事件B表示“该动物活到25

岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A包括事件

从而有P(AB)=P(8)=0.4,所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)

_/W)_0.4

-P(A)-0.82

4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数”，

事件8="取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=()

1121

-

-BC-D-

A.8452

答案B

解析P(A)=里卢=1,P(A3)=1J=需，

・丹/外_迪1__L

..尸㈤A)一尸⑷一中

5.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三

个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()

4211

-

-B-C-D

A.9923

答案C

解析由题意可知，n(B)=C122=12,n(i4B)=A^=6.

〃(AB)6i

P(A|B)=

〃(B)n2-

二'填空题

6.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人

相邻，则甲、丙相邻的概率是.

1

答案4-

解析设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则

所求概率为尸(凤4).由于「(即尸器1,而P(A)=^=|,。(岫=誓==，

1

…Io1

所以P(B|A)=y=4.

5

7.当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，则正好出现3个正面的概率为

答案卷

解析设A=｛至少出现两个正面｝,8=｛正好出现3个正面｝,贝(尸(酣4)=

〃(AB)_Cg_10_5

n(A)-25-6_26-l3,

8.将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件8表

示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于.

答案f

解析三颗骰子各掷一次，点数共有6X6X6=216种，事件3表示“三次都

没有出现3点”，共有5X5X5=125种，事件AB表示出现一个3点，且三个点

数都不相同共CgA§=60种，则2(8)=1一2(8)=1一芥|=累，%4?)=黑=得,

Z10ZiOZ1010

所以即b)=需=*

三'解答题

9.集合A=｛123,4,5,6｝,甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放

回)，乙后取，在甲