【中考复习】2021年九年级中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题八（解析版）

2021年九年级中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题八

一、选择题

1.(3分)(2020•哈尔滨)将抛物线y=7向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长

度，所得到的抛物线为()

A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+3

【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=/向上平移3个单位所得抛物线

的解析式为：y=/+3；

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=/+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式

为：y=(x-5)2+3；

故选：D.

2.(4分)(2020•南充)关于二次函数y=o?-4奴-5(〃W0)的三个结论：①对任意实数

m,都有川=2+m与双=2-相对应的函数值相等；②若对应的y的整数值有

4个，则一gVaW-1或iWnvg；③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且ABW6,

则4〈一,或421.其中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：•.•二次函数尸/-4办-5的对称轴为直线》=另处=2,

.,.xi—2+m与X2—2-m关于直线x—2对称，

二对任意实数m,都有处=2+“与==2-m对应的函数值相等；

故①正确；

当x=3时，y=-3a-5,当x=4时，y=-5,

若”>0时，当3WxW4时,-3a-5Vy<-5,

:当3WxW4时，对应的y的整数值有4个，

4

1Wa〈可，

若“<0时，当3<xW4时，-5Wy<-3a-5,

；当3Wx<4时，对应的y的整数值有4个，

4

一<aW-1,

故②正确;

若。>0,抛物线与x轴交于不同两点4,B,且AB<6,

.,.△>0,25a-20a-5^0,

2

.（16a+20cz>0；

.15a-520

.,.a21,

若a<0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB<6,

.'.△>0,25a-20a-5WO,

*6a2+20a>0,

*'Ua-5<0

--a<-不

综上所述：当“V-搭或时，抛物线与x轴交于不同两点A,B,且ABW6.

故选：D.

3.（4分）（2020•宁波）如图，二次函数>=/+历计<?（4>0）的图象与x轴交于A,B两点,

与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（）

B.4ac-b2>0

C.c-a>0

D.当x=-〃2-2（〃为实数）时，y》c

【解答】解：由图象开口向上，可知。>0,

与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0,

又对称轴方程为x=-l,所以一白<0,所以b>0,

.\abc>0,故A错误,:；

，一次函数y=ar2+bx+c（a>0）的图象与x轴交于A,3两点,

：.b2-4«c>0,

・・・4讹-必<0,故8错误;

••h~-2〃,

*/当x=-1时，y=a~8+cVO,

:.a-2〃+cV0,

・・・c-〃VO,故C错误；

当x=-n2-2（〃为实数）时，y—ajc+bx+c—a（.-n2-2）+bC-n~-2）—an2（n2+2）

+c,

"：a>0,“2>o,n2+2>0,

/.y=an2（M2+2）+C2C,故。正确，

故选：D.

4.（3分）（2020•滨州）对称轴为直线x=l的抛物线y=o?+bx+c（a、b、c为常数，且a

¥0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①而c<0,②信>4m,③4a+2b+c>0,（4）

3a+c>0,⑤4+bW，“（mz+匕）（加为任意实数），⑥当x<-1时，y随x的增大而增大.其

中结论正确的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：①由图象可知：a>0,c<0,

..b

♦一布-1'

:.b=-2«<0,

.\abc<09故①错误；

②•・•抛物线与x轴有两个交点，

2

h-4ac>0f

2

/.b>4ac9故②正确;

③当x=2时，y=4a+2b+c<0,故③错误；

④当x=-1时，y=a-b+c>Q,

.*.3r/+c>0,故④正确;

⑤当x=l时，y的值最小，此时，y=〃+b+c,

而当时，y=an^+hm+c9

所以a+h+c^atn2+bm+c,

故。+6・〃加2+加%即〃+力WTT?（〃〃?+力），故⑤正确，

⑥当xV-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，

故选：A.

5.（3分）（2020•娄底）二次函数》=（x-a）（x-b）-2（a<b）与x轴的两个交点的横

坐标分别为"?和〃，且相<〃，下列结论正确的是（）

A.m<a<n<bB.a<m<b<nC.m<a<b<nD.a<m<n<b

【解答】解：二次函数>=（x-a）（x-ft）与1轴交点的横坐标为a、b,将其图象往下

平移2个单位长度可得出二次函数y=（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示.

观察图象，可知：m<a<b<n.

故选：C.

6.（3分）（2020•深圳）二次函数y=a?+bx+c"WO）的顶点坐标为（-1,〃），其部分图

象如图所示.以下结论错误的是（）

A.abc>0

B.4ac-b2<0

C.3a+c>0

D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根

【解答】解：A.・・•抛物线开口向下，

：.a<Of

,/对称轴为直线戈=一白=T，

：.b=2a<0,

・・•抛物线与y轴交于正半轴，

：.c>0,

abc>0,

故A正确；

反：抛物线与x轴有两个交点，

b2-4ac>0,即4ac-b2<0,

故B正确；

C.：抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点在（-3,0）和（-2,

0）之间，

，抛物线与x轴的另一个交点在（0,0）和（1,0）之间，

***x—1时，y<0,

即a+b+c<0,

■:b=2a,

；.3a+c<0,

故C错误；

D；抛物线开口向下，顶点为（7,”），

.♦.函数有最大值小

二抛物线），=〃/+以+。与直线y=〃+l无交点，

一元二次方程4/+公+。=〃+1无实数根，

故。正确.

故选：C.

7.（4分）（2020•宜宾）函数y=a/+〃x+c（“WO）的图象与x轴交于点（2,0）,顶点坐标

为（-1,”），其中〃>0.以下结论正确的是（）

①〃儿〉0；

②函数、=公?+/>+。（a/0）在x=l和》=-2处的函数值相等；

③函数)'=履+1的图象与y=or2+Z?x+c(aWO)的函数图象总有两个不同交点;

④函数y=oA6x+c(aWO)在-3WxW3内既有最大值又有最小值.

A.①③B.①②③C.①④D.②③④

【解答】解：依照题意，画出图形如下：

•函数丫=/+公+。(aWO)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中

n>0.

c>0,对称轴为1=—/=-1,

：.b=2a<0,

：・abc>0,故①正确，

•・•对称轴为x=-1,

・・・x=l与x=-3的函数值是相等的，故②错误；

••・顶点为(-1,n)f

二.抛物线解析式为；y=a(x+1)2+/?=aj^+2ax+a+n,

ykx+

联立方程组可得：［=2\,

(y=ax"+2ax+a+n

可得ax2+(2a-k)x+a+n-1=0,

**•△—Q2a-k)~-4a(a+n_1)=F-4成+4。-4an,

・・,无法判断△是否大于0,

・..无法判断函数y=fcx+l的图象与yua^+bx+c(〃K0)的函数图象的交点个数，故③错

误；

当-3WxW3时;

当x=-l时，y有最大值为人当x=3时，y有最小值为16〃+小故④正确，

故选：C.

二、填空题

8.（3分）（2020•哈尔滨）抛物线y=3（x-1）2+8的顶点坐标为（1,8）.

【解答】解：；抛物线y=3（x-1）2+8是顶点式，

，顶点坐标是（1,8）.

故答案为：（1,8）.

9.（3分）（2020•荆州）我们约定：（a,b,c）为函数），=/+公+c的“关联数”，当其图象

与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为（，"，-m-2,

2）的函数图象与x轴有两个整交点（机为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为

（1,0）、（2,0）或（0,2）.

【解答】解：根据题意，令y=0,将关联数（ZM,-m-2,2）代入函数y=o?+法+c,

则有tw^+（--2）尤+2=0,

△=（-/»-2）2-4X2m=（/M-2）2>0,

：.m^+（.-m-2）x+2=0有两个根，

〜八_u-r,nm+2±7（-7n-2）2-8m

由求根公式可得------------------

_7n4-2±|m-2|

x=

1=巾+2嫖_2）=1,此时机为不等于0的任意数，不合题意；

X2==5^7>当，〃=1或2时符合题意；％2=2或1;

乙〃，乙I1I

X3=m+^7+2=&'当，〃=1或2时符合题意；*3=2或1；

X4=%±妥坦=1,此时，〃为不等于。的任意数，不合题意；

所以这个函数图象上整交点的坐标为（2,0）,（1,0）；

令x=0,可得y=c=2,即得这个函数图象上整交点的坐标（0,2）.

综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2,0）,（1,0）或（0,2）；

故答案为：（2,0）,（1,0）或（0,2）.

三、解答题

10.（10分）（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数产加+叙-3图象的顶点

是A,与x轴交于8,C两点，与y轴交于点。.点B的坐标是（1,0）.

（1）求4,C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.

（2）平移该二次函数的图象，使点。恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的

二次函数的表达式.

【解答】解：(1)把8(1,0)代入y—ax1+4x-3,得0=a+4-3,解得a--1,

；.y=-f+4x-3=-(x-2)2+1,

AA(2,1),

:对称轴x=l，B,C关于x=2对称，

：.C(3,0),

.,.当y>0时，1Vx<3.

(2),:D(0,-3),

.♦.点O平移的A,抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式

为y=-(%-4)2+5.

11.(12分)(2020•宜宾)如图，己知二次函数的图象顶点在原点，且点(2,1)在二次函

数的图象上，过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)尸为平面内一点，当△产〃"是等边三角形时，求点尸的坐标；

(3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点尸和点N,且与

直线y=-l相切.若存在，求出点E的坐标，并求OE的半径；若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)•••二次函数的图象顶点在原点，

故设二次函数表达式为：)，="2,将(2,1)代入上式并解得：a=l，

故二次函数表达式为：y="；

(2)将y=l代入产#并解得：x=±2,故点M、N的坐标分别为(-2,1)、(2,1),

则MN=4,

「△PMN是等边三角形，

点尸在y轴上且PM=4,

:.PF=2®

•.•点尸(0,1),

...点P的坐标为(0,1+2V3)或(0,1-2V3)；

(3)假设二次函数的图象上是否存在一点E满足条件，

设点。是FN的中点，则点。(1,1),

故点E在FN的中垂线上.

，点E是FN的中垂线与＞■=J?图象的交点，

1rl1

-4=Z4'则点E(1，4-)，

在RtAFQE中，EN=J(2-I)2+(1-1)2=

同理EF=J(1-0)2+(1-/)2=I，

点E到直线产-1的距离为I；-(-1)|=1,

故存在点£使得以点E为圆心半径为。的圆过点F,N且与直线＞=-1相切.

4

12.(14分)(2020•辽阳)如图，抛物线-2V5x+c(aWO)过点O(0,0)和A(6,

0).点B是抛物线的顶点，点。是x轴下方抛物线上的一点，连接08,OD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，当2800=30°时，求点。的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段。。于点E,点

尸是线段OB上的动点(点F不与点。和点8重合)，连接E凡将ABE尸沿EF折叠，

点B的对应点为点B,,△EF8与△08E的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一

点H，使以点E，F,G,H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标,

若不存在，请说明理由.

备用图

0)和A(6,0)代入y=a/-2恁+c中,

c=0

得到

36a-12>/3+c=0,

73

解得a=H，

c=0

抛物线的解析式为)=*/-2V3x.

(2)如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M,与0。交于点N.

'/)>=拿r2-2y/3x=孚(x-3)2-3痘,

，顶点B(3,-3%)，M(3,0),

：.OM=3.BM=3E

；♦tan/MOB==y/3,

."MOB=60°,

VZBOD=30°,

ZMON=NMOB-ZBOD=30°,

；.MN=OMram30°=V3,

：.N(3,-V3),

直线ON的解析式为y=—冬:，

由?=屋"，解得仁版广58，

b=畀_2岛ly~°…下

：.D(5,-岁).

(3)如图②-1中，当/EFG=90°时，点H在第一象限，此时G,B',。重合，由

3&h3A/3

题意0F=8凡可得尸(一，一竽)，E(3,-V3),利用平移的性质可得"(一,—).

2222

如图②-2中，当NEG尸=90°时，点”在对称轴右侧，由题意EF=BF,可得F(2,

-2V3),利用平移的性质可得4(*一等).

13.(10分)(2020•娄底)如图，抛物线经过点4(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P(机，n)是抛物线上的动点，当-3＜帆＜0时，试确定m的值，使得△抬C

的面积最大；

(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足。储.。。2=6,若存在，请求出点D

的坐标；若不存在，请说明理由.

c

【解答】解：(1)由题意可以假设抛物线的解析式为(x+3)(x-1),

把C(0,3)代入，可得〃=-1

・•・抛物线的解析式为y=-?-2x+3.

(2)设直线AC的解析式为)，=履+儿

将A(-3,0),C(0,3)代入得到13左+匕

・・・直线AC的解析式为y=x+3.

当-3<m<0时，点P(“，〃)在直线AC的上方，过点尸作x轴的垂线交4c于Q.则

P(m,-m2-2m+3),Q(m,m+3),

PQ--nr-2/714-3-(加+3)

=-m2-3m,

=-(7n+|)24-1，

•・・-3<//?<0,

当，〃=一|时，PQ的值最大，

1Q

此时S△%c=*・PQ・AO=郎Q最大，

.3

..m=-2'

(3)由A(-3,0),B(1,0),C(0,3),可得AB=4,OB=\,OC=3,

NC4O=45°,

：.BA2-8。2=6,

连接BC,过点8作AC的垂线交抛物线于。，交AC于H.

则N4HB=90°,ZDBA=ZCAO=45°,

.,.DA2-DC2=HA2-HC2^AB2-BC2=6,

'：ZCAO^^DBA,

：.BD,AC关于43的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x=-1对称，

.•.点D与点C关于抛物线的对称轴x=-1对称，

VC(0,3),

二点。的坐标为(-2,3).

方法二：设。点的坐标为(小-n2-2n+3),然后用两点间的距离公式表示D4和。C,

最后会得到关于〃的一元二次方程，最后解的"=1和-2,由题意可知，1不符合舍弃最

后得至ljn--2,所以D的坐标就是(-2,3).

图1

14.(12分)(2020•鄂尔多斯)如图1,抛物线y=/+bx+c交x轴于A,B两点，其中点A

的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点。为y轴上一点，如果直线2。与直线BC的夹角为15°,求线段C。的长度;

(3)如图2,连接4C,点P在抛物线上，且满足/出8=2乙4(70,求点P的坐标.

【解答】解：⑴：抛物线)，=f+fer+c交无轴于点A(1,0),与)，轴交于点C(0,-3),

・(0=1+b+c

,1c=—3

解得：F=2,

lc=-3

，抛物线解析式为：y=x2+2x-3；

(2)•.•抛物线y=7+2x-3与x轴交于A,5两点，

.•.点8(-3,0),

:点8(-3,0),点C(0,-3),

，OB=OC=3,

；.NOBC=NOC8=45°,

如图1,当点。在点C上方时，

.,.ZOBD=30°,

•*/八0D总

••tanNDBO=-^-Q=,

OD=亭x3=V3,

.\CD=3-V3；

若点。在点C下方时，

VZ£)fiC=15°,

：.ZOBD=60°,

；.tan/£>80=器=V5,

：.0D=3同

：.DC=3^3-3,

综上所述：线段C£>的长度为3-百或3返-3；

(3)如图2,在B0上截取OE=OA,连接CE,过点E作EFJ_4C,

;点A(1,0),点C(0,-3),

：.OA=l,OC=3,

：.AC=>/OA2+OC2=Vl+9=V10,

\"OE=OA,ZCOE=ZCOA=90°,OC=OC,

：.^OCE^/\OCA(SAS),

AZACO^ZECO,CE=AC=V10,

：.ZECA=2ZACO,

：NB4B=2NACO,

J.ZPAB^ZECA,

11

•；SAAEC=^AEXOC=^ACXEF,

4J10

~5~f

AtanZECA=^=1,

如图2,当点P在A3的下方时，设AP与y轴交于点M

9

：ZPAB=ZECAf

/.tanZECA=tanZPAB=器=

3

：.ON*

・,•点N(0,一小，

又•・,点A(1,0),

直线AP解析式为：y=lx-l，

联立方程组得：y=4*-4,

y=x2+2x—3

解得北:小(二_二_93

・••点P坐标为：(―X,一相)，

当点P在A8的上方时，同理可求直线AP解析式为：

__33

联立方程组得：y一一4“+4,

v=x2+2%-3

15

解得：或「2二4,

y】［y2=相

二点户坐标为：(—学，一),

939

/

综上所述：点尸的坐标为(-苧,-----

416X

15.(12分)(2020•南充)已知二次函数图象过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4).

(1)求二次函数的解析式.

(2)如图，当点P为AC的中点时.，在线段PB上是否存在点M,使得NBMC=90°?

若存在，求出点例的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)点K在抛物线上，点。为A8的中点，直线KD与宜线BC的夹角为锐角。，且tanO=

|,求点K的坐标.

【解答】解：(1)二•二次函数图象过点B(4,0),点A(-2,0),

.•.设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4),

•.,二次函数图象过点C(0,4),

,4=。(0+2)(0-4),

二次函数的解析式为y=(x+2)(x-4)=-#+x+4；

(2)存在,

理由如下：如图1,取BC中点Q,连接MQ,

；点4(-2,0),B(4,0),C(0,4),点P是AC中点，点。是BC中点,

：.P(-1,2),点0(2,2),BC=7(4-0)2+(0-4)2=4>/2,

设直线8尸解析式为：y=kx+h,

(2=-k+b

由题意可得:to=4/c+h

...直线BP的解析式为:产-1x+|,

VZBMC=90°

...点M在以BC为直径的圆上，

设点M(c,

•:点。是RlZxBCM的中点，

：.MQ=加=2&，

・・・MQ2=8,

**•(c-2)2+(一看。+卷-2)2=8,

c=4或-

当c=4时，点3,点M重合，即c=4,不合题意舍去，

749456

，c=-再，则点M坐标(-29，—),

7456

故线段PB上存在点M(-含，—使得NBMC=90°；

(3)如图2,过点。作QELBC于点E,设直线OK与BC交于点N,

；点4(-2,0),B(4,0),C(0,4),点。是AB中点,

点。(1,0),O8=OC=4,AB=6,BD=3,

：.ZOBC^45°,

"：DELBC,

:.NEDB=NEBD=45°,

.八右BD3&

••DE=BDEC=下=T，

•；点B(4,0),C(0,4),

直线BC解析式为：y=-x+4,

设点E（〃，-〃+4）,

・，・-〃+4=

._5

.•/2-2,

53

・••点E（-,

22

在RtZXCNE中，亚=5=誉=而，

百

①若。K与射线EC交于点N（机，4-/n）,

•;NE=BN-BE,

戊

.9Hz4x3/2

102

812

・••点N（-,—）,

・・・直线0K解析式为：y=4x-4,

y=4x—4

厂

（y=-y1X2/,+%+4

解得：『1U或『2=一'

（

yi=4ly2=-36

・••点K坐标为（2,4）或（-8,-36）；

②若。K与射线£3交于N（加，4-加），

■:NE=BE-BN,

9^23y/2r-

:.-----=-------72（4-〃?）,

102

・17

・・加=-g-,

173

・••点N（―,-）

5

直线力K解析式为：尸%-上，

r11

X

联立方程组可得:y=4-4

i

y=—TTXz94-%4-4

\z

3+/145f3-V145

3=—―4=-,

,---或（

-1+V145_-l-vUS）

3=16U4=-16-

3+V145-1+71453-V145-1-V145

・••点K坐标为()或(,)♦

416416

3+V145-1+V145~3-7145

综上所述：点K的坐标为(2,4)或(-8,-36)或()或(丁

416

-1—V145

16

16.(14分)(2020•滨州)如图，抛物线的顶点为A(〃，-1),与y轴交于点3(0,-1),

点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)已知直线/是过点C(0,-3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点产

(m,n)到直线/的距离为人求证：PF=d；

(3)已知坐标平面内的点。(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△。尸。的周长最小，

并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标.

【解答】(1)解：由题意抛物线的顶点A(2,-1),可以假设抛物线的解析式为y=a

(x-2)~-I,

•••抛物线经过B(0,-1),

=4〃-1,

._祥1

.♦.抛物线的解析式为产*(x-2)2-1.

(2)证明:VPCm,〃)，

n—g-2)2-1=4，

1)11

:・P(m,~7〃—一不加一方),

822

.,1211/Q\_l21.5

VF(2,1),

2

•••PF=J(m-2)2+(lm-1m-1-l)2=+Zm2_|m+

・.j21413,72525n刘1413,72525

"d-=祈机-铲r+8W-2/M+彳'PF-=福，〃-gW+铲!~一不什彳，

：.d1=PF1,

：.PF=d.

(3)如图，过点。作直线/于”，过点。作。N_L直线/于N.

XDFQ的周长=£>F+DQ+F。，DF是定值=V22+22=2在，

...OQ+QF的值最小时，△OFQ的周长最小，

'：QF=QH,

：.DQ+DF=DQ+QH,

根据垂线段最短可知，当D，Q,”共线时，3Q+Q”的值最小，此时点”与N重合,

点。在线段£W上，

.♦.OQ+Q，的最小值为3,

...△QFQ的周长的最小值为2在+3,此时。(4,-1)

17.(2020•潍坊)如图，抛物线y=o?+6x+8(a¥0)与x轴交于点A(-2,0)和点B(8,

0),与y轴交于点C,顶点为。，连接AC,BC,8c与抛物线的对称轴/交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接P8,PC,当SAPBC=|&ABC时，求点尸

的坐标；

(3)点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M,使得以点M,

ME为顶点的三角形与△O8C相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1);抛物线(a#0)过点A(-2,0)和点B(8,0),

8

一汽二解得卜=一全

M1l64a+8b+8：=°0n1lb=3

抛物线解析式为：y=—：/+3x+8；

(2)当x=0时，y=8,

：.C(0,8),

直线8c解析式为：y=-x+8,

'：S“ABC=.°C=/x1°X8=4°，

:・S〉PBC—5S^ABC=24,

过点P作尸G_Lr轴，交x轴于点G,交BC于点、F,

设P(t,-*产+3%+8),

：.F(z,-z+8),

1、

**•PF=-t+43

1

:♦S，BC=3PF,OB=24,

l12

o即n5x(—5t+4t)x8=24,

/.n=2,t2=6,

：.P\(2,12),P2(6,8)；

(3)VC(0,8),B(8,0),NCOB=90°,

：./\OBC为等腰直角三角形，

抛物线y=-1x2+3x+8的对称轴为x==3,

.•.点E的横坐标为3,

又；点E在直线BC上,

・••点E的纵坐标为5,

：.E(3,5),

设M(3,m),N(n,—^n24-3n+8),

①当MN=EM,/EMN=9C,

m—5=n—3

-p3n8=m

{++

解喘雪喘与2(舍去)，

此时点例的坐标为(3,8),

②当ME=EN,当NMEN=90°时,

m—5=n—3

则5,解得:（舍去）,

-+3n+8=

③当MN=EN,NMNE=90°时,

连接CM,故当N为C关于对称轴/的对称点时，△MNE〜/XCOB,

此时四边形CMNE为正方形,

：.CM=CE,

VC(0,8),E(3,5),M(3,m),

：.CM=J32+(771-8)2,CE=J32+(5-8)2=3V2,

.•.J32+(m-8)2=3V2,

解得：，“1=11,M/2=5(舍去)，

此时点例的坐标为(3,11)；

故在射线E力上存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△08C相似，点M的

坐标为：(3,8),(3,5+6)或(3,II).

18.(9分)(2020•深圳)如图1,抛物线？=/+法+3(a#0)与x轴的交点A(-3,0)

和8(1,0),与y轴交于点C,顶点为£>.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接AO,DC,CB,将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到

△ObC,点0、B、C的对应点分别为点。、C,设平移时间为♦秒，当点0'与点A

重合时停止移动.记△O'B'C与四边形AOC。重合部分的面积为S,请直接写出S与/之

间的函数关系式；

(3)如图2,过该抛物线上任意一点M(〃?，〃)向直线/：)=/乍垂线，垂足为E,试

问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得ME-J?若存在，请求出F的坐标；

・•・{9仁士清,解得{广

la+b+3=0S=-2

•••抛物线的解析式为y=〃+3；

（2）①0VV1时，如图1,若8c与y轴交于点R

：.OF=3OB'=3-33

112

：.S=2X(CO'+OF)XOO'=x(3+3-3/)Xr=-|t2+3^,

②lW/v|时，S=|；

③|士W3时，如图2,CO'与AO交于点Q,B'C与AQ交于点P,过点尸作PH

_LC'O'于凡

：.AO'=3-t,O，Q=6-2f,

：.CQ=2t-3f

•:QH=2PH,CH=3PH,

1I

：.PH=^CQ=^⑵-3),

311

S=2—a(2t—3)x耳(2，-3),

・・・5=一|/+表+|,

—2t2+3t(0VtVI)

综合以上可得：S=J|(l<t<|)

、一，廿+趾+|(|工£43)

__________________Q

(3)令/(-1,f),则MF=+I]+(n—t)2,ME=^-n,

1

*：ME-MF=^

q

：.MF=ME-^,

：.(m+I)2+(n-t)2=(芋一n)2,

.".m^+lm+l+t2-2nt=—

Llo

•：R=-ATI2-2/71+3,

•*.(1+2n—^^)TH2+(2+4〃-17)1+P-6/+=0.

当u苧时，上式对于任意加恒成立，

一―15

.♦.存在F(-1,—).

4

19.(14分)(2020•泰州)如图，二次函数yi=a(x-m)2+n,*=6〃/+〃(a<0,m>0,

n>0)的图象分别为Ci、Ci,。交y轴于点P,点A在。上，且位于y轴右侧，直线

以与C2在y轴左侧的交点为艮

（备用图）

（1）若尸点的坐标为（0,2）,G的顶点坐标为（2,4）,求。的值;

（2）设直线力与y轴所夹的角为a.

①当a=45°,且A为Ci的顶点时，求a/n的值;

②若a=90°,试说明：当。、机、〃各自取不同的值时，而的值不变;

(3)若布=2PR试判断点A是否为。的顶点？请说明理由.

【解答】解：(1)由题意加=2,〃=4,

(x-2)2+4,

把(0,2)代入得到”=一支

(2)①如图1中，过点4作AN_Lx轴于M过点尸作PM_L4N于

②如图2中，由题意AB_Ly中,

,:P(0,am2+n),

当y=〃〃，+〃时，an^+n=6aj?+n,

V6

解得

6

:.B(一洛加，an^+n),

..PB=石m，

,.・AP=2m,

PA2m「

­=-fr~=2V6.

PB当m

6

(3)如图3中，过点A作A〃_Lx轴于从过点尸作PKJ_4〃于K,过点B作8E_LKP

设3(〃，6ah2+n),

VB4=2PB,

2

AA[-2b9a(-26-m)+n],

•:BE"AK,

.BEPB1

AK~PA~2

：.AK=2BE,

:・a(--m)2+〃-am-n=2(.anr+n-6。廿-〃)，

整理得：m2-2bm-8b2=0,

:.(m-4b)(m+2b)=0,

V/n-4*>0,

m+2b=0,

-2b,

1•A(m,〃)，

.,.点A是抛物线Ci的顶点.

20.(12分)(2020•荆州)如图1,在平面直角坐标系