几何体的截面10种归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题6几何体的截面10种归类

目录

【题型一】棱柱截面形状.........................................................................1

【题型二】棱锥截面..............................................................................3

【题型三】棱台截面..............................................................................5

【题型四】球截面................................................................................6

【题型五】球截面计算基本型......................................................................7

【题型六】球内两平行面..........................................................................9

【题型七】棱锥截面周长与面积计算..............................................................10

【题型八】柱体截面周长计算（难点）.............................................................13

【题型九】柱体截面面积计算（难点）.............................................................15

【题型十】几何体表面截球面型（难点）...........................................................17

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................20

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................24

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................28

热点题型归纳

【题型一】棱柱截面形状

【典例分析】

用平面截正方体，截面不可能是（）

A.菱形B.等腰梯形

C.正五边形D.正六边形

【答案】C

【分析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边

形的性质相矛盾，即可判断C项.

【详解】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，

故A项正确；

图1

对于B项，如图1,当=时，有EFHBD,且5。力EF,此时截面为等腰梯形，故B

项正确：

对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两

平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，

但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误；

时于D项，如图2,E,F,G,”,./,K分别为各边的中心，易证E,£G,",J,K共面，且EFG”/K为正六边形,

故D项正确.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

1有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时.，不在这两个面上的棱

都互相平行，把这样的多面体叫做棱柱；那一对互相平行的面称为棱柱的底面一，其余的面则称为棱

柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高.

【变式训练】

1..用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

【答案】D

【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.

如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，

因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形,

不可能为七边形，

故选:D.

2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面（）

A.一定通过正方体的中心B.一定通过正方体一个表面的中心

C.一定通过正方体的一个顶点D.一定构成正多边形

【答案】A

【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案.

【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平

面，不管哪种截面都过正方体的中心.

故选：A3.

3.在正方体ABCO-AMGR中，点。是棱。口上的动点，则过4,Q,瓦三点的截面图形是（）

A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】由点。是棱。鼻上的动点，可考虑。分别在DR的端点以及中点，故可得过A、。、与三方的截

面图形的形状.

【详解】所以当点。与A重合时，过A、Q、坊三点的截面是等边三角形4片。；

当点。与。用合H寸，过A、Q、坊三点的截面是矩形A8C。；

当点。与。乌的中点重合时，取GR的中点M,由于QM//OG,阴//OG,所以QM//明,乂AQ=MB］，故

过A、Q、用三点的截面是等腰梯形A4MQ,如图所示：

所以过A,Q,q二点的截面图形是可能是等边;角形、矩形或等腰梯形.

故选：D

【题型二】棱锥截面

【典例分析】

一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器

中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作-截面将正四面体截成体积相

等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案.

【详解】解：根据己知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体

积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：

观察可知截面不可能出现直角三角形.

故选：C

【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础

知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题.解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力.

【提分秘籍】

基本规律

有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥，其

中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面」不在底面上的棱称为棱

锥的侧冷一，所有侧棱的公共点称为棱锥的定点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高一

【变式训练】

1.已知正三棱锥P-ABC底面面积S，BC=6,点。在高P。上且2PQ=QO,则经过点。且平行于底面的截面

面积为.

【答案】I

【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解.

【详解】由题意知，所求截面是等边三角形，且与点尸构成一个小的正三棱锥，

因为2PQ=QO.即尸0=

所以该小的正三棱锥与正三棱锥P-ABC的相似比为(，

I，所以所求截面的面积S=^S4BC=|

故答案为：42

2.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2,则此棱锥的高被分成的上、下两段之

比为

A.1:2B.1:4

C.1:(>/2-1)D.1:(3-20)

【答案】C

【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可.

【详解】因为截面面积与底面面积之比为1:2,且面积是平方的关系，故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比

为1:&.

故小棱锥与大棱锥的高比值也为1:血,故此棱锥的高被分成的上、下两段之比为1：(V2-1).

故选：C

3.过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之

比是().

A.1:2:3B.1：&：6C.1:4:9D.1:3:5

［答案］C

【4析】考虑三棱锥的情况，根据相似得到相似比为1:2:3,面积比为1:4:9,再考虑〃棱锥的情况得到答

案.

【详解】如图所示：当棱锥为-:棱锥时，易知APDLAPE7△PFC,相似比为1:2:3,

贝|JPL:P/:PC=1:2:3,

易知/\PKL/\PHI/XPBC,KL;Hr.BC=1：2;3,

同理〃：G/:AC=1:2:3,JK:GH:AB=\:2:3,故△/△△G”/AABC,

相似比为1:2:3,故面积比为24:9,

当棱锥为加棱锥，〃24时，可以看成是多个三棱锥的组合体，面积比不改变.

综上所述：两个截面与底面的面积之比是1:4:9.

故选：C.

【题型三】棱台截面

【典例分析】

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1:4,已知截去的棱锥的顶点到其

底面的距离为3,则棱台的上、下底面的距离为（）

A.12B.9C.6D.3

［答案］D

【2■析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似

比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高.

【详解】：截去小棱锥的高为3,设大棱锥的高为/?,

根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，

则3?：犷=1：4,A=6.

.••棱台的高是6-3=3,即棱台的上、下底面的距离为3.

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台，其中，由正

棱锥截得的棱台称为正棱台

【变式训练】

1.如图所示，三棱台A8C-ABG中，沿面A8C截去三棱锥A|-A8C,则剩余部分是

A.三棱锥B.四棱锥C.三棱台D.四棱台

【答案】B

【分析】根据棱锥的定义和空间结合体的结构特征，即可求解，得到答案.

【详解】由题意知，三棱台ABC-A瓦G中，沿面A5C截去三棱锥A-ABC,

则剩余部分是四棱锥A-8B|GC,故选B.

2..如果棱台的两底面积分别是S,S',中截面的面积是So,那么

A.2-JSo—y［s+B.So—\lS'S

C.2So=S+S,D.So=2SS

【答案】A

【分析】棱台不妨看做三棱台，利用相似的性质，面积之比是相似比的平方，化简即可.

【详解】不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r,上部三棱锥的高为a,

根据相似比的性质可得:消去r,可得2庖=+故选A.

3.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）

【答案】B

【彳析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果.

【详解】设棱台的高为力与截得它的棱锥的高”，作出草图，如下图所示：

由相似关系可得，需%,所以需=^=含，则/7-/??_4

（7CD下H)~9

即h一上？［=£可得4=1_］=上故选：B.

［H9H33

【题型四】球截面

【典例分析】

一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（）

［答案］C

【3•析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面.

【详解】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为。.

E,F,G,H是棱8c,86,4〃,4。的中点，过E,产,G,"的截面图像为B选项对应的图像.

过8。。内的截面图像为D选项对应的图像.

设是棱网,CG'DR'M靠近B,C,q，A的三等分点，过的截面图像为A选项对应的图像.

故C选项的图像不可能.

故选c.

【提分秘籍】

基本规律

如图，将圆心为。的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球0.

半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面一

9

点。到球面上任意一点的距离都相等，点。叫做球心，原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径.

【变式训练】

1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥

C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体

［答案］C

【4■析】由球体截面的性质，即可确定正确选项.

【详解】各个截面都是圆，几何体中只有球体的任意截面都是圆，

这个几何体一定是球体，

故选：C.

2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（）

A.圆锥、圆柱B.圆柱、球体C.圆锥、球体D.圆柱、圆锥、球体

［答案］D

【4析】由圆锥，圆柱，球体的几何特征判断即可.

【详解】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是圆锥，也可能是

圆柱，也可能是球体，

故选：D.

【题型五】球截面计算基本型

【典例分析】

一平面截一球得到半径为近的圆面，球心到这个平面的距离为3,则该球的体积为（）

【答案】A

【分析】根据球半径，球心距与底面圆半径构成直角三角形求解.

【详解】画图为：

从图像得半径00=近。又因为球心到这个平面的距离为3,即oq=3。所以球半径。4=也吐西不=4

所以该球的体积沏等小等故迄A

【提分秘籍】

基本规律

1.球心与截面圆圆心的连线垂宜于截面

2.截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理

【变式训练】

1.过半径为2的球。表面上一点A作球0的截面，若0A与该截面所成的角是60。，则该截面的面积是

A.乃B.2万C.3万D.2岛

【答案】A

【分析】利用球的半径OA、球心与截面圆心的连线、OA在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可.

【详解】因为OA与该截面所成的角是60。，

所以截面圆的半径厂=；。4=1,

故截面的面积S=兀r=n.故选A

2.过半径为2的球。表面上一点A作球O的截面，若04与该截面所成的角是30,则截面的面积是（）

A.乃B.2万C.3万D.2&

【答案】C

【分析】根据械面半径与球半径，球心到截面的距离，构成的直角三角形，解出械面半径，即可求出答案.

【详解】如图所示：AB为截面半径，|。4|=2,ZOAB=30°，则=截面积=乃（石尸=3万

故选c

3.已知平面a截一球面得圆M,球中过小圆心M的直径为A8,过点M且与A8成30。角的平面尸截该球面

得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4万，则圆N的面积为（）

A.7万B.9兀C.1\7iD.137

［答案］D

【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出0M的长，找出线面角，从而求出ON的长，最后利

用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积.

【详解】：圆M的面积为4万，.•.圆M的半径为2,根据勾股定理可知。仞=9二？=26，

:过点M且与A3成30。角的平面£截该球面得圆N,30。，

在直角三角形中，QV=2j5*g=百，二圆N的半径为西二=而，

...圆N面积为：13九故选D

R

【题型六】球内两平行面

【典例分析】

两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9万和16万，则这两个平面间的距离是（）

A.IB.3C.4D.1或7

【答案】D

【分析】对两个平行平面在球心的同侧和两侧两种情况讨论，计算出球心到两截面的距离，进而可求得两

平面间的距离.

【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，

则CD=OC-O£>=A/F下■一后二^=4-3=1；如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧,

则8=。。+。。=>/52-32+J52-42=4+3=7•故选:D.

【变式训练】

1.两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为257和144万，则这两个平面间的距离是（）

A.7B.17

C.5或12D.7或17

【答案】D

【分析】根据球的半径和两个截面圆的面积求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的位置分别求出

两个平行平面间的距离.

【详解】解：球的半径为R=13,设两个截面圆的半径别为彳，4,球心到截面的距离分别为4，d2.

球的半径为R,由孙2=25〃，得斗=5：由；r1=144;r,得£=12；

如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，

这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差;

22222222

即d2-dt=^-/；-7-R-^=A/13-5-V13-12=12-5=7;

如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，

这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和.

即4+4=《N-r；+=V132-52+7132-122=12+5=17;

所以这两个平面间的距离为7或17.故选：D

2.已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2夜.若球心到这两个

平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）

D.10

【答案】B

【分析】设两圆的圆心分别为O/、02,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,则OO/EO2为正方形，可以

从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案.

【详解】解：如下图所示，

设两圆的圆心为O/、02,球心为。，公共弦为AB,中点为E,因为圆心到这两个平面的距离相等,

则。。为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为广，|0«|=’16_.,|OE|=j32-2/,

又|OE|2+|A£|2=QA|2,gp32-2^+2=16,则八=9,r=3,所以，这两个圆的半径之和为6,

故选8.

【题型七】棱锥截面周长与面积计算

【典例分析】

已知四棱锥S-ABC。中，SAL平面ABC。，四边形ABC。为正方形，SA=AB=6,平面a过SB,CD,SD

的中点，则平面a截四棱锥S-ABCD所得的截面面积为（）

2776

C.9展D.1276

【答案】A

【分析】顺次连接E，F,G,H,I,则平面EFG"/即为过E,F,，的平面a截四棱锥P-A8CO所得截面,

求其面积，可得答案.

【详解】分别取SB,BC,CD,S£>的中点E,F,G,H,线段SA上靠近S的四等分点/,

连接EI,EF,FG,GH,HI,

因为EF//SC,EF=LSC,HG//SC,HG=-SC,

22

所以EF//HG,EF="G,四边形EFGH是平行四边形，即E,F,G,H四点共面，

位SA中悬为N,易得HFIIBN,EHIBN,故HF/IE1,所以E,F,G,H,/五点共面，

则平面EFGH1即为平面a,如图，

在RtS4C中，SA=6,AC=60,可得sc=JAC?+%2=后+2x6?=66

所以EF=HG=3>/5,FG=3A/2./E=//7=l^y.^+AB2=^32+62=^-»

在等腰三角形中，EH=FG=36,/£=///=—.所以高为随，

22

故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，S=30x3g+gx3&x|6=?".

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

棱锥截面如果平行底面，则满足以下关系：

高为一维的量，面积为二维的量，体积为三维的量，故若立体图形的相似比为1：。，则高的比为

各面积的比为1：〃，体积比为I：,

【变式训练】

1.如图，棱锥P—A38的高PO=3,截面AEC'D平行于底面ABC£>,P。与截面交于点O',且00=2.

若四边形A8CD的面积为36,则四边形AB'C'D的面积为（）

A.12B.16C.4D.8

【答案】C

【解析】根据高的比可得四边形ABCD与四边形A'5'S相似比，结合与面积比的关系即可得解.

【详解】由题意可知，四边形ABCO与四边形A'B'C'D'相似，

则四边形ABCD与四边形AB'C'iy的相似比为3:1

根据相似比与面积比关系可得四边形A'8'C'D的面积为36x(gj=4.

故选:C

2.如图，已知三棱锥V-ABC,点尸是您的中点，iLAC=2,VB=4,过点P作一个截面，使截面平行于

和AC,则截面的周长为.

【答案】6

【解析】设48、BC、VC的中点分别为。、E、F,连接£>E、EF、PF、PD,则可证明截面EFPC就是所求

平面，根据中位线的性质，即可求得答案.

【详解】设A8、BC、VC的中点分别为。、E、F,连接OE、EF,PF、PD,如图所示

因为。、E分别为48、8c的中点，所以。EAC,同理尸、。分别为南、AB

的中点，所以VB,DE,DPu平面EFPD,VB,4。a平面£'尸2£>,所以Y8P平面EFPC,ACy平面

EFPD,

所以截面EFPO就是所求平面，因为AC=2,VB=4,所以DE=^F=1.PD=FE=2,

所以截面EF尸。的周长为2+2+1+1=6,故答案为：6

2.已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为.

【答案】§/##

1616

【分析】根据面积比等于相似比的平方求解即可.

【详解】因为三棱锥的底面是边长为，的等边三角形，所以三棱锥底面积为光,

S=5.所以5=立层故答案为：$2

设过各侧棱中点的截面的面积为S,则的一

1616

3..如图，正四棱锥S-AB8的所有棱长都等于。，过不相邻的两条棱SA,SC作截面SAC,则截面的面积为

3,

A.-a2B.a2

2

【答案】C

【分析】由题意首先求得截面三角形的边长，然后求解其面积即可.

【详解】根据正棱锥的性质，底面48co是正方形，，4C=夜”.在等腰三角形SAC中，SA=SC="，又

AC=y/2a,

：.ZASC=90°,即SzSAC=.本题选择c选项.

【题型八】柱体截面周长计算（难点）

【典例分析】

在正方体ABC。-AB'C'D中，AB=4,E为棱BC的四等分点（靠近点8）,尸为棱A77的四等分点（靠

近点H）,过点C,E,尸作该正方体的截面，则该截面的周长是（）

K902508025„8&40「4a40

42323333

［答案］C

【4析】根据正方体的特征，作出过点C',E,尸的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案.

【详解】设G为AB的三等分点，靠近8点，连接GE,并延长交D4延长线于P,

设”为AA的三等分点，靠近4点，连接并延长交ZM延长线于Q,

48

由于8E=1,GB=I，AG=3,故4尸=2,

同理求得AQ=2,故P,Q两点重合，则PG=2GE=2jl2+($2=?，故PE=PG+GE=¥+g=5,

而

尸C==5，故PE=FC',同理可得PF=EC',即四边形PECF为平行四边形，

连接用，则五边形G”FC'E即为过点C,E,尸所作的正方体的截面，由题意可知

C'F=C'E=5,GE=FH=-,HG=J（-）2+（-）2=—故该截面的周长是5+5+工+3+述=竺+辿，故

3V33333333

选：C

【提分秘籍】

基本规律

棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两

个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置.

【变式训练】

1.已知正四棱柱ABCD-A&CQ中，2AAi=348=12,点M是线段8月的中点，点N是线段上靠近£>

的三等分点，若正四棱柱4BCC-A4GR被过点A，M,N的平面所截，则所得截面的周长为（）

A.1（）+8夜B.10+7及C.9+8夜D.9+70

【答案】B

【分析】先证明截面四边形AMQN为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解.

【详解】解：作出图形如图所示.

延长GC至Q,使得CO=1,连接MQ,NQ,则截面四边形为平行四边形;

记MQ与BC交于点R,可。与。。交于点尸，则4%=4&，AM=5,MR=招+3?=3夜,

种千+宵*，哈卜+（沪\,故所得截面的周长为

4加+〃/?+秋+取+4汽=5+3陵+^+岑+4应=10+70.故选：B.

2.在正方体川?。-4362,中，M,N分别为正方形外。。和AAGR的中心，AB=3,则平面CMN截

正方体所得截面的周长是（）

c.VToD.4710

【答案】D

【分析】延长CM,qA交于点尸，连接PN并延长，分别交AA，B£于E,F,连接CP,连接并

延长，交4。于点G,连接CG,得到四边形CGEF为所求截面，进而求得截面的周长，得到答案.

【详解】如图所示，延长CM,BA交于点P,连接PN并延长，分别交A"，B©于E,F,连接CF,

连接00并延长，交AO丁点G,连接CG,则四边形CGEF为所求截面，因为M是正方形例。。的中心，

所以ME=LEG,

2

由题意易证四边形CGEF为菱形，所以£G〃C尸，EG=CF,所以ME//CF,ME=gb,则E为尸尸的中

点，则4建=£尸=1,从而=故所求截面的周长为4M.故选：D.

3.已知正方体A3CQ-A与CQ的棱长为1,点瓦户分别为4。1，明的中点，则过点G，E，尸的截面的周长为

（）

A.逐+］夜B.V5+V2C.75+—+1D.员逐+3

222

［答案］A

【3析】利用线面平行的判定和性质作两面交线，由此能求出结果.

【详解】由£F〃B。，知过点G，E,尸的截面为等腰梯形8FEG♦.•正方体的棱长为1,.•.截面周长为：

【题型九】柱体截面面积计算（难点）

【典例分析】

如图，已知正方体4BCD-ABGA的棱长为2,点尸是线段C片的中点，平面a经过点AP，G，则正方体

ABCO-ABCQI被平面。截得的截面面积为（）

【分析】根据题意作出截面图，结合几何关系即可求得其面积.

【详解】根据题意，作出正方体被平面a所截得到的截面为四边形ARGB,如下所示:

根据正方体的几何特点，显然四边形4RG8为矩形,且RG=2,4"=20,故其

面积S=RG*AR=4及.故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

作截面的常用三种方法：

（1）直接法：截面的定点在几何体的棱上；

（2）平行线法；截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;

（3）延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

【变式训练】

1.已知正方体A8CO-ABCA,棱长为2,E为棱8片的中点，则经过A，D,E三点的正方体的截面面积

为（）

A.1B.3&C.亭D.y

【答案】A

【分析】先作出经过A，D,E三点的正方体的截面，再利用梯形面积公式即可求得该截面面枳.

【详解】正方体ABCO-ABCQ中，〃平面C6BG，则平面ADE与平面CBBC的唯一交线与平

行.

取BC中点F,连接M、DF、AE、AtD,则四边形4QFE即为经过4,D,E:：点的正方体的截面

A

2.如图，已知正方体ABC。-4耳6。的棱长为2,点P是线段CB,的中点，平面a经过点A,P,C,,则正

方体ABC。-A4GR被平面。截得的截面面积为（）

A.272B.4&C.4D.V2

【答案】B

【分析】先判断出平面AQGB即为正方体ABC。-480#被平面a截得的截面，再求面积即可.

连接AD|,BC「山点尸是线段CB,的中点，可得BG经过点p,又AB、RG，AB=DG，则四边形ADgB为

平行四边形，乂点A,P，Gu面世QB,则平面ARGB即为正方体ABC。-A4G。被平面a截得的截面，

又5G=20,AB，BG，则截面面积为20x2=4近.故选：B.

3.在正方体A8CD-4耳RA中，AB=2,E为棱8局的中点，则平面AEQ截正方体ABCO-A4GR的截面

面积为（）

579

A.—B.-C.4D・—

222

【答案】D

【分析】先作出平面AER截正方体AB8-AMGA的截面，再求出截面的高，山梯形面积公式得出截面面

积.

【详解】取BC的中点为例，连接E/W,MD,,则EM〃2G，且EM=3B£,则EM〃.又正方体中，

AB=2,所以MD、=AE=序币=下,BG=AD、=26,因此EA/=JBG=>/L所以平面AER截正方

体ABCO-A4GA所的截面为等腰梯形EM.A,因此该等腰梯形的高为

h==呼，所以该截面的面积为S=；（AR+EM）•力=：故选：

【题型十】几何体表面截球面型（难点）

【典例分析】

已知球。内切于正方体4BCD-A8CR,p,Q,M,N分别是4G，G2，s,8c的中点，则该正方体及其

内切球被平面MNPQ所截得的截面面积之比为（）

A.4夜：兀B.2立：兀C.30:兀D.4:兀

［答案］A

【4•析】根据题意易知正方体的内切球球心为正方体的体对角线中点，直径为正方体的棱长，球心到平面

MNPQ的距离为底面对角线长的四分之一，从而可得内切球被平面MNPQ所截得的截面小圆的半径，从而

可得所求比值.

【详解】解：如图，易知正方体ABCO-AAGA的内切球的球心。为。产的中点，

设球0切上下底面中心于点E,F,则球O的半径R=f，

又易知球心0到平面MN尸Q的距离等于E到平面例NPQ的距离,

设EG交QP于点G,则易证EG,平面MNPQ,

球心O到平面MNPQ的距离d=EG=-EQ,

设正方体ABC。-ABCQ的棱长为2&，

则R=，EF=&,d=EG=-EC.=1,

22

二球O被平面MN尸。所截的小圆半径r=叱才=^^二i=l，

...球。被平面MN?。所截的小圆面积为兀产=兀，

又易知MW=2,PN=2应，

：.该正方体被平面MNPQ所截得的截面面积为2x0=4夜，

/.该正方体及其内切球被平面MNP。所截得的截面面积之比为4立:兀,

故选：A

【变式训练】

1.如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCD-MCQ的内切球，则平面4CR截球。的截面面积为（）

警B/C屋D.与

AB

【答案】C

【分析】画出平面AC。截球。的截面的平面图，由正方体棱长和锐角三角函数，可求出内切圆的半径，

进而可求得截面面积.

（详解】平面ACR截球。的截面为△ACD,的内切圆,

AC=CZ)[=AD]=拒..•.内切圆半径r=tan30••.截面面积为：S=nr1~^'~=~'

1132666

故选：C.

2.在正四棱锥P-ABC。中，AB=4,PA=2#,则平面截四棱锥P-ABCD外接球的截面面积是（）

A6也兀口36万C”

A.-------B.-----C.127rD.36万

55

［答案］B

【1析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的

面积.

【详解】如图，作尸。，平面ABCD，垂足为。'，则。'是正方形ABCD外接圆的圆心，从而正四棱锥

P-他8外接球的球心0在PO'上，

取棱AB的中点E,连接OROE,ORPE,作O〃J_PE,垂足为由题中数据可得

O'D=2V2,0'E=2,PE=2A/5,0'P=4,设四棱锥P-ABC。外接球的半径为R,则

R2=O'D2+O'O2=OP2=（O/-O'。）?,

,故*竽

即&=8+O'O2=（4-Ob），

故所求截面圆的面积是无

3.已知点P、A、B、C是球。的球面上的四个点，PA,PB、PC两两垂直且长度均为26，M是AP的中点，

记过点M与平面ABC平行的平面a,则球。被平面a截得的截面面积等于（）

95

A.5兀B.4兀C.一兀D.-71

44

【答案】A

【分析】根据以、PB、PC两两垂直且长度均为2&可求球0的半径.连接0尸，交平面ABC于点E,交平

面a于点F,根据正方体的几何性质可求0E、PE、PF,从而可求。尸，于是可求截面圆的半径和面积.

【详解】•••以、/>8、PC两两垂直且长度均为26，...球。为棱长是26的正方体的外接球，设球的半径

为R,则R=gxKx2G=3.连接。P,交平面A8C于点E,交平面a于点F,则。尸为正方体体对角线的

一半，则易证平面ABC,则。尸，平面a,OP=3,易知△4BC为等边三角形，E为AABC的中心，CE=

—x—x2瓜=2^2»

32

OE=doc2-CE，=旧-（20）2=］,PE=OP-OE=3-1=2,是AP的中点，平面ABC〃平面a,二

PF=；PE=1,OF=2,即球心O到平面a的距离为2,.•.截面圆的半径r=万4=«,

二截面面积为5兀.故选:

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。一02,过直线002的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正

方形，则该圆柱的体积为（）

A.12#B.12兀C.6岛D.

【答案】C

【分析】根据圆柱的体积公式计算可得结果.

【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是26，

所以该圆柱的体积为V=Sh=Tt（73）2-2+=6石7i.

故选：C.

2.已知正四面体的棱长为。，E为CD上一点、,且CE:EO=2:1,则截面/WE的面积是（)

A.a--2aRB.—夜a2「C.-折--a2Dc.-M--a2

421212

【答案】D

【分析】在立体图形中作平面几何分析，利用余弦定理和面积公式求解即可.

所以在正三角形ACD中，由余弦定理可知：AE2=AC2+CE2-2AC-CE-cosZACD

=a2+（y）2-2a-y-l=因为△BCD和“AC£）都是正三角形，

所以乙4£吠=48£>£,4£>=8£>,。E=。£,所以ADE^BDE,所以的=AE,

所以..ABE是等腰三角形，取AB中点尸，则

22

所以=12/,,s=-ABEF=-a-J—a=—a

9UJ36f22V3612

3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何

体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

A.(2)(5)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(5)

［答案］D

【2■析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.

【详解】当截面ABC。如下图为轴截面时，截面图形如(I)所示；

当截面A3。如下图不为轴截面时，截面图形如(5)所示，下侧为抛物线的形状;

故选：D

4.如图，过球。的一条半径。尸的中点。一作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为G