2022年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题(含答案)

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普通高等学校招生全国统一考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合A={x\\<x<3}fB={x\2<x<4}f则AUB=

A.{x|2<x<3}B.{x\2<x<3}D.{X|14<4}

C.{x|l<x<4}

-2-4

2.=

1+2i一

A.1B.-1

C.iD.-i

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名,

丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有

A.120种B.90种

C.60种D.30种

4.日悬是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的劈针投射到悬面的影子来测定时间.把地球看

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成一个球（球心记为0）,地球上一点A的纬度是指0A与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是

指过点A且与0A垂直的平面.在点A处放置一个日密，若辱面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬

40°,则唇针与点A处的水平面所成角为

A.0°B.0°

C.50°D.90°

5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学

生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

A.2%B.6%

C.46%D.42%

6.基本再生数R。与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，

世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/⑺e”描述

累计感染病例数/Q）随时间”单位:天）的变化规律，指数增长率;"与/，T近似满足4=1+，7有学者基于

已有数据估计出k=328,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约

为（ln2=0.69）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

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7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP-AB的取值范围是

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

8.若定义在R的奇函数40在(一8,0)单调递减，且42)=0,则满足1)之0的x的取值范围是

A.[-1,1][3,+8)B.[-3,-1][0,1]

UU

C.[-1,0][1,+8)D.[-1,0][1,3]

UU

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知曲线+〃弁=1.

A.若机>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若机=">0,则C是圆，其半径为4"

C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为丫=后

D.若加=0,〃>0,则C是两条直线

10.下图是函数产sin(5+p)的部分图像，则sin((ux+9)=

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021_\/27

6\,/3

兀7C

A.sin(x+_)B.sin(_-2x)C.cos(2x+±)D.cos(，-2幻

3366

11.已知o>0,。>0,且a+b=\9则

A,1

A.〃2+拉之一B.2&-b>—

22

C.loga+logb>-2D.C+G

22

12.信息埔是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为12,〃，且

P(X=I)=P>0(/=1,2,,〃),ZP=1,定乂X的信息烯H(X)=—Zplogp.

iii2i

i=lZ=1

A若〃=1,则H(X)=0•••

B若n=2,则”(X)随着p的增大而增大

1

c若p=_(i=1,2,,〃)，则”(X)随着〃的增大而增大

in

D若n=2m,随机变量丫所有可能的取值为1,2,，加，KP(Y=j)=p+p(j=l,2,,m),则

j2m+l-J

H(X)<H(Y)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.斜率为石的直线过抛物线C：*=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则IABI=.

14.将数列｛2,1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛册｝,则｛(｝的前n项和为.

15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧A8所在圆的圆

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心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC_LDG,

垂足为C,tan/ODC=6,BH//DG,EF=\2cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,

5

圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

16.已知直四棱柱的棱长均为2,/BA£>=60。.以。［为球心,人为半径的球面与侧面

8CC|B的交线长为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在①ac=Q②csinA=3,③c=G这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角

形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

r匹，

问题：是否存在△4BC,它的内角A,8,C的对边分别为且sinA=43sin8，C=--------

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

已知公比大于1的等比数列｛4｝满足a+a=20,4=8.

n243

（1）求｛〃｝的通项公式；

n

记b为｛a｝在区间（0,何（meN*）中的项的个数,求数列。｝的前100项和S.

mnm100

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19.（12分）

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的

PM2.5和S。浓度（单位：@m3）,得下表：

2

s[0,50](50,150](150,475]

°2

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且S。浓度不超过150”的概率;

2

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表:

s[0,150](150,475]

°2

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根据（2）中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S。,浓度有关？

n{ad-bc)2

附:

(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)

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P(Kz>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

20.(12分)

如图，四棱锥P-A8C。的底面为正方形，底面ABCD设平面尸4。与平面P8C的交线为/.

(1)证明：平面POC；

(2)已知PD=AO=1,。为/上的点，求PB与平面QCC所成角的正弦值的最大值.

21.(12分)

已知函数f(x)-a&x-\-InJC+Ina.

(1)当〃=e时，求曲线),=/•(》)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)(x)>1,求a的取值范围.

22.(12分)

已知椭圆C：巫+法=l(a>b>0)的离心率为也，且过点A(2,1).

ai2

(1)求C的方程:

(2)点M,N在C上,且4ML4N,AD±MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得为定值.

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参考答案

一、选择题

1.C2.D3.C4.B

5.C6.B7.A8.D

二、选择题

9.ACD10.BC11.ABD12.AC

三、填空题

4匚57116.技

13.14.3/72-2A?15._+4yl

322

四、解答题

17.解：

方案一：选条件①.

由C=2和余弦定理得e+m-C2

62ab2

由sinA=msin8及正弦定理得a：=^3/?.

3Z?2+b2-C2小,u_r,

于是----尸----:---,由此可彳讨6=C.

2^3/722

由①ac=《"，解得a=>^,%=c=1.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=

1,方案二：选条件②.

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由c=71和余弦定理得砒+“一”=/.

62ab2

由sinA=5^sinB及正弦定理得a=而)-

干是3枚+及一绞=产,由此可得6=八B=C二,人=史

2扬2263

由②csinA=3,所以c=%=2^5,4=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2,

3.

方案三选条件③.----------i

由C="和合弦定理得"2+"-^=_3.

6v2ah*2

由sinA=3sinB图P弦定理得a=3b.

~^r

于是3b2+b2-C2=3,由此可得方=c.

W3b22

由③c=3b，与方=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

18.解:

(1)设｛«_｝的公比为4.由题设得。q+a0=20,aqz=8.

n111

解得夕=一1(舍去)，q=2.由题设得。=2.

21

所以｛a｝的通项公式为a=2〃.

nn

(2)由题设及(1)知，=0,且当2，，4机＜2用时，b=„.

1III

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所以S=b+(b+b)+(b+b+b+b)++3+b++b)+(b+b+4-b)

10012345673233636465100

=0+1x2+2X22+3X23+4K24+5X25+・6X(100-63)-…

=480.

19.解:

(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且S。2浓度不超过15°的天数为

32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO浓度不超过150的概率的估计值

2

为16=40.64.

100

⑵

根据⑵的列联表得募鬻乙7.484.

由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO浓度有关.

2

20.解：

①因为尸£>!■底面ABCD,所以PD1AD.

又底面ABCD为正方形，所以AOJ.OC,因此A£)_L底面

PDC.因为AO〃BC,AD<z平面PBC,所以AO〃平面PBC.

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由已知得///AD.因此/1平面PDC.

0以。为坐标原点，D4的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

则。(0,0,0),C(0,1,0),仇1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).

由(1)可设Q3,0,l),则£＞。=3,0,1)._,一

fn-DQ=0,\ax+z=0.

设”=(x,y,z)是平面QCO喳向量，贝『2即

jn-DC=o,fy=o.

可取”=(-1,0,a).

所以cos<n,ra>==.

设PB与平前8所成角为0,则sinG=#x|二+1|=在2a

36+。231〃2+1，

因为它「三”，当且仅当a=l时等号成立，所以尸8与平面QC。所成角的正弦值的最大值

3V。2+13

为近

21.解:

的定义域为(0,+00),/(x)=gT_L

(1)当。=e时，f(x)=ex-\nx+l,//(l)=e-1,

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曲线y=f(x)在点(1J(D)处的切线方程为y-(e+l)=(e-l)(x-l),即y=(e—l)x+2.

-2

直线y=(e-l)x+2在X轴，y轴上的截距分别为一；，2.

e-1

2

因此所求三角形的面积为一;.

e-1

(2)当0<々<1时,/(I)=a+\na<].

当时，f(x)=et-i-\nx,尸a)=ei」.

x

当％e(0,l)时,尸(»<0;当时,/(%)>0.

所以当x=l时，/(幻取得最小值，最小值为从而/⑴之

1.当〃〉1时，f(x)=aex-\-Inx+lntz>et-i-\nx>1.

综上，。的取值范围是[1,+8).

22.解：

41,7

[4-=1。2一拉1

()由题设得，------=—>解得〃2=6，。2=3.

〃2biaz2

所以C的方程为—4--=1.

63

(2)设M(x,y),N(x、y).

II22

若直线MN与X轴不垂直，设直线MN的方程为y="+〃2,

心％2y2

代入—十—=1得(1+2k2)x2+4ktnx+2m2-6=0.

63

.410n2/722-6

于是x+x=-------,XX=--------(1)

121+2k2121+242

由AM_LAN知AM-AN=0,故。-2)(x-2)+(y-l)(y-1)=0,

1212

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可得伏2+1）%（加一左一2）（x4-x）+（m-1）24-4=0.

1212

将①代入上式可得（攵2+1）2〃"6_^km_k_2）4km+（,n_1）2+4=0.

1+2A21+2公

整理得（2火+3"+1）（2攵+机-1）=0.

因为A(2,1)不在直线MN上，所以2々+机-1/0,故2A+3m+1=0,

21

于是MN的方程为y=k(x-H1).

33

21

所以直线MN过点P(:「二).

33

若直线MN与x轴垂直，可得N(x,-y).

由AM.AN=0得（冗-2）（x-2）+（y