2023届江苏省余干县数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图所示，抛物线丫=以2+。犬+°（4/0）的对称轴为直线％=1,与y轴的一个交点坐标为（0,3）,其部分图象如

图所示，下列结论：

①abc<0；

②4a+c>0；

③方程ax2+bx+c=3的两个根是X=0,々=2；

④方程av7+法+°=0有一个实根大于2；

⑤当x<0时，V随x增大而增大.

其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”.摩天轮是一个圆形，直径AB垂直水平地

面于点C,最低点B离地面的距离BC为L6米.某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D仰着头看见摩天轮

的圆心时，仰角为37。，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D，，当洋洋坐的桥厢F与圆心O在

同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为42。，已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位

置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是（）

（参考数据：sin37°=0.60,tan37M）.75,sin42M）.67,tan42°=0.90）

A.118.8米B.127.6米C.134.4米D.140.2米

3.在二次函数y=-x?+2x+l的图像中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是

A.x<1B.x>1C.x<-lD.x>-l

5.正五边形的每个外角度数为（）

A.36°B.72°C.108°D.120°

6.如图，二次函数丁=以2+法+。的图象经过点A。,。），5（5,0）,下列说法正确的是（）

C.a-b+c<0D.图象的对称轴是直线尤=3

7.若关于x的一元二次方程（左-l）d+6x+3=0有实数根，则实数"的取值范围为（）

A.k<4,且左wlB.k<4,且上wl

C.k<4D.k<4

8.如图，某小区规划在一个长50米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行,

另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为178平方米，设道路宽度为x米，则（）

A.(50-2x)(30-x)=178X6

B.30X50-2X30x-50x=178X6

C.(30-2x)(50-x)=178

D.(50-2x)(30-x)=178

9.在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（）

10.抛物线y=-2x2经过平移得到丫=_2（x+i）2-3,平移方法是（）

A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，在等腰Rt/VRC中，ZABC=9Q°,点。是以A3为直径的圆与AC的交点，若A5=4,则图中阴影

部分的面积为

12.已知在平面直角坐标系中，点尸在第二象限，且到X轴的距离为3,到y轴的距离为4,则点尸的坐标为.

13.已知AADC中，ZADC=9Q°,AB交CD于E,且AB=AC,ZBCD=45°,DE:CE=9:T,3c=2后，

则AE的长度为.

14.在一个布袋中装有只有颜色不同的。个小球，其中红球的个数为2,随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通

过大量重复实验和发现，摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出“大约是.

15.如图，已知点P是aABC的重心，过P作AB的平行线DE,分别交AC于点D,交BC于点E,作DF//BC,交AB于

点F,若四边形BEDF的面积为4,!S!|AABC的面积为

16.如图，在平面直角坐标系中，菱形Q钻C的边。1在x轴上，AC与08交于点。(4,2),反比例函数y=&的

x

图象经过点。.若将菱形Q钻C向左平移九个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则〃的值为

17.直角三角形三角形两直角边长为3和4,三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为.

2

18.如图，已知A(l,yi),B(2,y2)为反比例函数y=一图象上的两点，一个动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当线

x

段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是.

19.(10分)如图，AB为。O的直径，PD切。O于点C,交AB的延长线于点D,且ND=2/CAD.

(1)求ND的度数;

（2）若CD=2,求BD的长.

20.（6分）某校在向贫困地区捐书活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类，某同学对部分书籍进行了抽样调

查，并根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题：

（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请通过计算补全条形统计图;

（2）求出图1中表示科普类书籍的扇形圆心角度数；

（3）本次活动师生共捐书2000本，请估计有多少本文学类书籍？

21.（6分）已知关于x的方程近2+（3左+l）x+3=0

（1）无论左取任何实数，方程总有实数根吗？试做出判断并证明你的结论.

（2）抛物线丁=近2+（3左+l）x+3的图象与％轴两个交点的横坐标均为整数，且左也为正整数.若P（a，X）,Q（L%）

是此抛物线上的两点，且％＜为，请结合函数图象确定实数。的取值范围.

22.（8分）如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=以2+法+5与x轴交于A（T,O）,*5,0）两点，与y轴

交于点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点尸是位于直线3C上方抛物线上的一个动点，求ABPC面积的最大值；

（3）若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与AABC相似，求点D的坐标；

（4）若点E为抛物线的顶点，点尸（3,a）是该抛物线上的一点，在x轴、丁轴上分别找点M、N,使四边形EFMN

的周长最小，求出点M、N的坐标.

23.（8分）如图，AC=5C>D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE.

24.（8分）如图，在锐角三角形A3C中，点O,E分别在边AC,ABh,AGJ_3c于点G,AP_LDE于点

F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：△AOES/\A3C；

25.（10分）如图，已知AABO,点4、3坐标分别为（一2,4）、（-2,1）.

（1）把AABO绕原点。顺时针旋转90。得AAI与。，画出旋转后的AA,用。；

（2）在（1）的条件下，求点4旋转到点A经过的路径的长.

26.（10分）已知抛物线的顶点坐标是（1,-4）,且经过点（0,-3）,求与该抛物线相应的二次函数表达式.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【解析】根据二次函数的图象与性质进行解答即可.

【详解】解：•・•抛物线开口方向向下

Aa<0

又二•对称轴x=l

•_±-1

2a

・'.b=-2a>0

又・・,当x=O时，可得c=3

abc<0,故①正确；

Vb=-2a>0,

:.y=ax2-2ax+c

当x=-l,y<0

,a+2a+c<0,即3a+c<0

又YaVO

.\4a+c<0,故②错误；

Vax2+bx+c=3c=3

:.ax2+bx=O

:・x(ax-b)=0

又,:b=-2a

/.玉=0,%2=2,即③正确;

•・•对称轴x=l,与X轴的左交点的横坐标小于0

・・・函数图像与x轴的右交点的横坐标大于2

，ar?+区+0=0的另一解大于2,故④正确；

由函数图像可得，当时，y随x增大而增大，故⑤正确；

故答案为A.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识和正确运用数形结合思想是解答本题的关键.

2、B

【分析】连接EB,根据已知条件得到E，,E,B在同一条直线上，且E，B±AC,过F做FHLBE于H,则四边形

BOFH是正方形，求得BH=FH=OB,设AO=OB=r,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：连接EB,

,.,D,E,=DE=BC=1.6

AESE,B在同一条直线上，且E，B_LAC,

过F做FHJ_BE于H,

则四边形BOFH是正方形，

/.BH=FH=OB,

设AO=OB=r,

/.FH=BH=r,

,:ZOEB=37°,

OB…

•\tan37°=-----=0.75,

BE

4

BE=—rf

3

1

AEH=BD-BH=-r,

3

VEEr=DDr=49,

1

AErH=49+-r,

3

VZFErH=42°,

空----09

...tan42*E归49+lr

3

解得r~63,

.\AC=2x63+1.6=127.6米，

故选：B.

【点睛】

本题考查了解直角三角形一一仰角与俯角问题，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

3、A

【解析】•.•二次函数y=—x?+2x+l的开口向下，

,所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大.

,b2,

•.,二次函数y=-x2+2x+l的对称轴是x=--=-=1,

2a2x(-1)

Ax<1.故选A.

4、A

【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致.

b

【详解】A、由抛物线可知，a<0,x=------<0,得b<0,由直线可知，a<0,b<0,故本选项正确；

2a

B、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误；

b

C、由抛物线可知，a>0,x=——>0,得b<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项错误；

2a

D、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误.

故选A.

5、B

【解析】利用多边形的外角性质计算即可求出值.

【详解】360°4-5=72",

故选：B.

【点睛】

此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键.

6、D

【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.

【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0.A选项错误；

函数图象与x轴有两个交点，所以4ac>0,B选项错误；

观察图象可知x=-1时y=a—b+c>0,所以a—b+c>0,C选项错误；

根据图象与x轴交点可知，对称轴是(1,0).(5,0)两点的中垂线，x=一,

2

x=3即为函数对称轴，D选项正确；

故选D

【点睛】

此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.

7、A

【解析】•••原方程为一元二次方程，且有实数根，

...k-lWO且△=6?-4X（k-1）X3=48-12k20,解得kW4,

实数k的取值范围为kW4,且kWL

故选A.

8、A

【分析】设道路的宽度为x米.把道路进行平移，使六块草坪重新组合成一个矩形，根据矩形的面积公式即可列出方

程.

【详解】解:设横、纵道路的宽为x米，

把两条与AB平行的道路平移到左边，另一条与AD平行的道路平移到下边，则六块草坪重新组合成一个矩形,矩形的

长、宽分别为（50-2x）米、（30-x）米，所以列方程得

（50-2x）x（30-x）=178x6,

故选：A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对图形进行适当的平移是解题的关键.

9、B

【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念，A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B.

故选B.

考点：中心对称图形

10、A

【分析】由抛物线y=-2x2得到顶点坐标为（0,0）,而平移后抛物线y=-2（x+1）2-3的顶点坐标为（—1,-3）,

根据顶点坐标的变化寻找平移方法.

【详解】根据抛物线y=-2x2得到顶点坐标为（0,0）,

而平移后抛物线y=—2（x+1）2-3的顶点坐标为（一1,一3）,

平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移3个单位.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、6—兀

【分析】取AB的中点O,连接OD,根据圆周角定理得出/DOB=2NA=90°，根据阴影部分的面积=S^BC-S^OD

扇形3。。的面积进行求解.

【详解】取AB的中点O,连接OD,•.•在等腰RtzXABC中，ZABC=9Q°,AB=4,

:.OD=OB=OA=2,NA=45°，

••.4)06=24=90°，

阴影部分的面积=S^BC-S^OD-扇形BOD的面积,

1..1--90〃x2?

=—x4x4x2x2-------------=8-2-"=6一乃,

22360

故答案为：6-71.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，通过作辅助线构造三角形与扇形是解题的关键.

12、(-4,3)

【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到％轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于

横坐标的绝对值解答.

【详解】解：•••点P在第二象限，且到X轴的距离为3,到y轴的距离为4,

二点P的横坐标为T,纵坐标为3,

二点P的坐标为(-4,3).

故答案为(-4,3).

【点睛】

本题考查了点的坐标，熟记点到了轴的距离等于纵坐标的绝对值，到V轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键.

15

13、—

2

【分析】过8作于尸，尸交AO的延长线于G,则四边形。GB歹是矩形，由矩形的性质得到BG=Z＞尸,

DG=FB.由45尸C是等腰直角三角形，得至!]FC=5尸=1.

设Z>E=9x,贝！|CE=7x,EF=CE-FC=7x-l,BG=DF=16x-l,DG=FB^1.

在RtAAOC和中，由AC=A5,利用勾股定理得到AO=16x-L

证明△尸EBSADEA,根据相似三角形的对应边成比例可求出x的值，进而得到A。，OE的长.在Rt^AOE中，由

勾股定理即可得出结论.

【详解】如图，过5作于尸，5GL3尸交A。的延长线于G,

二四边形OGBF是矩形，

：.BG=DF,DG=FB.

:NBCD=45°,

45尸C是等腰直角三角形.

,:BC=26,

：.FC=BF=1.

设Z>E=9x,贝I]CE=7x,EF=CE-FC=7x-l,BG=DF=16x-l,DG=FB=1.

在RtAADC和RtAAGB中，'：AC=AB,

:.AD2+CD2=AG2+BG2,

AD-+（16x）2=（A。+2）2+（I6x-2）2,

解得：A£>=16x-1.

,JFB//AD,

：./\FEB^/\DEA,

.FBEF

••—,

ADDF

.2_7x-2

16x-29x'

.•.18xi-16x+l=0,

解得：或x=g.

142

当-时，7x-lV0,不合题意，舍去，

14

.1

••X-f

2

9

.\AD=16x-l=6,DE-9x=—,

2

：.AE=y/AD2+DE2=

故答案为：--.

2

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.求出AD=16x-l是解答本题的关键.

14、1

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方

程求解.

2

【详解】解：由题意可得，一=0.2,

a

解得，a=L

故估计a大约有1个.

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率

得到相应的等量关系.

15、9

CDCP

【分析】连接CP交AB于点H,利用点P是重心得到——=—=2,得出SADEC=4SAAFD,再由DE//BF证出

ADPH

CDCP244

=

---=----~＞由此得到SADEC=《SAABC,继而得出S四边形BEDF=dSAABC,从而求出△ABC的面积.

【详解】如图，连接CP交AB于点H,

•.•点P是AABC的重心,

.・W=2,

PH

.•.22,

AD

VDF//BE,

/.△AFD^ADEC,

:.SADEC=4SAAFD,

VDE//BF,

CDCP2

——=——=-,AADECs△AABC,

CACH3

.4

-SAABC=SADEC,

._4

=

S四边彩BEDF_SAABC,

•.•四边形BEDF的面积为4,

**•SAABC=9

故答案为：9.

【点睛】

此题考察相似三角形的判定及性质，做题中首先明确重心的意义，连接CP交AB于点H是解题的关键，由此得到边

的比例关系，再利用相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方推导出几部分图形的面积之间的关系，得到三角

形ABC的面积.

16、1

k

【分析】根据菱形的性质得出CD=AD,BC〃OA,根据D(4,2)和反比例函数y=—的图象经过点D求出k=8,

x

C点的纵坐标是2x2=4,求出C的坐标，即可得出答案.

【详解】•••四边形A8C0是菱形，

；.CD=AD,BC〃OA,

,：D(4,2),反比例函数y=~的图象经过点D,

X

・・・A=8,C点的纵坐标是2x2=4,

.8

・・y=—,

X

把尸4代入得：x=2,

:.n=3-2=l,

...向左平移1个单位长度，反比例函数能过c点，

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，数形结合思想是关键.

17、1

【解析】连接OA,OB,OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答

【详解】解：连接OA,OB,OC,则点O到三边的距离就是△AOC,ABOC,△AOB的高线，

设到三边的距离是x,则三个三角形的面积的和是：

1111

-AC»x+-BOx+-AB・x=—AC«BC,

2222

由题意可得:AC=4,BC=3,AB=5

1111

:.-X4«x+-X3・x+—X5・x=—X3X4

2222

解得:x=l.

故答案为:1.

【点睛】

本题中点到三边的距离就是直角三角形的内切圆的半径长，内切圆的半径=a+1—c.

2

18、(3,0)

【分析】根据图意，连接45并延长交x轴于点尸，，此时线段AP与线段之差的最大值为AP-=通过

求得直线45的解析式，然后令丁=0即可求得尸点坐标.

【详解】如下图，连接A5并延长交x轴于点尸，，此时线段AP与线段之差的最大值为=

2

将A(1，M),5(2,%)代入y=—中得41,2),8(2,1),

x

设直线A5的解析式为y=kx+b,代入A,3点的坐标得

k+b=2尤=一1

，解得.

'2k+b=l[y=3

二直线AB的解析式为y=-x+3,

令y=0,得％=3,

...此时P点坐标为(3,0),

故答案为：(3,0).

【点睛】

本题主要考查了线段差最大值的相关内容，熟练掌握相关作图方法及解析式的求解方法是解决本题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)45°；(2)2A/2-2.

【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出NCOD=2NA,求出ND=NCOD,根据切线性质

求出NOCD=90。，即可求出答案；

(2)求出OC=CD=2,根据勾股定理求出BD即可.

试题解析：(1)VOA=OC,

:.NA=NACO,

，ZCOD=ZA+ZACO=2ZA,

,:ND=2NA,

/.ZD=ZCOD,

；PD切OO于C,

.,.ZOCD=90°,

，ND=NCOD=45。；

(2)VZD=ZCOD,CD=2,

/.OC=OB=CD=2,

在RtAOCD中，由勾股定理得：22+22=(2+BD)2,

解得：BD=2A/2-2.

考点：切线的性质

20、(1)本次抽样调查的书籍有40本;作图见解析(2)108°(3)估计有700本文学类书籍

【分析】(1)根据艺术类图书8本占20%解答；

12

(2)根据科普类书籍占总数的言，即可解答；

40

(3)利用样本估计总体.

【详解】(1)84-20%=40(本),

40-8-14-12=6（本）,

答：本次抽样调查的书籍有40本.

补图如图所示：

某校师生捐书种类情况扇形统计图某校师生捐书种类情况条形统计图

(2)—X360°=108°,

40

答：图1中表示科普类书籍的扇形圆心角度数为108。.

14

(3)—X2000=700(本)，

40

答：估计有700本文学类书籍.

【点睛】

本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，两图结合是解题的关键.

21、(1)无论左取任何实数，方程总有实数根；证明见解析；(2)-5<a<l.

【分析】(1)由题意分当k=0时以及当左W0时，利用根的判别式进行分析即可;

(2)根据题意令y=0,代入抛物线解析式，并利用二次函数图像性质确定实数。的取值范围.

【详解】解：(1)①当左=0时，方程为x+3=0时，x=—3,所以方程有实数根；

②当左wO时，

△=（3左+1）2—4•左・3

=942+6左+1—12左

=9左2—6k+1

=（31）220

所以方程有实数根

综上所述，无论左取任何实数，方程总有实数根.

(2)令y=0,则立?+(3左+l)x+3=0,解方程X]=-3,羽=---

k

•.•二次函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且左为正整数

：.k=l

/.该抛物线解析式y=f+4x+3

•••对称轴x=—2

Q(L%)是抛物钱上的两点，且

【点睛】

本题考查二次函数图像的综合问题，熟练掌握二次函数图像的相关性质是解题关键.

22、(1)y=—x?+4x+5；(2)ZkBPC面积的最大值为9；(3)。的坐标为(0,-1)或(0,--)；(4)M(―,

“8317

0),N(0,—)

5

【分析】(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5),即-5a=5,解得：a=-l,即可求解；

(2)利用SABPC=—xPHxOB=—(-x2+4x+5+x-5)=—(x--)----，即可求解；

22228

(3)B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，分别求解即可；

(4)作点E关于y轴的对称点E，(-2,9),作点F(2,9)关于x轴的对称点F，(3,-8),连接E，、F分别交x、y

轴于点M、N,此时，四边形EFMN的周长最小，即可求解.

【详解】解：⑴把4(—L0),5(5,0)分别代入y=o?+⑦+5得:

Q=a-b+5

0=25a+5b+5

Cl——1

b=4

，抛物线的表达式为：y=—x?+4x+5.

(2)如图，过点尸作PH，05交3c于点H

令x=o,得y=5

：.C(0,5),而B(5,0)

/.设直线BC的表达式为：y=kx+b

.J5=Z?

•[o=5左+b

(k=-l

：•<

b=5

/.y=-x+5

设P(m,—m2+4m+5)，则H(m,-m+5)

PH=—m2+4m+5+m—5=—m2+5m

1

S^PBC=-x5x(-m+5m)

2

SpBC—)

“收228

125

ABPC面积的最大值为一.

8

(3)如图，：C(0,5),B(5,0)

，OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=45°

：.AB=6,BC=5y/2

要使△BCD与4ABC相似

则有啜=BCABCD

---或---=---

BCCDBCBC

…ABBCq

①当一=——时

BCCD

6_5A/2

5亚—CD

CD=—

3

则

3

••D(0,------)

3

②当坦=C2时,

BCBC

CD=AB=6,

：.D(0,-1)

即：。的坐标为(0,-1)或(0,--)

3

(4)Vy--x2+4x+5

y=-(x-2)2+9

为抛物线的顶点，

：.E(2,9)

如图，作点E关于y轴的对称点E，(-2,9),

：.F(3,8),

二作点尸关于x轴的对称点尸'(3,-8),

则直线与x轴、y轴的交点即为点M、N

设直线⑻P的解析式为：y=mx+n

9=-2m+n

则《

|-8=3m+n

’17

Jm---