概率作业卷及答案

本科概率论与数理统计作业卷(一)

一、填空题

1.设随机事件A,8及其和事件AUB的概率分别是0.4,0.3和().6.若后表示

8的对立事件，那么积事件4万的概率P(A))=.

解因为事件A与3同时发生时，事件C必发生就意味着ABuC,

因此P(C)>P(AB)

又由P(AU8)=P(A)+P(B)—P(A8)

所以P(C)>P(A)+P(8)-P(AUB)>P(A)+P⑻+1

所以应选(C).

2.已知A、B两个事件满足条件P(AB)=否)，且P(A)=p,则P(B)=.

解vA\JB=AB,P{AU5)=P(A)+P{B)-P(AB)

又P(AU8)=1—尸(AU8)=1—P(彳耳)；.P(A)+P(8)=1,即P(8)=l-p

所以应填\-p.

3.设P(A)=P(8)=P(C)=LP(A8)=0,P(AC)=尸(8C)=则事A,8,C都不发生的

48

概率为.

分析问题是求P(痂)，为了与已知条件联系起来，由概率性质有

P(ABC)=1-P(AU6UC),而P(AU6U。)=尸(A)+P(8)+P(C)-P(AB)

-P(AC)-P(BC)+P(ABC).于是问题归结为求P(ABC),注意到P(AB)=0,

------7

ABCuAB,即有P(A8C)=0,通过计算得尸(ABC)=—，

12

故应填工.

12

4杷10本书随意放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为.

解把3本书视为一组，与另外7本全排列，则指定的3本书放在一起的概率为翌

10!

应填工.

15

二、选择题

1.当事件A与8同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是

(A)P(C)=尸(AB)(B)P(C)=尸(A)UP(B)

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1(D)P(C)<P(A)+P(B)-1

解因为事件A与6同时发生时，事件C必发生就意味着ABuC,

因此F(C)>P(AB).又由P(AU5)=P(A)+P(8)—P(A8)

所以P(C)>P(A)+P(B)-P(AUB)>P(A)+P(B)+1

所以应选(C).

2.掷两枚骰子，则最小点是2的概率为

(A)1(B)-(C)-(D)-

4657

解事件总数为6x6=36,两点皆为2或一个点为2、另一个点大于2,

gI

1+C>C；=9,故P=二=—.

24364

3.在数集｛1,2,3,4,5｝红依次取出三个数，记A="取出三个数依次为1,2,3".

(I)若依次取出，取后放回，此时记功=P(4);(II)若依次取出，取后

不放何，此时记P1=P(A)；(II)若依次取出，取后不放回，此时记

p2=P(A),则

(A)Pi<p2(B)P|=p2

(C)P]〉p2(D)无法比较P1,P2的大小

解(4).无论哪一种取法有利于A的基本事件只有一个而“取后放回”

试验的基本事件总数多于“取后不放回”，因此片<乙，选择(加・事实上，

Pi=P(A)=J,-2=P(A)=<:二>]=P「

5'5x4x35'

4.袋中装有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币，任取其中5个，则总币值

超过一角的概率为

1123

(A)-(B)-(C)-(D)-

4234

解心卡1

三、计算证明题

1.一批产品共200个，有6个废品，求：⑴这批产品的废品率；

(2)任取3个恰有1个是废品的概率；(3)任取3个全非废品的概率。

6194

解⑴P(A)=——=0.03(2)P(A,)=3«0.0855

200C2no

C3

(3)P(A0)=-^»0.9122

。200

2.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，

它们单独烧断的概率分别为0.8和09同时烧断的概率为0.72,求电

流强度超过这一定值时，至少有一根保险丝被烧断的概率.

解设A、B分别表示甲、乙保险丝被烧断，由性质6得所求概率为

尸(AU8)=P(A)+P(B)_P(AB)

=0.8+0.9-0.72=0.98

3.从0,1,2,…，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列

事件的概率：4={三个数字中不含。和5},

A2={三个数字中含0但不含5}

解从0,1,2,…,9十个数字中任意选出三个不同数字的所有选法即从十个数

字中任意选三个不同数字的全部组合数为它就是所研究的概率空间中的全

部基本数，而&所含的基本条件数为C；,它是从0,1,2,…,9等八个数字中任

意选三个不同数字的组合数.因此

Cl7

尸⑸)=尸=后

e1010

同理，4所含的基本事件数为C；，因为三个数字中有一个一定是0,而另2个不同数

字必须从1,2,3,4,5,6,7,8,9八个数字中任意选取，所以

Cl7

P(A,)=<=—

23

Ce103D0U

4从区间(。』)内任取两个数，求这两个数的积小于扣概率.

解设两个数分别为x和y,有0<x<1,0<y<1,需要求事件{盯<占的概率,

4

把(x,y)看作平面上的一个点则(x,y)在边长为1的正方形内等可能取值

.正方形面积为1.满足孙的全体点(x,y)构成平面区域。，。的面积为

4

5=1-(l-；)dr=：+《ln2

J“4x42

1s11

则P{xy<—}=—=—+—In2.

4142

本科概率论与数理统计作业卷(二)

一、填空题

1.设两个相互独立的事件A和8都不发生的概率为LA发生8不发生

的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=—.

解由题设4、8相互独立，即P(A8)=P(A)P(8),且P(彳耳)=’,

9

P(A耳)=P(彳8),即有

f——-----1

P(A8)=P(A+8)=1-P(A+8)=§

P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)

,„1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=-,1

也n即｛9n1—2P(A)+p2(A)=—

P(A)=P(B)'

i4?

解得P(A)-1=土一,P(A)=-或尸(4)=-

333

2

由于P(A)<1,^P(A)=-

2.掷一不均匀硬币，已知在4次投掷中至少一次出现正面朝上的概率

为黑，则在一次投掷中正面朝上的概率为.

解设一次投掷中正面朝上的概率为P,则由题意

P(4)=C：P°(1-〃)"=震，即(1—P)4=jv，得P=T-

o1o13

3.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，

抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为.

分析设A表示事件｛第一次抽取的是正品｝B表示事件｛第二次抽取的是次品｝

S—1

则P(A)=KP(A)=N

66

2—1

且P(5IA)=—，P(3IA)=—

1111

—_5211I

且全概率公式知P(B)=P(A>P(5IA)+P(A)P(BIA)=—.—+------=-

6116116

故应填

6

4.设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行〃次独立试验，则至少

发生一次的概率为.至多发生一次的概率为.

解设8表示事件｛〃次独立实验中，事件A至少发生一次｝,。表示事件｛"次独立

实验中，事件A至多发生一次｝,

P(B)=1-P(B)=1-(1-pYP(C)=(1-Py+np(l—p)"T

所以应分别填l-(l-p)"和(I—。)"+〃p(l—p)"T

二、选择题

1.将一枚骰子先后掷两次，设x”x?分别表示先后掷出的点数.记

A={X1+X2=10},B={Xt>X2},则P(5IA)=

1125

(A)-(B)-(C)-(D)-

3456

解事件4有三种情况：4,6;5,5;6,4.事件8只有一种情况：6,4故应选(A)

2.设A与8为对立事件，P(A)>0,P(B)〉O,则错误的是

(A)P(A8)=0(B)P(A+8)=1

(C)P(AIB)=O(D)P(BIA)=0

解应选(D)

3.设A、B、C三个事件两两独立，而A、B、。相互独立的充分必要

条件是

(A)A与BC独立(B)AB与AUC独立

(C)A8与AC独立(D)AUB与AUC独立

解:由P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)-P(C)

知A,B,C互相独立=P(ABC)=P(A)-P(B)-P(C)u>P(ABC)=P(A)-P(BC)

oA与BC独立。故应选(A)

4.仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率

为2%;乙厂生产的为2000支，次品率为3%;丙厂生产的为3000支，次品

率为4%.如果从中随机地抽取一支，发现为次品，则该次品是甲厂产

品的概率为_.

(A)10%(B)20%(C)30%(D)15%

解(A)4,42，43分别表示抽得灯管来自甲乙丙三厂，C表示抽得灯管为次品，于是

尸(CI=0.02,P(CI4)=0.03,P(CI4)=0.04

123

尸(4)=2，P(A,)=7尸(&)=工

666

由贝叶斯公式得

p(a)p(ciA)______________

P(AJC)==01

p(4)p(ciA|)+p(&)P(CIA2)+P(4)P(C1A3)-,

三、计算、证明题

1.设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8,活25年以上的概

率为0.4.如果现在有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的

概率是多少？

解设事件8=“能活20年以上”，A=“能活25年以上”.

按题意，P(B)=0.8,由于Au8,所以BA=A，因此P(AB)=P(A)=0.4,

由概率的定义，得P(AI8)=也也=丝=。5

''P(B)0.8

2.甲、乙、丙三门高射炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙射中飞机的

概率分别是0.4,0.5,0.7.又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2；

若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6；若三门炮都射中，飞机必坠毁，

试求飞机坠毁的概率.

解设5=“飞机坠毁”,A,="，门炮射中飞机”(i=0,1,2,3)显然，A°，4，

A2,&构成完备事件组三门高射炮各自射击飞机，射中与否相互独立，

按加法公式及乘法公式，得

P(AO)=(1-0.4)x(l-0.5)x(1-0.7)=0.09

P(4)=0.4x(1—0.5)x(l-0.7)+(1-0.4)x0.5x(l-0.7)

+(1-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36

P(A2)=0.4X0.5x(l-0.7)+0.4x(l-0.5)x0.7+(1-0.4)x0.5x0.7=0.41

P(4)=0.4x0.5x0.7=0.14

再由题意知P(8l4)=0,P(8IAj)=0.2

P(B\A2)=0.6,P(BIA3)=l

利用全概率公式，得

3

P(B)=£尸(4.)P(BIA,)=0.09X0+0.36x0.2+0.41x0.6+0.14xl=0.458

/=o

3.甲、乙两个乒乓球运动员进单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6,乙

胜的概率为0.4.比赛即可采取三局两胜制，也可采取五局三胜制，问采取哪

种赛制对甲更有利？

解⑴采用三局两胜制设A="甲净胜二局”，A2：“前两局甲、乙各胜一局，

第三局甲胜“，A=”甲胜"，则4=4+42,而

22

P(4)=0.6=0.36P(A2)=(0.6x0.4)x2=0.288

所以,有P(A)=P(A,+A2)=P(A1)+P(A2)=0.36+0.288=0.648

(2)采用五局三胜制，设8=“甲胜”，修="前三局甲胜”,邑=”前三局中甲胜

两局，乙胜一局，第四局甲胜”，星=”前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜”，

则耳,为,鸟互不相容,且8=与+生+冬・由题设知

P(8I)=0.63=0.216

P(J)=C；x0.62x0.4x0.6=0.259

P(B,)=C：x0.62x0.42x0.6=0.207

P(B)=P(B]+B2+B3)=P(BJ+P(B2)+P(B3)=0.216+0.259+0.207=0.682

所以，采用五局三胜制时对甲更有利.

本科概率论与数理统计作业卷(三)

一、填空题

f-10

1.设有随机变量乂~11，，则X的分布函数为

1362>

分析当x<—1时，E(x)=P{X<x}=0;

当一lWx<0口寸，/(x)=P{X<x}=；

当OWx<l时，F(x)=P{X<%}=-+-=-;

362

当xNl时，F(x)=P{X<x}=-+-+-=l

362

整理，得

[0,当x<-1

当

F(x)=；3

当04x<l

2

1,当x21

2.如果离散型随机变量X的分布律如下表所示，则C=

X0123

P1_L_LX

C2C3C4C

3os

解根据£p(x,)=l得：C=S.

为=012

3.已知X的分布律如下表所示

X012345

则丫=(X-2)2的分布律为

分析记g(x)=(x-2)2.由于g(0)=g(4)=4.)=g⑶=l,g⑵=O,g⑸=9,

因此P{Y=O}=P{X=2}=±

P{Y=1}=P{X=1}+P{X=3}=、+《=：,

叩=4}=尸{X=O}+尸{X=4}=*+：q,

叩=9}=尸{X=5}=：

故应填

Y0149

111

ry-y

n4-3-6-

二、选择题

1.设K(x)与尸2(x)分别为随机变量XI与X2的分布函数，为使尸(X)=尸2(X)

是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

3222

(A)Q=—,b=—(B)ci=—,b=一

5533

1313

(C)a=--,b=-(D)cz=

2222

分析根据分布函数的性质：limF(x)=1,因此有

XT+30

limF(x)=alimF,(x)-blimF2(x)即1=a-b

XT+OCX->+00X->+00

故应选(A).

2.设离散型随机变量X的分布律为：P{X=k}=bAk,(k=\,2,3,--),

且b>0,则4为

(A)2>0的任意实数(B)/l=b+l

1

©4=T+b

解因为fp{X=%}=£/=1s“=无Of

k=\k=\k=\I-A

即limS“=limb”&二卫=1于是可知，当|看<1时力•/-=1

…〃…]_aII1-^

所以4=_!—<1,(因6>0)所以应选(C).

1+b

三、计算证明题

1.一个袋中有5只球，编号为1,2,345,在其中同时取3只，以X

表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布.

解X的可能取值为3,4,5.

事件{X=3},只能是取出的3只球号码分布为1,2,3,只有一种取法，所以

P[X=3]=-^=—

cl10

事件{X=4},意味着3只球中最大号码是4,另外2个号码可在1,2,3中任取

2只，共有《种取法，故

P{X=4}=与=2

cl10

事件{X=5},意味着3只球中最大号码是5,另外2个号码可在1,2,3,4中任取

2只，共有C；=6种取法，故

尸{X=5}f=|

从而，X的概率分布是

X345

133

P———

10105

2.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均设有红绿灯信号的路口，

每个信号灯为红和绿与其它信号为红或绿相互独立，且红绿两种

信号显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路

口个数，求X的概率分布.

解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设4（i=1,2,3）表示'汽车在第i个路口首次

遇到红灯”，4出,43相互独立，且尸阳）=峭）=；,于是

1--1

P{X=0}=尸（A）=-P{X=\}=p（44）=尸（A）P（A?）=/

P{X=2}=P（44&）=P（4）产区）P（4）=5

px=3}=P（44办=尸（4）尸区）尸区）=成

故分布律为

X|0123

III""I

3.设随机变量X的可能取值为-1,0,1,且取这三个值的概率之比为

1:2:3,试求X的概率分布.

解记°1|

5PiPi)

而++p=

依题意P]：02：P3=1：2PI23

11

------

即P[+2Pl+3「|=1故PI62332

01}

X~111

1632>

本科概率论与数理统计作业卷(四)

一、填空题

1.设随机变量X服从泊松分布，并且已知p{x=1}=p{x=2},贝I」尸{X=4}=.

解由题设,X的分布律为：P{X=%}=—1,攵=0,1,2,...

k\

本题的关键为先要求出参数4的值.由P{X=1}=P{X=2}得屁”=工小2,即汇一2/1=0

2

,49

因为；1>0,得;1=2,于是P{X=4}=16-2*0.902.

2.设随机变量X服从参数为(2,。同二项分布，随机变量y服从参数

为(3,p)的二项分布，若P{X21}[,则p{r>1}=.

52

解-=P{X>1}=1-P{X<l}=l-C^°(l-p)2=1-(1-p)2,(l-/?)=-

93

p{y、i}=i_p{y<i}=i—c；。。。一pl=i—g)3=||

ig

所以应填上.

27

3.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量丫=X?在

(0,4)由概率分布密度外(y)=.

分析因为y在(0,4)区间内的分布函数4(y)为

4(y)=P{Y«y}=P{X</y}==

所以，人=92=_二(0<y<4)故应填;

dy4Jy4Jy

二、选择题

2_X0<_r<1

I.设随机变量X的概率密度为/(x)='甘”，以y表示对

[0,其他

x的三次独立重复观察中事件{X出现的次数，则/y=2}=

2

9739

(A)—(B)—(C)—(D)—

64646416

解(A)P{XM5=g2s=；,叩=2}=啸E.

2.设随机变量X具有对称的概率密度，即/(-%)=/(%),则对

任意a>0,尸(IXl〉a)是

(A)l-2F(a)(B)2F(a)-l(C)2-F(a)(D)2[1-F(a)l

解.(/))°(-x)=夕(x)F(-a)=£(p(x)dx=J(p(x)dx

F(a)+F(-a)=[p+8Q(x)=1n尸(—a)=l—F(a)

J—00

nP(lxl>a)=1-P(lxl<a)=1-P(-a<x<a)=1-[F(a)-F(-a)]

=1-[F(a)-(1-F(a))]=2[1-F(a)]

3.设随机变量x与y均服从正态分布,x~N(〃4),Y~N(〃$)；

记P1=p{xK〃一4},〃2=P{y2〃一5},则

(A)对任何实数〃，都有P1=p2(B)对任何实数，都有P1<p2

(C)只对〃的个别值，才有P1=p2(D)对任何实数〃，都有p|>p2

解由于上幺~N(0,l),上二幺~N(0,l)

45

所以Pl=WT}=»1}=/J；

44J24力

Y-Ll1roo~

%=p{三一Nikkie2dr

故Pl=%，而且与N的取值无关.

三、计算证明题

1.连续型随机变量X的密度函数为p(x)=高w<1

。，其他

求:⑴系数4(2)X落在区间(-；,；)内的概率；⑶X的分布函数

解⑴因为fp(x)dx=l,故

J-00

fp(x)dx=[',dx=Aarcsinx|1.=A(—+—)=1由此得A=—

■71-%2122n

11li11-1

(2)P{__<%<-}=f「--；------dx=-arcsinx\=-

22/万Ji_》2K-3

(3)设X的分布函数为尸(无)，当时，/(x)=P{X4x}=「p(t)dt=「0力=0

J-00J—00

当—时，F(x)=P[X<x}^P{X<-l}+F{-l<X<x}

r-lrxj11

=Odt+——,dt=—+—arcsinx

J""4F?2兀

当x>1时，

F(x)=P{X<x}=P{X<-l}+P{-1<X<x}+P{l<X<x}

=f'odt+f'——J力+fOc/t=1

J-”L乃7i=7J,

综合起来，得

o,当xW-1

F(x)=《一H——arcsinx,当-

27t

1,当X>1

2.某地区的月降水量X(单位：mm)服从正态分布N(40,42),试求该地区连续10

个月降水量都不超过50mm的概率.

解：设人="某月降水量不超过50mm”

r-4050-40

P(A)=P(x<50)=P(-------<----------)=。(2.5)=0.9938

44

观察10个月该地区降水量是否超过50mm,相当做10天贝努利试验

设丫="该地区降水量不超过50mm的月数”，则Y〜B(10,0.9938)

P(Y=10)=0.9938'°=0.9396

3.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数2的泊松分布，

即X~尸(4).据统计资料知，一个月内发生8次交通事故的概率是

发生10次事故概率的2.5倍.

(1)求1个月内发生8次、10次交通事故的概率；

(2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率；

(3)求1个月内最多发生2次交通事故的概率.

解这是泊松分布的应用问题X~PQ),P{X=肩-----，4=0,1,2,....

k\

这里4是未知的，关键是求出/L

据题意有P{X=8}=2.5P{X=10}

58-kjlO_-A

即2^=2.5x2^

8!10!

解出A2=36,Z=6

6fteY6"

CDP{X=8)=--«0.1033P{X=10}=-»--0-.-0413

o!10!

(2)P{X=0}=e"=eT°x0.00248

P{X>1}=1-P{X=0}-0.00248«0.9975

(3)P{X=1}=61=0.01487

62e-6

P{X=2}=-^―工0.04462

P{XW2}=P{X=0}+尸{X=1}+P{X=2}

~0.00248+0.01487+0.04462«0.0620

e~xX>0..

x

4.设随机变量X概率密度为fx(x)=<一，求随机变量Y=e的概率密度/r(y)

0,x<0

解先求出y的分布函数，然后求导数

fo,”1

4(y)=P{y”}=P{eX<)，}=<

P{X<lny},y>l

故yN1时，Fy(y)=P{X<Iny}=£e~xdx

dF，(y)_1

fy(y)

dyy2

[0,y<i

因此fy(y)=«

FyNi

本科概率论与数理统计作业卷(五)

一、填空题

3

1.设X和y为两个随机变量，且P{X20,yN0}=jP{XN0}=P{YN0}

7

4

=—.则P{max(X,/)>0}=

7

解P{max(X,Y)N0}=P{X>0,^/>0}=>0}+P{y>0}-P{X>0,K>0}=1

2.设随机变量X,Y的概率密度分别为八CO=,j'°UI1'"='''

又设x,y相互独立，贝|」〃的二次方程〃2-2x〃+y=o具有实根的概率是.

解由独立性(X,y)的联合概率密度为f(x,)，)=2xe二：d°；

0,其他

又设A={CO：JLI2-2X〃+y=0有实根}={(y：x2-yN0},

.2

故P(A)=y)drdy=J12xe-ydYdy=£2xdxJe-vdy=e-1

D

所以应填e+

3.已知随机变量X与丫相互独立且都服从正态分布如果

P{X+YW1}=；,则〃=.

分析这是一个反问题，即由“p(x+y41)=；”来确定分布中的未知参数〃.

为此需首先要确立X+丫的分布，由题设知X+Y~N(2〃,l),因此有

P(X+/<1)=①=；nl—2〃=0,〃=g.

二、选择题

I.设相互独立的两个随机变量X,丫具有同一分布律，且X的分布律为

则随机变量z=max{X,y}的分布律为

(A)ZI01(B)Z01

(C)Z101(D)Z012

44444

解由于x与丫相互独立，所以p{x=i,y=/}=P{x=%P{y=力

P{Z=i}=P{max(X，丫)=i}=P{X=i,Y<i}+P{X4i,Y=i}

=£p{x=i,y=A}+£p{x=k,y=i},i=o,i

&=0〃=0

P{Z=0}=P{max(X,y)=0}=P(0,0)=二

22

3

P{Z=1}=P{max(X,Y)=1}=P(l,0)+F(0,l)+F(l,l)=—

2'

故Z=max{X,y}的分布律为

所以应选(B).

2.设二维连续型随机变量(X1,X2)与(匕,八)的联合密度分别为p(x，y)，

和g(x,y),令/(x,y)=ap{x,y)+bg(x,y).要使函数/(x,y)是某个二维

随机变量的联合密度，贝布力应满足

(A)q+8=1(B)a>Q,b>Q

(C)0<a<1,0<ZJ<1(D)a20/20&+b=l

，+ooc+oo

解(Z))./(x,y)为密度函数u>/(x,y)N0且[[f(x,y)dxdy^l,

J—00J-oo

由此可推得1=a+b,且ap(x,y)+bg(x,y)>0(Vx,yG/?).

所以选择(D).

对于aN0,/?20,由p(x,y)>0,g(x,y)>0,

得ap(x,y)+bg(x,y)>0,(Vx,ye/?).

如果a<0(或b<0),则对一切x,y有bg(x,y)>(~a)p(x,y),

或ap(x,y)>(-6)g(x,y).此式未必成立.

三、计算、证明题

1.设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及

关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中的空白处

解：

P{X=}=p.

X月Xi

(：)

248G)

2

X

28中申

P{Y=yi]]_1

=Pj6

2.已知随机变量X1和X2的概率分布

-101X201

11111

pP

42422

而且P{X]X2=0}=L(1)求X]和乂2的联合分布;

⑵问X,和x2是否独立？为什么？

解⑴由P{X1X2=O}=1,可见P{X,=-l,X2=1}=P{Xi=l,x2=1}=0

易见P{X,=-l,X2=0}=P{X,=-1}=^；=o,x2=1}=P{X2=1}=^;

P{x,=1,X2=0}=P{X|=1}=；;P{X,=0,X2=0}=l-(i+i+l)=0

(2)由以上结果，可见P{X1=0,X2=0}=0,P[X]=0}P{X2=0}=(H0,

于是X,和x2不独立

r

3.设二维随机变量(x,丫)的概率密度为/(x,y)=1'

■[o,其他

(1)求随机变量X的密度//X);

(2)求概率P{X+K<1}

⑴x〉0时/(x)=『er'dy=eT

解x<0时，fx(x)=0

,x>0

故一‘0,x<

⑵P[X+Y<1}=y)也yd=『也=-p[e-(1'x)-e-x]dx

x+y^\

=1+e^—2e5

4.设随机变量x与丫相互独立,且都在［0,«］上服从均匀分布，求它们的和z=x+y的

分布密度

解/(x)=7”[°'"1而乂,丫独立，所以/(x,y)=—,0<x<a,0<y<a

a~

o,其它0,其它

Fz(z)=P{ZWz}=P{X+yWz}=JJ/(x,y)dxdy

x+y<z

0,z<07

——,0WZ<Q

a~

---2z2,0WzWQ

2a-z/c

=2；，故/z(z)=Fz'(z)=<——--,a<z<2a

a

—[a2--(2a-z)2],0<z<a

a20,其它

1,其它

本科概率论与数理统计作业卷(六)

一、填空题

1.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e&)

解若读者熟悉指数分布的密度函数，并知道由X的密度函数求g(X)的数学期

望一般方法，问题就迎刃而解了.

因为X服从参数为1的指数分布，X的密度函数为

e~z,x>0

fxM=，

0,x<0

故E(X+e<x)=/(x+e-2*)/(x)(k

J—00

=(x+e"2v)e"'dx=-1.

所以应填土

3

2.设离散型随机变量X的分布律为：P{X=2k}=^,攵=1,2/-,则4乂)=.

解E(X)=Z"®)=j2L、=4.

左=13

3.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=灯

=—~,k=0,1,2,…，则随机变量Z=3X-2的数学期望EZ=.

火！

分析本题要求读者熟悉泊松分布的有关性质，并会利用数学期望的性质求

随机变量线性函数的数学期望.

由于X服从参数为2的泊松分布，则EX=2,所以

EZ=E(3X-2)=3EX-2=4

故应填4.

4.箱中有N只球，其中白球数是随机变量X,EX=n,则从箱中任取

一球为白球的概率为.

分析A表示“取到白球”，则

NNn1N1

P(A)=^F{AIX=Z:}F{X=^}=^-.F{X=^=-^^{X=Z：}=-EX=-.

MMNNMNN

故应填2.

N

5.设X,y是两个相互独立且服从正态分布N(0,

则随机变量|x-r|的数学期望E\X-y|=.

解若令z=x-y,则由独立随机变量的性质及正态分布的性质，z服从标准

正态分布N(0,l),则图的数学期望为

二、选择题

1.设P(X=n)=an(n=1,2,…),且EX=1,则a=

3+V575+1

(A)⑻得(C)(D)

22

a3+V5分3-V5

解(B)E(X)=-------=1=>a二-----或a二------------

d-«)222

3-V5

•：P(X=〃)=/,5=1,2,…)0<a<1=a=------

2

2.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则y=X3+C-2X的数学

期望为

IT-7

e~\x>0

解(D)X的密度函数为/(%)=<

0,x<0

所以E(X3)=^x3e-'dx=r(4)=3!,E(e-2x)=£

故£(y)=E(X3)+£(<?-2x)=y

1+X,若—1WxW0

3.设X是一个随机变量，其概率密度为/(x)=<1-X,若0<x<1

0,其它

则数学期望EX

(A)0(B),(c)i%

分析DX=E(X2)-(EX)2

o1

r0fl11_l3

E(X)=L232x

x(l+x)dx+-x)dx=—-x+-x+-X=0

32

-13()

故应选(A).

三、计算证明题

1.设在某一规定时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间X

(以分计)是•个随机变量，其概率密度为

X

0<x<1500

(1500)2’

3000-x

p(x)=<1500<x<3000求E(X).

(1500)2

0,其它

解由连续型随机变量的数学期望定义知:

r+8

EX=\xf(x)dx

J-00

2.若有〃把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试

开门上的锁.设取得每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去，

试用下面两种方法求试开次数X的数学期望.

⑴写出X的分布律；(2)不写出X的分布律.

解⑴X的可能取值为1,2,…,〃

贝U易知：P{X=讣=—~-x———x…xJ=—