高中数学【集合与常用逻辑用语、不等式】

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

第一节集合

新课程标准考向预测

1.集合的基本概念

1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关

命题2.集合间的基本关

系.

角度系

2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述

3.集合的基本运算

不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并

集与交集.核心

数学抽象、数学运算

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的素养

补集.

7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解

抽象概念的作用.

知识重点准疑点清结论要熟记课前自修

［知识梳理］

1.集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性:

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中.

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图莉厂

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为且；不属于，记为生

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N-表示正整数集,N表示自然数集，Z表示整数集,Q表示

有理数集,R表示实数集.

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元

素，则称A是8的子集，记作A三8(或B3A).

(2)真子集：如果集合A是集合8的子集，但集合8中至少有一个元素不属于A,则称A

A-'既要说明A中任何一个元素都属于以也要说明3中至少存在一个元

素不属于A.

(3)集合相等：如果AUB,并且则心§.

两集合相等：4=8今A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个

A33.

元素也符合A中元素的特性.

：0.{0}.0.{0}之间的关

：系抬{0},06{0},

(4)空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合A的

：0={0},()60,()任{0}.

子集，是任何非空集合B的真子集.记作必Z06(0},0£(()}.

3.集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合4且属于集合B的所有元素组成的集合，称为4与3的

交集，记作AD8,即AnB={xlrGA,且

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与8的

并集，记作AUB,即AUB=(x|xeA,或xdB}.

(3)补集：对于一个集合A,由全集。中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A

相对于全集U的补集，简称为集合4的补集,记作［以，即［〃={巾;WU,且泼A}.

求集合4的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U

中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为

［常用结论］

(1)子集的性质：AUA,0=4,4nB

(2)交集的性质：AC1A=A,AH0=0,AQB=BnA.

(3)并集的性质：AUB=BUA,AUBNA,AUB^B,AUA=A,AU0=0UA=A.

(4)补集的性质：AUQA)=U,An(［uA)=。，［贸［UA)=A,［AA=。,CA0=A.

(5)子集的个数：

含有〃个元素的集合共有2"个子集，其中有2"—1个真子集，2"—1个非空子集.

(6)等价关系：AUB=A今A2B.

[基础自测]

一、走进教材

1.(兴修1Pn练习T2改编)已知集合4={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则)

A.{3}B.{5}

C.{3,5}D.{123,4,5,7}

解析：选C因为AC8={1,3,5,7}C{2,3,4,5}={3,5},故选C.

2.(兴修1Pi2A组Ts⑵改编)若集合A={xGNhW，T5},a=2®则下面结论中正确的

是()

A.{Q}—AB.ci—A

C.[a}^AD.aiA

解析：选D因为班不是自然数，所以mA.

3.(必修1Pi5A组T6改编)已知集合4={》以2—21-3忘0},B={x|0<xW4},则AUB=

()

A.[-1,4]B.(0,3]

C.(-l,0JU(l,4JD.[-1,0]U(1,4]

解析：选A/1={^-2%-3<0}={%|-1<%^3},所以AUB={x|-lWx<4}.

二、走出误区

常见误区：①忽视集合的互异性致误；②集合的表示方法理解不到位致误；③集合运算

中端点取值把握不准致误；④忘记空集的情况致误.

4.已知集合A={用+22/+小},若3GA,则机的值为.

3

2

解析：由题意得加+2=3或2m+m=39则m=1或加=一5.当m=1时，m+2=3且

31

2〃於+〃?=3,根据集合元素的互异性可知不满足题意；当机=一$时，m+2=/,而2tn2+m

c”3

=3,故"?=一].

答案：一]3

5.已知集合人={。，y)*+VW3,xeZ,y£Z},则A中元素的个数为

解析：法一：将满足/+y2W3的整数X,y全部列举出来，即(一1,

-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),

共有9个.

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图,

易知在圆炉+),2=3中有9个整点，即为集合A的元素个数.

答案：9

6.设全集U=R,集合A={x|-34<1},8={x|x+l20},则［u(4UB)=.

解析：因为B={x|x>-1},A={x|-3<x<l},所以AU3={x仅>一3},所以］u(AU8)=

{x|xW-3}.

答案：{x|xW-3}

7.已知集合M={x|x—a=O},N=3依-1=0},若MCN=N,则实数a的值是.

解析：易得”={〃}.因为MCN=N,所以NUM,所以N=0^.N=M,所以4=0或4

=±1.

答案：0或1或一1

考点理解透规律明变化究其本课堂讲练

考点一［基础自学过关］

集合的基本概念

［题组练透］

1.设集合A={1,2,3},5={4,5},M={x\x=a+b,a^A,b^B},则M中元素的个数

为()

A.3B.4

C.5D.6

解析：选B{1,2,3},fee{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4.故选B.

2.设。，Z>eR,集合{1,a+h,a}={o,今则/?一〃=()

A.1B.-1

C.2D.-2

解析：选C因为{1,a+hf«}=1o,〃W0,所以Q+Z?=O,则，=—1,所以〃

=-l,b=l,所以b—a=2.故选C.

3.若集合A={x£R|o?—3x+2=0}中只有一个元素，则。=()

人9「9

A，2B.g

9

C.0D.0或弓

o

9

解析：选D当a=0时，显然成立；当时，/=(—3)2—8。=0,即.故选D.

o

4.已知尸={x|2<x<k,xGN},若集合户中恰有3个元素，则后的取值范围为.

解析：因为P中恰有3个元素，所以P={3,4,5},故A的取值范围为5<kW6.

答案：(5,6］

［解题技法］

与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明

白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合.

(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出

字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

考点二［师生共研过关］

集合的基本关系

［例1］(1)设全集U=R，则集合M={0,l,2}和N={xk•(x-2)•log加=0)的关系可表示为

()

⑵已知集合4=3-1令<3},B={x\-m<x<m］,若则m的取值范围为

［解析］⑴♦••N={xM(x-2)log/=0}={1,2},M={0,1,2},

.♦.N是M的真子集，故选A.

(2)当机W0时，B=0,显然BUA.

当，心0时，因为A={x［—l<x<3}.

若在数轴上标出两集合，如图，

—m2—I,

所以V〃?W3,所以0</"W1.

—m<m.

综上所述，”2的取值范围为(-8,］J.

［答案］(1)A(2)(-co,ij

［对点变式］

1.(变条件)若本例(1)中M不变，则满足NM的集合N的个数为(

解析:选C因M={0,l,2},则秋={0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},0.

2.（变条件）若本例⑵中，把条件“8GA”变为“AUB”，其他条件不变，则机的取值范

围为.

一—1,

解析：若AU8,由1{得机23,

，〃?的取值范围为[3,+°°）.

答案：[3,+°°）

[解题技法]

1.集合间基本关系的2种判定方法和1个关键

（1）化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；

两种方法

（2）用列举法（或图示法等）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系

关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和

一个关键

真子集两种关系

2.根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类

讨论，做到不漏解.

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集

合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点

值能否取到.

[跟踪训练]

1.设2=3），=一炉+1,xWR},Q={y\y=2',x《R},贝1（）

A.PQQB.Q三产

C.[RP=QD.。=[RP

解析：选C因为尸={>♦=--+1,xeR}={y[Wl},Q={y\y=2x,xdR}={），|y>0},

所以IRP={）心>1},所以CRPUQ,故选C.

2.（2019•江西上饶重点中学六校第二次联考）己知A=[1,+8）,B=[0,3a-l],若ACBW

。，则实数〃的取值范围是（）

A.[1,+°°）B.r[is，11

弟，+°°）

D.(I,+<»)

解析：选C由题意可得3a—1N1,解得“二2§,即实数”的取值范围是心2，+8,、故选

C.

3.已知集合人={1,2},B={x\x1+nix+\=O,xGR},若BUA,则实数机的取值范围

为.

解析：①若8=0,则/=机2—4<0,解得一2<"?<2.

②若1GB,则1?+,"+1=0,

解得力=-2,此时8={1},符合题意；

③若2G8,则22+2胆+1=0,

解得加=一.此时8=卜，1［,不合题意.

综上所述，实数机的取值范围为［-2,2).

答案：［—2,2)

考点三［定向精析突破］

集合的基本运算

考向(一)集合的运算•

|例2］(1)(2019・沈阳市质量监测)已知全集U={1,3,5,7},集合A=

{1,3},8={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为()

A.{3}B.{7}

C.{3,7}D.{1,3,5}

(2)若集合人二国"一”>。},B={y|y22},则ACB=,(［RA)UB=.

［解析］(1)由题图可知，阴影区域为「MAUB),由并集的概念知，AUB={1,3,5},又U

={1,3,5,7},于是［u(4UB)={7},故选B.

9

(2)因为A={x\2x1—9x>0]=\x-

2或xVO,所以[RA=，又8={y|y22},

所以408=仔,>3p(CRA)UB=[O,+°°).

[答案](1)B(2)f1,+8)[0,+8)

［解题技法］

集合基本运算的方法技巧

」.确比,否市的元去反其濡足的嗦作』口函薮而莞更

「域、值域.一元二次不等式的解集等

HI

J短搪元素滴运的条件解方程或不等式.得;II元素满

「足的最简条件.将集合清晰表示出来

HI

」商用交集或并集的定义求减.必要而可应川数轴或；

H；Venn图来江观解决

考向(二)根据集合运算结果求参数•

［例3］⑴设集合A={x|—lWx<2},8={小<。},若AD3W0,则a的取值范围是()

A.(-1,2］B.(2,+8)

C.11,+°°)D.(-1,+8)

(2)(2019•江西南昌外国语学校适应性测试)已知集合M={x［0<x<5},N={x|，"<x<6},若

MHN={x\3<x<n},则机+”等于()

A.9B.8

C.7D.6

［解析］(1)；AABW0,AA,8有公共元素.作出数轴，如图所示，可得”>一1,即a

的取值范围是(-1,+°°).

-10a12

(2)因为MHN={x|0<x<5}A{x\m<x<6］={x\3<x<n},所以m=3,n=5,因此m+n=8.

故选B.

［答案］(1)D(2)B

［解题技法］

根据集合的运算结果求参数值或范围的方法

(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则用

观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解

决，要注意端点值能否取到.

(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.

(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.

考向(三)集合的新定义问题•

［例4］定义集合的商集运算为豆=jxx=q,mGA,nGBj-,已知集合A={2,4,6},B=

卜卜-1,ZCA］,则集合中的元素个数为()

A.6B.7

C.8D.9

1111

--则U

一

［解析］由题意知，B={0,1,2},亨=10，号B

中2

6J

1°，6"4"y2'l,2}，共有7个元素.

［答案］B

［解题技法］

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,

把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质.解

题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.

［跟踪训练］

1.（2019•全国卷I）已知集合U={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则BD（CuA）

=（）

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7}

解析：选C•/U={123,4,5,6,7},4={2,3,4,5},

，［必={1,6,7}.又8={2,3,6,7},/.8。（（滴）={6,7}.故选C.

2.（2019•内蒙古呼和浩特期中调研）已知集合4={3,1,2},B={\,a}.若ACB=B,则

实数a的取值集合是（）

A.{3}B.{2}

C.{3,2}D.{3,1,2}

解析：选C-：AnB=B,...“=3或2....实数a的取值集合是{3,2}.故选C.

3.（多选）已知全集"=口，函数y=ln（l—x）的定义域为M,集合7={卫/一x<0},则下

列结论正确的是（）

A.MCN=NB.（［网W0

C.MCN=UD.

解析：选AB由题意知M={#v<l},N={x|0Vx<l},，/riN=N.又（uN={4rW0或

,

xel},..Mn（Ct7AT）=k|x^O}^0,MUN={x\x<\］=M,MMluN）,故选A、B.

4.设尸，Q为两个非空实数集合，定义集合P®Q={Z|Z=4M，"GP，b^Q］,若P={一

1,0,1},<2={-2,2},则集合P®Q中元素的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：选B当〃=0时，无论〃取何值，Z=aJrh=0;当〃=—1,/?=—2时，2=；；当

〃=-1,8=2时，Z=-g;当。=1,匕=—2时，Z=—^;当〃=1,5=2时，=去故尸®。

=jo,一；,该集合中共有3个元素.故选B.

［课时过关检测I惑

A级——夯基保分练

1.(2019•天津高考)设集合A={—1,123,5},5={2,3,4}>C={xGR|lWx<3},则(AAC)

UB=()

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4)

解析：选DAAC={-1,1,2,3,5}A{%eR|1^x<3}={1,2},；.(Anc)UB={l,2}U

{2,3,4}={1,2,3,4}.故选D.

2.已知全集(/=&A={xlxW0},B={x\x^\},则集合Cu(AUB)=()

A.{x|x20}B.{xpcWl}

C.{邓)WxWl}D.(x|0<r<l)

解析：选DAUB={x|x<0或x》l},所以]u(4U8)={x[0a<l}.故选D.

3.已知集合4={1,2,3},集合B={x*—5x+4<0},则集合AC8的子集的个数为()

A.4B.3

C.2D.1

解析：选A由/-5x+4<0,得1*4,则集合8={x[l<x<4}.又知A={1,2,3},所以

ACIB={2,3},故集合ACI8的子集个数为22=4.故选A.

4.已知全集U={xGZ|0<x<8},集合M={2,3,5},一=**-8x+12=0},则集合{1,4,7}

为()

A.B.C^wnw)

C.CL<MU7V)D.([MCN

解析：选C由已知得U={1,2,34,5,6,7),N={2,6},MD(CuM={2,3,5}C{1,3,4,5,7}

={3,5},MCN={2},[u(MnA0={134,5,6,7},MUN={2,3,5,6},[u(MU/V)={1,4,7},([

uM)CN={1,4,6,7}D{2,6}=⑹,故选C.

5.已知集合用=卜底+^=lpNJ)欠+1=lp则MCN=()

A.。B.{(4,0),(3,0)}

C.[-3,3]D.[-4,4]

解析：选D由题意可得M={x|-4WxW4},N={y|yGR},所以MriN=[-4,4].故选

6.已知集合4={1,3,a],B={1,a2-a+\],若则实数。=（）

A.-1B.2

C.-1或2D.1或一1或2

解析：选C因为BGA,所以必有/一〃+1=3或/一。+1=。

①若〃一〃+1=3,则后―2=0,解得“=-1或a=2.

当〃=-1时，A={1,3,-1},B={1,3},满足条件；

当a=2时,A={1,3,2）,8={1,3},满足条件.

②若屏一。+1=/则后-24+1=0,解得。=1,

此时集合A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性，所以4=1应舍去.

综上，a=-1或2.故选C.

7.（多选）（2019•四川攀枝花一模）已知集合集={2,3,4},集合AUB={1,2,3,4,5},则集合

B可能为（）

A.{1,2,5}B.{2,3,5}

C.{0,1,5}D.{1,2,3,4,5}

解析：选AD集合A={2,3,4},集合AUB={1,2,3,4,5},所以集合B中必有元素1和5,

且有元素2,3,4中的0个，1个，2个或3个都可以，A、D符合，B、C错误.

8.（多选）已知集合M={y|y=x—因，x《R},N=1yy=（jj',xCR：,则下列选项错误

的是（）

A.M=NB.NNM

C.M=[R7VD.IRN°M

解析：选ABD由题意得M={y|yW0},N={y|y>0},..」RN={y|y<0},故C

正确，A、B、D错误.

9.设集合4={4^一1一2・0},B={4v<l,且xGZ},则ACB=.

解析：依题意得A={x|(x+l)(x—2)W0}={x|—1Wx<2},因此AC8={x[—1<x<l,x

eZ}={-l,0}.

答案：{-1,0)

10.(一题两空)(2019•江苏南京联合调研改编)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},

8={3,5},则ACB=,(滴=.

解析：•.•全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},8={3,5},={3},则。必={2,5}.

答案：{3}{2,5}

11.已知集合A={Mx2+x=o,XGR},则集合A中的元素为.

解析：解方程/+》=0得x=—1或x=0,所以集合4=*5+》=0,xGR}={_1,0},

故集合4中的元素为一1,0.

答案：一1或0

12.设常数“eR,集合A={x|（x-l）G-a）20},B^[x\x^a~\],若AUB=R,则a

的取值范围为.

解析：若a>l,则集合或xWl},画出数轴可知（图略），要使AUB=R,需

要则l<aW2;若a=l,则集合A=R,满足AUB=R,故a=l符合题意；若“<1,

则集合A={x伏Wa或x》l},显然满足AU8=R,故a<l符合题意.综上所述，a的取值范

围为（一8,2].

答案：（-8,2]

B级---提能综合练

13.已知全集已={xGN|-1WXW9},集合A={0,1,3,4},集合8={y|y=2x,x^A],则

([源加([〃)=()

A.{5,7}B.{-1,5,7,9)

C.{5,7,9}D.{-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

解析:选C法一：因为U={xWN|-1WXW9},所以U={0,12,3,4,5,6,7,8,9}.因为集

合4={0,1,3,4},集合8={y|y=2r,x&A},所以8={0,2,6,8}.所以。以={2,5,6,7,8,9},[/

={1,3,4,5,7,9},所以QA)nQB)={5,7,9},故选C.

法二：因为U={xWN|-1WXW9},所以U={0,123,4,5,6,7,8,9}.因为集合A={0』,3,4},

集合8={亦=21xCA},所以B={0,2,6,8}.所以4U8={0,1,2,34,6,8),所以((滴)0([曲)

=CMAU8)={5,7,9},故选C.

14.(2019•山东济南外国语学校10月月考)设集合4=卜|-1<XW2},B={x|x<0},则下

列结论正确的是()

A.(b4)08={川一1<XW2)

B.AnB={x|-l<Jt<0}

C.AU(CRB)={4T20}

D.AUB-0}

解析：选B对于A,(]丛)03={巾忘-1或x>2}n{x|xV0}={x|xW-l},A不正确；

对于C,4U([RB)={X[-1<XW2}U{X|X20}={X|X>-1},C不正确；对于D,AU8={x|xW2},

D不正确；对于B,ACB={x|-lVxV0},B正确.故选B.

15.设尸和Q是两个集合，定义集合尸一Q={x|xGP,且KQ},如果尸={x|log2xWl},

Q={x||x-l|<l},那么尸一。=.

解析：由logMWl,得0<xW2,

所以P={x|0<xW2}.

由|x—11<1,得0<x<2,

所以Q={x|0a<2}.

由题意，得P-Q={2}.

答案：{2}

16.给定集合A,若对于任意a,b^A,有且“一6WA,则称集合A为闭集

合，给出如下三个结论：

①集合A={-4,—2。2,4}为闭集合；

②集合A={川"=3%,ZCZ}为闭集合；

③若集合Ai，4为闭集合，则4UA2为闭集合.

其中正确结论的序号是.

解析：①中，-4+(—2)=—64A,所以①不正确；②中，设n\,mGA,m=3ki,咫=

3%2,kt,k£Z,则n\+m^A,n\~n2^A,所以②正确；③中，令Ai={〃|〃=3Z,&eZ},

A2={n\n=y[2k,k^Z],则4,4为闭集合，但弘+也设(4U42),故不是闭集合，

所以③不正确.

答案：②

第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

新课程标准考向预测

1.全称量词与存在量词

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.充分条件与必要条件

2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与命题角度的判定

3.充分条件、必要条件的

存在量词的意义.

应用

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

核心素养逻辑推理

知识重点准疑点清结论要熟记课前自修

[知识梳理]

1.充分条件、必要条件与充要条件

⑴如果p=>q,则在至必敢充分条件;

①A是8的充分不必要条件是指：A=>B且8MA;

②A的充分不必要条件是B是指：8今A且AMB,在解题中要弄清它们的区别，以免

出现错误.

(2)如果q今p,则p是g的必要条件；

(3)如果既有p今q,又有q今p,记作poq,则〃是q的充要条件.

充要关系与集合的子集之间的关系

设4={x|p(x)},B={x\q(x)},

①若AUB,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

②若AB,则"是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

③若A=B,则p是<7的充要条件.

2.全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词.

(2)全称命题：含有全称量词的命题.

(3)全称命题的符号表示：

形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题，用符号简记为VxGM,〃(x).

3.存在量词与特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.

❷常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何”等；常见的

存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某一个”“有的”等.

(2)特称命题：含有存在量词的命题.

(3)特称命题的符号表示：

形如“存在M中的元素沏，使以赴)成立”的命题，用符号简记为mxoGM，Hxo).

［常用结论］

全称命题与特称命题的否定

全

称

命

全称命题PVxGMp(x)

t题

的

>否

全称量词变对结论进定

为存在量词行否定是

特

称

它的否定予3%oGM,rp(%o)命

题

特

称

命

特称命题P

3asoeA/,p(at0)题

的

否

对结论进

存在量词变定

为全称量词行否定>是

全

称

它的否定”VifWMrpG)命

题

［基础自测］

一、走进教材

1.(选修2—1P27A组T3改编)命题“WxdR,r+x2。”的否定是()

A.3R,M+xoWOB.R>就+x()<0

C.VxCR,N+xWOD.VxCR,x2+x<0

解析：选B由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.故选B.

2.(选修2-IPio练习T3⑵改编)“(x—l)(x+2)=0”是“x=l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B若x=l,则(x-l)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若(x-l)(x+2)

=0,则x的值也可能为-2.故选B.

二、走出误区

常见误区：①全称命题或特称命题的否定致误；②对充分必要条件判断不明致误.

3.命题“WxeR,3/2GN*.使得的否定形式是()

A.VxGR,3/iGN*,使得

B.VxeR,V«eN\使得

C.3xo6R>B«€N,使得”>君

D.2xoeR,VnGN,使得〃

解析：选DV改写为三，三改写为V,〃W/的否定是〃>/，则该命题的否定形式为

“mx()eR,VnGN*,使得心.

4.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是.

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

5.已知XWR,则“X<—1”是“炉>1”的条件.

解析：解不等式/>1,可得X<—1或Q1,所以］<—1是/>1的充分不必要条件.

答案：充分不必要

考点分类.突.破理解透规律明变化究其本课堂讲练

考点一［基础自学过关］

全称命题与特称命题

［题组练透］

X

1.（2020・西安模拟）命题“Vx>0,二Y>0”的否定是（）

A.Bxo<O,［WOB.三郎>O,OWxoWl

X0—1

Y

C.Vx>0,^0D.VxVOQ&Wl

x~1

xX

解析：选B因为->0,所以x<0或x>l,所以—>0的否定是OWxWl,所以命

X-1X-1

题的否定是mxo>0,0WxoWl,故选B.

2.已知命题p：三加0右甩40=2』一机》是增函数，则㈱〃为（）

A.a^eR,y（x）=2'—〃5是减函数

B.VmGR,/）=2*—mx是减函数

C.2w（）eR,“¥）=2"一机标不是增函数

D.V/MGR,式的=2"一，加不是增函数

解析：选D由特称命题的否定可得为"R,y（x）=2"—，〃*不是增函数”.故

选D.

3.下列命题中的假命题是（）

A.VxGR,-0

B.VxeR,2Li>0

C.3xo£R>lgxo<l

D.2xoSR,sinxo+cosxo=2

解析：选DA显然正确；由指数函数的性质知2厂|>0恒成立，所以B正确；当OVx

V10时，lgx<1,所以C正确；因为sinx+cosx=Wsin（x+g）,所以一，iWsinx+cosxW

yj2,所以D错误.故选D.

［解题技法］

1.全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称真假判断方法一判断方法二

真所有对象使命题真否定为假

全称命题