高中数学习题1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第二册 等比数列的前n项和公式

4.3.2等比数列的前n项和同步练习

一.选择题（共8小题）

1.已知等比数列应｝的前〃项和为S“，q=l,4+6=2,若邑=11,则〃的值为

416

（）

A.4B.5C.6D.不存在

2.在各项都为正数的等比数列｛〃“｝中，已知4>1,其前”项积为7；，且兀=4,

则7,取得最大值时，〃的值是（）

A.10B.10或11C.11或12D.12或13

3.已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S,,q+4=9,4+4=竺，则其=（

28

）

A1052115327

A.D.rL.—un,——

81642

4.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有

一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”

意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔

底数第二层灯的盏数为（）

A.3B.6C.96D.192

5.记正项等比数列｛4｝的前“项和为S,,若4=4,S4=5S2,则$6=（)

A.2B.-21C.32D.63

6.设5“是等比数列｛〃“）的前〃项和，若2s3=%+1，2s2=4+1，则4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.已知等比数列｛a,,｝的前”项和为S.，且满足q=2,S-3吟，则数列｛凡｝的

前4项和为（）

A.史B.史r65n70

27812781

8.等比数列｛4｝满足4=1,且,，1工成等差数列，则数列伍“｝的前10项

%

和为（）

A.10B.20C.256D.510

二.多选题（共4小题）

9.已知等比数列｛勺｝的前〃项和为S,,,公比g>l,ncN.,则（）

A.他“｝一定是递增数列

B.他“｝可能是递增数列也可能是递减数列

C.a3,a7,a”仍成等比

D.PnwN*,5,尸0

10.已知等比数列｛七｝公比为q,前〃项和为S“，且满足4=8%，则下列说法正

确的是（）

A.q=2B.邑=9

$3

C.S3,S6,品成等比数列D.S„=2an+at

11.设等比数列｛4｝的公比为夕，其前〃项和为S“，前”项积为7；,并满足条件

q>l,且%）20%>21>1，（%）20-1）（。2021-1）<0，卜列结论正确的是（）

A,^2020<$2021B•a2»10a2022-1<0

C.数列区｝无最大值D.（⑼是数列工｝中的最大值

12.设等比数列｛4｝的公比为q,其前〃项和为5“，前〃项积为7“，并满足条件

4>1,%）19a2020>1，~-<0,下列结论正确的是（）

“2020-]

A.S2019Vs2020“2019"2021—I<°

C.%20是数列｛。｝中的最大值D.数列国,｝无最大值

三.填空题（共4小题）

13.已知等比数歹!]他“）的前w项和S“=ax3"-2,则〃=.

14.设等比数列｛““｝的前”项和为5,，若4+12=0,邑+12=0,则％+%=-

15.已知数列应｝为等比数列，4=32,公比q=若7；是数列应｝的前〃项积,

则当〃=时，7；有最大值为.

16.已知等比数列｛〃〃｝的公比夕>1,前〃项和为S〃，%[=a,4+46=5,则

$20=

:一♦

四.解答题（共4小题）

17.在各项都是正数的等比数列｛〃"｝中，4=1,%=4%.

(I)求数列｛““｝的通项公式；

(H)记S.为数列｛对｝的前"项和，若S,“=31,求正整数m的值.

18.在递增的等比数列｛6J中，出=9,々2+4=30.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)若2=log.34”，求数列电｝的前〃项和.

19.已知等比数列｛叫满足公比4=2,前3项和$3=7.等差数列也｝满足仇=4，

4+々=0.

(1)求｛4｝的通项公式；

(II)设T“是｛么｝的前〃项和，求7；的最大值.

20.设伍“｝是等差数列，其前〃项和为S,,,电｝是等比数列，公比大于0,其前和

为T”.已知4=1,4=d+2,d=%+%，4=4+24.

(1)求S,和，；

(2)若邑+(工+为+…+7；)=%+也,求正整数〃的值.

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1•【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为％

若4=1,%+%=：,即4+%=1+/=[,解可得q=土;，

当4」时，若S“=U，即皿二82=2（1-二）=1,此时无解，

2"16\-qT16

当44时，若5“="，即）=—#-=U，即1-（」）"=生，解可得〃=5,

2"16\-q316232

2

故〃=5,

故选：B.

2.【解答】解：因为等比数列的前〃项积为7；,且兀=（，

所以%,%>•斯=1，

所以8=1,所以牝=1，

又q>1,所以当11时，a”>1，

当〃..13时，0<a„<l,

所以6，%为前〃项积的最大值.

故选：C.

3.【解答】解：根据题意，设等比数列｛4｝的公比为q,q>0,

_____45

则有有“=、陛运=4=1,

'q+4\52

V2

又由q+g=4+'|0，解可得4=1.

211

所以$5=

-1?

故选：B.

4.【解答】解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为｛%｝,

则数列他“｝是以2为公比的等比数列，

则有S?==（27-1）<?]=127a,=381»

解得4=3,则4=a4=3x2,=96>

则该塔从塔底数第二层灯的盏数为96.

故选：C.

5•【解答】解：根据题意，设等比数列｛4｝的公比为q,（4>0）

若邑=5工，贝则—山=5，"（一步,解可得d=4,

\-q\-q

又由q>0,则q=2,

又由生=4,则q=4=1,

q

则$6=小匕©=63,

i-q

故选：D.

6.【解答】解：2s3=%+1，2邑=%+L

两式相减可得2%=%-%,即4=3。3，则公比q=3,

/.2(4+34)=9%+1,

q=-1,

故选：B.

7•【解答】解：根据题意，设等比数列｛4｝的公比为外

若q=2,S4-S3=—,E|J6/4=—,

4327427

则夕3=5=,则4=2,

q273

故数列｛““｝的前4项和与=我贮=空，

\-q27

故选：A.

8.【解答】解：设等比数列｛”“｝的公比为仆

2

贝Uq=］，a2=q,a3=q,

L成等差数列，

axa2a3

2,1

一二1-I—T，

qq

：.(q~1)~=0,

：.q=\,

故数列｛a„｝的前10项和为10q=10;

故选：A.

二.多选题(共4小题)

9.【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,当q<0时，若g>l,｛q｝为递减数列，A错误，

对于3,已知4>1,当q<0时，｛4｝为递减数列，当q>0时，伍“｝为递增数列，

8正确，

对于C,数列｛%｝为等比数列，则为，%,人仍成等比，C正确，

对于。，等比数列口｝中，4>1,则S“=必有5,尸0,。正确，

i-q

故选：BCD.

10•【解答】解：根据题意，等比数列｛凡｝中，

对于A,若4=8见，则有4—^=8,解可得4=2,A正确，

%

4(1-/)

对于5,由4=2,则2=上<=*=9,3正确，

57

1一夕

对于C,由4=2,则$3=皿二◎=7《，$6=4"力=634,=""")=51lq,

1-i7\-q\-q

S『S6，Sg不是等比数列，C错误，

M

对于£>,由q=2,则S"=(2-1)0],a„=alxq"-'=2"-'%,S„=2ali+q不成

"q

立，。错误,

故选：AB.

11.【解答】解：根据题意，等比数列｛4｝的公比为q,若内加々⑼>1，则

（q/9）（4产。）=（%>（产）9>i,

又由4>1,必有4>0,则数列伍“｝各项均为正值，

若（《2020—1）（%>21-1）<°，必有。2020>1，0<02021<1,则必有。<4<1，

依次分析选项：

对于A,数列｛q｝各项均为正值，则S"S202G=*>0,必有邑020Vs诋，A正确;

对于B,若Ova2021c1,贝!|a2020aM22—1=（02G21）2—1<0,5正确，

对于C,根据4>%>...>］侬>1>—>...>0,可知（020是数列亿,｝中的最大项，

C错误；

对于O,易得。正确，

故选：ABD.

12•【解答】解：根据题意，等比数列&｝的公比为夕，若a刈4⑼>1,则

20,8|924037

（«,9）（«,^）=（«|）（（?）>1,

又由q>l,必有q>0,则数列｛《,｝各项均为正值，

又由&U1二<0,即―）（峻-1）<0,则有卜99;或

“2020一।1^2020>11^2020<1

又由4>1,必有0<”1,则有［"'"I,

［“2020<1

对于A，有420-S刈9=*>0，即5239<邑回，则A正确;

2

对于8，有a2020<1,则a20l9a202l=(a2O2O)<1,贝BIE确；

对于。，K^>1则是数列",｝中的最大值，c错误，同理。错误;

1«2020<1

故选：AB.

三.填空题(共4小题)

13.【解答】解：根据题意，等比数列｛为｝的前〃项和S,=〃x3"-2,

则4=S]=3〃-2,

%=$2-=(9a—2)—(3a—2)-6a，

a3=s3-s2=(27a-2)-(9a-2)=18a,

则有(3a-2)xl8a=(6a)2,

解可得a=2或。=0(舍)

故4=2,

故答案为：2

14•【解答】解：根据题意，设等比数列｛《｝的公比为外

若%+12=0,$3+12=0,即％=T2,53=-12,

贝U有S3=4+1+〃3=-12+^^+—^=-12,解得q=-l,

qq

则4+45=—05+“5=0，

故答案为：0.

15.【解答】解：根据题意，数列伍“｝为等比数列，4=32,公比q=L,则

6

a„=aiq'-'=2-,

当〃=6时，当〃v6时，＞1,当〃＞6时，＜1，

若《是数列｛”“｝的前〃项积，当”..2时，〃,=工，

4一1

则当〃＜6时，岂＞1,贝1J7；〉?；一，

当〃＞6时，，＜1，则毒＜如，

4T

当〃=6时，?=1，则4=加，

故当〃=5或6D寸，7；有最大值，且其最大值7；="=32xl6x8x4x2xl=32768,

故答案为：5或6,32768.

16•【解答】解：•.,等比数列｛〃〃｝的公比q＞1,前〃项和为S“，。［1=瓜,4+〃16=5,

4夕"，=瓜

手痫5=5,

=5

令t=d，则府-%+而=0,解得"逅或”逅,

32

1.।.瓜5V6

22

.上=上4----------=1+/。=2.

510~^~(1一心2

1-9

故答案为：—.

2

四.解答题（共4小题）

17.【解答】解：（I）设等比数列｛”“｝的公比为q，

•在各项都是正数的等比数列｛a“｝中，q=l,

O解得

数列U｝的通项公式与=21-'.

（II）记S“为数列｛4｝的前”项和,

..£=31,.•£=3口2=31,

w1-2

解得正整数m=5.

18•【解答】解：（1）根