2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十五平行直线与异面直线含解析新人教B版必修第四册

PAGE十五平行直线与异面直线(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题中,正确的结论有 ()A.假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.假如一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.假如两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线相互平行【解析】选BD.由空间平行直线的传递性及等角定理知,只有BD正确.2.直线a∥b,直线b与c相交,则直线a,c肯定不存在的位置关系是 ()A.相交 B.平行C.异面 D.无法推断【解析】选B.如图,a与c相交或异面.3.空间四边形ABCD中,给出下列说法:①直线AB与CD异面;②对角线AC与BD相交;③四条边不能都相等;④四条边的中点组成一个平行四边形.其中正确说法的个数是 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.由定义知①正确;②错误,否则A,B,C,D四点共面;③不正确,可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度,就成为四边相等的空间四边形;④正确,由平行四边形的判定定理可证.4.下列结论正确的是 ()A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交【解析】选D.空间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的对角线不相交,否则四个顶点共面,故选D.5.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 ()A.全等 B.不相像C.仅有一个角相等 D.相像【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等.6.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 ()A.1对 B.2对C.3对 D.4对【解析】选C.依据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=________.

【解析】由等角定理可知β=135°.答案:135°8.如图,在空间四边形ABCD中,AB与CD,AD与BC,BD与AC的位置关系是________.

【解析】假设AB与CD共面,则A,B,C,D在同一个平面内,这与四边形ABCD是空间四边形冲突,所以,AB与CD是异面直线,同理可得AD与BC,BD与AC也是异面直线.答案:异面三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知空间四边形ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系.【解析】由已知得E,F不重合.设△BCD所在平面为α,则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,所以AE与DF异面.10.如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于O点,且QUOTE=QUOTE=QUOTE,求证:△ABC∽△A1B1C1.【证明】因为AA1与BB1交于点O,且QUOTE=QUOTE,所以A1B1∥AB,同理A1C1∥AC,B1C1∥BC,又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1,所以△ABC∽△A1B1C1.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)给出以下四个命题:A.不共面的四点中,其中随意三点不共线B.若点X,Y,Z,W共面,点X,Y,Z,V共面,则点X,Y,Z,V,W共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面其中不正确的命题是 ()【解析】选BCD.A假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面冲突,故其中随意三点不共线,所以A正确;B如图,两个相交平面有三个公共点X,Y,Z,但X,Y,Z,V,W不共面;C明显不正确;D不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.2.下列四个结论中假命题的个数是 ()①垂直于同始终线的两条直线相互平行;②平行于同始终线的两直线平行;③若直线a,b,c满意a∥b,b⊥c,则a⊥c;④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.①④均为假命题.①可举反例,如a,b,c三线两两垂直.④如图甲时,c,d与异面直线l1,l2交于四个点,此时c,d异面;当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c,d共面相交.3.已知直线a,b和平面α,a⊂α,则“b⊄α”是“b与a异面”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由题意,若直线b不在平面α内,则b与α相交或b∥α,不肯定有b与a异面,反之,若b与a异面,肯定有直线b不在平面α内,即“b⊄α”是“b与a异面”的必要不充分条件.4.已知异面直线a,b,有a⊂α,b⊂β且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是 ()A.c与a,b都相交B.c与a,b都不相交C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,b中的一条相交【解析】选D.若c与a,b都不相交,因为c与a在α内,所以a∥c.又c与b都在β内,所以b∥c,所以a∥b,与已知条件冲突.如图,只有以下三种状况.二、填空题(每小题4分,共16分)5.空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则MN

QUOTE(AC+BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“=”符号)【解析】取BC中点E,连接EM,EN,则QUOTE所以EM+EN=QUOTE(AC+BD),又EM+EN>MN,所以MN<QUOTE(AC+BD).答案:<6.如图,在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是________.

【解析】依据正方体的特征可得:①BM与ED是异面直线,①错误;②CN与BM是异面直线,②正确;③由已知可证四边形BCNE是平行四边形,所以CN与BE是平行直线,③错误;④DN与BM是异面直线,④正确.答案:②④7.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________.

【解题指南】只需推断GH与MN是否平行或相交,若两直线既不平行也不相交,则两直线异面.【解析】①中直线GH与MN平行,③中GM∥HN,且GM≠HN,所以GH与MN必相交.②④中GH,MN是异面直线.答案:②④8.a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b肯定是异面直线;④若a,b与c成等角,则a∥b.其中正确的命题是________(只填序号).

【解析】由平行直线的传递性知①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故③不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故④不正确.答案:①三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.【证明】在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,所以EF∥AB,EF=QUOTEAB.同理GH∥DC,GH=QUOTEDC,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD.所以EF∥GH,EF=GH.所以四边形EFGH是平行四边形.10.(12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:BF∥ED1.【证明】如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE.因为F为CC1的中点且ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以BG∥C1F,且BG=C1F,即四边形BGC1F为平行四边形.所以BF∥GC1.又EG∥A1B1,A1B1∥C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1,所以EG∥C1D1,且EG=C1D1,即四边形EGC1D1为平行四边形.所以ED1∥GC1.所以BF∥ED1.11.(14分)已知:如图所示