高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业十三答案

第13练三角函数的图象与性质

等积累运用

【知识梳理】

1.正弦函数、余弦函数的图象

函数尸y=cosx

Vy

________11

\『/烈,

图象-2?\-V/O

\/3rr5:

L.2―-一—■•

ZS-1?-1

图象画法五产富去五点法

(0.0),C，1),(2L(0,1),6,0),(n,-1),

0),

关键五点

-1),(2兀，(手,0),(2n,1)

正（余）弦曲线正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线

2.函数的周期性

1）函数的周期性

一般地，设函数./（x）的定义域为£>,如果存在一个非零常数T,使得对每一个xG。都有x+Te。，且"+

C="）,那么函数人x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

2）最小正周期

如果在周期函数ZU）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做兀v）的最小正周期.

3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数y=sinxy=cosx

yy

\_2L/T\31rZ

图象-2“\20/:\号V一-2於F卜”/V

/BTT-VT)如1

上五A

定义域RR

周期2E(kCZ且&H0)2E(AGZ且上#0)

最小正周期2n2兀

奇偶性奇函数偶函数

4.正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数余弦函数

y

y'IT

1・・丁\・-11

图象'二不7

____Xox

定义域R

值域Ll,ll［一口1

在每一个闭区间2%兀一彳,2%兀+今

在每一个闭区间［2版一兀,2祈］（%ez）上

伏CZ）上都单调J的增，都单调递增，

单调性

2也+看2E+竽在每一个闭区间［2E,2E+7t］（keZ）上

在每一个闭区间

都单调递减

依62）上都单调：1的减

兀71

元=,+2E(A£Z)时，ymax=l;「=一2+元=她(左£2)时，ymax=1；

最值

X=2攵兀+兀(攵£Z)时，yin=-1

2E(*Z)时,Jmin=-1m

对称中心：（E,0）&£Z）jr

对称中心：（航+爹，0）（&ez）

对称性

对称轴：x=kTt+^kGZ

f对称轴：x=E,kGZ

5.正切函数的图象与性质

【易错点拨】

2兀

1.函数y=加吊（5+8）或丁=入05（5+8）（其中/4,co,9是常数，且4W0,3#0）的周期为7=面.

⑴周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足人犬+7）=大幻不能说T是«x）的

周期.

(2)从等式“Xx+7)=/U)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期.(3)如果T是函数式x)

的周期，那么ZTUez,A:WO)也一定是函数_/U)的周期.

(4)周期函数的定义域不一定是R,但一定是无限集.

(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y=O(xGR).

2.单调区间漏写住Z；求值域时忽视sinx,cosx本身具有的范围.

3.忽略函数的有界性与函数定义域.

基础过关练

I.(2021.山西英才学校高一阶段练习)sinl°,sinl,sin万。的大小顺序是()

A.sinl°<sinl<sin7r0B.sinl°<sin乃。<sin1

C.sin^-°<sin10<sin1D.sinl<sinl°<sin^°

【答案】B

【解析】

1QHO

解：因为sinl=sin---,

冗

函数y=sinx在(0,1)匕递增，＜乎＜90。，

所以sinl°<sin;r°<sin----,即sinl°vsin万°vsinl.

71

故选：B.

2.(2021•陕西•西北工业大学附属中学高一阶段练习)设函数/(x)=cos(*S，下列结论正确的是(

)

A.“X)的一个周期是2万

B.y=/(x)的图象关于直线对称

C.+的一个零点为x

D.”x)在(F,号)上单调递减

【答案】B

【解析】

解：因为〃x)=cos(gx-?),所以函数的最小正周期,=丁=4",故A错误;

当x=_弓时/1_q^)=cos［；x(-与＞q)=cos(-%)=T,所以函数y=/(x)关于x=_?对称，故B

正确;

因为小+5=C0S*+£|高=cos(*3所以当X=1时

外r\75万万71卜)co(1sf57r^F71卜A＜爷7t=1片0..,故.,户5不万小口是r\个+/样T|的零i点_，.故»C错A44.误'□;

一（5%11乃、”…1兀，乃34、E、，r明，乃1〜乂、比，

当尤€W，一，所以不工一可£不，?，因为函数y=COSX在不,f」二不单调,

\。）4J\乙乙Jk乙乙J

上不单调，故D错误;

故选：B

7T

3.（2021•全国•高一课时练习）函数/（x）=-2sinx+l,兀]的值域是（）

A.[-3,1]B.[-1,3]C.1川D.[1.3J

【答案】B

【解析】

7T

xe[——,Jt],故sinxe[-Ll],故-2sinx+le[-l,3],

2

故选：B.

4.（2021•全国•高一单元测试）函数y=（cos2;rx+5）的最小正周期是一

【答案】1

【解析】

函数），=（COS2G+M的最小正周期7=弃=1.

I4J2万

故答案为：1

5.（2021.全国.高一课时练习）若,则函数〃x）=V5cosx-sin2x的最大值是______

63

【答案】I

【解析】

/（x）=>/3cosx-sin2x=cos2x+\/3cosx-1=cosx+亭]一（，

TTTT

设cosx二f,因为一KxW一,

所哮皿4冬即K考

7五1叵

又函数*在2'V上单调递增,

故〃入x="芋卜;，所以“X）的最大值为力

故答案为：4

4

6.（2021・四川遂宁•模拟预测（理））已知函数/（x）=2sin（2x-J）+2,则〃x）的对称中心为___________.

6

【答案】（"+[,2）（丘Z）

212

【解析】

令2xJ=WkeZ）=x="+白化eZ）,则/（x）的对称中心为（当+白,2汝eZ）.

o212\2127

故答案为：（与+春2）（%wZ）.

Z7JTflTT

7.（2021・全国•高一课时练习）若函数〃x）=tanx在区间上是增函数，则实数。的取值范围是

【答案】（0,1）

【解析】

因为?>一?，所以。>0，

23

所以不->0,--<0,

23

因为/（x）=tanx在（-*/）上单调递增，

。>0

所以一号解得：0<4<1.

anTI

一<—

22

所以实数。的取值范围是（0,1）,

故答案为：（0,1）.

8.（2021,全国•高一课时练习）求函数y=tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间卜肛句内的图象.

【答案】答案见解析

【解析】

要使函数丫=12112N有意义,

必须且只需2XW工+左/，kwZ,即竺，kwZ,

242

函数y=tan2x的定义域为［xeRxx?+当,ZezJ.

4k兀冗

设，=2x,由xw—+—,攵£2知”，一+左乃，kwZ,

422

y=tanf的值域为(y,+oo),即丁=121121的值域为(y,*o).

由tan2［x+/)=tan(2x+4)=tan2x,

TT

：.尸tan2x的周期为,

函数y=tan2x在区间［一应句内的图象如图下图所示：

9.(2021.福建•三明一中高一阶段练习)设函数f(x)=sin(2x-?J,xeR.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间；

7137r

(2)求函数/⑸在区间三,十上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.

【答案】

TT377

(1)7=万，Ax)的单调递增区间为-工+k乃，七+k兀，丘Z；/(x)的单调递减区间为

OO

3^.7^._

---FK,7T---FK7T，攵£Z.

L8y8J

⑵当x4时，/(x)max=l;当》=与时，—=_坐.

o42

【解析】

(1)函数/(X)的最小正周期7=彳="，

令一］+2ATTW2x——+2左乃,ZeZ,得一1+k7t<xW+k4、左£Z；

令工+2攵万<2x-—<—+2k兀,Z£Z,得—+k/r<x<—+krc,keZ.

24288

TT37r37r77r

所以/(x)的单调递增区间为一二+ht，F+k兀，林Z；/(X)的单调递减区间为—+k7r,—+k7r,keZ.

⑵因为铝咛，所以0—号号，

所以当2x-7=5即时，/*）有最大值，最大值为/（x）3=m=i：

._TC57r口37c.

当2x*=7即'=彳时'/（X）有最小值,最小值为〃xLn=/

10.（2021•四川郸都•高一期末）已知函数/。）=2<:05（2犬-勺+1.

（1）求函数/*）取最大值时x的取值集合；

（2）求函数J"）的单调递增区间.

【答案】（1）{x|x=A万+2，keZ}.（2）[&-1，版+当，keZ.

636

【解析】

TTTT

解：（1）当cos（2x—百）=1,2x——=2k7r,AcZ时，

TT

函数f（x）=2cos（2x-丁+1取得最大值3,

汽

此时X=ATT+—,keZ、

6

所以函数了⑶取得最大值时工的取值集合为3x=A4+g,keZ].

6

（2）由2%万一战金工一22k/r,keZ,

3

TT-rr

求得领kk/rT—,keZ、

36

故函数/（X）的单调递增区间为伙乃-f,立+刍，kwZ.

tote

11.(2021.重庆市永川北山中学校高一期末)设函数〃x)为定义域为R的奇函数，且f(x)=/(2-x),当

时，〃x)=sinx,则函数8(力=以>5胃-/3在区间［-5,8］上的所有零点的和为.

【答案】6

【解析】

由于函数y=〃x)为定义域为R的奇函数，则〃x)=/(2-x)=—〃x—2),

.-./(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以，函数y=/(x)是周期为4的周期函数，

作出函数与函数y=cosw在区间［-5,8］上的图象，如下图所示：

由图象可知，函数y=〃x)与函数y=cos彳在区间［-5,8］上的图象共有6个交点，

且有3对关于直线x=l对称，

JTX

因此，函数g(x)=COS《--f(X)在区间［-5,8］上的所有零点的和为2x3=6.

故答案为：6.

12.(2021・全国•高一期末)已知函数/(》)=$皿5:+9)(0>0,|夕区1］,工=-1为了(工)的零点，x=工为/'(x)

k2；44

图象的对称轴.

(1)若f(x)在［0,27］内有且仅有6个零点，求Ax)；

(2)若Ax)在上单调，求。的最大值.

\Io3o)

【答案】(1)/(x)=sin(3x-*(2)9.

【解析】

(I)因为x=-(是f(x)的零点，x为"X)图象的对称轴，

所以卜ZJ=F一,T("wN),所以27=(2“+l)T(〃eN),

因为“X）在［0,2句内有且仅有6个零点,

57

分析正弦函数函数图象可知：6个零点对应的最短区间长度为=7,最长的区间长度小于（T,

22

所以皂42万〈父，所以“4（2〃+l）7<K,〃€N,

222''2

所以*42〃+l<?,〃eN,所以〃=1,所以7=生=至，所以。=3,

22co3

所以/（x）=sin（3x+e）,代入》=一（，所以/（-?）=$出（