中考数学二轮复习模拟题 专题七 二次函数与角度的问题（解析版）

专题七二次函数与角度的问题一、填空题1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为___________．【答案】【分析】先求出点，，证明是等腰直角三角形，则，由得到，设直线与y轴交点为点D,可证是等腰直角三角形，，得到D的坐标是，用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式与二次函数联立，解方程组即可得到点P的横坐标的值．【详解】解：当时，，解得，由题意可知，，当时，，∴，如图所示，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，设直线与y轴的交点为点D,∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴点D的坐标是，设直线的解析式为，把代入得，，解得，∴直线的解析式为，联立得，，解得或,即点P的坐标是，∴点P的横坐标的值为．故答案为：2．（2022·吉林·吉林省实验校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．【答案】3【分析】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值.【详解】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1），由题意得直线l的表达式为直线y=m，当y=m时，可得方程原方程整理可得，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=，（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=36-20+16m=16+16m∵直线l与抛物线交于点B和点C，故m＞-1，∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,∴BC=2AD，BC2=4AD2，16+16m=4（m+1）2整理得，m2-2m-3=0解得m=3或m=-1（舍去）即m=3.故答案为3.3．（2021春·九年级单元测试）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为__________．【答案】或【分析】讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图所示，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，根据半径相等得到，解方程求出t得到圆心的坐标为，然后确定的半径为，从而得到此时M点的坐标；当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，通过证明可判断在x轴上，则点的坐标为，然后计算DM即可得到此时M点坐标．【详解】（1）当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，∵△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，则，∴，解得，∴圆心的坐标为，∴，即的半径为，此时M点的坐标为．当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，∵，∴，∵轴，∴，∴，在x轴上，∴点的坐标为，∴，∴，此时点M的坐标为．综上所述，点M的坐标为或．二、解答题4．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，．（1）求的值；（2）点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；（3）将抛物线向下平移个单位，平移后的图像与直线分别交于点、两点（点在点的左侧），设平移后的顶点为，与轴的交点为，问：是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1；（2）；(3)m=2【分析】（1）求出D点坐标，代入抛物线解析式即可求出a的值；（2）首先求得，再分两种情况求出MN的值即可；（3）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，进一步证得为等腰直角三角形，是正方形，得到，代入新抛物线即可求得结论．【详解】（1）∵，，即．(2)由知其对称轴为x=-1，如图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则；由(1)的抛物线：，得：在中，．若，则；当M在x轴上方时，在中，∴∴MN=6∴；同理可得，当点M在x轴下方时可得，M；故．(3)存在∵，∴四边形为平行四边形，，，，即为等腰直角三角形，是正方形．与互相垂直平分，且，由点F在新抛物线上，代入解得或(舍)，∴当时，．5．（2020春·福建三明·九年级统考期中）如图，抛物线yax2bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B．（1）直接写出A，B两点的坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）直线ykxm（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，连接OB，当∠OBA120°，≤k≤时，求的取值范围．【答案】（1）A（，0），B（，）；（2）见解析；（3）≤≤【分析】（1）令y=0，可求A点坐标，根据顶点公式可求B点坐标．（2）如图作BF⊥AO，根据根的判别式得出E点的坐标，再利tan∠CEO=得出∠BAF∠CEO，即可证CE∥AB；（3）由∠ABO=120°，可得∠BAF30°，可求b的值，再利用△COE∽△BFA，可求得的取值范围．【详解】解：（1）当y=0时，有ax2+bx=0，解得：x1=0，x2=-，∴点A的坐标为（-，0）．∵抛物线y=ax2+bx=a（x+）2-，∴点B的坐标为（-，-）；（2）过点B作BF⊥x轴于F，∴直线BF为抛物线的对称轴，且F（，0）．∵a＞0，b＜0，k＞0，∴BF，AFOF，∴tan∠BAF=，∵直线ykxm过点B（，），∴m＜0，把ykx代入yax2bx，得ax2bxkx，化简，得ax2(bk)x0，Δ(bk)24ak2，解得x1，x2＞0，∵点D不与点A重合，∴D点的横坐标为，∴E（，0），∴OE，OC，∴tan∠CEO=，∵∠BAF与∠CEO为两直角三角形中的锐角，∴∠BAF∠CEO，∴AB∥CE；（3）由（2）得BF⊥OA，FOFA，∴BOBA，∵∠OBA120°，∴∠BAF30°，∴tan∠BAF，∴b．∵∠COE∠BFA90°，∠BAF∠CEO，∴△COE∽△BFA，由（2）得BF，OC，∴．∵≤k≤，∴≤≤4，∵1＞0，∴当≤≤4时，随着的增大而减小，时，取得最大，最大值为；4时，取得最小，最小值为．∴≤≤．6．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标．（2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为．【答案】（1），（-1，-4）；（2）（-2，-3）或（-4，5）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，抛物线过A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解方程组，求出解析式配方为顶点式即可；（2）先用待定系数法求出AC解析式，设PB解析式为，过点B（1，0）根据PB∥AC，得出，PB解析式为，联立方程组求解得出点P（-4，5）再根据OA=3，OC=3，∠AOC=90°，OA=OC，△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，△EOB为等腰直角三角形，求出PB解析式为，联立方程组即可．【详解】解：（1）∵抛物线过A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解得：，抛物线，抛物线，抛物线的顶点（-1，-4）；（2）当PB∥AC时，∠CAO=∠PBO，设AC解析式为把A、C坐标代入得：，解得，AC解析式为，设PB解析式为，过点B（1，0），∵PBAC，∴，∴，∴，∴PB解析式为，点P在直线PB与抛物线上，∴，消去y得，解得，，点P（-4，5），，点B（1，0），∵OA=3，OC=3，∠AOC＝90°，OA=OC，∴△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，PB交y轴于E，∵∠BOE=90°，∴OE=OB=1，点E（0，-1），设BE解析式为，把B、E坐标代入得：，解得，∴BE解析式为，点P在直线BE与抛物线上，，消去y得，解得，当，P（-2，-3），当，B（1，0）．综合得当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为（-2，-3）或（-4，5）．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2)找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明；(3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）(2)∠ACB，证明见解析(3)点P坐标为（，）【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；依据配方法求出顶点坐标；（2）先证出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，求出tan∠DAC，得∠DAC=∠OCB，即可求解；（3）设点P的坐标为（m，-m2-2m+3），当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大，过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E，求出直线AC的函数关系式，表示出点E的坐标，得S△PAC关于m的二次函数，利用二次函数的性质，即可求解．(1)解：把点B（1，0），点C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；(2)解：图中与∠DAB相等的一个角是∠ACB，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A点坐标为（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∴∠CAO＝∠OCA＝45°，在Rt△BOC中，tan∠OCB，∵A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0），C点坐标为（0，3），∴AC＝3，DC，AD＝2，∴AC2+DC2＝20，AD2＝20，∴AC2+DC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴tan∠DAC，∴∠DAC＝∠OCB，∴∠DAC+∠CAO＝∠BCO+∠OCA，即∠DAB＝∠ACB；(3)解：设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大，过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E，设直线AC的函数关系式为：y＝kx+b，把点A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得：，∴直线AC的函数关系式为：y＝x+3，∴点E的坐标为（m，m+3），∴S△PAC[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×3m2m（m）2，又∵S△PAC×P到直线AC的距离，由二次函数性质，当m时，△PAC的面积最大，即点P到直线AC的距离最大，∴点P坐标为（，）．8．（2022·湖北咸宁·校考一模）如图1，直线y=ax²+4ax+c与x轴交于点A（-6，0）和点B，与y轴交于点C，且OC=3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC的解析式；(2)抛物线的顶点为D，F为抛物线在第四象限的一点，直线AF解析式为，求∠CAF-∠CAD的度数．(3)如图2，若点P是抛物线上的一个动点，作PQ⊥y轴垂足为点Q，直线PQ交直线AC于E，再过点E作x轴的垂线垂足为R，线段QR最短时，点P的坐标及QR的最短长度．【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x²-2x+6，直线BC的解析式为y=x+6(2)45°(3)点P的坐标为（-2+，3）或（-2-，3），QR的最短长度为【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线=-2，可得B（2，0），再由OC=3OB，可得C（0，6），然后将B、C两点坐标代入抛物线解析式，即可求解；（2）先求出顶点D(-2，8)，过D作DM⊥y轴于M，连接CD，设直线AF交y轴于点N，则M（0，8），从而得到∠MCD=45°，CD=2，再由C（0，6），点A（-6，0），可得∠OCA=45°，从而得到∠ACD=90°，AC=，可得到，再由直线AF：，可得，从而得到∠CAD=∠BAF，即可求解；（3）连接OE，由四边形OQER为矩形，可得对角线QR=OE，从而得到当OE⊥AC时，QR=OE最短，再由直角三角形的性质可得QR=OE=AC=3，再求出E（-3，3），可得P点纵坐标为3，即可求解．（1）解：∵抛物线的对称轴为直线=-2，点A和点B关于对称轴对称，点A（-6，0），∴B（2，0），∴OB=2，∴OC=3OB=6，∴C（0，6）将B、C两点坐标代入抛物线解析式，得：，解得a=-，c=6，故抛物线的解析式为：y=-x²-2x+6，设直线BC的解析式为y=kx+m，将A、C两点坐标代入得：，解得：k=1，c=6，故直线BC的解析式为y=x+6；（2）解：∵y=-x²-2x+6=-(x+2)²+8，∴顶点D(-2，8)，过D作DM⊥y轴于M，连接CD，设直线AF交y轴于点N，则M（0，8），∵C（0，6），∴DM=CM=2，∴∠MCD=45°，CD=2，又点A（-6，0），∴OA=OC=6，∴∠OCA=45°，∴∠ACD=90°，AC=，Rt△ACD中，，∵直线AF：与y轴交点N（0，-2），∴ON=2，∴，∴∠CAD=∠BAF，故∠CAF-∠CAD=∠CAF-∠BAF=∠OAC=45°；（3）解：如图，连接OE，∵PQ⊥y轴，ER⊥x轴，∴∠OQE=∠ERO=∠QOR=90°，∴四边形OQER为矩形，∴对角线QR=OE，∴当OE⊥AC时，QR=OE最短，∵OA=OC=6，△AOC为等腰直角三角形，∴E为线段AC的中点，∴QR=OE=AC=3，∵点A（-6，0），∴E（-3，3），∵PQ⊥y轴，∴P点纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式，得：-x²-2x+6=3，解得，∴点P的坐标为（-2+，3）或（-2-，3），QR的最短长度为．9．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线L：y＝-x2+2x+3，顶点为M，对称轴与x轴交于N，抛物线L与x轴交于点A、B两点（点A在点B左侧）．(1)求点A、B的坐标；(2)将抛物线L向左或向右平移m个单位长度，得到抛物线L′，其中点A的对应点为，当∠AM=∠AMN，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）令，解一元二次方程，根据点A在点B左侧，即可求解；（2）根据顶点式求得点的坐标，对称轴为，求得的长，根据∠AM=∠AMN，可得它们的正切值相等，进而求得的坐标，进而可得平移距离，根据二次函数的平移规律即可求解（1）解：由抛物线L：y＝-x2+2x+3，令，∵点A在点B左侧，∴（2）∠AM=∠AMN，则设抛物线平移平移后点对应的坐标为或或平移后抛物线的表达式为或即或10．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，点E为线段BD上一个动点，EF⊥x轴，垂足为点F，OB=OC=3．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠CEF＝∠ABD时，补全图形并求点E的坐标．【答案】(1)y＝x2−2x−3；(2)作图见解析，E（，−）．【分析】（1）由OB＝OC＝3，得B（3，0），C（0，−3），用待定系数法即得抛物线的解析式为y＝x2−2x−3；（2）过D作DG⊥x轴于G，过C作CH⊥EF于H，由y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，得抛物线顶点D（1，−4），即可得tan∠ABD＝，设直线BD解析式是y＝kx＋b，用待定系数法得直线BD解析式是y＝2x−6，设E（t，2t−6），则CH＝xE＝t，EH＝yC−yE＝−3−（2t−6）＝3−2t，tan∠CEF＝，根据∠CEF＝∠ABD，即得，即可解得t＝，从而E（，−）．（1）解：∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，−3），将B（3，0），C（0，−3）代入y＝x2＋bx＋c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2−2x−3；（2）如图：过D作DG⊥x轴于G，过C作CH⊥EF于H，∵y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，∴抛物线顶点D（1，−4），∴OG＝1，DG＝4，∵B（3，0），∴BG＝OB−OG＝2，∴tan∠ABD＝，设直线BD解析式是y＝kx＋b，代入B、D两点坐标，∴，解得，∴直线BD解析式是y＝2x−6，设E（t，2t−6），则CH＝xE＝t，EH＝yC−yE＝−3−（2t−6）＝3−2t，∴tan∠CEF＝，∵∠CEF＝∠ABD，∴，解得t＝，∴2t−6＝2×−6＝−，∴E（，−）．11．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴的下方，若点，．(1)求该抛物线的函数表达式．(2)若D是抛物线上一点，且满足，求点D的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把B、P两点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可；（2）分点D在点P左边和右边两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：如图1所示，当点D作点P的左边时，∵，∴，∴点D与点P关于抛物线的对称轴对称，即关于y轴对称，∵，∴；如图2所示，当点D在点P右边时，延长交x轴于Q，设点Q的坐标为，∵，∴，∴，∴，∴点Q的坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得或（舍去），∴点D的坐标为；综上所述，点D的坐标为或．12．（2023秋·山东威海·九年级统考期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点的坐标为．分别连接．(1)求二次函数的表达式；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出A、B的坐标，得到，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，再证明，即可证明．【详解】（1）解：设二次函数解析式为，把点代入到中得：，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：令，解得或，∴，∴，∴，，，∴，∴是直角三角形，即，∵，∴，∴．13．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P在抛物线上，且，求点P的坐标．【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，进而证得结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在下方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在上方时，设交x轴于点H，设，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标．【详解】（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点，，∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）在中，，，∴，∴，∴，∴；（3）①当点P在下方时，如图，由（1）知，∵，∴，∴，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为，令，则，解得：或，∴；②当点P在上方时，如图，设交x轴于点H，由①知，∴．设，∴，在中，∵，∴，解得：，∴，∴．设直线的解析式为，∴，解得，∴，∴，解得（舍去），，综上所述，点P的坐标为或．14．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．(1)求直线及抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且，求点P的坐标．【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为；(2)点P的坐标为或．【分析】（1）依题意设直线的解析式为，把B点坐标代入解析式求出直线的解析式．然后又已知抛物线过点B、C，代入求出解析式．（2）由求出点D，A的坐标．得出是等腰直角三角形，过A点作于点E，求出的值．证明，求出可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．【详解】（1）解：∵沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴，设直线的解析式为，∵在直线上，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵抛物线过点B、C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：由，得，可得顶点，令，则，解得，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴，过点A作于点E，则有，∴，在与中，∵，∴，∴，即，解得：，∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为或．15．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

图1

备用图(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；(3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式；（2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可；（3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标．【详解】（1）解：把，代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：抛物线与轴交于点，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，直线的解析式为，设，过点作轴于点，过点作轴于点，，，，，，即，，，，又点在直线上，，解得或，当时，，即点的坐标为，当时，，即点的坐标为；（3）解：存在点使得，如图，①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，点关于对称轴的对称点坐标为，；②当时，则有，直线的解析式，直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，把代入，得，解得，直线的解析式为，联立，解得，（舍去），，综上，存在点使得，点的坐标为或．16．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．(1)若此抛物线过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过点作垂直于轴于点，交于点；若，求点的坐标；(3)无论取何值，抛物线都经过定点，当直线与轴的交角为45°时，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，即可得到，，再由，得到，解方程即可得到答案；（3）先求出抛物线过定点，即点H的坐标为；设直线与y轴交于点Q，然后分当点Q在H点上方时，如图3-1所示，当点Q在H点下方时，如图3-2所示，两种情况分别求出直线的解析式，再根据点在直线上，建立方程求解即可．【详解】（1）解：把代入抛物线中得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：在中，令，则，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，则，∴，，∵，∴，∴，解得，∴；（3）解：∵抛物线解析式为，∴当时，，∴抛物线过定点，即点H的坐标为；设直线与y轴交于点Q，当点Q在H点上方时，如图3-1所示，过点H作轴于M，∴，∴，∴，∴，∴，同理可求得直线的解析式为，∵抛物线解析式为，∴，∵点N在直线上，∴，∴，解得或（舍去，此时点N与点H重合）；当点Q在H点下方时，如图3-2所示，过点H作轴于M，同理得，∴同理可得直线的解析式为，∵点在直线上，∴，∴，解得或（舍去）；综上所述，或．17．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；(2)若，求证：；(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，解方程即可．【详解】（1）解：把，代入得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，令，则，解得或，∴，∴抛物线对称轴为直线，∵轴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴；∵，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，解得（负值舍去）；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，∴，∴，，∴，解得（负值舍去）；综上所述，或．18．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接，若点P为第四象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标；(3)过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作轴于点E得到矩形，将沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t，与矩形重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．【答案】(1)抛物线的函数解析式为；(2)；(3)．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过A作交于点G，过G作轴于点H，求得直线的解析式为，利用，列式计算求得，得到，再求得直线的解析式，据此求解即可；（3）分当、和时三种情况讨论，利用正切函数以及梯形或三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵点在抛物线，且抛物线的对称轴是直线，∴，解得，∴抛物线的函数解析式为；（2）解：如图，过A作交于点G，过G作轴于点H，令，则；令，则，解得，，∴，，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，∵，，，∴，，