中考数学二轮复习模拟题 专题05 一次函数的应用及综合问题（解析版）

专题五一次函数的应用及综合问题一、单选题1．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）将一根长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为，底边长为，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知列出y与x之间函数关系式，再由三角形三边关系确定x取值范围．【详解】解：由已知得，由三角形三边关系得：，解得：，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D．2．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图是王叔叔晩饭后步行的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图像，其中曲线段是以为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（

）A．线段的函数表达式为B．，王叔叔步行的路程为C．曲线段的函数表达式为D．，王叔叔步行的速度由慢到快【答案】C【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．【详解】解：A、设线段的函数解析式为，把代入得，，解得：，∴线段的函数解析式为，故该选项不符合题意；B、，王叔叔步行的路程为m，故该选项不符合题意；C、当时，由图象可得m，即抛物线顶点为，设抛物线的解析式为将代入得：，解得，∴曲线段的函数解析式为，故该选项符合题意；D、在A点的速度为，A到B点的平均速度为，∴，王叔叔步行的速度由快到慢，故该选项不符合题意；故选：C．3．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连结．当最小时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用矩形的性质和垂线段最短进行解题即可．【详解】解：∵，，∴四边形为矩形，连接，则，∴当时，最短，即最短；∵，∴当时，，当时，，∴，∴∴，，设：，则，∴，解得：，∴，∴；故选A．4．（2023·江苏苏州·统考一模）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：x…24…y…mn2…对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则；②若y是x的一次函数，则；③若y是x的二次函数，则.其中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】①根据反比例函数系数k的几何意义即可判断；②求得一次函数的解析式，分别求得m、n的值即可判断；③根据二次函数的性质即可判断．【详解】解：①若y是x的反比例函数，则，解得，则，故①正确；②若y是x的一次函数，设为，把代入得解得，∴，∴当时；时，∴，∴，故②正确；③若y是x的二次函数，设解析式为，∵函数经过点和，∴，∴，∴，当时，图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以；当时，图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以；故③正确；故选：D．二、填空题5．（2019·江苏无锡·校联考一模）一次函数与的图像如图，则的解集是___________．【答案】【分析】不等式的解集是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图像上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．【详解】解：不等式的解集是．故答案为：．6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，点是以为圆心，为半径的圆上一动点，则的最小值是______．【答案】【分析】根据题意，得出在直线上，则当时，最短，设与轴分别交于点，证明是等腰直角三角形，进而可得当与点重合时，最小,即可求解．【详解】解：如图，∵，∴在直线上，当时，最短，设与轴分别交于点，∵，令，得，令，则，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形，∴，∴，∴当与点重合时，最小，则，故答案为：.7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．（1）的值为________；（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟．【答案】

50

20【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得时对应的的值求差即可．【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，，，当时，则，解得，设第一次循环过程中一次函数的解析式为，由题意得，解得，一次函数的解析式为，当时，则，解得，当时则，解得，分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为（分钟）故答案为：（1）50；（2）20．8．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图所示，一次函数的图你与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动______秒时，直线恰好与相切．【答案】【分析】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线的解析式为，由与相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性即可得出结论．【详解】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示，设直线的解析式为，即，与相切，且的半径为1，，解得，直线的解析式为或，点E的坐标为或，令中，则，，根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，移动的时间为或，故答案为：．三、解答题9．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）宿迁市桃树栽培历史悠久，素有“夭桃千顷、翠柳万行”的美誉．小李家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当桃园总产量为7000千克时，求x的值；(3)如果增种的桃树x（棵）满足：，请你写出桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，并帮小李计算，桃园的总产量最多是多少千克？【答案】(1)(2)20或60(3)，总产量最多是7200千克【分析】（1）由题意可得出y与x之间存在一次函数关系，从而设一次函数解析式，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意表示出实际桃树量，再乘以每棵桃树的产量，建立一元二次方程求解即可；（3）仿照（2）的过程，用实际桃树量，乘以每棵桃树的产量，即可得到桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，然后整理为顶点式，结合二次函数的性质求解最值即可．【详解】（1）设，代入，，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为；（2）由题意得，，解得，，∴x的值为20或60．（3），∵，，∴当时，W的最大值为7200．答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克．10．（2023·江苏盐城·校考一模）在某市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？(2)若甲队每天绿化费用为万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；(2)安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为万元【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，根据题意列出分式方程求解即可；（2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天，根据题意列出不等式求解，然后利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，根据题意得，解得：，经检验是原分式方程的解，∴，答：甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；（2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天，由题意得：，整理得：，∵，∴，∴，费用，当时，（万元），答：安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为万元．11．（2022·江苏·九年级专题练习）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（）元/件的关系如表：销售单价x（元/件）…55607075…一周的销售量y（件）…450400300250…(1)试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，求出y与x的函数关系式；(2)设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？(3)在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？【答案】(1)(2)当时，一周的销售利润不低于8000元(3)最大捐款为8750元【分析】（1）设，把点的坐标代入解析式，求出、的值，即可得出函数解析式；（2）根据利润（售价进价）销售量，列出函数关系式，继再利用销售利润为8000，进而得出销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．【详解】（1）解：设，由题意得，，解得：，则函数关系式为：；（2）解：由题意得，，当时，，解得：，，，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，一周的销售利润不低于8000元；（3）解：由解得：，又由于最大进货量为：，由题意可知，当时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．（元，故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．12．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）某商店销售一种服装，经市场调研发现，该服装销量y（件）与售价x（元/件）之间存在如图像中折线A-B-C所示的函数关系．已知该服装进货价为42元/件，x的取值范围为55≤x≤65．(1)直接写出y与x之间的函数关系式及相应取值范围；(2)若以相同价格销售一批服装获得利润12000元，求每件服装的售价．【答案】(1)(2)每件服装的售价57元或62元【分析】（1）由图象可知；当时，；当时，设,将和代入解方程组即可求解；（2）根据题意列方程，解方程即可求得结论．【详解】（1）由图象可知；当时，；当时，设,将和代入上式可得：解得：∴y与x之间的函数关系式，综上所述：y与x之间的函数关系式：（2）当时，，解得：，当时，，解得：或（舍去）答：每件服装的售价57元或62元．13．（2022·江苏淮安·统考一模）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：(1)小华家与体育场的距离是___________米，小华在体育场休息___________分钟；(2)小华从体育场返回家的速度是___________米/分；(3)小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．【答案】(1)米，分钟(2)(3)，见解析【分析】（1）由图象直接可得小华家与体育场的距离是米，小华在体育场休息5分钟；（2）由速度路程时间可得小华从体育场返回家的速度是米/分；（3）把代入得，画出图象即可．【详解】（1）解：由图象可知小华家与体育场的距离是米，小华在体育场休息（分钟）；故答案为：，；（2）小华从体育场返回家的速度是（米/分）；故答案为：；（3）根据题意知图象经过，代入得：，∴，画出函数的图象如下：14．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，．(1)求的值，以及点的坐标；(2)求过，两点的直线解析式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）把代入，即可求得k值，从而得到一次函数解析式，再令，求得y值，从而得到B点坐标，即可求得，然后作轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标；（2）用待定系数法求即可．【详解】（1）解：把代入，得，解得：，，令，则，，，∵，∴，过点D作CD⊥x轴于点D，如图，∵，∴，又，，在与中，，∴，∴，，∴，则点C的坐标是．（2）解：设直线的解析式是，把，代入，得，解得：，∴直线BC的解析式．15．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．(1)直接写出点B的坐标，并求线段BC对应的函数表达式；(2)启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)；；(2)当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000【分析】（1）当时，，即可确定点B的坐标；设线段BC的表达式为：，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意考虑启用网络主播直播带货后，即为时，然后确定利润的函数解析式，再求其最值即可．【详解】（1）解：当时，，即点，设线段BC的表达式为：，将点代入得：解得，故线段对应的函数表达式为：；故答案为：；；（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，当时，，当时，w随x的增大而增大，∴当时，w取得最大值为6000，当时，w随x的增大而减小，当时，，综上得：当时，w的值最大；∴当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．16．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出100件，商场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每周可多卖出20件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元（为正整数），每周可卖出件．(1)求与的函数关系，并直接写出自变量的取值范围．(2)求每周利润的最大值．(3)直接写出在什么范围内时，每周的利润不低于5000元．【答案】(1)（且为正整数）(2)每周利润的最大值为元(3)当且为正整数时，每周的利润不低于5000元【分析】（1）根据每降价1元，每周可多卖出20件，列出函数关系式即可；（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数，利用性质求最值即可；（3）根据题意，列出方程，结合函数的性质，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：，∵，∴，∵为正整数，∴且为正整数；（2）解：由题意，得：（且为正整数）；∵，，∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；∵且为正整数，∴当或时，有最大值，最大值为：；答：每周利润的最大值为元．（3）解：当时，，解得：，∴且为正整数时，；答：当且为正整数时，每周的利润不低于5000元．17．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，白球在处开始减速，此时黑球在白球前面处．小聪研究发现，白球的运动距离（单位：）与运动时间（单位：）之间满足函数表达式：．小聪又测量了白球减速后的运动速度（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间运动速度小聪探究发现白球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系．(1)请求出关于的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)当白球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；(3)若黑球一直以的速度匀速运动，问白球在运动过程中会不会碰到黑球?请说明理由．【答案】(1)(2)白球减速后运动时的速度为(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，白球不会碰到黑球【分析】（1）根据白球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为，代入两组数值求解即可；（2）当白球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；【详解】（1）根据白球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入得，，解得，∴，（2）依题意，得，解得，，；当时，；当时，（舍）；答：白球减速后运动时的速度为．（3）设黑白两球的距离为，，∵，∴当时，的值最小为44，∴黑、白两球的最小距离为，大于0，白球不会碰到黑球．18．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，某市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价（元）和游客居住房间数（间）的信息，乐乐绘制出与的函数图象如图所示：(1)写出与之间的函数关系式______；(2)合作社规定每个房间价格不低于50元且不超过110元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)房价定为110元时，合作社每天获利最大，最大利润是4950元【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；（2）根据题意可以得到利润与之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，，解得，即与之间的函数关系式是；故答案为：；（2）解：设合作社每天获得的利润为元，，，，在对称轴左侧，随的增大而增大，当时，取得最大值，此时，答：房价定为110元时，合作社每天获利最大，最大利润是4950元．19．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）正方形与扇形有公共顶点O，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设，，(1)当时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线对应的函数关系式是______；(2)当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；(3)当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．【答案】(1)，(2)(3)或者【分析】（1）利用扇形面积减去正方形的面积即可得不重合的面积，利用待定系数法即可求出直线对应的函数关系式；（2）连接，交于点F，先证明直线与扇形相切，切点为正方形对角线交点F，由，可得正方形的边长，即有，，问题得解；（3）分点E在扇形上和点C、D在扇形上两种情况讨论即可作答．【详解】（1）当时，即正方形的边长为：，则正方形的对角线长为：，∴正方形在扇形内部，∴正方形与扇形不重合的面积是：，即：，∵，∴，，设直线对应的函数关系式是，∴，解得：，直线对应的函数关系式是，（2）连接，交于点F，如图，∵正方形中，有，又∵直线与扇形相切，∴可知直线与扇形相切的切点为对角线交点F，∵，∴，∴利用勾股定理，可得正方形的边长，∴，，同（1），利用待定系数法可得：直线对应的函数关系式；（3）分两种情况讨论：当点E在扇形上时，连接，如图，此时可知正方形对角线的长度与扇形所在圆的半径相等，，∴利用勾股定理，可得正方形的边长，∴正方形在扇形内部，∴正方形与扇形不重合的面积是：，即：；当点C、D在扇形上时，如图，即有正方形的边长，∴正方形在扇形外部，∴正方形与扇形不重合的面积是：，即：；综上：正方形与扇形不重合的面积为：或者．20．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校