高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 34(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（34）

一、单项选择题（本大题共15小题，共75.（）分）

1.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4：9,则此棱锥的侧棱被分

成上下长度两部分之比为（）

A.4：9B.2：1C.2：3D.2：V5

2.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABC。中，AC与相交于。.剪D

去AAOB,将剩余部分沿OC、。。折叠，使04、。8重合，则以4（B）、

C、D、0为顶点的四面体的外接球的体积为（）.

A.8遍兀

B.24兀

C.历兀

D.487r

3.如图，平面四边形AC8。中，IBC,AB=近,BC=2,△ABD为

等边三角形，现将A/IBD沿A8翻折，使点。移动至点P,且PBIBC,R

则三棱锥P-4BC的外接球的表面积为

——n

4.如图，在五棱锥尸一4BCDE中，PAABCDE,PA=AE=ED=2,AB=CD=1,AB//ED,

AE//CD,AE1ED,F为尸E的中点，平面A8F与棱尸C,分别交于M,G,则PM的长为（）

A.2B.V2C.3D.y/5

5.在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面

的三棱柱称之为堑堵（如图），在堑堵ABC-4/1Q中，AB=BC,AAT>

AB,堑堵的顶点Ci到直线&C的距离为，小CI到平面&BC的距离为“，则

三的取值范围是（）

A.（1,竽）

B.（李，竽）

C.有,3）

D.（尊两

6.在长方体ZBCD-4声传1。1中，AB=3,AD=2,=1,M为线段（不含端点）上的动点，

过8、M、A的平面截长方体4BCD-4BiGDi所得截面记为0,设0在该长方体的六个面上的

正投影的面积之和为S,则S可能的值为（）

A.9B.10C.12D.18

7.已知正三棱柱ABC-A/iG的底面边长为2,用一平面截此棱柱与侧棱AAi，BBi，CCi分别交于

M.N.Q,若AMNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为（）

A.77B.3C.2V7D.6

8.高为5,底面边长为4国的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（）

A.1B.2C.在D.V2

22

9.己知AB是圆柱底面圆的直径，PA是圆柱的母线，AB=3,P4=3b，点C是圆柱底面圆周

上的点.AC=1,。是线段PB上靠近点尸的三等分点，点E是线段以上的动点，则CE+ED的

最小值是（）

A.4B.6C.4>/2D.2遍

10.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为3的球面上，且AB14C,则该

三棱锥的体积的最大值为

64

C.

3

D.64

11.已知三棱锥P-ABC中，△ABC是以角4为直角的直角三角形，AB=AC=2,PB=PC,PA=

旧,。1为AABC的外接圆的圆心，cosNP/lOi=7，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为（）

A.?B.7瓜线C.2V1471D.771

33

12.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2兀，则该球内接长方体的最大体积是（）

A.8V2B.8C.4>/2D.4

13.已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱ZBC-ABiCi容器，如图1,aABC为正三角形，

AB=2,A4=3,里面装有体积为28的液体，现将该棱柱绕8c旋转至图2.在旋转过程中，

以下命题中正确的个数是

①液面刚好同时经过4,B],G三点；

②当平面A2C与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为8-1；

③当液面与水平桌面的距离为泄，A8与液面所成角的正弦值为

14.在三棱锥4-BCD中，△48。与4CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角4-BD-C的平面

角为120。，则该三棱锥的外接球的表面积为

A.7兀B.8兀C.—D.等

15.已知正四棱锥P—4BCD的所有顶点都在球。的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所

得的圆大小相同，若正四棱锥P—4BCD的高为2,则球。的表面积为（）

A.87rB.97rC.127rD.167r

二、填空题（本大题共14小题，共70・0分）

16.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，。为底

面圆圆心，AB10B,垂足为B,OH1PB,垂足为“，且PA=4,C是PA的中点，则当三棱

锥。一HPC的体积最大时，0B的长为.

17.在正方体/G中，£是棱CC；的中点，”是侧面内的动点，且/产与平面的垂线垂直，

如图所示，下列说法不正确的序号为.

①点”的轨迹是一条线段

②4〃与“是异面直线

③4"与4月不可能平行

④三棱锥产-48。的体积为定值

18.长方体/BCD—力$£5的底面ABC力是边长为3的正方形，侧棱的长为4,在其内放一个

棱长为尤的正四面体，且该正四面体可以在长方体内任意转动，则x的最大值为.

19.如图(1),在等腰直角A4BC中，斜边4B=4,。为A8的巾点，将△4CD沿CD折叠得到如图(2)

所示的三棱锥C-4'BD,若三棱锥C-4B。的外接球的半径为4，则44'08=。

DB

(1)(2)

锥.某“鳖膈”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图------------------

所示，己知该几何体的高为2近，则该几何体外接球的体积为.X/"

21.若圆锥的侧面展开图是半径为2且圆心角为兀的扇形，则此圆锥的体积

为.

22.四面体ABC£»中，AB=CD=6,其余的棱长均为5,则与该四面体各个表面都相切的内切球的

半径长等于一.

23.在三棱锥P-ABC中,AB1BC,三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为一渔，

3

当三棱锥P-ABC的体积最大值为g时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

24.已知正四棱锥P-4BCD内接于半径为：的球。中(且球心0在该棱锥内部)，底面ABCD的边长

为2,则点A到平面PBC的距离是.

25.已知在三棱锥A-BCD中,A,B,C,O四点均在以。为球心的球面上，若AB=4。=40=2遮，

CD=2百，/.CBD=60°,则球。的表面积为.

26.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60。，若该圆锥的侧面积为36兀，则该圆锥外接球的表面积

为.

27.在ABC中，B=90°,C=30°,AB=1,D,E分别是边BC和AC上一点(不与端点重合)，

且DE14c.将小COE沿。E折起，使点C到达点尸的位置，则该四棱锥尸一4BOE的体积的最大

值为.

28.(1)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程—.

(2)过点(3,1)的直线/被曲线/+y2-2x—4y=0截得的弦长为2,则直线/的方程为一

(3)关于如图所示几何体的正确说法为

①这是一个六面体;

②这是一个四棱台;

③这是一个四棱柱;

④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；

⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱.

(4)三个互不重合的平面，能把空间分成”个部分，则〃所有可能值为

(5)已知两点4(一机,0),B(m,0)(m>0),如果在直线3x+4y+25=0上存在点P,使得4APB=

90°,则〃?的取值范围是.

(6)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①BM〃ED；②CN与BE

是异面直线；③CN与所成的角为60。；④DM1.BN.其中正确命题的序号是.

29.已知矩形ABC。，48=4,BC=3,将其沿对角线20进行翻折，得到三棱锥4—BCD,则在

翻折的过程中，有下列结论：①三棱锥A-BCD的体积最大值为孩；②三棱锥4-BCD的外接

球体积不变；③三棱锥ABC的体积最大值时，直线AB,CD的余弦值为黄；④当二面角4-

BD-C的大小为60°时，棱AC的长为其中正确的结论有请写出所有正确结论的

序号）

三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）

30.正四棱锥P-ABC。的底面边长为2,侧棱长为2VL过点A作一个与侧棱尸C垂直的平面a,则

平面a被此正四棱锥所截的截面面积为平面a将此正四棱锥分成的上下两部分儿何体体

积的比值为_（2）_

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查的知识点是棱锥的几何特征，其中根据相似的性质，及截面面积与底面面积之比得到相似

比是解答的关键.

由截面与底面为相似多边形，可得小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为2：3,由此可得原棱锥的侧棱被

分成的两部分之比.

解：••・截面与底面为相似多边形，且截面面积与底面面积之比为4：9,

••・小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为2：3,

••・原棱锥的侧棱被分成的两部分之比为2：1.

故选B.

2.答案：A

解析：

本题四面体的外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转

化化归思想、数形结合思想、整体思想，是中档题.

翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为2夜的正三棱锥。-4CD,由此能求出以4(B)、C、D、0

为顶点的四面体的外接球体积.

解：翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为2&的正三棱锥0-

ACD,如图，

取CQ中点E,连结AE,作OF1平面ABC,交AE于F,则尸是^ACD

的重心，

由题意知2E=116-4=2V3，4F=竽=?，

OF=心一(竽)2=当,

设G为四面体的外接球的球心、球半径为R,则G在直线OF上,

且OG=AG=R,

.••由心=4F2+GF2,得:

R2=(W)2+(^—R)2,

解得R=V6,

以4(8)、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为S=g;rR3=8遇兀.

故选：A.

3.答案：A

解析：

本小题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算

求解能力及创新意识.

根据题意将棱锥补为棱柱，借助棱柱特征求解其外接球的半径，即可求解球的表面积.

解：由AB_LBC,PB1BC,可知BC_L平面PA8.

将三棱锥P-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

由此易知外接球球心O应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记A/IBP的外心为E,由△4BD为等边三角形，可得BE=1.

or1

又。f=£=l,故在OBE中，BE=V2.

此即为外接球半径，从而外接球表面积为87r.

故选A.

4.答案：A

解析：

本题考查空间线面平行的转化，属于简单题.

延长GM交8的延长线于Q,可知A8也过。点，由线面关系得到M点是三等分点，即可求解.

解：延长GM交C£＞的延长线于。，可知A8也过。点，且AQOE是矩形，如图：

由4B〃ED可得ED〃FG,则G也是中点，

在APQD中，PC、QG是中线，则M是重心，

所以PM：MC=2：1,

在直角三角形PAC中，PA=2,AC=y/AQ2+QC2=V5.

PC=y]AC2+PA2=V5T4=3，

所以PM=2.

故选A.

5.答案：D

解析：

本题考查了棱柱的结构特征，空间距离的计算，考查空间思维能力，考查分析与计算能力，属于较

难题.

设AB=BC=1,A4=a,用a表示出〃?，n,得出巴关于a的函数，根据。的范围可求出当的范围.

xnn

解：设AB=BC=1,则4c=A1C1=A/2,设=a,贝UCG=a,

:.ArC=+2,

・•.G到直线的距离m=&*=^=,

•••ByCJ/BC,BCu平面&BC,BCC平面&BC,

当6〃平面4/（：,

G到平面&BC的距离等于当到平面4BC的距离，

_]C

•••PBLABC=3^Ai4iBC'n，

VBC1.AB,BC1BBlfABnBBr=F,ABU平面AT?"].%,

・・•BC_L平面488送1，

又ABU平面4BB14,

・•・BC1ArB,

2

c1c八AC1，/~5—-7Va+1

S^iBC=]•BC•A]B=-x1xVa24-1=―-—，

又VBLAIBC=VC-AIBBI=WS&NBBRBC

1x1x,lxax.1a,

326

1Va2+1a

-----------n=->

326

’71=浸G

.m_扬1滔+1_12a2+2_：2

222

nVa+2\a+2AJa+2

v力A1>48,

Aa>1,

22

°F<

3’

:史<

32s

故选：D.

6.答案：C

解析：

本题考查长方体的结构特征及投影，同时考查函数的应用，画出截面，设4M=x,然后将S表示为

x的函数，从而得S的范围求解即可.

解：在线段BiG上取GN=AM,

可以证明BM〃£>iN,且BM=DiN,

即MQNB为平行四边形，

所以由已知得截面0为下图的平行四边形MDiNB,

设AM=CrN=x,则由已知0<x<2,

则。在面4BB14和面CDDiG的正投影的面积都为3,

0在平面BCC$i上的正投影如下图的平行四边形BM'GN,

则投影的面积为x,

0在平面上的正投影与0在平面BCG/上的正投影的面积相等，也为x,

0在平面48CC上的正投影为下图的平行四边形BMDN',

则投影的面积为3(2—X)=6—3x,

。在平面4B1GD1上的正投影与0在平面ABC。上的正投影面积相等，也为6-3x,

所以S=6+2%+12-6%=18-4x6(10,18),

所以S可能的值为12.

故选C.

7.答案：B

解析：

本题考查了正三棱柱的结构特征，利用基本不等式求最值，利用空间向量判定线线垂直的应用，考

查了转化思想，属于中档题.

方法一：把N画到B处，。在CQ上，M在441上，设4M=x,CQ=y,不妨设y>x,则有BM=

Vx2+4,BQ=yjy2+4,MQ=^/(y—x)2+4>此时N/?.T/Q9。，解得y=x+j,利用基本不等

式求△MNQ面积的最小值即可；

方法二：以AC中点。为坐标原点，。8所在直线为x轴，AC所在直线为)，轴，建立空间直角坐标

系,设M(0,-l,a),N(V3,0,b),Q(0,l,c)>不妨设M为直角,由向量垂直知(b-a)(b-c)+2=0,

结合基本不等式求△MNQ面积的最小值即可.

解：方法一：把N画到8处，。在CG上，例在441上，

设4M=x,CQ=y,不妨设y>无，

BM=Vx2+4,BQ=,Jy2+4,MQ=7(y-x)2+4.此时N&UQ：90,

由BM?+MQ2=BQ2,得/-xy+2=0".y=x+I，

则S=^Vx2+4-yj(y—x)2+4,

当且仅当x=e时取等号，Smin=3.

方法二：以AC中点。为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为)，轴，建立空间直角坐标

系,

设a),N(b,0,b),Q(0,l,c),不妨设N为直角顶点,

MN=(V3,l,b-a),QN=(V3,-l,b-c).所以而•丽=0.

:.(b—Q)(b—c)+2=0,

则S=3I而I.I丽I=15/4+(b-a)2.y/4+(b-c)2

=|V16+4[(d-a)2+(b-c)2]+[(b-a)(Z)-c)]2

对、16+16+4=3,当且仅当ay—b时取等号.

故选B.

8.答案：B

解析：解：由题意知，

正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为，，则此球分别于三棱柱的下底面，三个侧面都相切，

所以r即为底面正三角形的内切圆半径，

••,底面边长为4百的内切圆的半径为r=4V3x—xi=2.

23

故选B.

由题中条件知高为5,底面边长为4次的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底

面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可.

本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条

件之间的联系.

9.答案：A

解析：

本题考查圆柱的结构特征，考查旋转体上的最短距离，属于中档题.

将aPAC绕着尸A旋转到P4C'使其与共面，且C'在A8的反向延长线上，连接。D,C'D与PA

的交点为E,此时CE+ED最小，为C'D,得到ABOb是边长为4的等边三角形，故C'D=4,求解

即可.

解：将APAL绕着PA旋转到P4C'使其与PAB共面，且C'在AB的反向延长线上，连接C'。，C'D与

PA的交点为E,

此时CE+ED最小,为C'D；

由AB=3,PA=3V3,且易知PALAB,

由勾股定理知PB=6,因为力B=所以NAP/T3（）,则：仪），

2

BD==4,

3

C'8=C'/+48=1+3=4,

则是边长为4的等边三角形，故C'D=4,

所以CE+ED的最小值等于4.

故选A.

10.答案：A

解析:

本题考查了球截面的问题，棱锥的体积，导数的应用等，综合性强，难度大.设4B=m,AC=n,

表示出三角形48c的面积和三棱锥的最大体积，再通过换元构建新的函数，利用导数求最值.

解：设AB=AC=n,

则SAABC=扣兀，

△48c的外接圆直径BC=y/m2+n2,

取BC的中点例，

则当PM工平面ABC时，三棱锥的体积最大，

此时球心。在PM上，

,1m2+n2/八m2+n2,

寸丁“9-一—+3);

令”贮空，

4

则/©=”(历7+3)，

/(t)="kF一册+3),

由/'(£)=0,解得t=0(舍)或t=8,

则/(t)在(0,8)上单调递增，在(8,9)上单调递减,

故f(8)最大,为学

所以三棱锥P-ABC的最大体积为学

故选A.

11.答案：B

解析：

【试题解析】

本题考查三棱锥的外接球，球的体积，以及正、余弦定理的应用，属于中档题.

设三棱锥P-ABC外接球的球心为0,半径为凡连接P0i，00i，P0,40,在△PAO1中，由余弦定理

得,2。由正弦定理得,不篇/=石矢

P0：=PA+AC^-2PA-A0tcosNP4Q=8,P1=2a.

V142\/2房

即sinzpos=亘，得sinzPOiA=^，在Rt回力。0】中，。。孑=/?2-2,在团P。。1中，P02=001+

P。；一2001•PO1cos乙P0。即R2=R2_2+8-2，R2_2x2/cos30°，即产=(,由体积公

式求解.

解：如图，设三棱锥P-4BC外接球的球心为。，半径为R,

连接P0i，00i，P0,4。,

由已知得2c为圆。1的直径，BC=2V2.则40i=dL

因为COSNP力Oi=字.

所以在APA。1中，由余弦定理得，PO；=PA2+A优-2PA■.4O,a)«ZP.4O,=8,

所以POi=2V2.

又40：4-P01=10<PA2=14,

所以NP04为钝角，

由正弦定理得，而指不=缶？即灌7=聋，

得sin/POM=乎

所以4P01A=120

易知2。1，。。1/。1三线共面，。。1，4。1，则NPOiO=30。，

在RtEMOOi中，00”R2—2,

在回POOi中，PO2=OOl+POl-2。。厂P01C0S"。1。，

即炉=产―2+8-27R2一2x2或cos300，

得R2=

故三棱锥P-力BC外接球的体积V=〜R3=劣*2x噂=①.

332V23

故选8.

12.答案：B

解析：

本题考查长方体的外接球的问题以及三元均值不等式求最值，属于中档题.

先根据题意得到球的半径为次，设长方体的长宽高分别为”,〃,C则有:+炉+c2=(2V3)2=12,

运用三元均值不等式得到abc<8,即可得到答案.

解：球的截面圆的半径为：2兀=兀/，

球的半径为：R=V3»

设长方体的长宽高分别为a,b,c则有：a2+b2+c2=(2V3)2=12>3〃1262c2,当且仅当a=b=c

时成立，

所以炉c2±64,即abcW8,

所以该球内接长方体的最大体积是8,

故选用

13.答案：D

解析：

本题考查简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征与体积计算，面面平行，面面垂直的判定，

二面角，直线与平面所成角，空间中的距离等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力及计算能力，

属于中档题.

根据题意，通过体积计算和面面平行，面面垂直的判定与性质，直线与平面所成角等知识对每个小

命题逐一判断即可.

解:对于①，由题意，直三棱柱4BC-&BC的体积为]x2x2xyx3=3百,而三棱锥4-4&G

的体积为；x3V3=V3,

,•・容器里面装有液体的体积为26，.•.当平面力BiG与水平桌面平行时，液面刚好同时经过A,B],G

三点，故①正确;

对于②，如图，•••直三棱柱的侧面与底面垂直,

当棱柱的侧面BBiGC在水平桌面上时，液面

EFGH与侧面BBiGC平行，

.•・平面A8C与液面EFGH成直二面角，

设正三角形AEH的边长为1则f%2x3=B，解得％=学,

・•・44E”边EH上的高为空xsin60°=x—=1,

332

而正三角形ABC边BC上的高为2xsin60°=2x—=V3.

2

故液面与水平桌面的距离为V5-1,故②正确.

22

对于③，当平面481cl与水平桌面平行时，ABr=力的=V3+2=V13.=2,二SAAB1C1=1x

2xJ(V13)2-I2=2百，

如图，设4到平面力BiG的距离为h,则由以1-岫0=%-ABiC［得］xS44B1C］x/i=V3,即；x2y/3h=

y/3>解得八=I，

由于点&与点B位于平面ABiG的两侧，且的中点P是AB1的中点P,在平面4B1G上，

所以点&到平面ABiG的距离与点3到平面48道1的距离相等，

•••当平面4B1Q与水平桌面平行时，液面与水平桌面的距离也为|,

•:AB〃A、B\,：.48与液面所成角与AB】与液面所成角相等，

过点为向平面2B1G作垂线，垂足为0,连接Bi。，A.0=h,则乙4道1。为4当与平面ABiG所成的

角，

3

AB=—2，，在/?t△41。&中，sinN4&0=—^―=—--=—=->

24

故A1当与液面所成角的正弦值为：，即4B与液面所成角的正弦值为：，故③正确；

综上，正确的命题个数是3.

故选。.

14.答案：D

解析：

本题考查了球的表面积公式的应用，重点考查球的球心位置的判定.属于中档题.

首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积.

解：如图所示：

因为△ABD^^BCD是边长为2的等边三角形且二面角4-BD-C为120。,

取△力BD和△BCD的中心凡E,取BO的中点记为G,连接EG,FG,

所以“GF=120°,

则球心。为过△48。和4BCD的中心的垂线的交点，

在四边形OEG中可计算得：OE=OF=1,又因为ED=2,

3

利用勾股定理得：球的半径r=J#+（争2=与，

则外接球的表面积S=4兀♦£=等.

故选D.

15.答案：4

解析：

本题考查正棱锥的结构特征、外接球的表面积的计算，考查棱锥的体积的计算及应用，考查转化能

力、空间想象能力、计算能力，属于中档题.

画出图，连接AC,BD交于点O,连接尸O,则外接球球心为，在OP上，依题意正四棱锥的内切球、

外接球球心重合，且半径之和为2,利用体积转化求出内切球半径r,再三角形。CH中，有R2-N=

2a2,结合r+R=2可计算a?进而求出R?即可得到答案.

解：如图，连接AC,8。交于点O,连接P。，

p

则PO1平面ABCD,设外接球球心为H,则H在。P上，

设4B=2a,则0C=鱼a,

四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，即球心H到五个面的距离都相等,

又正四棱锥的内切球的球心到五个面的距离也都相等，所以，也为内切球球心，

设内切球半径为r，外接球半径为凡则

OH=r,PH=CH=R,r+R=2,

正四棱锥的表面积S=(2a)2+4X1x2axVa2+4=4a2+4aVa2+4,

正四棱锥的体积V=|x(2a)2X2=ga2,

又V=：Sr,所以一+4a\，a+4/=解得2r=aVa?+4—a?,

而在三角形。CH中，有/?2一「2=2。2,结合r+R=2得R-r=a?,

则2r=2-a2,2R=2+a2,

则2—a2=a>Ja2+4—a2BPa4+4a2—4=0,

解得a?=2V2—21

所以2R=2V2

故球。的表面积S笈/;r(2R)2=STT,

故选A.

16.答案：竽

解析：

本题主要考查的是圆锥的几何特征及三棱锥体积的最值问题，属于中档题.

由条件分析知PC是三棱锥P-0cH的高.PC=OC=2.而△0cH的面积在。"=HC=四时取得最

大值，再求解即可.

解：ABLOBPB1AB=>ABJ_平面POBn平面/MB1平面POB.

。"1PB=0H平面P4B=>OH1HC,

OH1PC,又PC10C=PC，平面OCH=PC是三棱锥P-OCH的高.

PC=OC=2.而△0cH的面积在。"=HC=遮时取得最大值.

当。H=或时，由P0=2鱼，知Z_OPB=30°,OBPOtan3(1.

3

故答案为辿.

3

17.答案：③

解析：

本题考查空间几何体中线面平行，线线平行，异面，及几何体体积问题.

利用立体几何知识，逐一判定.

解：由题意可知线面平行则一定有线线平行，既然尸是动点，那么F移动到的中点时四边形

4FED1是平行四边形，则有&F〃EDi，所以③错：

由己知可取BiG的中点M,的中点N,连结MN,易证平面&MN〃平面C4E,所以4#与BE

不在同一平面，也可知点F的轨迹是一条线段所以①②正确；

④选项中的三棱锥在厂变化的过程中底面积和高都不变，所以体积不变，所以④正确；

故答案为③

18.答案：V6

解析：

本题考查简单组合体的结构特征，四面体的外接球，属于中档题.

依题意知，长方体ABCO-&B1GD1的最大内切球的半径为|,即棱长为x的正四面体的外接球的半

径为|,由正四面体的外接球的性质求解即可.

解：依题意知，长方体ABCC-ABiCiDi的最大内切球的半径为|,正四面体可以在长方体内任意转

动，

只需该正四面体为球的内接正四面体，

换言之，棱长为x的正四面体的外接球的半径为|,

设正四面体为P-4BC,过尸作PO_L平面4BC.垂足为。，0为底面正AABC的中心，

则AO=-x—X=—x，

323

四面体的高为卜—弓x)2=gx，

由于外接球半径为|,利用勾股定理得小X-|)2+弓42=(|)2,

解得％=V6.

故答案为述.

19.答案：子

解析：

本题考查三棱锥的结构特征及其外接球问题，属于较难题目.

根据题意得出三角形ABC的外接圆半径，设44。8=2凡利用正弦定理及外接球的半径得出r,求

出COS&即可得出.

解：设△4B0的外接圆半径为r,^A'DB=26,其中06(0,/

取4B的中点E,•••4D=DB,二DEJ./1'B且

/..\/E-2sin。，j.Afli=2AfE=Isin0;

43tli0

在△48。中，由正弦定理易得力.

smZ.AfL)lJsin20

由题意知+产=V5.

解得cos0=5，所以乙4，。3=20=.

故答案为2：.

15

20.答案：4v57r

解析:

本题考查了多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，空间几何体的三视图，球的体积公式的应用,

是中档题.

由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，结合图形该几何体外接球的直径2R=

J(2V2)2+(V2)2+(V2)2=2V3>进而得出该几何体外接球的半径，再代入体积公式即可.

解：解：由二视图还原原几何体如图,

由题可得该三棱锥的底面直角三角形直角边都为夜,

又几何体高为2/，

可得该几何体外接球的直径2R=J(2A/2)2+(V2)2+(V2)2=2V3>

即该几何体外接球的半径为百，

该几何体外接球的体积为

0

故答案为46兀.

21.答案：更兀

3

解析：

本题考查空间几何体的结构及其特征，考查空间几何体的体积，属于基础题.

根据圆锥的侧面展开图扇形求出底面圆半径与圆锥的高，从而求出体积.

解：设圆锥底面圆的半径为r,

,・,该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为7TX2=2几丁,

T—1,

圆锥的悬!为h=V22—I1=V3;

・•・圆锥的体积为V=-Sh,=iX7T-12X7-3-=—TC-

333

故答案为37T.

3

22.答案：也

8

解析：

本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧，属中档题

把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解.

解：取CD的中点E连接AE、BE,取A8的中点F,连接EF,

由题意知AE_LC。，BE1CD,

又•••AEnBE=E,

CDIj®ABE,

又4B=CD=6,其余的棱长均为5,

AD=5,DE=3,

AE=4,同理BE=4,

.,.等腰44BE底边AB上的高为EF=yjAE2-AF2=716-9=V7，

ABE的面积S=jX6xV7=3V7,

•••三棱锥ABCD的体积U=ixSx£)£+ixSxCF=|xSxCD=|x3V7x6=6夕，又S^ACD=

-xCDxAE=-x6x4=12,

22

设内切球的半径为R,则球心。到每个表面的距离为R,且球心O到每个表面的距离为R,

三棱锥ABCD的体积J==4x[xSx/?=4x|xl2x/?=6夕,

4V0_ACDhACD

3A/7

ARN=—

8

故答案为竺.

8

23.答案:87r

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，球的表面积和体

积，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空间想象能力，逻辑推理能力和计算能力，属于综

合题.

由题意，设A24C的边长为a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再设△24C外接圆的圆心

为01，三棱锥P-4BC的外接球的球心为O,求出POi和。0「利用R2=。1。2+2。；，求出R2即可.

解：如图，

A

设APaC的边长为a,AB=x,BC=y,

由题意，x2+y2=a2,

取AC的中点。，连接P。，则PD14C,PD=-a，

2

过点P作PE_1_面48。，垂足为E,连接EQ,ACABC,.-.PELAC,PDC\PE=P,

ACIffiPDE,EDu面PDE,:.AC1ED,

ZPDE是二面角P-AC-B平面角的补角，

•••二面角P-AC-B的余弦值为一直，

3

cos乙PDE=―,则sin/PDE=―,

33

可得PE=PDxsin^PDE=^-ax—=-a^

232

・・・三棱锥P-4BC的体积V=1xS"BCxPF=|xixyxia,

vx2+y2=a2>2xy,HPxy<y,当且仅当％=>时，即％=y=当时，取等号，

・・・卜工以3,...三棱锥p—4BC的体积最大值为土

・,,或a?=i解得Q=2,

243

设△P/C外接圆的圆心为。1，三棱锥尸一ABC的外接球的球心为。，。为△ABC外接圆的圆心,

则OD_L面A3C,0D1ED,NPDE+4。。。1=90。，

・•・sinzlO。。］=cosZ-PDE=乎，cosZ-0D01=g,tanZ.ODO1=V2,

则POi=-PD=-x-a=-a=—,

133233

0D=-PD=-x-a=—a=—>

133263

。。1=。1。xtanzODOi=-axV2=­a=立，

663

；.R2=01。2+「0苫=g+£=2,

故三棱锥P-力BC的外接球的表面积为4兀/?2=4兀x2=8兀.

故答案为87r.

24.答案：曳亘

17

解析：

本题考查了有关球的组合体问题，以及四棱锥的体积的求法，

根据条件，结合空间几何体的结构特征，利用等体积法即可求得结果.

解：如图所示，

连接AC与8。交于点。，，显然球心。在正四棱锥P-ABCD的高P0'上,

因为球。的半径为京所以。。=。昨京

又因为底面ABCD的边长为2,

所以BD=、22+22=2&,0'D=3BD=6,

在Z1。。中，由勾股定理得，

所以00，=V0D2-0'D2=J(》2-(V2)2=

所以0'P=OP+OO'=2+工=4,

44

在AP。'B中，由勾股定理得PB=PC=V。由2+0―诲=J(V2)2+42=3V2)

设点A到平面PBC的距离为h，则由匕_PBC=VP-ABC，

x|x2xJ(3A/2)2—12X/I=^X|X2X2X4，

解得力=晅.

17

故答案为亚立.

17

25.答案：257r

解析：

本题考查棱锥的几何性质，球的表面积公式，属于中档题.

通过题意确定三棱锥A-BC。外接球的球心位置是解题的关键.

解：设球。的半径为R,过A作40]_L平面8CZ),垂足为。[,连接。/,。1<7,0rD,

如图所示：

由AB=AC=4。易得0]B=。传=OrD,即。1为4BCD的外心,

所以球心。在射线A。1上，

在△BCD中，CD=2痘,/-CBD=60°,

设ABC。外接圆的半径为r,由正弦定理得

CD2%/3=

'sinZ.CBD6,所以r=2,

"2"

所以4。1=7AB2—产=V20—4=4,连接OB,

则R2=|4—/?『十/,即R2=|4一/?『+4,解得R=£

所以球。的表面积为S=4HR2=47r-(j)2=257r.

故答案为：257r.

26.答案:等

解析：

本题考查圆锥的侧面积公式与球的表面积公式，属于中档题.

先通过圆锥的侧面积公式求出底面圆的半径以及高，进而通过勾股定理，求出外接球的半径，从而

得到圆锥外接球的表面积.

解：

由题意知，三角形A8C为正三角形，AASB=/.ASC=^BSC=60°,

所以4B=S4设圆锥底面半径为r,则会=2r,

sm60°

所以48=>/3r,SO=V3r2—r2=V2r,

因为该圆锥的侧面积为3百7T，

所以1x2TTTXV3r=y/3nr2=3V3TT,

解得厂=V3,SO=V6»

设圆锥的外接球的半径为R,

则（遍一R）2+产=R2,即2乃R=9,R=乎，

所以该圆锥外接球的表面积为JTV垢XW

故答案为等.

27.答案：立

9

解析：

本题考查棱锥体积的知识以及利用导数求最值，属于中档题目.

易知当平面PDEJL平面A8DE,四棱锥P—/WDE的体积最大，此时PE_L平面A8DE,求得四棱锥P-

48。£体积1/=$。£=/一/），再求导得出当久=日时，得出四棱锥P-4BOE体积的最大值.

解：由题得在中，AC=2,BC=V3.

设DE=x（0<久<苧），则CO=2x,CE=V3x,

故四边形ABDE的面积为S=|x1xV3-|xxxV3x=y(l-x2).

易知当平面PDE1平面ABDE,四棱锥P-ABDE的体积最大，

此时PE_L平面ABDE,且PE=CE=痘x，

故四棱锥P-ABDE的体积V(x)=1S-PE=：。一炉)，

V'(x)="l-3x2).

当x6(0净时，V'(x)>0,V(x)单调递增；

当x6(今多时，V\x)<0,心)单调递减.

故当》=乎时，V(x)取得最大值?，

即四棱锥P-ABDE的体积的最大值为五.

9

故答案为它.

9

28.答案：(1)2%-y=0或％+y-3=0；

(2)%=3或3%-4y-5=0;

⑶①③④⑤;

(4)4,6,7或8;

⑸[5,+8；

(6)③④

解析：

(1)

本题考查直线方程，考查推理能力和计算能力，属于基础题.

分截距为0和不为0两种情况求解即可.

解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为。时，

设该直线的方程为x+y=a,

把(1,2)代入所设的方程得：a=3,

则所求直线的方程为x+y=3即％+y—3=0；

②当所求的直线与两坐标轴的截距为。时，

设该直线的方程为y=kx,

把(1,2)代入所求的方程得：k=2,

则所求直线的方程为y=2xHP2x-y=0.

综上，所求直线的方程为：2久一y=0或x+y-3=0.

故答案为：2x—y=0或久+y-3=0.

(2)

本题重点考查直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

对直线分斜率分存在和不存在两种情况即可求解.

解：圆C的方程可化为(x—l)2+(y-2/=5.圆心(1,2),半径为：V5;

・•・直线/过点(3,1)且被圆C截得的弦长为2,

/的斜率不存在时，直线x=3,

・•・圆心C到/的距离为d=2.弦长为：2西』=2满足题意；

/的斜率存在时，设/：y-1=fc(x-3),即kx-y—3k+1=0,

圆心C到/的距离d=生书d