北师大版八年级数学下册常考题专练专题03三角形证明之两线-中垂线和角平分线(原卷版+解析)

专题03三角形证明之两线——中垂线和角平分线中档题巩固题型一线段的垂直平分线1．如图所示，在中，是的中垂线，，的周长为，则的周长是．2．如图，，若和分别垂直平分和，则．3．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为．4．如图，的斜边的中垂线与交于点，，，则的面积为．5．如图，在中，边的中垂线，分别与边和边交于点和点，边的中垂线，分别与边和边交于点和点，又周长为16，且，则的长为A．13 B．14 C．15 D．166．如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的中垂线交于，过点作的垂线交于点．若，，则．7．如图，在中，点是边，的垂直平分线的交点，若，，则的周长是A．13 B．15 C．18 D．218．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为．9．如图，中，平分，且平分，于，于．（1）判断与的数量关系，并说明理由；（2）如果，，求、的长．10．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：（1）；（2）是的垂直平分线．11．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点，求证：（1）；（2）垂直平分．题型二角平分线12．如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则．13．如图，平分，于，于，，．若，则．14．如图，在中，，，平分交于点．（1）求证：；（2）探究：若，那么等于哪两条线段长的和呢？说明理由．15．如图，长方形纸片中，．对折长方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠长方形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的有个．16．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③17．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为A．3 B． C． D．18．在四边形中，，，，，，平分交、于、，则的面积为．19．如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为A． B． C． D．20．完成下列各题．（1）问题背景，如图1，在中，，，的平分线交直线于点，过点作，交直线于点，请探究线段与的数量关系．（2）类比探索，在（1）中，若把改为的外角的平分线，其他条件不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，说明理由．（3）拓展延伸，若，其他条件均不变（如图，请你探究与的数量关系．21．（1）如图1，在中，平分交于，于，于，则有相等关系，．（2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与、相交于、两点，其它条件不变，那么又有相等关系，请加以证明．（3）如图3，在中，，，，平分交于，，，求四边形的周长．22．如图，在中，，是的一条角平分线．点、、分别在、、上，且四边形是正方形．（1）求证：点在的平分线上；（2）若，，求的长．23．如图，在中，，，点是内一点，，，点是延长线上一点，．（1）求证：．（2）求的度数．（3）试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．24．探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．已知，如图，是的角平分线，点是射线上任意一点，于点，于点，求证：．证明：，，．是的角平分线，．在与中，，．．从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：①如图，在中，与的角平分线交于点，过点作于点，若的面积为，周长为，的长度为，求、、的关系．②如图，在中，平分交于点，求证：．题型三尺规作图25．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是A．是的平分线 B． C．点、到的距离不相等 D．26．如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；第二步，连接分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是A．2 B．4 C．6 D．827．已知：如图，在中，，．（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，垂足为，连接；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：是等腰三角形．28．在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：角平分线性质定理：角平分线上的点到的距离相等．角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在．（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整已知：如图1，点是内一点，，，垂足分别为、，且，求证：点在的上（3）请你完成证明过程：（4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有处．专题03三角形证明之两线——中垂线和角平分线中档题巩固题型一线段的垂直平分线1．如图所示，在中，是的中垂线，，的周长为，则的周长是19．【解答】解：中，是的中垂线，，，的周长①则的周长为②把①代入②得的周长故答案为：19．2．如图，，若和分别垂直平分和，则．【解答】解：垂直平分，，，同理：，，，，，．故答案为：．3．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为3．【解答】解：线段的垂直平分线交于点，，的周长，，又，，故答案为：3．4．如图，的斜边的中垂线与交于点，，，则的面积为4．【解答】解：垂直平分线线段，，，，，，，．故答案为4．5．如图，在中，边的中垂线，分别与边和边交于点和点，边的中垂线，分别与边和边交于点和点，又周长为16，且，则的长为A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：是线段的中垂线，是线段的中垂线，，，周长为16，，，，，，，故选：．6．如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的中垂线交于，过点作的垂线交于点．若，，则37．【解答】解：连接，过作于，交于，交于，是线段的中垂线，，，，，，，，，，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，，，，，，平分，，，，，，故答案为：37．7．如图，在中，点是边，的垂直平分线的交点，若，，则的周长是A．13 B．15 C．18 D．21【解答】解：连接，点是边，的垂直平分线的交点，，，，，，，的周长是，故选：．8．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为5．【解答】解：连接、、过作于，在中，，，，，，，的垂直平分线，同理，，同理，，故答案是：5．9．如图，中，平分，且平分，于，于．（1）判断与的数量关系，并说明理由；（2）如果，，求、的长．【解答】（1）解：，理由如下：连接，，平分，，，，，且平分，，在与中，，，；（2）解：在和中，，，，设，则，，，，，，解得：，，．10．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：（1）；（2）是的垂直平分线．【解答】解：（1）证明：是平分线上的一点，，，，在与中，，，；（2）证明：是平分线上的一点，由（1）知，，在与中，，，，，即是的垂直平分线．11．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点，求证：（1）；（2）垂直平分．【解答】证明：（1），，，，，在和中，，，，点是的中点，，；（2）连接交于点，点是的中点，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，垂直平分．题型二角平分线12．如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则．【解答】解：设、交于点，过作于，四边形是正方形，，平分交于点，，在和中，，，正方形的边长为1，，，，，，另法：因为四边形是正方形，，平分交于点，，，，，，正方形的边长为1，，，正方形的边长为1，，，故答案为：．13．如图，平分，于，于，，．若，则4．【解答】解：平分，，，，，，，即，解得．故答案为：4．14．如图，在中，，，平分交于点．（1）求证：；（2）探究：若，那么等于哪两条线段长的和呢？说明理由．【解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接，，，，平分，，，，，在上取，连接，在与△中，△，，，，，在与△中，，△，，，；（2）结论：，如图2，在上取，连接，，，，平分，，在与△中，，△，，，，，，．15．如图，长方形纸片中，．对折长方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠长方形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的有3个．【解答】解：在中，，，，故①正确，，，故②错误，，，，，为等边三角形，故④正确．，，，，，是的中位线，，故③不正确．连接．，，、关于对称，，，、、共线时，的值最小，最小值，故⑤正确，故答案为：3．16．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③【解答】解：过作于，如图，，平分，，，；而点是的中点，，所以③错误；，，，所以②正确；，所以④正确；，所以①正确．故选：．17．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为A．3 B． C． D．【解答】解：如图．过点作于．平分，，，，在中，，，，在中，，，，，故选：．18．在四边形中，，，，，，平分交、于、，则的面积为．【解答】解：过点作于，又平分，，，，，，是等腰直角三角形，，，，又，，等腰直角三角形中，，中，，，是等腰直角三角形，，的面积．故答案为．19．如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图所示，过作于，于，于，平分，于，于，，又，，，，平分，又于，于，，，平分，，平分，，，故选：．20．完成下列各题．（1）问题背景，如图1，在中，，，的平分线交直线于点，过点作，交直线于点，请探究线段与的数量关系．（2）类比探索，在（1）中，若把改为的外角的平分线，其他条件不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，说明理由．（3）拓展延伸，若，其他条件均不变（如图，请你探究与的数量关系．【解答】解：（1）．理由如下：如图1，延长、交于点．，交直线于，．平分，，，，，．中，，，，，，，在和中，，，，；（2）结论仍然成立．理由如下：如图2，延长、交于点．，，，，又，，，，．，，又，，，，；（3）．理由如下：如图3，延长、交于点．，，，，又，，，，．，，又，，，，．21．（1）如图1，在中，平分交于，于，于，则有相等关系，．（2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与、相交于、两点，其它条件不变，那么又有相等关系，请加以证明．（3）如图3，在中，，，，平分交于，，，求四边形的周长．【解答】（1）证明：平分，，，，，在和中，，，，；（2）解：；证明如下：由（1）得，，，在和中，，，，；（3）由（2）可知，，平分交于，，，，，，在中，，，，，，，，四边形的周长．22．如图，在中，，是的一条角平分线．点、、分别在、、上，且四边形是正方形．（1）求证：点在的平分线上；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：过点作，是的一条角平分线，，四边形是正方形，，，是的角平分线，即点在的平分线上；（2）解：在中，，，，设，，，，解得：，，．23．如图，在中，，，点是内一点，，，点是延长线上一点，．（1）求证：．（2）求的度数．（3）试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：在和中，，；（2）解：，，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：在线段上截取，连接，，，是等边三角形，．，，在和中，，，，．，．24．探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．已知，如图，是的角平分线，点是射线上任意一点，于点，于点，求证：．证明：，，．是的角平分线，．在与中，，．．从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：①如图，在中，与的角平分线交于点，过点作于点，若的面积为，周长为，的长度为，求、、的关系．②如图，在中，平分交于点，求证：．【解答】（1）证明：如图1中，，，．是的角平分线，．在与中，，，．故答案为：，．（2）解：如图2中，连接，过点作于，于．，分别平分，，，，，，，，，，．（3）证明：如图3中，过点作于，于．平分，，，，，．题型三尺规作图25．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是A．是的平分线 B． C．点、到的距离不相等 D．【解答】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线．、是的平分线，正确；、，正确；、点、到的距离相等，不正确；、，正确．故选：．26．如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；第二步，连接分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由作法得垂直平分，，，，平分，为等腰三角形，，，四边形为菱形，