2018学年河北省衡水中学高三（下）第十六次模拟数学试卷（理科）（含解析）

2017-2018学年河北省衡水中学高三（下）第十六次模拟数学试

卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）复数z="的实部与虚部分别为（）

i

A.7,-3B.7,-3zC.-7,3D.-7,31

2.（5分）已知尸={T,0,V2},Q={y|y=sin6,0eR},则尸Q=（）

A.0B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,72}

3.（5分）已知随机变量X服从正态分布N（a,4）,且尸（X）,尸（X>2）=0.3,尸（X<0）

等于（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（5分）下列有关命题的说法正确的是（）

A.命题“若孙=0,则x=O”的否命题为：“若孙=0,则XHO”

B.“若x+y=0,则比，y互为相反数”的逆命题为真命题

C.命题“去eR,使得2犬_1<0”的否定是：“VxcR,土匀有2犬-1<0”

D.命题“若cosx=cosy,则x=y"的逆否命题为真命题

5.（5分）已知a满足sina=g,那么cos（?+（z）cos（3-（z）值为（）

252577

A.—B.一一-C.—D.--

18181818

6.（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6,俯视图中的两

条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

B.216—4.54C.216—6万D.216—9万

7.（5分）已知函数/（x）=2sin（2x+三），现将y=/（x）的图象向左平移三个单位，再将所

612

得图象上各点的横坐标缩短为原来的工倍，纵坐标不变，得到函数y=g（无）的图象，则

2

g（x）在[0,2]的值域为（）

24

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,0]

8.（5分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个

伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法-“辗转相除法”实质一样.如图的程序框

图即源于“辗转相除法”，当输入a=6402,6=2046时，输出的。=（）

A.66B.12C.36D.198

x+y-5..0

9.（5分）已知实数x,y满足约束条件vy-x..O,若不等式(1-a)x2+2xy+(4-2a)y2..0

y_5x_2,,0

恒成立，则实数〃的最大值为（）

A.-B.-C.有D.V6

33

10.(5分)已知函数/(x)=加％,g(x)=(2m+S)x+n,若对任意的%£(0,+oo)，总有/(x)„g(x)

恒成立，记（2根+3）〃的最小值为了（根,〃），则/（w）最大值为（）

A.1B.-C.D.

ee2&

22

11.（5分）设双曲线C:二-斗=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为月，F2,过F2的直线与

ab

双曲线的右支交于两点A,B,若|4片|:|4洌=3:4,且F?是旗的一个四等分点，则双

曲线C的离心率是（）

A亚R痴c5

222

12.(5分)已知偶函数/(x)满足/(4+%)=/(4-,且当％£(0,4］时，于(x)="(2*)

x

关于工的不等式/(%)+4(%)〉0在［-200,200］上有且只有300个整数解，则实数。的

取值范围是()

A.(一仇2,—；山6)B.(—历2,—；加6］

z13历2z131n2

Cr.(——I7nAo,----)D.(——7/nAo,-----1

3434

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.(5分)已知平面向量Q,b,\a\=l,|匕|=2且aZ?=l,e为平面单位向量，则(〃+b)e

的最大值为一.

14.(5分)二项式(尤6+」方)5展开式中的常数项是_.

xjx

15.(5分)已知点A是抛物线C:x?=2py(p>0)上一点，O为坐标原点，若A,5是以点

M(0,8)为圆心，|Q4|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且AABO为等边三角形,

则p的值是,

16.（5分）已知在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=120°,AB=AC=\,AA,=2,若A4,

棱在正视图的投影面々内，且AB与投影面0所成角为。(30辍吩60°),设正视图的面积

为"7,侧视图的面积为〃，当0变化时，的最大值是,

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)等差数列｛%｝的前〃项和为S"，数列｛2｝是等比数列,满足4=3,4=1,

a

+§2=1°，5~2b2=a3.

(I)求数列｛4｝和｛〃｝的通项公式;

--"为奇1数^

（II）令C"={s「设数列{QJ的前〃项和7；,求耳.

bn〃为偶数

18.（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,ZABC=60°,

PA=AB=2,^E,尸分别为3C,PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.

（1）已知平面B4BC平面尸CD=/,求证：AB//1.

（2）求直线A。与平面PCD所成角的正弦值.

19.（12分）作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的

“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示，2011年之前，方便

面销量在中国连续18年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩;

但2013年以来，方便面销量却连续3年下跌，只剩385亿包，具体如下表.相较于方便

面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”

增长，也充分反映了人们消费方式的变化.

全国方便面销量情况（单位：亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）

年份2013201420152016

时间代号f1234

年销量y（亿包/462444404385

桶）

（I）根据上表，求y关于f的线性回归方程£=0+应，用所求回归方程预测2017年Q=5）

方便面在中国的年销量；

（II）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生了怎样的转变？某媒

体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中5位受访者表示超过1年未吃过方便

面；3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历.现从这10

人中抽取3人进行深度访谈，记J表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，

求随机变量J的分布列及数学期望E©）.

参考公式：

.八之4-亍）（％-歹）。

回归方程：y=bt+a,其中^二-25-------------,a=y-bt

Z=1

5

参考数据：^a,-F）（x-y）=-135.5.

Z=1

20.（12分）如图，设抛物线G：y2=Y〃a（加>o）的准线/与x轴交于椭圆

尤2v21

。2：）+今=1（">6>0）的右焦点居，片为C2的左焦点.椭圆的离心率为6=—，抛物

线G与椭圆c2交于x轴上方一点p,连接尸耳并延长其交G于点。，“为G上一动点，

且在尸，。之间移动.

（1）当4+且取最小值时，求C1和c,的方程；

2b

（2）若△尸耳匕的边长恰好是三个连续的自然数，当AMP。面积取最大值时，求面积最大

21.（12分）已知函数/（尤）=6一,（/3-2无）（左为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）,曲

线y=/（x）在点（1,f（1））处的切线与y轴垂直.

（1）求/（x）的单调区间；

（2）设gO）=j如+D,对任意x>0,证明：（x+l）g（尤）</+产一2.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4：坐标

系与参数方程］

22.(10分)已知曲线C1的参数方程为卜=夜85。矽为参数)，以直角坐标系的原点。为

［y=sin。

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为0sin2e=4cos6.

(1)求G的普通方程和G的直角坐标方程；

(2)若过点/(1,0)的直线/与G交于A,B两点,与C2交于M,N两点，求IF4—的

|FM||FN|

取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知/(x)=|x-l|+l,P(x)=；

［12-3x,x>3

(1)解不等式/(x),,2x+3；

(2)若方程"x)=a有三个解，求实数。的取值范围.

2017-2018学年河北省衡水中学高三（下）第十六次模拟

数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）复数z=丑3的实部与虚部分别为（）

i

A.7,-3B.7,-3zC.-7,3D.-7,3i

【考点】加：虚数单位i、复数

【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案.

/（37

【解答】解：z=—=~t0=7-3/,

i—i

；.Z的实部与虚部分别为7,-3.

故选：A.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

2.（5分）已知尸={-1,0,5,Q={y|y=sin6,3&R},则尸Q=（）

A.0B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,72}

【考点】IE：交集及其运算；H4：正弦函数的定义域和值域

【专题】11：计算题

【分析】由题意尸={-1,0,近},Q={y|y=sind,6&R},利用三角函数的值域解出集

合。，然后根据交集的定义和运算法则进行计算.

【解答］解：Q={y|y=sin0,9&R},

；.Q={yl-啜61},

P={-1,0,伪，

：.PQ={-1,0}

故选：C.

【点评】本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是

明确集合中元素代表的意义.

3.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且尸(X，距，尸(X>2)=0.3,尸(X<0)

等于()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【考点】CP-.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【专题】35：转化思想；4G：演绎法；51：概率与统计

【分析】画正态曲线图，由对称性得图象关于x=a对称且尸(X>“)=0.5,结合题意得到。

的值.

【解答】解：随机变量J服从正态分布N(a,4),

，曲线关于x=a对称，且P(X>a)=0.5,

由尸(X>1)=0.5,可知〃=a=1.

尸(X>2)=尸(X<0)=0.3

【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：(1)正态曲线关于直线x="对称；(2)

在正态曲线下方和无轴上方范围内的区域面积为1.

4.(5分)下列有关命题的说法正确的是()

A.命题“若孙=0,则x=0”的否命题为：“若孙=0,则XHO”

B.“若x+y=0,则比，y互为相反数”的逆命题为真命题

C.命题“玉使得的否定是：“VxeR,均有2/-1<0”

D.命题“若cos;c=cosy,则工=了”的逆否命题为真命题

【考点】21：四种命题；2人存在量词和特称命题；2K：命题的真假判断与应用

【专题】15：综合题

【分析】若孙=0,则x=0的否命题为：若孙H。，贝！IxwO；若x+y=O,则x,y互为

相反数的逆命题为真命题为若x,y互为相反数，则x+y=O；*eR,使得-1<0

的否定是："VxeR,均有2丁-1..0；若cosx=cosy,则x=y为假命题，则根据互为

逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题.

【解答】解：若孙=0,则x=0的否命题为：若孙/0,贝iJxwO,故A错误

若x+y=0,则x,y互为相反数的逆命题为真命题为若x,y互为相反数，则x+y=O,

为真命题

使得的否定是：“VxeR,均有2元?-L.0,故C错误

若cosx=cosy,贝Ux=y为假命题，则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题,

故。错误

故选：B.

【点评】本题主要考查了命题真假相同的判断，解题中主要涉及到了，命题的逆命题、否命

题、逆否命题的写法及互为逆否命题的真假关系的应用.

5.（5分）已知夕满足sina=g,那么cos£+a）cos£-a）值为（）

252577

A.—B.---C.—D.--

18181818

【考点】GP：两角和与差的三角函数

【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质

【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值.

【解答］解：S1，那么

3

n7i，A/2,2「2

c——For-s-a=（——a—闩一ac——QZHsa

4422

=—cos2a--sin2=—cos2cr=—（l-2sin26z）=—（l-2x—）=—，

22222918

故选：C.

【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题.

6.（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6,俯视图中的两

条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.216—3乃B.216—4.5万C.216—6万D.216—9万

【考点】£!：由三视图求面积、体积

【专题】11：计算题；31：数形结合；5F：空间位置关系与距离

【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以6为棱长的正方体，截去两个底面半径

为3的高为6的四分之一的圆椎，画出其直观图，计算其体积即可.

【解答】解：由三视图知：该几何体是一个正方体，棱长等于6,

截去两个底面半径为3,高为6的四分之一的圆锥，

画出其直观图如图所示：

则该几何体的体积为63-、万X32XLX2X6=216-9TT,

34

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的

形状.然后计算出它的体积.

7.(5分)已知函数/(x)=2sin(2x+三)，现将y=/(x)的图象向左平移三个单位，再将所

612

得图象上各点的横坐标缩短为原来的工倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则

2

g。)在[0,—]的值域为()

24

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,0]

【考点】HJ：函数y=Asin(ox+0)的图象变换

【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质

【分析】利用y=Asin(s+0)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义

域和值域，求得g(x)在[0,2]上的值域.

24

【解答】解：把函数〃x)=2sin(2x+£的图象向左平移5个单位，

可得y=2sin(2x+^-+^)=2sin(2x+2的图象，

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，

2

得到函数y=g(x)=2sin(4x+9的图象，

在[0,苦]上，4x+[eg,2],

24336

故当4%+三=必时，g(x)取得最小值为-1；当4%+生=生时，g(x)取得最大值为2,

3632

故函数g(x)的值域为[-1,2],

故选：A.

【点评】本题主要考查y=Asin(0x+°)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于

基础题.

8.(5分)我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个

伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法-“辗转相除法”实质一样.如图的程序框

图即源于“辗转相除法”，当输入a=&402,6=2046时，输出的。=()

C.36D.198

【考点】EF：程序框图

【专题】11：计算题；27：图表型；45：试验法；5K：算法和程序框图

【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即

可.

【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；

a=6402,6=2046

执行循环体，r=264,a=2046,b=264

不满足退出循环的条件，执行循环体，厂=198,a=264,6=198,

不满足退出循环的条件，执行循环体，r=66,a=198,b=66,

不满足退出循环的条件，执行循环体，r-0,a=66,b-0,

满足退出循环的条件r=0,退出循环，输出。的值为66.

故选：A.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正

确的答案，是基础题.

x+y-5..0

9.(5分)已知实数％，y满足约束条件＜y-x..O，若不等式(1-a)/+2xy+(4-2«)y*2..O

恒成立，则实数，的最大值为()

A.-B.-C.75D.76

33

【考点】6P：不等式恒成立的问题；7C：简单线性规划

【专题】31：数形结合；48：分析法；59：不等式的解法及应用

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用不等式恒成立转化为最值问题，利用斜率的几

何意义以及对勾函数的性质进行转化求解即可.

x+y-5..0

【解答】解：作出不等式组y-x..O表示的可行域,

1八

y--x-2„0

元+y一5=04,=

由2y-1=。'求得A"，

可得上表示原点与(x,y)的斜率,

X

即有上近1,2],

x2

由不等式(1-a)/+2xy+(4-2a)y2..0恒成立,

可得f+产+-2的最小值，

x2+2y2

由…^

1+”+干”一1

可设/=2义一1,即2=匕1,

xx2

2

可得/(%,丁)=2+----------，

2+t+-

t

由[£口，-],可得方£口，2],

x2

则/+』在［，6）递减，在（6，2］递增,

t

又"1时，,+三在口，2］取得最大值4,

t

一?7

贝的最小值为2+------=—，

2+43

可得。的最大值为？，

3

故选：A.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及不等式恒成立，利用

参数分离法转化求求函数的最值是解决本题的关键.

10.（5分）已知函数/（x）=/nx,g（x）=（2m+3）x+n,若对任意的%£（0,+oo）,总有/（x）„g（x）

恒成立，记（2机+3）〃的最小值为了（私〃），则/（根,〃）最大值为（）

A.1B.-C.\D.~^=

ee24^

【考点】3H：函数的最值及其几何意义

【专题】35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用

【分析】由题意可得加%-（2机+3）%-七,0在x£（0,+co）恒成立，设"（%）=历―（2m+3）%,

只要/z（x）的最大值不大于0.求出以防的导数和单调区间，讨论2相+3的符号，可得最

小值/（私"），再令£=2祇+3«>0）,可令左。）=/（-加1）,求出导数和单调区间，可得

极大值，且为最大值.

【解答】解：若对任意的%£（0,+8）,总有/。）,途（九）恒成立，

即为如:一（2根+3）%-“，0在%£（0,+oo）恒成立,

设/z(x)=历x-(2m+3)%-〃,则/z(x)的最大值不大于0.

由/7'(无)=!一(2〃?+3),

X

若2根+3,,0,hXx)>0,/z(x)在(0,+oo)递增，/z(x)无最大值；

若2m+3>0,贝!]当%>―-一时，h\x)<0,/?0)在(一--,+8)递减；

2m+32m+3

当0<x<—]—时，〃(x)>0,〃(x)在(0,——)递增.

2m+32m+3

可得x=—一处人(元)取得最大值，且为—ln(2m+3)-1-〃，

2m+3

!Uy-ln(2m+3)-1-M,,0，可得〃…一加(2机+3)-1,

(2m+3)〃..(2m+3)[-ln(2m+3)-1],

可得/(根，n)=(2m+3)[-/n(2m+3)-l],

令1=2加+3«>0),可令左«)=*-/加一1),

左'(力=—Int—1—1=—Int—2,

当/时，k\t)<0,左⑺在(二，+8)递减；

当0<，<4时，W)>0,左⑺在(。二)递增.

ee

可得r=[处h(t)取得极大值，且为最大值4H«4-I)=4.

eeee

则/(私〃)最大值为

e

故选：c.

【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查不等式恒成立问题的

解法，注意转化为求函数的最值，考查换元法和构造函数法，属于综合题.

22

H.(5分)设双曲线C:二-马=l(q>0,6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,过F2的直线与

ab

双曲线的右支交于两点A,B,若|Af；|:|AB|=3:4,且F?是y15的一个四等分点，则双

曲线C的离心率是()

A亚R痴c5

222

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据双曲线的定义得到三角形GAB是直角三角形，根据勾股定理建立方程关系即

可得到结论.

【解答】解：设|AB|=4x,则|A4|=3x,|然|=工,

|AFt|-|AF21=2a,:.x=a,

:\AB\^Aa,\BFt|=5a,

22

满足IA片|+\AB^=\BFt|,

则N/AB=90。，

则耳『+1伍『=|耳玛

即9a2+a2—4c*,

HP10(?2=4c2,

得e，=巫，

a2

故选：B.

【点评】本题主要考查双曲线离心率的求解，根据条件结合双曲线的定义判断三角形是

直角三角形是解决本题的关键.

ln(2x)

12.(5分)已知偶函数/(x)满足/(4+x)=/(4-x),且当xe(0,4］时，f(x)

x

关于X的不等式r(x)+W(x)>0在［-200,200］上有且只有300个整数解，则实数。的

取值范围是()

〃

A.(-/w2,-gz6)B.(—历2,历6]

「/17A31n2、「/17/31n2、

C.(—/no,--------)D・(—/no,-------1

3434

【考点】53：函数的零点与方程根的关系

【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用

【分析】根据/(处的周期和对称性得出不等式在(0,4］上的整数解的个数为3,计算

f(k)(k=1,2,3,4)的值得出“的范围.

【解答】解：偶函数/(%)满足/(幻满足/(4+x)=/(4-x),

「./(1+4)=/(4-%)=/(%-4),

.-./(%)的周期为8,且/(x)的图象关于直线1=4对称.

由于［-200,200］上含有50个周期，且/(%)在每个周期内都是轴对称图形,

二.关于％的不等式/(%)+4(%)>0在(0,4］上有3个整数解.

当xe(0,4］时，r(x)=L_^,

尤

在(0,与上单调递增，在昌4)上单调递减，

22

f(1)=ln2,f(2)>f(3)>f(4)=—=-/n2>0,

44

当天=周上=1,2,3,4)时，/(x)>0,

.•.当a..O时，r(x)+4(x)>o在(0,4］上有4个整数解，不符合题意，

<0,

由产(x)+5*(尤)>0可得/(%)<0或/(x)>-a.

显然/(x)<0在(0,4］上无整数解，

故而/(%)〉-。在(0，4］上有3个整数解，分别为1,2,3.

:.-a..于(4)=［ln29—a<f(3)=~~~，—a〈于(1)=/〃2,

故选：D.

【点评】本题考查了函数单调性与不等式的解的关系，属于中档题.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.(5分)已知平面向量a,b,|a|=l,|b|=2且ab=l,e为平面单位向量，则(a+8)e

的最大值为一夕

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】11：计算题；35：转化思想；5A：平面向量及应用；49：综合法

【分析】通过已知条件求出向量平面向量a,8的夹角，设出向量，化简斜率的数量积，然

后利用两角和与差的三角函数转化求解即可.

【解答】解：平面向量a,b,|a|=1,|b|=2且ab=1,得cos<a,b>=""=:,

|a||b|2

<a,b>=60°,

设出a=(1,0),b=(1,A/3),e=(cos。,sin6)

(a+Z?)e=2cos6+Gsin6=近cos(6+7),其中tan/=,

则(a+Z?)e的最大值为,

故答案为：近.

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及两角和与差的三角函数的应用.

14.(5分)二项式(尤6+」方)5展开式中的常数项是5.

x/x

【考点】DA：二项式定理

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理

【分析】根据题意，由二项式定理可得二项式(犬+」产彳展开式的通项，令x的系数为0,

x/x

分析可得r的值，将厂的值代入通项，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，二项式(炉+」方》展开式的通项为

xqx

[60-15r

7；M=C；(x6)5T()r=C#k,

令上二上匕=0,解可得厂=4,

2

当r=4时，T5=C^X°=5,

即其展开式中的常数项为5；

故答案为：5.

【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是求出该二项式的通项.

15.（5分）已知点A是抛物线C:x?=2py（p>0）上一点，（9为坐标原点，若A,3是以点

M（0,8）为圆心，|。4|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且AABO为等边三角形,

则。的值是_|_.

【考点】K8：抛物线的性质

【专题】31：数形结合；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据等边三角形性质及=求出A点代入抛物线方程解出p.

【解答】解：A/WO为等边三角形，.•.NAOA/=30。，

\MA\=\OA\,:.\OM\=s/3\OA\=8,

代入抛物线方程得：3=8人解得p=2.

33

故答案为：

3

【点评】本题考查了抛物线的方程，属于基础题.

16.（5分）已知在直三棱柱ABC—其qG中，ABAC=120°,AB=AC^},9=2,若明

棱在正视图的投影面。内，且AB与投影面夕所成角为0（30辍以60°）,设正视图的面积

为机，侧视图的面积为〃，当。变化时，“7〃的最大值是_3^/3

【考点】LI：由三视图求面积、体积

【专题】49：综合法；35：转化思想；31：数形结合；11：计算题；5F：空间位置关系与

距离

【分析】利用AB与投影面。所成角为0,ZBAC=120°,AB=AC=1,AAt=2,ZBAD=0,

建立正视图的面积为，〃和侧视图的面积为〃的关系，利用30啜！]960。求解〃掰的最大值.

【解答】解：4?与投影面a所成角为8时，平面ABC如下图所示：

:.BC=6，ZACE=6O°-3,

BD=ABsind?DA=ABcosd?

AE=ACcos(60。—。)，

ED=DA+AE=cos(60°-6)+cos6

故正视图的面积为根=EDxA4

=2[cos(60。—9)+cos0

侧视图的面积为〃==2sin6>

,mn=4sin^[cos(60°-ff)+cos0]

=4sinacos60°cos夕+sin8sin60°)+cos0]

=sin20+2百sin28+2sin20

=3sin20+百—百cos23

=2氐皿26-30。)+百

30啜⑹60°

「.30辍於8-30。90°,

所以：2候如“3A/3

故得mn的最大值为30.

故答案为：3石.

【点评】本题考查了三视图的投影的认识和理解，实体图边长与投影图边长的关系.利用其

夹角建立关系是解题的关键.属于中档题.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）等差数列｛七｝的前〃项和为S"，数列｛2｝是等比数列，满足4=3,4=1,

么+S2=10,a5—2b2=a3.

（I）求数列｛an｝和｛2｝的通项公式;

—，〃为奇数

（II）令C〃=5“设数列｛。｝的前"项和7；,求应.

6/为偶数

【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8£：数列的求和

【专题】54：等差数列与等比数列

【分析】（/）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

711

（II）由4=3,%=2〃+1得5“=〃（〃+2）.贝U〃为奇数，—=-------."分组求和”,

Snnn+2

利用“裂项求和”、等比数列的前〃项和公式即可得出.

【解答】解：（I）设数列｛%｝的公差为d,数列屹〃｝的公比为夕，

由2+邑=1。，a5—2b2=a3.

q+6+d=10d=2

得,解得

3+4d—2q=3+2dq=2

an=3+2(〃-1)=2〃+1,bn=2〃T.

(II)由q=3,。〃=2〃+1得5〃=n(n+2),

711

则〃为奇数，。=一=------

S„nn+2

”为偶数，Q,=2"T.

..T?"=(Cj+c3+…+)+(c2+c4+...+%")

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前〃项和公式、“分组求和”、“裂

项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.(12分)如图，在底面是菱形的四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,NABC=60。，

B4=AB=2,点E,尸分别为3C,PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.

(1)已知平面B4BC平面尸8=/,求证：AB//1.

(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.

【考点】LS：直线与平面平行；M1-.直线与平面所成的角

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空

间角

【分析】(1)证明AB//平面尸CD,然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB///.

(2)以点A为原点，直线钻、AD,"分别为轴建立如图所示空间直角坐标系求出平面

PCD的法向量直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ与平面

PCD所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：AB//CD,A3仁平面PCD,CDu平面PCD.

」.AB〃平面PCD,

Afiu平面RW,平面R4BC平面PCD=/

­.AB//I.

(2)解：底面是菱形，E为的中点AB=2,

BE=1,AE=®AE±BC,

\AE±ADB4_L平面ABCD,则以点A为原点，直线AE、AD.AP分别为轴建立如图

所示空间直角坐标系则0(0,2,0),尸(0,0,2),C(国,0),E(6,0,0)

：.F(0,1,1),AE=(^,0,0),AF=(0,1,1),DC=(A-l,01DP=(0,-2,2),

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),有PDn=0,CD〃=0得”=(1,6,代)，

设AQ=2AC+(1—N)AP,贝I]AQ=(&,%2(1-/1)),AQ=mAE+nAF

则="解之得》J=〃=4=2,.­.AQ=(—A/3,—,

2(1—A)=n

设直线AQ与平面PCD所成角为a,

贝ljsina=|cos(n,AQ)|=,

，直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为主叵.

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求

法考查科技信息能力以及计算能力.

19.（12分）作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的

“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示，2011年之前，方便

面销量在中国连续18年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩;

但2013年以来，方便面销量却连续3年下跌，只剩385亿包，具体如下表.相较于方便

面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”

增长，也充分反映了人们消费方式的变化.

全国方便面销量情况（单位：亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）

年份2013201420152016

时间代号r1234

年销量y（亿包/462444404385

桶）

（I）根据上表，求y关于f的线性回归方程£=邑+应，用所求回归方程预测2017年（"5）

方便面在中国的年销量；

（II）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生了怎样的转变？某媒

体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中5位受访者表示超过1年未吃过方便

面；3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历.现从这10

人中抽取3人进行深度访谈，记J表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，

求随机变量J的分布列及数学期望E©）.

参考公式：

,〜之g_7）（》一刃，

回归方程：y=bt+a,其中5=-^-------------------,d=y-bt

Z=1

5

参考数据：刃=-135.5.

Z=1

【考点】CG-.离散型随机变量及其分布列；BK-.线性回归方程；CH：离散型随机变量

的期望与方差

【专题】51；概率与统计；35：转化思想；49：综合法；11：计算题

【分析】（I）求出7=2.5,y=423.75,^=-27.1,a=423.75-（-27.1）x2.5=491.5,由

此能求出y关于f的线性回归方程£=应+&,用所求回归方程能预测2017年《=5）方便

面在中国的年销量.

（II）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，J的可能值为0,1,2,3,分别

求出相应的概率，由此能求出&的分布列和EG）.

【解答】解：（I）7