沪教版九年级数学考试满分全攻略第02讲平面向量的线性运算(4大考点)(原卷版+解析)

第02讲平面向量的线性运算（4大考点）考点考向考点考向1.平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．4.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．5.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．6.向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．7.向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解考点精讲考点精讲一．*平面向量（共7小题）1．（2022•徐汇区二模）关于非零向量、、，下列选项中错误的是（）A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是单位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+||2．（2022•青浦区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点E，使CE＝2BC，联结DE，设＝，＝，那么可表示为（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣23．（2022春•浦东新区校级期末）已知点C是线段AB的中点，则＝．4．（2022•长宁区二模）如图，已知A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外的一点，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（）A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣35．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果＝，＝，那么用、的线性组合表示向量为（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D．6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，联结CE、DE，设＝，＝，那么下列向量中，可表示为+的是（）A． B． C． D．7．（2022春•浦东新区校级期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，则一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反二．实数与向量相乘（共2小题）8．（2019春•徐汇区校级月考）计算2（﹣）+3＝．9．（2019秋•黄浦区期末）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．三．平面向量定理（共2小题）10．（2019秋•闵行区校级月考）下列命题中是真命题的是（）A．若，则 B． C．若，则 D．单位向量有且只有一个11．（2019•徐汇区校级一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，则用表示是：＝．四．向量的线性运算（共3小题）12．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝．13．（2022春•嘉定区校级期中）在△ABC中，E、F分别是边AB和AC的中点，，，那么向量用向量和表示为．14．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD交于点P，令，那么＝．（用向量、表示）巩固提升巩固提升一．选择题（共4小题）1．（2022•松江区校级模拟）如图，已知△ABC，AD为三角形ABC的中线，，，则＝（）A． B． C． D．2．（2022春•杨浦区校级月考）下列判断不正确的是（）A．＝0 B．如果，那么||＝|| C． D．如果非零向量＝k•（k≠0），那么∥3．（2022•宝山区模拟）已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是（）A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝4．（2021春•徐汇区月考）D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，＝，＝，则等于（）A． B． C． D．﹣二．填空题（共12小题）5．（2022春•浦东新区校级期中）如果||＝5，||＝3，则||的取值范围是．6．（2022•松江区二模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设＝，＝，那么可以用，表示为．7．（2022•普陀区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．8．（2022•闵行区二模）计算：＝．9．（2022•崇明区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设＝，＝，那么可用、表示为．10．（2022•奉贤区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中点，联结AE．如果设＝，＝，那么＝（含、的式子表示）．11．（2022•嘉定区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝2DC，设向量＝，＝，那么向量＝（结果用、表示）．12．（2022•宝山区二模）如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD∥BC，BC＝2AD，如果设＝，＝，那么向量用向量、表示为．13．（2022•虹口区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．14．（2022春•金山区月考）如图，已知AC、BD是平行四边形ABCD的对角线．设向量＝，向量＝，那么向量可以表示为（用向量、表示）．15．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果＝，那么＝（用表示）．16．（2022•宝山区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，如果，，用含、的式子表示向量＝．三．解答题（共8小题）17．（2021秋•闵行区校级月考）如图，已知两个不平行的非零向量和．先化简，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（写出结论，不要求写作法）18．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，已知平面内两个不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）19．（2021•上海模拟）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）20．（2021秋•松江区校级期中）如图，是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD点E，BF＝15．（1）求DF的长；（2）如果＝，＝，用、表示向量．21．（2021春•普陀区期末）如图，在四边形ABCD中．（1）用图中的向量表示：++＝；（2）用图中的向量表示：﹣＝；（3）在作图区内求作并写结论：+．22．（2022春•浦东新区校级期中）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上．（1）填空：＝；＝；（2）求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）．23．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．24．（2021秋•金山区校级月考）如图，在△ABC中，D、E在AB边上，且AD＝DE＝EB，CF＝2AF，DF＝1.2．（1）求BC的长．（2）填空：设＝，＝，则＝．第02讲平面向量的线性运算（4大考点）考点考向考点考向1.平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．4.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．5.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．6.向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．7.向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解考点精讲考点精讲1．（2022•徐汇区二模）关于非零向量、、，下列选项中错误的是（）A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是单位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+||【专题】三角形；推理能力．【分析】根据向量的性质和向量模的定义进行分析判断．【解答】解：A、如果＝，那么||＝||，不符合题意；B、如果、都是单位向量，那么||＝||，不符合题意；C、如果＝2，那么∥，不符合题意；D、如果＝+，那么||≤||+||，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量，需要考虑共线向量和非共线向量两种情况．2．（2022•青浦区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点E，使CE＝2BC，联结DE，设＝，＝，那么可表示为（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣2【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【分析】由平面向量和平行四边形的性质可得，＝，＝2，则＝+＝．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∴，＝，∵CE＝2BC，∴＝2，∴＝+＝．故选：A．【点评】本题考查平面向量、平行四边形的性质，熟练掌握平面向量和平行四边形的性质是解答本题的关键．3．（2022春•浦东新区校级期末）已知点C是线段AB的中点，则＝．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据共线向量的性质作答．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴＝﹣．∴＝．故答案是：．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向．4．（2022•长宁区二模）如图，已知A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外的一点，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（）A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣3【专题】数形结合；几何直观．【分析】＝﹣＝﹣，则＝2﹣2，再根据＝可得出答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BC＝2AB，∴＝2﹣2，∴＝＝3﹣2＝﹣2+3．故选：A．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键．5．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果＝，＝，那么用、的线性组合表示向量为（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【分析】由已知条件可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，进而可得△DEF∽△BCF，则，所以CF＝CE，根据＝＝+，可求出，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF∽△BCF，则，∴CF＝2EF，∴CF＝CE，∵＝＝+，∴＝，∴．故选：A．【点评】本题考查平面向量、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的定义是解答本题的关键．6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，联结CE、DE，设＝，＝，那么下列向量中，可表示为+的是（）A． B． C． D．【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC；然后利用三角形法则解答即可．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD＝BC．∵＝，∴＝＝．∵E是边AB的中点，＝，∴＝＝．∴+＝+＝．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意平面向量既有大小又有方向．7．（2022春•浦东新区校级期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，则一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反【专题】三角形；运算能力．【分析】根据向量数量积的应用，利用平方法进行判断即可．【解答】解：∵，非零向量，且|+|＝||+||，∴平方得||2+||2+2•＝||2+||2+2||•||，即•＝||•||，∴||•||cos＜，＞＝||•||，则cos＜，＞＝1，即∥，且，方向相同．故选：B．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，利用平方法是解决本题的关键．二．实数与向量相乘（共2小题）8．（2019春•徐汇区校级月考）计算2（﹣）+3＝2+．【专题】特定专题；运算能力．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（﹣）+3＝2﹣2+3＝2+，故答案为2+．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．9．（2019秋•黄浦区期末）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+4．【专题】特定专题；运算能力．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，故答案为﹣3+4．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．平面向量定理（共2小题）10．（2019秋•闵行区校级月考）下列命题中是真命题的是（）A．若，则 B． C．若，则 D．单位向量有且只有一个【专题】特定专题；应用意识．【分析】根据向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、模相等的向量不一定是等向量，本选项不符合题意．B、根据三角形法则可知，||+||≥|+|，本选项不符合题意．C、是真命题，本选项符合题意．D、单位向量的方向不一定相同，本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查命题，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型．11．（2019•徐汇区校级一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，则用表示是：＝﹣2．【分析】此题只需根据梯形的中位线定理得到EF和AD的关系即可．【解答】解：根据AD：BC＝1：3，则BC＝AD．根据梯形的中位线定理，得EF＝2AD．又∵＝，∴＝﹣2．【点评】考查了梯形的中位线定理．四．向量的线性运算（共3小题）12．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝+．【分析】首先根据已知求得向量CD，再根据向量的知识求得，代入数值即可求得．【解答】解：∵AB＝2CD，＝，∴，∵，∵＝，∴．故答案为：．【点评】此题考查向量的知识．题目比较简单，要注意识图．13．（2022春•嘉定区校级期中）在△ABC中，E、F分别是边AB和AC的中点，，，那么向量用向量和表示为．【专题】计算题．【分析】此题主要用到了平行四边形法则，在向量AB，AC已知的情况下，E、F分别是边AB和AC的中点，可求出向量AE，AF，从而求出向量．【解答】解：因为E、F分别是边AB和AC的中点，所以＝，＝，＝﹣＝﹣＝．故答案为．【点评】本题难度中等，考查向量的知识，主要运用平行四边形法则．14．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD交于点P，令，那么＝．（用向量、表示）【分析】由AB∥CD，即可证得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，即可求得与的关系，利用平行四边形法则，求得，即可求得．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△PCD∽△PAB，∴，∴＝，∵＝+＝+，∴＝（+）＝+．故答案为：+．【点评】此题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．巩固提升巩固提升一．选择题（共4小题）1．（2022•松江区校级模拟）如图，已知△ABC，AD为三角形ABC的中线，，，则＝（）A． B． C． D．【分析】由已知可得BD＝CD＝BC，则＝，则＝．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC，∴＝，∴＝．故选：C．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解题的关键．2．（2022春•杨浦区校级月考）下列判断不正确的是（）A．＝0 B．如果，那么||＝|| C． D．如果非零向量＝k•（k≠0），那么∥【分析】，即可判断A；根据向量模的定义可判断B；根据向量的交换律可判断C；根据平行向量的判定可判断D．【解答】解：对于A选项，，故A选项错误，符合题意；对于B选项，由，根据向量模的定义，可得，故B选项正确，不符合题意；对于C选项，根据向量的交换律可得，故C选项正确，不符合题意；对于D选项，根据平行向量的判定可知，如果非零向量（k≠0），则，故D选项正确，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本知识是解答本题的关键．3．（2022•宝山区模拟）已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是（）A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝【分析】根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断．【解答】解：A、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B、等式||＝成立，故本选项符合题意．C、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．D、当单位向量与非零向量的方向相同时，等式＝才成立，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的知识，需要掌握向量共线定理，单位向量的定义，属于基础题．4．（2021春•徐汇区月考）D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，＝，＝，则等于（）A． B． C． D．﹣【分析】首先由D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE＝BC，然后由＝﹣，即可求得答案．【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴＝，∵＝，＝，∴＝﹣，＝﹣，∴＝（﹣）．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形中位线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．二．填空题（共12小题）5．（2022春•浦东新区校级期中）如果||＝5，||＝3，则||的取值范围是2≤||≤8．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得5﹣3＜||＜5+3，即2＜||＜8．当向量与向量共线时，2≤||≤8．故答案为：2≤||≤8．【点评】本题主要考查了平面向量和三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6．（2022•松江区二模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设＝，＝，那么可以用，表示为﹣．【分析】根据平行向量的性质求得；然后在△ACD中，利用三角形法则求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，∴＝＝．∴＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量和梯形，解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．7．（2022•普陀区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】根据＝+，＝+，只要求出即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC，∵AD∥BC，BC＝3AD，∴＝3．∵＝+，＝+，∴＝++，即＝﹣++3．∴＝﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2022•闵行区二模）计算：＝16+12．【分析】实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，所以根据实数的运算法则解答即可．【解答】解：＝6﹣3+10+15＝．故答案是：．【点评】本题主要考查了平面向量．此题属于平面向量的计算，属于基础题．9．（2022•崇明区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设＝，＝，那么可用、表示为﹣+．【分析】根据三角形法则求得；利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例求得BF＝BD，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴＝＝，∴＝+＝﹣+，∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴＝．∵点E是边CD中点，∴＝＝．∴＝＝﹣+．故答案是：﹣+．【点评】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2022•奉贤区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中点，联结AE．如果设＝，＝，那么＝2+（含、的式子表示）．【分析】由题可得＝2，＝，再根据＝+可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，∴＝2，∵E是腰BC的中点，＝，∴＝，∴＝+＝2+．故答案为：2+．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解答本题的关键．11．（2022•嘉定区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝2DC，设向量＝，＝，那么向量＝﹣﹣（结果用、表示）．【分析】首先由已知条件BD＝2DC得到＝；然后根据三角形法则求得答案．【解答】解：如图，在△ABC中，BD＝2DC，＝，则到＝＝．在△ABD中，＝﹣＝﹣（+）＝﹣﹣．故答案是：﹣﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平行向量既有大小又有方向．12．（2022•宝山区二模）如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD∥BC，BC＝2AD，如果设＝，＝，那么向量用向量、表示为3+．【分析】由已知条件可得＝2＝2，则＝＝2，再根据＝可得出答案．【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，∴＝2＝2，∵＝，∴＝＝2，∴＝＝2++＝3+．故答案为：3+．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键．13．（2022•虹口区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，设＝，＝，那么向量用向量、表示为（﹣）．【分析】首先利用三角形法则求得；然后根据平行四边形的对角线互相平分和共线向量求得答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．在平行四边形ABCD中，BE＝BD．∴＝＝（﹣）．故答案是（﹣）．【点评】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2022春•金山区月考）如图，已知AC、BD是平行四边形ABCD的对角线．设向量＝，向量＝，那么向量可以表示为2+（用向量、表示）．【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案为：2+．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果＝，那么＝﹣x（用表示）．【分析】首先证明AD＝2CD，推出CD＝AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，DB＝2DC，∴AD＝2DC，∴CD＝AC，∴＝﹣，故答案为﹣．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是证明AD＝2CD，属于中考常考题型．16．（2022•宝山区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，如果，，用含、的式子表示向量＝+．【分析】首先取AB的中点F，连接EF，由四边形ABCD是平行四边形与点E、F分别是CD、AB上的中点，即可得＝＝，然后根据平行四边形法则，即可求得的值．【解答】解：如图，取AB的中点F，连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点E、F分别是CD、AB上的中点，∴DE＝AF，即＝＝，∴＝+＝+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与平行四边形法则．三．解答题（共8小题）17．（2021秋•闵行区校级月考）如图，已知两个不平行的非零向量和．先化简，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（写出结论，不要求写作法）【分析】首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量．【解答】解：（3﹣）﹣（2+5）＝3﹣﹣﹣＝2﹣3．作图如下：＝2，＝3，＝﹣＝2﹣3．∴即为所求作的向量．【点评】此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解此题的关键．18．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，已知平面内两个不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【解答】解：2（﹣）+3＝2+．如图：＝2，＝，则＝+＝2+．故即为所求．【点评】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键．19．（2021•上海模拟）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【解答】解：＝＝．如图：＝2，＝﹣，则＝．即即为所求．【点评】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键．20．（2021秋•松江区校级期中）如图，是平行