沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题04轴对称问题的三种考法(原卷版+解析)

专题04轴对称问题的三种考法类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．（1）如图①，若点为的中点，求的长；（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．（1）如图①，若点为的中点，求的长；（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．类型二、几何图形中的最短路径问题例．已知点在内．（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.①若，则______；②若，连接，请说明当为多少度时，；（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.（1）探求与的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若分别为上的动点.①当的长度取得最小值时，求的长度；②如图③，若点在线段上，，则的最小值=.【变式训练2】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.【变式训练4】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求证：BD＝PC；(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．【变式训练1】（1）如图1，，是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得最小；（2）如图2，已知，P是内一点，．请在上找一点，上找一点，使得的周长最小，画出图形并求出这个最小值．【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题：最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．任务：数学思考：（1）材料中划线部分的依据是．（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是．（填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为cm．专题04轴对称问题的三种考法类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.【答案】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【详解】解：（1）由已知条件得：

AC=12，OB=6，∴（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,∠BDE=90°,∴∵∴∴∵EF轴，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，∵，OA=6，∴OM+ON=3【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．（1）如图①，若点为的中点，求的长；（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3【详解】解：（1），,，又∵点为的中点，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，过点作轴于点，∵,∴是等腰直角三角形，∵,∴，∵,∴,∵,,，，，，，是等腰直角三角形，即，∵,；（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，过点作轴于点，并与射线交于点，连接,则BF垂直平分OD，∴,,∴,当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度，∵,∴,∴为AB的中点，∵,∴,∴,∴．故的最小值为．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．（1）如图①，若点为的中点，求的长；（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3【详解】解：（1），,，又∵点为的中点，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，过点作轴于点，∵,∴是等腰直角三角形，∵,∴，∵,∴,∵,,，，，，，是等腰直角三角形，即，∵,；（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，过点作轴于点，并与射线交于点，连接,则BF垂直平分OD，∴,,∴,当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度，∵,∴,∴为AB的中点，∵,∴,∴,∴．故的最小值为．类型二、几何图形中的最短路径问题例．已知点在内．（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.①若，则______；②若，连接，请说明当为多少度时，；（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．【答案】（1）①100°；②当时，；（2）．【详解】（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，

∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，

∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案为：100°；②，，、、三点其线，，，当时，；（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接，、、，交、于点、，则，，此时周长的最小值等于的长.由轴对称性质可得，，，，，，由轴对称性质可得，．【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.（1）探求与的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若分别为上的动点.①当的长度取得最小值时，求的长度；②如图③，若点在线段上，，则的最小值=.【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②．【详解】（1）AO=2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN=BD=，∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，∴∠D′BQ′=90°，∴在Rt△D′BQ′中，D′Q′=．∴QN+NP+PD的最小值=，【变式训练2】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7．【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.【答案】（1）5；（2）；（3）13.【详解】解：（1）作点A关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形，在中，由勾股定理得，即，所以的最小值为5.（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，平分，，，，在中，，，由勾股定理得，，所以的最小值为.（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点，连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长.由对称可得OA垂直平分，OB垂直平分，在中由勾股定理得所以的最小值为13.【变式训练4】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求证：BD＝PC；(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析；(2)见解析；(3)45°【解析】(1)解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-45°)=67.5°，∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE=22.5°，∴∠CBE=45°，∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD=90°–∠A=45°∴∠A=∠ACD=45°，∴DA=DC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠CPE=∠BPD=90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP=67.5°，∴∠CPE=∠CEB=67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；(2)证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，∵CE=CP，∴BH=CP，∴；(3)解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，∵DM⊥CB，∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，∵DA=DC，DF⊥AC，∴∠CDF=∠CDA=45°，∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，∵GD=GM，HF=HD，∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为千米或千米或千米；【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：连接CE，∵，且，∴为平行四边形，可得，小红走的路线是：，小明走的路线是：，∵在三角形中，，,所以小明的路线比小红的要长，即：小红设计的路径更短一些；（2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米，由题可得顺流所需时间为，逆流所需要的时间是，所以一个完整来回所需时间为，次完整的来回所需时间为：；∵小船早上点出发，第二天早上点发现，∴小船行驶了小时；①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，则依题意可得：，化简可得：，∵为整数，且，∴，即：两桥之间的距离为千米；②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，则依题意可得：，化简可得：，∵为整数，且，∴，或；即：两桥之间的距离为千米或千米；综上可得：两桥之间的距离为千米或千米或千米；【变式训练1】（1）如图1，，是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得最小；（2）如图2，已知，P是内一点，．请在上找一点，上找一点，使得的周长最小，画出图形并求出这个最小值．【答案】（1）画图见详解；（2）画图见详解，【详解】解：（1）过点作，并在上截取，连接交于点，由“两点之