《数学》复习人教A（新高考）-第2节　函数的单调性与最值

第二章

第2节函数的单调性与最值知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.函数的单调性

(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有

，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有

，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或

，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.减函数2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有

；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有

；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥M1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数. (

)

解析

此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).√×(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数. (

)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)解析

(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).××B，C中函数y＝x2－x与y＝lnx－x在(0，＋∞)内不单调，D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数.A24.(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 (

) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)

解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.

要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8的单调递增区间. ∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).D又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C；D解析

∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.9考点分层突破题型剖析考点聚焦2解析

由图象知，只有y＝x

在(0，＋∞)上单调递增.故选A.考点一确定函数的单调性(区间)///////自主演练A解析

由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log

t，易知其为减函数.则本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.A3.(2021·重庆联考)下列函数的图象既关于直线x＝1对称，又在区间[－1，0]上为增函数的是 (

) A.y＝sinπx B.y＝|x－1| C.y＝cosπx D.y＝ex＋e－xC解析

A中，当x＝1时，y＝sinπ＝0≠±1，所以y＝sinπx不关于直线x＝1对称，则A错误.D中，y＝f(x)＝ex＋e－x，则f(0)＝2，f(2)＝e2＋e－2，则f(0)≠f(2)，所以y＝ex＋e－x不关于直线x＝1对称，则D错误.函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是[0，1).[0，1)1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法.2.函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.感悟升华考点二函数的最值(值域)///////师生共研3所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.1解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.感悟升华D因为x≥1，ACD解析

f(－3.9)＝－3.9－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，C正确；考点三函数单调性的应用///////多维探究角度1利用单调性比较大小C又log38<2<21.3<21.4＝40.7，∴f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即b<a<c.解析由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，且31.2>3，1＝log33<log35<log327＝3，0<3－0.2<1，即31.2>log35>3－0.2>0，所以f(31.2)>f(log35)>f(3－0.2)，即a>c>b.D角度2求解函数不等式【例3】(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是

____________________________.

解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 且f(1)＝ln1＋2＝2， 所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，【例3】(2)(2021·青岛联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为________.

解析由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，可知f(x)的图象关于y轴对称， ∵f(x)在(－∞，0]上单调递减， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.

根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，－14解析

易知f(x)在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x<2时，22－x>22－2＝1，∴f(x)min＝f(2)＝1，又a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b].∴必然有a≤1，此时22－1＝2，所以b≥2.令22－x＝4，得x＝0，所以a＝0，于是b－a＝4.1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.感悟升华解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，又因为log34>1>2

>2

>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)<f(2

)<f(2

).C所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.构造函数破解不等式(方程)问题【典例】(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 (

) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2

解析由指数和对数的运算性质可得

2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.

令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)， ∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)， ∴a<2b.故选B.B1.破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a＋log2a＝4b＋2log4b”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.2.(1)本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；(2)逻辑推理是解决数学问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22b＋log2b<22b＋log2(2b)”时要充分借助选项与提供的信息.素养升华【训练】(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则 (

) A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0 C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0

解析

原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y， 设函数f(x)＝2x－3－x.

因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增， 所以f(x)在R上单调递增.

即f(x)<f(y)，所以x<y， 即y－x>0，所以A正确，B不正确.

因 为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.A课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1.(2021·青岛一中月考)函数f(x)＝log

(x2－4)的单调递增区间为 (

) A.(－∞，－2) B.(2，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，＋∞)

解析

f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)， 令t＝x2－4，易知t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减， 又y＝log

t是减函数， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2).A解析

满足条件的函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)＝x－1为奇函数，f(x)＝2x＋1非奇非偶，f(x)＝cosx为周期函数，且在(0，＋∞)上不单调，∴A，C，D项均不正确，只有f(x)＝log2|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上递增.B解析对f(x)＝3x－2cosx求导得f′(x)＝3＋2sinx，则有f′(x)＝3＋2sinx>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数.所以b<c<a.D且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.∴m的取值范围是[－1，2).DC6.定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是 (

) A.2 B.3 C.4 D.6

解析画出函数M＝max{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)， 由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4， 故M的最小值为4.C二、填空题7.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为______________.

解析由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数， 又易证在定义域R上，f(x)是增函数， 则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，8.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是____________________.解析

y＝|x|(1－x)函数的大致图象如图所示.9.(2021·山东师大附中调研)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是_________________.(－∞，1]

当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减，又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.三、解答题10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求方程f(x)＝0的解； ∴f(x)的定义域为(－3，1).

则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1)， 令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1， 经检验，均满足原方程成立.10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.

解

由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)， 由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)， ∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.解∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(ax)