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文档简介

第五章

第1节平面向量的概念及线性运算知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.向量的有关概念(1)向量:既有

又有

的量叫做向量,向量的大小叫做向量的

.(2)零向量:

的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于

的向量.(4)平行向量:方向

的非零向量.平行向量又叫

.规定:0与任一向量

.(5)相等向量:长度

且方向

的向量.(6)相反向量:长度

且方向

的向量.大小方向长度(或模)长度为01个单位相同相反共线向量平行相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=

.(2)结合律:(a+b)+c=减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a-b=a+(-b)b+aa+(b+c)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=

;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

;当λ=0时,λa=λ(μa)=

;(λ+μ)a=

;λ(a+b)=|λ||a|相同相反0λμaλa+μaλa+λb向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得

.3.共线向量定理b=λa解析

(2)若b=0,则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上.√√××AA解析

根据向量的有关概念可知ABC正确,对于D,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,故D错误.ABC又O为△ABC的外接圆的圆心,根据加法的几何意义,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,因此∠CAB=30°.A6.(2020·武汉质检)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线, 则λ=________.

解析

由已知2a-b≠0,依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a与b均不为零向量,

考点分层突破题型剖析考点聚焦2解析

A不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.考点一平面向量的概念///////自主演练BCC正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.D不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.故选BC.DD1.相等的向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.2.向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.向量可以平移,与起点无关,平移后的向量与原向量相等.3.(1)单位向量的特征是长度都是1个单位.(2)零向量的特征是长度是0,并规定零向量与任何向量平行.感悟升华角度1平面向量的加、减运算的几何意义【例1】已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列结论正确的是(

) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b考点二向量的线性运算///////多维探究B解析连接CD,∵C,D是半圆弧的三等分点,∴CD∥AB,且AB=2CD,DA1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.感悟升华解析

∵E是AD的中点,

A又知D是BC的中点,解析如图,记正六边形ABCDEF的中心为点O,连接OB,OD,易证四边形OBCD为菱形,且P恰为其中心,BACD则点M在边CB的延长线上,故B错误;则点M是△ABC的重心,故C正确;则M为AN的中点,考点三共线定理及其应用///////师生共研=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,D∴E为CD中点,又∵点B,F,D共线,1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立.感悟升华解析因为A,B,C三点共线,则λa+b=m(a+μb),由于a与b不共线,所以λμ=1.D所以-x2-(x-1)=1,即x2+x=0,解得x=0或x=-1.不合题意,舍去.故x=-1.{-1}课后巩固作业提升能力分层训练3解析

利用向量运算,易知A,D中的式子结果为零向量.AD所以A,B,D三点共线.故选A.A3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是 (

) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同

C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a

解析

当λ>0时,a与λa的方向相同,A错,a与λ2a的方向相同,B正确; 当|λ|<1时,|-λa|<|a|,C错;|-λa|=|λ||a|,D错,故选B.B解析因为G为△ABC的重心,A∵E为BC的中点,F为AE的中点,D解析连接AE,因为F为DE的中点,CB解析

取AC的中点D,连接OD,所以O是AC边上的中线BD的中点,所以S△ABC=2S△OAC,所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.D点O在线段CD上(与点C,D不重合),所以x=-y,

二、填空题9.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.

解析

∵向量a,b不平行, ∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行, 则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,0故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.直角三角形因为D为OB的中点,

13.(多选题)(2021·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中,点O,H,G分别是其外心、垂心、重心,则下列四个选项中结论正确的是 (

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