《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4 探索性问题及证明问题-教师复习验收卷_第1页
《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4 探索性问题及证明问题-教师复习验收卷_第2页
《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4 探索性问题及证明问题-教师复习验收卷_第3页
《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4 探索性问题及证明问题-教师复习验收卷_第4页
《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4 探索性问题及证明问题-教师复习验收卷_第5页
已阅读5页,还剩6页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4探索性问题及证明问题-教师复习验收卷《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4探索性问题及证明问题-教师复习验收卷/《数学》复习人教A(新高考)-第8节微课4探索性问题及证明问题-教师复习验收卷微课四探索性问题及证明问题题型一探索性问题【例1】(2021·宜昌模拟)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=eq\f(9,4)的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,圆C过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程.(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别在点A,B处作抛物线的切线,两条切线交于P点,则△PAB的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及此时对应的直线l的方程;若不存在,请说明理由.解(1)由已知可得圆心C(a,b),半径r=eq\f(3,2),焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),准线方程为y=-eq\f(p,2).因为圆C与抛物线的准线相切,所以b=eq\f(3,2)-eq\f(p,2),且圆C过焦点F.又圆C过原点,所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上,即b=eq\f(p,4).所以b=eq\f(3,2)-eq\f(p,2)=eq\f(p,4),求得p=2.于是抛物线的方程为x2=4y.(2)由抛物线方程x2=4y知,F(0,1).易知直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=kx+1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+1,,x2=4y))消去y并整理,得x2-4kx-4=0,Δ=(-4k)2-4×(-4)=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.对y=eq\f(x2,4)求导,得y′=eq\f(x,2),即直线AP的斜率kAP=eq\f(x1,2),则直线AP的方程为y-y1=eq\f(x1,2)(x-x1),即y=eq\f(x1,2)x-eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1).同理可得直线BP的方程为y=eq\f(x2,2)x-eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2).设P(x0,y0),联立直线AP与BP的方程,可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0=\f(x1+x2,2)=2k,,y0=\f(x1x2,4)=-1,))即P(2k,-1).|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+k2)·eq\r((x1+x2)2-4x1x2)=eq\r(1+k2)·eq\r((4k)2+16)=4(1+k2),点P到直线AB的距离d=eq\f(|2k2+2|,\r(1+k2))=2eq\r(1+k2),所以△PAB的面积S=eq\f(1,2)×4(1+k2)×2eq\r(1+k2)=4(1+k2)eq\s\up6(\f(3,2))≥4,当且仅当k=0时等号成立.故△PAB面积的最小值为4,此时直线l的方程为y=1.感悟升华此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.【训练1】(2020·西安模拟)设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(3),2))),且离心率为eq\f(\r(3),2),F为E的右焦点,P为E上一点,PF⊥x轴,圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程;(2)若直线l:y=k(x-eq\r(3))(k>0)与圆F交于A,B两点,与椭圆E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.解(1)由题意可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),∵椭圆的离心率e=eq\f(\r(3),2),∴eq\f(c,a)=eq\f(\r(3),2),∵a2=b2+c2,∴a=2b,将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(3),2)))代入椭圆的方程得eq\f(1,a2)+eq\f(3,4b2)=1,联立a=2b,解得a=2且b=1.∴椭圆E的方程为eq\f(x2,4)+y2=1.∴F(eq\r(3),0),∵PF⊥x轴,∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),±\f(1,2))),∴圆F的半径为eq\f(1,2),圆心为(eq\r(3),0),∴圆F的方程为(x-eq\r(3))2+y2=eq\f(1,4).(2)不存在满足题意的k,理由如下:由A,B在圆上得|AF|=|BF|=|PF|=eq\f(1,2).设点C(x1,y1),D(x2,y2).|CF|=eq\r((x1-\r(3))2+yeq\o\al(2,1))=2-eq\f(\r(3),2)x1,同理|DF|=2-eq\f(\r(3),2)x2.若|AC|=|BD|,则|AC|+|BC|=|BD|+|BC|,即|AB|=|CD|=1,4-eq\f(\r(3),2)(x1+x2)=1,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)+y2=1,,y=k(x-\r(3)),))得(4k2+1)x2-8eq\r(3)k2x+12k2-4=0,∴x1+x2=eq\f(8\r(3)k2,4k2+1),∴4-eq\f(12k2,4k2+1)=1,得12k2=12k2+3,无解,故不存在.题型二证明问题【例2】(2021·长沙模拟)已知点A(1,-eq\f(\r(3),2))在椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上,O为坐标原点,直线l:eq\f(x,a2)-eq\f(\r(3)y,2b2)=1的斜率与直线OA的斜率乘积为-eq\f(1,4).(1)求椭圆C的方程;(2)不经过点A的直线y=eq\f(\r(3),2)x+t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于两点M,N,求证:|AM|=|AN|.(1)解由题意知,kOA·kl=-eq\f(\r(3),2)·eq\f(2b2,\r(3)a2)=-eq\f(b2,a2)=-eq\f(1,4),即a2=4b2,①又eq\f(1,a2)+eq\f(3,4b2)=1,②所以联立①②,解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,b=1)),所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)+y2=1.(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x1,-y1),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=\f(\r(3),2)x+t,,\f(x2,4)+y2=1,))得x2+eq\r(3)tx+t2-1=0,所以Δ=4-t2>0,即-2<t<2,又t≠0,所以t∈(-2,0)∪(0,2),x1+x2=-eq\r(3)t,x1·x2=t2-1.法一要证明|AM|=|AN|,可转化为证明直线AQ,AR的斜率互为相反数,即证明kAQ+kAR=0.由题意知,kAQ+kAR=eq\f(y2+\f(\r(3),2),x2-1)+eq\f(y1-\f(\r(3),2),x1+1)=eq\f((y2+\f(\r(3),2))(x1+1)+(y1-\f(\r(3),2))(x2-1),(x1+1)(x2-1))=eq\f((\f(\r(3),2)x2+t+\f(\r(3),2))(x1+1)+(\f(\r(3),2)x1+t-\f(\r(3),2))(x2-1),(x1+1)(x2-1))=eq\f(\r(3)x1x2+t(x1+x2)+\r(3),(x1+1)(x2-1))=eq\f(\r(3)(t2-1)+t(-\r(3)t)+\r(3),(x1+1)(x2-1))=0,所以|AM|=|AN|.法二要证明|AM|=|AN|,可转化为证明直线AQ,AR与y轴的交点M,N连线的中点S的纵坐标为-eq\f(\r(3),2),即AS垂直平分MN即可.直线AQ与AR的方程分别为lAQ:y+eq\f(\r(3),2)=eq\f(y2+\f(\r(3),2),x2-1)(x-1),lAR:y+eq\f(\r(3),2)=eq\f(-y1+\f(\r(3),2),-x1-1)(x-1),分别令x=0,得yM=eq\f(-y2-\f(\r(3),2),x2-1)-eq\f(\r(3),2),yN=eq\f(-y1+\f(\r(3),2),x1+1)-eq\f(\r(3),2),所以yM+yN=eq\f(-y2-\f(\r(3),2),x2-1)+eq\f(-y1+\f(\r(3),2),x1+1)-eq\r(3)=eq\f((-\f(\r(3),2)x1-t+\f(\r(3),2))(x2-1)+(-\f(\r(3),2)x2-t-\f(\r(3),2))(x1+1),(x1+1)(x2-1))-eq\r(3)=eq\f(-\r(3)x1x2-t(x1+x2)-\r(3),(x1+1)(x2-1))-eq\r(3)=eq\f(-\r(3)(t2-1)-t(-\r(3)t)-\r(3),(x1+1)(x2-1))-eq\r(3)=-eq\r(3),yS=eq\f(yM+yN,2)=-eq\f(\r(3),2),即AS垂直平分MN.所以|AM|=|AN|.感悟升华圆锥曲线中的证明问题常见的有:(1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.(2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明,但有时也会用反证法证明.【训练2】(2020·景德镇一模)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,C,D是抛物线上关于y轴对称的两点,点E是抛物线准线l与y轴的交点,△ECD是面积为4的直角三角形.(1)求抛物线的方程;(2)若A为抛物线上第一象限的一动点,过F作AF的垂线交准线l于点B,求证:直线AB与抛物线相切.(1)解抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-eq\f(p,2),不妨设点C位于第一象限,由题意可得△CDE为等腰直角三角形,可得直线EC的斜率为1,则直线EC的方程为y=x-eq\f(p,2),联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2=2py,,y=x-\f(p,2),))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=p,,y=\f(p,2),))所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p,\f(p,2))),Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-p,\f(p,2))),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2))),S△ECD=eq\f(1,2)×2p×p=4,解得p=2,故抛物线的方程为x2=4y.(2)证明由(1)得焦点F(0,1),设A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则直线AF的斜率为eq\f(y0-1,x0),故直线BF的方程为y=eq\f(x0,1-y0)x+1,令y=-1,得x=eq\f(2(y0-1),x0),所以点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2(y0-1),x0),-1)),则直线AB的斜率为eq\f(y0+1,x0-\f(2(y0-1),x0))=eq\f(x0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)+1)),xeq\o\al(2,0)-2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)-1)))=eq\f(x0,2),由y=eq\f(x2,4)得y′=eq\f(x,2),即抛物线在点A处的切线的斜率为eq\f(x0,2),故直线AB与抛物线相切.1.(2020·郑州模拟)如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与椭圆eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1相交于两点A,B,连接AN,BN,求证:∠ANM=∠BNM.(1)解设圆C的半径为r(r>0),依题意,圆心C的坐标为(2,r).因为|MN|=3,所以r2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)+22=eq\f(25,4).所以r=eq\f(5,2),圆C的方程为(x-2)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(5,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(25,4).(2)证明把x=0代入方程(x-2)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(5,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(25,4),解得y=1或y=4,即点M(0,1),N(0,4).①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0.②当AB与x轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1.联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+1,,\f(x2,8)+\f(y2,4)=1))消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0.设直线AB交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1+x2=eq\f(-4k,1+2k2),x1x2=eq\f(-6,1+2k2).所以kAN+kBN=eq\f(y1-4,x1)+eq\f(y2-4,x2)=eq\f(kx1-3,x1)+eq\f(kx2-3,x2)=eq\f(2kx1x2-3(x1+x2),x1x2)=eq\f(1,x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-12k,1+2k2)+\f(12k,1+2k2)))=0.所以∠ANM=∠BNM.综合①②知∠ANM=∠BNM.2.(2021·北京西城区模拟)已知椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)经过点C(0,1),离心率为eq\f(\r(3),2),O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,D为椭圆E上一点(不在坐标轴上),直线CD交x轴于点P,Q为直线AD上一点,且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))=4,求证:C,B,Q三点共线.(1)解由题意,得b=1,eq\f(c,a)=eq\f(\r(3),2).又a2=b2+c2,所以a=2,c=eq\r(3).故椭圆E的方程为eq\f(x2,4)+y2=1.(2)证明A(-2,0),B(2,0).设D(x0,y0)(x0y0≠0),则eq\f(xeq\o\al(2,0),4)+yeq\o\al(2,0)=1.因为C(0,1),所以直线CD的方程为y=eq\f(y0-1,x0)x+1,令y=0,得x=eq\f(x0,1-y0),故点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,1-y0),0)).设Q(xQ,yQ),由eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))=4,得xQ=eq\f(4(1-y0),x0)(显然xQ≠±2).直线AD的方程为y=eq\f(y0,x0+2)(x+2),将xQ代入直线AD的方程,得yQ=eq\f(y0(4-4y0+2x0),x0(x0+2)),即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4(1-y0),x0),\f(y0(4-4y0+2x0),x0(x0+2)))).显然直线BQ的斜率存在,且kBQ=eq\f(yQ,xQ-2)=eq\f(y0(4-4y0+2x0),(x0+2)(4-4y0-2x0))=eq\f(2y0-2yeq\o\al(2,0)+x0y0,4-xeq\o\al(2,0)-2x0y0-4y0)=eq\f(2y0-2yeq\o\al(2,0)+x0y0,4yeq\o\al(2,0)-2x0y0-4y0)=-eq\f(1,2).又直线BC的斜率kBC=-eq\f(1,2),所以kBC=kBQ,即C,B,Q三点共线.3.(2021·济南模拟)已知平面上一动点A的坐标为(2t2,-2t).(1)求点A的轨迹E的方程;(2)点B在轨迹E上,且纵坐标为eq\f(2,t).①证明直线AB过定点,并求出定点坐标.②分别以A,B为圆心作与直线x=-2相切的圆,两圆公共弦的中点为H,在平面内是否存在定点P,使得|PH|为定值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设动点A的坐标为(x,y),因为A的坐标为(2t2,-2t),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=2t2,,y=-2t,))消去参数t得y2=2x,即轨迹E的方程为y2=2x.(2)①因为点B在轨迹E上,且纵坐标为eq\f(2,t),所以点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t2),\f(2,t))),当t=±1时,直线AB的方程为x=2;当t≠±1时,直线AB的斜率为kAB=eq\f(yB-yA,xB-xA)=eq\f(t,1-t2),所以直线AB的方程为y+2t=eq\f(t,1-t2)(x-2t2),整理得y=eq\f(t,1-t2)(x-2).所以直线AB过定点(2,0).②法一因为点A的坐标为(2t2,-2t),且圆A与直线x=-2相切,所以圆A的方程为(x-xA)2+(y-yA)2=(xA+2)2,同理圆B的方程为(x-xB)2+(y-yB)2=(xB+2)2,两圆方程相减得2(xB-xA)x+2(yB-yA)y+yeq\o\al(2,A)-yeq\o\al(2,B)=4xA-4xB,将A(2t2,-2t),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t2),\f(2,t)))代入并整理得y=eq\b\lc\

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论