福州金山中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

数学（一）时长：120分钟满分：150分一、选择题（每小题4分，共40分）1.估计的值在（）A.6和8之间 B.3和4之间 C.2和3之间 D.1和2之间答案：C解析：详解：解：∵，∴，∴，∴估计的值在2和3之间，故选：C．2.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.答案：A解析：详解：解：、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意，、不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，、不是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意，故选：．3.解方程，下列用配方法进行变形正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：∵，∴，即，故选：D．4.一只不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从中任意摸出4个球，下列事件是必然事件的为（）A.至少有1个球是白球 B.至少有2个球是白球C.至少有1个球是黑球 D.至少有2个球是黑球答案：C解析：详解：解：一只不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出4个球；A、至少有1个球是白球，是随机事件，故A不符合题意；B、至少有2个球是白球，是随机事件，故B不符合题意；C、至少有1个球是黑球，是必然事件，故C符合题意；D、至少有2个球是黑球，是随机事件，故D不符合题意；故选：C．5.用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（）A.6 B.5 C.4 D.3答案：C解析：详解：解：扇形的弧长：，则圆锥的底面直径：．故选：C．6.乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日进场停车，停了小时后离场，为整数．若阿虹离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元（）停车时段收费方式20元小时该时段最多收100元5元小时该时段最多收30元若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：阿虹离场时间介于当日的间，阿虹的停车费为：元．故选：B．7.如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：如图所示，连接，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，故选D．8.如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：∵是公共角，∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意；当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意；当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意．故选：D．9.如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（）A. B.C.或 D.或答案：C解析：详解：解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时．故选：C．10.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（）A.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，答案：A解析：详解：解：当时，如图所示：抛物线的对称轴为直线，，且；当时，如图所示：抛物线的对称轴为直线，，且．故选：．二、填空题（每小题4分，共24分）11.一元二次方程的根是___________．答案：解析：详解：解：，，或，，故答案为：．12.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为_____．答案：##0.6解析：详解：解：∵AB∥CD，∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE=3，ED=5，∴．故答案为：．13.如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．答案：3解析：详解：连接OC，Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；由勾股定理，得：OH=；

即线段OH的长为3．故答案为：3．14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．答案：4

解析：详解：∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．15.将抛物线向下平移4个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．答案：1或5解析：详解：解：抛物线向下平移4个单位长度后的解析式为，令，则，解得，，∴抛物线与的交点坐标为和，∴将抛物线向右平移1个单位或5个单位后，新抛物线经过原点．故答案为：1或5．16.如图，在平面直角坐标系中，点、分别落在双曲线（）第一和第三象限的两支上，连结，线段恰好经过原点，以为腰作等腰三角形，，点落在第四象限中，且轴．过点作交轴于点，交双曲线第一象限一支于点，若的面积为，则______．答案：2解析：详解：解：设，，，轴，，设AB的函数关系式为：，把代入得：，解得：，，，设CD的关系式为：，把代入得：，解得：，∴CD的关系式为：，联立，解得：或，∵点D在第一象限，∴，，连结，设与轴交于点，，∵，，为AB的中点，，，，∴，∵，，∴四边形OBCE为平行四边形，∴CE=OB，∵OA=OB，∴OA=CE，∵，，∵，∴，∴，过点A作AM⊥x轴于点M，∵AB=AC，，，∴，，，，∴．三、解答题（共86分）17.．答案：解析：详解：解：．18.已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．(1)试说明：此方程总有两个实数根．(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.答案：(1)见解析；(2)m=-1-3.解析：详解：解:（1）∵m≠0，∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵x=，∴x1=-，x2=1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．19.如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：．答案：见解析解析：详解：证：∵四边形是平行四边形∴，∴在和中∵，∴．20.小辉家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也不会亮）．（1）若小惠任意闭合一个开关，“楼梯灯亮了”是事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是事件．（填“不可能”“必然”或“随机”）（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．答案：（1）随机事件，不可能（2）“客厅和楼梯灯都亮了”的概率为解析：小问1详解：若小惠任意闭合一个开关，“楼梯灯亮了”是随机事件；∵走廊的灯已坏，∴若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件；故答案为：随机；不可能；小问2详解：设楼梯灯亮了为事件A，客厅灯亮了为事件B，走廊灯亮了为事件C，则树状图如下：所以共有6种等可能结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，所以“客厅和楼梯灯都亮了”的概率为．21.小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程．12345106（1）建立函数模型：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为____米（用含的代数式表示），若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式____；（2）列表：根据函数的关系式，得到了与的几组对应值，如表：表中____，____；（3）描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；（4）解决问题：根据以上信息可得，当_____时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为____米．答案：（1），（2），（3）见解析（4），解析：小问1详解：解：∵用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，小花园的一边长为米，∴小花园的另一边长为，∵总篱笆长为米，∴，故答案为：，；小问2详解：由（1）可知：，当时，，当时，，故答案为：，；小问3详解：在坐标系中描点和，并用平滑的曲线连接点，如图所示：小问4详解：由图像可知：当时，有最小值为．∴小强确定篱笆长至少为米．故答案为：，．22.对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”.（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'①求点E'的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值.答案：（1）①②（2）①②解析：小问1详解：解：①∵点A在y轴上，∴点B在x轴的正半轴上，且有，∴点B的坐标为（2,0），②∵点B在第一象限，∴点A在第四象限，且，设点A坐标为（m，n），其中，∵，直线OB过点O、B，直线OA过点O、A，∴直线OB的解析式为，直线OA的解析式为，∴，解得，∴点A的坐标为（1，-2）；小问2详解：解：①设点坐标为（b，c），∵，又∵直线EG过点E、G，直线过点、G，∴直线EG的解析式为，直线的解析式为，∴，解得，，∴点的坐标为或，设点的坐标为（e，f），∵，∵直线FG过点F、G，直线过点、G，∴直线FG的解析式为，直线的解析式为，∴，解得，，∴点的坐标为或，∴为以点和点为端点的线段，或以点和点为端点的线段，∵按定义为顺时针旋转，旋转90°后，点在点正上方距离为1，∴为以点和点为端点的线段，∴点的坐标为，②E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，则有，为以点和点为端点的线段，所以有，由（1）式解得，由（2）式解得，∵，∴，此时，∴，∴当时，有最大值．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若，AB＝4，AD＝2，求AF的长．答案：（1）相切，理由解析；（2）解析：详解：解：（1）相切．理由是：连接，如图1．四边形内接于，，是的直径，即点在上．．．．又，，即．于点．是的切线．（2）如图2，与交于点，，．．．，．，，．．．设，则．在中，，．解得：，（舍．．24.已知抛物线与轴交于和两点（点在点右侧），且，与轴交于点，过点的直线：与抛物线交于另一点，与线段交于点．过点的直线：与轴正半轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若，求点的坐标；（3）设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）解析：小问1详解：解：∵，∴，∵点在点右侧，∴，∴抛物线的解析式是，小问2详解：解：当时，，∴，把代入得：，解得，∴当时，∴，∴，∴，在中，，，，∴，∴，∴，即，把和代入解析式，得：，解得：，，解方程组得(舍）,∴；小问3详解：如图，过E，F两点作轴，轴于点，则，解：把代入得，∴，设直线的解析式为，代入得：，解得，，联立与解得，即联立和解得（舍）或，即，∵，∴，∴当时，有最大值，即m有最小值，最小值为．25.如图，在等边中，D，E分别是边上的点，且，点C与点F关于对称，连接交于G．（1）连接，则之间的数量关系是_______；（2）若，求的大小；（用α的式子表示）（3）用等式表示线段和之间