高中数学 2-3-2平面向量基本定理活页训练 北师大版必修4

【创新设计】-学年高中数学2-3-2平面向量基本定理活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是()．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的量，故②③正确．答案B2．设e1，e2是平面内两个向量，则有()．A．e1，e2一定平行B．e1，e2的模一定相等C．对于平面内的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)D．若e1，e2不共线，则对平面内的任何一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)解析由平面向量基本定理可知，只有e1，e2不共线时，才能成为基底．答案D3．如图，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up12(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up12(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up12(→))等于()．A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1)D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)解析eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．答案A4．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．解析当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝eq\f(1,2)，k＝－8.答案－85．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))表示eq\o(AD,\s\up12(→)).则eq\o(AD,\s\up12(→))＝________.解析∵D是BC边的四等分点，∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up12(→))－Aeq\o(B,\s\up12(→)))∴eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→)).答案eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))6．如图，已知▱OACB中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，OD与BA相交于点E，求证：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→)).证明设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，∵B、E、A三点共线，∴有eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∵O，E，D三点共线，∴OE＝μeq\o(OD,\s\up6(→)).∴eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))eq\o(OE,\s\up6(→))＝μ(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))．即eq\o(OE,\s\up6(→))＝b＋λ(a－b)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝μ(b＋eq\f(1,3)a)，∴b＋λa－λb＝μb＋eq\f(1,3)μa(λ－eq\f(μ,3))a＋b(1－λ－μ)＝0.∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,3)＝0，,1－λ－μ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,4)，,μ＝\f(3,4)，))∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→)).综合提高限时25分钟7．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()．A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．答案B8．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且eq\o(AD,\s\up12(→))＝a，eq\o(BE,\s\up12(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up12(→))等于()．A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b解析设AD与BE交点为F，则eq\o(AF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a，eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)b.由eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＋eq\o(FA,\s\up12(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)(a－b)，所以eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))＝2(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.答案B9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝0，若实数λ满足：eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AP,\s\up12(→))，则λ的值为________．解析设BC的中点为D，则eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝0，所以P是△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝3eq\o(AP,\s\up12(→))，所以λ＝3.答案310．如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up12(→))、eq\o(OB,\s\up12(→))、eq\o(OC,\s\up12(→))，其中eq\o(OA,\s\up12(→))与eq\o(OB,\s\up12(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up12(→))与eq\o(OC,\s\up12(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＋μeq\o(OB,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(OE,\s\up12(→)).在Rt△OCD中，∵|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|eq\o(OD,\s\up12(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up12(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up12(→))＝4eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OE,\s\up12(→))＝2eq\o(OB,\s\up12(→))，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.答案611．如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，eq\o(OD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，DC与OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up12(→))、eq\o(DC,\s\up12(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))，求实数λ的值．解(1)由题意，A是BC的中点，且eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)b，由平行四边形法则，eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝2eq\o(OA,\s\up12(→)).∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝2eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)eq\o(EC,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))，又∵eq\o(EC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up12(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(1,\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5).12．如图，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up12(→)).eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up12(→)).AD与BC交于点M.设eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up12(→))：(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F.使EF过M点，设eq\o(OE,\s\up12(→))＝peq\o(OA,\s\up12(→)).eq\o(OF,\s\up12(→))＝qeq\o(OB,\s\up12(→))，求证：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.解(1)设eq\o(OM,\s\up12(→))＝ma＋nb，则eq\o(AM,\s\up12(→))＝(m－1)a＋nb，eq\o(AD,\s\up12(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，∵点A、M、D共线．∴eq\o(AM,\s\up12(→))与eq\o(AD,\s\up12(→))共线．∴eq\f(m－1,－1)＝eq\f(n,\f(1,2)).∴m＋2n＝1. ①而eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,4)a＋b.∵C、M、B共线，∴eq\o(CM,\s\up12(→))与eq\o(CB,\s\up12(→))共线．∴eq\f(m－\f(1,4),－\f(1,4))＝eq\f(n,1)，∴4m＋n＝1. ②联立①②可得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,