高中数学 1.2.3.2 空间中的垂直关系活页训练 新人教B版必修2

1.2.3.2空间中的垂直关系eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 ()．A．α∥γ B．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.答案D2．已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则 A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能解析由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.答案A3．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 ()．A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.答案A4．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，l∩平面PAB＝O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB＝90°⇔PA⊥PB.答案①③④⇒②或②③④⇒①5．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.答案45°6．如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO＝eq\f(π,6)，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB.证明由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB，∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ()．A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.答案D8．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角 ()．A．相等 B．互补C．相等或互补 D．关系无法确定解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．答案D9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角．答案①②④10．如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.解析取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝eq\r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝2.答案211．已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．12．(创新拓展)已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?(1)证明∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解由(1)知，EF⊥BE，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，∴BD＝eq\r(2)，AB＝e