初中数学《相似三角形模型》六种基础模型及习题

初中数学《相似三角形模型》六种基础模型及习题

1:相似三角形模型

相似三角形判定的基本模型

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）（不平行）

基础模型识别

1.（密云18期末1）如图，AABC中，D、E分别是A3、AC上点，DE//BC,

AD=2,DB=l,AE=3,贝1JEC长（）

2.（怀柔18期末4）如图，在△A3C中，点。E分别为边AB,AC上的点，且

DE//BC,若AD=4,BD=8,AE=2,则CE的长为（）

A.2B.4

C.6D.8D^\r

3.（石景山18期末10）如图，在△ABC中，点。、E分别在边AB、AC上.若

ZADE=AC,AB=6,AC=4,AD=2,贝【JEC=.

例题精讲

1.如图，已知aABC中，CELAB于E,BFLAC于F,求证：△AEFs^ACB.

2.如图，AD与BC相交于E,点F在BD上，且AB〃EF〃CD,求证：±+上=白.

练习_：_^\\

1.（大兴18期末19）已知：如图，在AABC中，D,E今W以石人。边上

3B年

的点，且=—AE,连接。£若AC=4,AB=5.求证：△AOEsaACB

5

2.（丰台18期末18）如图，^ABC中，DE//BCy如果AO=2,DB=3,AE=

4,求AC的长.

BC

3、已知：如图，在AABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC±,且DE〃BC,DF〃AC,

求证：AADE^ADBF.

4、如图，在aABC中，4ACB=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发，以2cm/秒

的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t

秒，当1=秒，ZXCPQ与AABC相似.

（二）8字型、反8字型

A

X;

C（蝴蝶型）

（平行）（不平行）

一、基本模式识别

1.（海淀18期末3）如图，线段8。CE相交于点A,

DE〃BC.若AB=4,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（）?

A.1B.2

2、（顺义18期末19）如图，E是O48C。的边8C延长线上一点，c

AE交CD于点F,FG//AD交AB于点G.

（1）填空：图中与△CEE相似的三角形有______________________________

（写出图中与△0石/相似的所有三角形）一

（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似.

3、如下左图，在。。中，弦AB与CD相交于点P,已知

PA=3cm,PB=4cm,PC=2cm,那么PD=cm.

二、例题精讲：

1、如图，在AABC中，D为BC边上的中点，在AD上任取一点0,过。作B0

交AC于点F,作C0交AB于E,边结EF。

求证：EF〃BC

2、如图，把RTAABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到RtADCE,连接AD,

延长AB交DE于F,当DF=2,EF=3,时，过D作DG〃AE,交AF的延长线于

G,连接GE,求GE的长。

练习

1.（恩施中考）如图，在nABCD中，AC与BD交于点0,E为0D的中点，连接AE并延长交DC

于点F,则DF：FC等于（）

A.1：4B.1：3

C.2：3D.1：2

2.（黔东南中考）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则声的值是一

3.如图，已知NADE=NACB,BD=8,CE=4,CF=2,求DF的长.

（三）母子型

AA

D

一、模式识别:

1、如图，点。为△ABC的AB边上一点,AD=2,DB=3.^ZB=ZACD,则

AC=.

2、如图，等边三角形ABC中，D,E分别在BC,A3上，且CE=BE,AD.CE相

交于求证：AEAMkECA

3、如图，在0中，AB是0的切线，AO是。的割线，则题意中满足

AB2=AC-AD

B

二例题精讲

例1：如图，梯形A8CO中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O,BE〃。交C4延长线

于E.

求证：。。2=。4・。£

例2：已知：如图，AABC中，点E在中线AO上，ZDEB=ZABC.

求证：(1)DB?=DE•DA；(2)NDCE=NDAC.

例3：已知：如图，等腰4ABC中，A8=AC,AO_LBC于。，CG//AB,8G分别交A。、AC

于E、F.

求证：BE?=EF•EG

4、如图，已知AO为AABC的角平分线,EF为AQ的垂直平分线.求证：FD?=FB・FC.

练习：

1、己知：AD是RSABC中NA的平分线，ZC=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于

M,EF、BC的延长线交于一点N。求证：(l)AAMEs^NMD;(2)ND2=NCNB

A

J>

2、已知：如图，在AABC中，ZACB=90°,CDLAB于D,E是AC上一点，CF_LBE于

F,

求证：EBDF=AEDB

3.在中，AB=AC,高AD与BE交于H,EF1BC,垂足为E延长AD到G,使DG=EF,

M是AH的中点。求证：=90°

A

5已知：如图，在RtZkABC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,P是斜边A8上的一个动点，PD

±AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且NEPZAN

A.设A、P两点的距离为x,ABEP的面积为y.(1)求证：AE=2PE；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当A8EP与"BC相似时，求""的面积.

B

匕

ADEC

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一

个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形

的两边相交如图所示：

一、模式识别：

1s如图，在AABC中,AB=AC,P、M分别在BC、AC边上,

HZAPM=ZB,AP=MP,求证：△APBS^PMC。

M

BPC

2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，

△ABC为等边三角形，NAPV=60",BP=1,求AABC的边长。

3、：如图，等边AABC中，边长为6,。是BC上动点，Z£DF=60°

1)求证：ABDEs4CFD(2)当BD=l,FC=3时，求BE

二、例题精讲

1、如图，在AA8C中，A3=AC=8,BC=1(),。是3c边上的一个动点，点E1在AC

边上，且NADE=NC.

(1)求证：zABDsADCE；

(2)如果=AE=y,求y与x的函数解析式，并写出自变量元的定义域；

(3)当点。是BC的中点时，试说明AAOE是什么三角形，并说明理由.

A

2、如图，已知在AABC中，AB=AC=6,BC=5,。是AB上一点，BD=2,E是BC上一动

点，联结。E,并作NDEF=NB,射线EF交线段AC于F.

(1)求证：ADBEsAECF；

(2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

(3)联结。F,如果△/)£；/与△£>%：相似，求”1的长.

3、如图，己知边长为3的等边A48C,点尸在边3c上，6^=1,点E是射线84上一动

点，以线段£尸为边向右侧作等边AEFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,

(1)写出图中与ABE尸相似的三角形；

(2)证明其中一对三角形相似；

(3)设8E=x,MN=y,求V与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(4)若AE=1,试求AGMN的面积.

(五)一线三直角型:

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以

矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，

几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的

三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一、模式识别：

1、如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ABLBC,点E在AB上，ZDEC=90°.

(1)求证：MADEsXBEC.(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求A8的长.

2、如图，在△ABC中，48=90。，AB=4,BC=2,以AC为边作△ACE,

乙ACE=90。，AC=CE,延长BC至点。使CD=5,连接。E.

求证：△ABC』△CEO.

A

3、如图，ABLBD,CD1BD,且AB=6c、，〃,C。=4cm,B£>=14c〃z,

问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C

为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。

1.(大兴18期末24)已知：如图，AB是半圆。的直径，。是半圆上的一个动

点(点D不与点A,B重合)，ACAD=AB.

(1)求证：AC是半圆。的切线；

(2)过点。作BD的平行线，交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,

AD=6,求BD的长.

二、例题精讲

1.(石景山18期末23)如图，四边形A8CO是平行四边形，CELAO于点E,

DF1BA交BA的延长线于点F.

⑴求证：XADFs'DCE；(2)当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,

求A3的长.

2、如图，边长为1的正方形OABC的顶点为坐标原点，点A在

x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动

(不与B、C重合)，连结0D,过点D作。交边AB于点E,

连结0E,设CD=t。

(1)当，=；时，求直线DE的函数表达式；

(2)当。。?+。炉的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

3、(丰台18期末25)如图，点E是矩形ABC。边A8上一动点(不与点B重

合)，过点E作E/UOE交于点尸，连接。尸.已知A8=4cm,AO=2cm,

设A,E两点间的距离为xcm,△£)£1尸面积为ycm?.

小明根据学习函数的经验，对函数》随自变量x的变化而变化的规律进

行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)确定自变量x的取值范围是；

(2)通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm00.511.522.533.5•••

1

y/cm4.03.73.93.83.32.0•・・

(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)

(3)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画

出该函数的图象；

(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△OEF面积最大时，AE的长

度为

cm.

4、如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，

BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合)，连结DE,

作EELOE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,B/=y。

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)若〃2=8,求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

(3)若＞=",要使4DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

练习

1、已知二次函数^=九2+庶+4图象的对称轴为直线*=-2,且经过A(0,3).

(1)求二次函数的解析式

(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，设与x轴的左交点为5,点P为抛物线对称轴上

一点，若△目8为直角三角形，请求出所有满足条件的点。的坐标.

2、已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过

点P作PE_LCP,交边AB于点E,设PO=x,AE=y,求y关于x的函数关系式，并写

出x的取值范围。

3、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点，

当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。

(1)证明Rt^ABMsRSMCN；

(2)设梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数

关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出

最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时RMABMsRMAMN,求x的值。

BMC

4、如图，正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点

B、C重合的任意一点，连结AP,过点P作交DC于点Q,

设BP的长为xcm,CQ的长为ycmo

(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

(2)当y='c加时，求x的值。

5、如图,已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是线段AD边

上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE_LPC交

AB于E。

(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC_LQE?若存在，求线

段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值

范围。

E

BC

6、在四边形ABCD中ABJ.BC,OCJ.BC,A3=a,OC=4=a+匕，且aW。,

取AD的中点P,连结PB、PC。

(1)试判断三角形PBC的形状；

(2)在线段BC上，是否存在点可使若存在，

请求出BM的长；若不存在，请说明理由。

(六)双垂型:

一、模式识别：

1、Rt^ACB中，乙ACB=