新教材适用2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线2双曲线2.2双曲线的简单几何性质课后训练北师大版选择性必修第一册

2.2双曲线的简洁几何性质A组1.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是().A.x2-y24=1 B.x24C.y24-x2=1 D.y2-x2.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满意|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为().A.12 B.32 C.3.设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2bA.32 B.2 C.54.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.y=±2x B.y=±3xC.y=±22x D.y=±35.(多选题)已知在等边三角形ABC中,D,E分别是CA,CB的中点,以A,B为焦点且过点D,E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则下列关于e1,e2的关系式正确的有().A.e2+e1=2 B.e2-e1=2C.e1e2=2 D.e2e1=6.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则双曲线E的离心率为().A.5 B.2 C.3 D.27.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是8.已知F1,F2分别为双曲线C:x29-y227=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,9.已知椭圆D:x250+y225=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,双曲线的两条渐近线恰好与圆MB组1.(多选题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若A.渐近线方程为y=±33B.离心率e=3C.离心率e=2D.渐近线方程为y=±3x2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-6x+5=A.355 B.62 C.3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+dA.x24-y2C.x23-y24.已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2A.3+22 B.3C.3+1 D.35.已知F1,F2是两个定点,点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,且PF1⊥PF2,记e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有().A.e12+e2C.1e12+16.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的随意一点,则OP7.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点M(4,-10).(1)求双曲线的方程;(2)若点N(3,m)在双曲线上,求证:NF1(3)对于(2)中的点N,求△F1NF2的面积.

参考答案2.2双曲线的简洁几何性质A组1.C由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故解除选项A,B,选项C的渐近线方程为y=±2x,选项D的渐近线方程为y=±122.C如图,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,当点P与双曲线右支顶点M重合时,|PA|最小.(第2题)又2c=4,2a=3,故|PA|的最小值为a+c=32+2=73.B由tanπ6=c2b=33,得3c2=4b即4a2=c2,故e=ca=24.A因为e=ca=3,所以c2a2=a2+b2a2=3,5.BCD设△ABC的边长为2.由题意,可得椭圆的离心率e1=3-1,双曲线的离心率e2=3+1,所以e1+e2=23,e1e2=2,e2-e1=2,e2e1=2+3.6.D如图,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),令点M在双曲线的右支上,AB=BM=2a,∠MBA=(第6题)则∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).将点M的坐标代入双曲线方程x2a2-y所以e=2.故选D.7.x23-y212=1依题意设双曲线的方程为x2-y24=λ故所求双曲线的标准方程为x23-8.6因为AM为∠F1AF2的平分线,所以|AF1又因为|AF1|-|AF2|=2×3,所以|AF2|=6.9.解椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),因此双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.设双曲线G的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>∴渐近线方程为bx±ay=0.∵圆M的半径为3,圆M与渐近线相切,∴圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为3,∴|5a|b2+a2∴双曲线G的方程为x29-B组1.AC由已知,不妨设点M,N所在的渐近线方程为y=bax,由∠MAN=60°,知△MAN为等边三角形,则A(a,0)到渐近线y=bax的距离为32b,所以|ab-0|a2+b2=32b,化简得a2=3b2,则c2.A因为圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心为C(3,0),半径r=2.双曲线的渐近线方程为y=±bax,不妨取y=bax,即bx-ay=0.因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=|3b|a2+b2=2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=45a2=c2-a2,即95a23.C(方法一)因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴,所以不妨取Ac,b2a,Bc,-b2a,取双曲线的一条渐近线bx-ay=0.由点到直线的距离公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c.因为d1+d2=6,即bc-b(方法二)由d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a2+b2a2=4.C由题意得,点P在双曲线的左支上,∠F1PF2=90°.又因为∠PF1F2=2∠PF2F1,所以∠PF2F1=30°.又因为|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=3c,|PF2|-|PF1|=(3-1)c=2a,解得e=ca=35.D由题意,设焦距为2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令公共焦点在x轴上,F1为左焦点,F2为右焦点,点P在双曲线的右支上.由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2m, ①由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a, ②又因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2, ③①2+②2,并化简得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2, ④将④代入③,并化简得a2+m2=2c2,即a2c即1e126.[3+23,+∞)因为F为左焦点,所以c=2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y2=设P(x0,y0),则OP·FP=(x0,y0)·(x0+2,y0)=x02+2x0+y02=x02+2x0+x0由点P在双曲线右支上,得x0≥3,所以OP·FP≥3+27.(1)解因为e=2,所以有1+b2a故可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点M(4,-10),所以16-10=λ,得λ=6.故双曲线的方程为x26-(2)证明由(1)可知,不妨令F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,在双曲线中,a=b=6,则c=23.所